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2022年河北省中考数学模拟自测卷2(word版含答案)
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这是一份2022年河北省中考数学模拟自测卷2(word版含答案)，共28页。试卷主要包含了条线段等内容，欢迎下载使用。
2022年河北中考数学模拟自测卷2
一．选择题（共16小题，满分42分）
1．（3分）如图，四点A、B、C、D共线，则图中共有（ ）条线段．
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（3分）下列计算结果一定正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．m3+m2＝m5
C．﹣（m+1）＝﹣m+1 D．（m2+1）0＝1
3．（3分）a，b都是实数，且a＜b．则下列不等式的变形正确的是（ ）
A．a+x＞b+x B．﹣a+1＞﹣b+1 C．3a＞3b D．＞
4．（3分）设，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）把（﹣9）﹣（+6）+（﹣1）﹣（﹣2）写成省略括号的和的形式是（ ）
A．﹣9+6+1﹣2 B．﹣9﹣6﹣1+2 C．﹣9﹣6+1﹣2 D．﹣9﹣6+1+2
6．（3分）如图是一个正方体的表面展开图，则图中“是”这一面的对面的字是（ ）
A．我 B．爱 C．育 D．才
7．（3分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（ ）
A．DE＝BF B．AE＝CF C．∠ADE＝∠CBF D．∠AED＝∠CFB
8．（3分）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
9．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，六边形ABCDEF是正六边形，点P是边AF的中点，PC，PD分别与BE交于点M，N，则S△PBM：S四边形MCDN的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2分）如图1，圆的周长为4个单位，在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q，如图2，先让圆周上表示m的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示﹣2019的点与圆周上重合的点对应的字母是（ ）
A．m B．n C．p D．q
12．（2分）如图，在△ABC中，BC＝12，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为30cm，则AC的长为（ ）
A．18 B．12 C．10 D．8
13．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的外角∠BAD的平分线，BF平分∠ABC与AE的反向延长线相交于点F，则∠BFE为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
14．（2分）七年级一班同学根据兴趣分成五个小组，并制成了如图所示的条形统计图，若制成扇形统计图，第1小组对应扇形圆心角的度数为（ ）
A．45° B．60° C．72° D．120°
15．（2分）已知实数x，y满足：x2﹣+2＝0，y2﹣+2＝0，则2022|x﹣y|的值为（ ）
A． B．1 C．2022 D．20222
16．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，以点D为圆心，CD长为半径作，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作直线CE，F为菱形内部直线CE上一点，连接AF，DF，AC．若∠AFD＝90°，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共3小题，满分12分，每小题4分）
17．（4分）三种不同类型的地砖的长、宽如图所示，若现有A型地砖4块，B型地砖4块，C型地砖2块，要拼成一个正方形，则应去掉1块地砖；这样的地砖拼法可以得到一个关于m，n的恒等式为 ．
18．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线，则∠ADB的度数为 度．
19．（4分）如图，直线l与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第二象限交于B、C两点，与x轴交于点A，连接OC，∠ACO的角平分线交x轴于点D．若AB：BC：CO＝1：2：2，△COD的面积为6，则k的值为 ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
20．（8分）某房间内每立方米空气中含有3×106个细菌．为了了解某种杀菌剂的效果，科学家们进行了一次测试，发现1毫升杀菌剂可以杀灭2×105个细菌．若要将长10米、宽8米、高3米的房间内的细菌全部杀灭，则需要多少毫升杀菌剂？
21．（9分）已知某公司采购A，B两种不同洗手液共138瓶，设采购了A种洗手液x瓶
（1）嘉嘉说：“买到的B种洗手液的瓶数是A种的三倍．”琪琪由此列出方程：x+3x＝138，请用列出的方程判断嘉嘉的说法是否正确；
（2）采购人员说：“B种洗手液比A种至少多32瓶．”请通过列不等式的方法说明A种洗手液最多有几瓶．
22．（9分）将6个球分别放入标有1，2，3，4，5，6这6个号码的盒子中．如图，将一个圆形转盘平均分成3份，分别标上数字1，2，3，现转动转盘两次，两次转得的数字之和是几，从几号盘子中摸出一个球（如：第一次转得数字为2，第二次转得数字为3，则和为5，就从5号盒子中摸球）．
（1）求从6号盒子中摸球的概率；
（2）通过计算，判断从几号盒子中摸球的概率最大？
23．（9分）近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图，无人机从A处观测某建筑物至高点O时，俯角为37°；继续水平前行10米到达B处，观测点O，此时的俯角为45°，已知无人机的水平飞行高度为45米．求这栋楼的高度是多少米．（结果精确到0.1）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.79，tan37°≈0.75，≈1.41）
24．（9分）如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，求劣弧的长度．
25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过△ABC的三个顶点A（0，1）、B（﹣6，7）、C（﹣4，1）．点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）直接写出抛物线的解析式： ；
（2）过点P作PD⊥AC交AB于点D，连接PC、PA，求四边形PADC的面积的最大值；
（3）如图2，连接PB交AC于点E，当S△BCE＝S△AEP时，求点P的坐标．
26．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′．
（1）如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；
（2）如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；
（3）如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．
2022年河北中考数学模拟自测卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题，满分42分）
1．（3分）如图，四点A、B、C、D共线，则图中共有（ ）条线段．
A．7 B．6 C．5 D．4
解：图中的线段为AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条，
故选：B．
2．（3分）下列计算结果一定正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．m3+m2＝m5
C．﹣（m+1）＝﹣m+1 D．（m2+1）0＝1
解：A、m2•m3＝m5，故A不符合题意；
B、m3与m2不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、﹣（m+1）＝﹣m﹣1，故C不符合题意；
D、（m2+1）0＝1，故D符合题意；
故选：D．
3．（3分）a，b都是实数，且a＜b．则下列不等式的变形正确的是（ ）
A．a+x＞b+x B．﹣a+1＞﹣b+1 C．3a＞3b D．＞
解：A、不等式的两边都加或都减同一个整式，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，故B正确；
C、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故C错误；
D、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故D错误；
故选：B．
4．（3分）设，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
解：
＝
＝
＝
＝
＝×4××
＝
故选：D．
5．（3分）把（﹣9）﹣（+6）+（﹣1）﹣（﹣2）写成省略括号的和的形式是（ ）
A．﹣9+6+1﹣2 B．﹣9﹣6﹣1+2 C．﹣9﹣6+1﹣2 D．﹣9﹣6+1+2
解：（﹣9）﹣（+6）+（﹣1）﹣（﹣2）＝﹣9﹣6﹣1+2；
故选：B．
6．（3分）如图是一个正方体的表面展开图，则图中“是”这一面的对面的字是（ ）
A．我 B．爱 C．育 D．才
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“我”与“是”是相对面，
“育”与“人”是相对面，
“们”与“才”是相对面．
故选：A．
7．（3分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（ ）
A．DE＝BF B．AE＝CF C．∠ADE＝∠CBF D．∠AED＝∠CFB
解：A、由DE＝BF，不能推出四边形DEBF是平行四边形，有可能是等腰梯形，故选项A符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，AB＝CD，
∵AE＝CF，
∴DF＝EB，
∴四边形DEBF是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝CF，
∴DF＝EB，
∴四边形DEBF是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，
∴∠CFB＝∠ABF，
∵∠AED＝∠CFB，
∴∠ABF＝∠AED，
∴DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：A．
8．（3分）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
解：设蜡烛火焰的高度是xcm，
由相似三角形对应高的比等于相似比得到：＝．
解得x＝6．
即蜡烛火焰的高度是6cm．
故选：A．
9．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、原式＝|﹣9|＝9，不符合题意；
B、原式＝，不符合题意；
C、原式＝﹣2，符合题意；
D、原式＝6，不符合题意，
故选：C．
10．（3分）如图，六边形ABCDEF是正六边形，点P是边AF的中点，PC，PD分别与BE交于点M，N，则S△PBM：S四边形MCDN的值为（ ）
A． B． C． D．
解：设正六边形的边长为a．则S△PCD＝2×a2＝a2，S四边形BCDE＝3×a2＝a2，
由题意MN是△PCD的中位线，
∴S△PMN＝S△PCD＝a2，
∴S四边形MNDC＝a2﹣a2＝a2，
∴S△BMC＝S△DNE＝（a2﹣a2）＝a2，
∵PM＝CM，
∴S△PBM＝S△BMC＝a2，
∴S△PBM：S四边形MCDN＝a2：a2＝1：2，
故选：A．
11．（2分）如图1，圆的周长为4个单位，在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q，如图2，先让圆周上表示m的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示﹣2019的点与圆周上重合的点对应的字母是（ ）
A．m B．n C．p D．q
解：由题意可得，
﹣1与q对应，﹣2与p对应，﹣3与n对应，﹣4与m对应，
2019÷4＝504…3，
∴数轴上表示﹣2019的点与圆周上重合的点对应的字母是n，
故选：B．
12．（2分）如图，在△ABC中，BC＝12，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为30cm，则AC的长为（ ）
A．18 B．12 C．10 D．8
解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
又∵△BCE的周长为30，可得AC+BC＝30，
∵BC＝12，
∴AC＝30﹣12＝18，
故选：A．
13．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的外角∠BAD的平分线，BF平分∠ABC与AE的反向延长线相交于点F，则∠BFE为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
解：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠ABC，
∵AE平分∠DAB，
∴∠EAB＝∠DAB，
∵∠DAB﹣∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠EAB﹣∠ABF＝45°，
∴∠BFE＝∠EAB﹣∠ABF＝45°，
故选：C．
14．（2分）七年级一班同学根据兴趣分成五个小组，并制成了如图所示的条形统计图，若制成扇形统计图，第1小组对应扇形圆心角的度数为（ ）
A．45° B．60° C．72° D．120°
解：∵第1组人数占总人数的比例为＝，
∴在扇形图中，第1小组对应的圆心角度数是×360°＝72°，
故选：C．
15．（2分）已知实数x，y满足：x2﹣+2＝0，y2﹣+2＝0，则2022|x﹣y|的值为（ ）
A． B．1 C．2022 D．20222
解：∵x2﹣+2＝0，y2﹣+2＝0，
∴x2＝﹣2，y2＝﹣2，
∴x3＝1﹣2x，y3＝1﹣2y，
∴x3+2x＝1，y3+2y＝1，
∴x3+2x＝y3+2y，
∴x＝y，
∴x﹣y＝0，
∴2022|x﹣y|
＝2022|0|
＝20220
＝1，
故选：B．
16．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，以点D为圆心，CD长为半径作，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作直线CE，F为菱形内部直线CE上一点，连接AF，DF，AC．若∠AFD＝90°，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
解：连接AC，CE交AD于H，如图，
在菱形ABCD中，∵∠B＝60°，AB＝2，
∴∠ADC＝60°，DA＝DC，
∴△ADC为等边三角形，
∴CA＝CD，
由作法得EA＝ED，
∴CE垂直平分AD，
∵∠AFD＝90°，
∴△ADF为等腰直角三角形，
∴HF＝DH＝AH＝1，
∴DH＝AH＝1，
∴阴影部分的面积＝S扇形ADC﹣S△CDH﹣S△AHF
＝﹣×1×﹣×1×1＝π﹣．
故选：A．
二．填空题（共3小题，满分12分，每小题4分）
17．（4分）三种不同类型的地砖的长、宽如图所示，若现有A型地砖4块，B型地砖4块，C型地砖2块，要拼成一个正方形，则应去掉1块地砖；这样的地砖拼法可以得到一个关于m，n的恒等式为 （2m+n）2＝4m2+4mn+n2 ．
解：4块A的面积为：4×m×m＝4m2；
4块B的面积为：4×m×n＝4mn；
2块C的面积为2×n×n＝2n2；
那么这三种类型的砖的总面积应该是：
4m2+4mn+2n2＝4m2+4mn+n2+n2＝（2m+n）2+n2，
因此，多出了一块C型地砖，去掉一块C型地砖，这两个数的平方为（2m+n）2．
这样的地砖拼法可以得到一个关于m，n的恒等式为：4m2+4mn+n2＝（2m+n）2
故答案为：4m2+4mn+n2＝（2m+n）2．
18．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线，则∠ADB的度数为 85 度．
解：∵∠BAC＝40°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B
＝65°．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝20°．
∴∠ADB＝∠CAD+∠C
＝20°+65°
＝85°．
故答案为：85．
19．（4分）如图，直线l与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第二象限交于B、C两点，与x轴交于点A，连接OC，∠ACO的角平分线交x轴于点D．若AB：BC：CO＝1：2：2，△COD的面积为6，则k的值为 ﹣ ．
解：∵AB：BC：CO＝1：2：2，
∴设AB＝x，BC＝CO＝2x，
如图1，过D作DE∥l，交OC于E，
∴∠ACD＝∠CDE，
∵CD平分∠ACO，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴DE＝CE，
设DE＝a，则CE＝a，OE＝2x﹣a，
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴，即，
∴x（6x﹣5a）＝0，
∵x≠0，
∴6x﹣5a＝0，a＝x，
∵＝，
∴＝，
∵△COD的面积为6，
∴△AOC的面积为15，
如图2，过B作BG⊥x轴于G，过C作CH⊥x轴于H，
∴BG∥CH，
∴△ABG∽△ACH，
∴，
∵AB：BC＝1：2，
∴，
设BG＝b，CH＝3b，
∵直线l与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第二象限交于B、C两点，
∴B（，b），C（，3b），
∴GH＝＝﹣，
∵，
∴AG＝GH＝﹣，
∴OA＝AG+OG＝﹣＝﹣，
∵S△ACO＝，
，
k＝﹣，
故答案为：﹣．
三．解答题（共7小题，满分66分）
20．（8分）某房间内每立方米空气中含有3×106个细菌．为了了解某种杀菌剂的效果，科学家们进行了一次测试，发现1毫升杀菌剂可以杀灭2×105个细菌．若要将长10米、宽8米、高3米的房间内的细菌全部杀灭，则需要多少毫升杀菌剂？
解：10×8×3×3×106÷（2×105）×1
＝7.2×108÷（2×105）
＝3.6×103（毫升）．
答：需要3.6×103毫升杀菌剂．
21．（9分）已知某公司采购A，B两种不同洗手液共138瓶，设采购了A种洗手液x瓶
（1）嘉嘉说：“买到的B种洗手液的瓶数是A种的三倍．”琪琪由此列出方程：x+3x＝138，请用列出的方程判断嘉嘉的说法是否正确；
（2）采购人员说：“B种洗手液比A种至少多32瓶．”请通过列不等式的方法说明A种洗手液最多有几瓶．
解：（1）∵x+3x＝138，
∴4x＝138，
解得x＝34.5，
∵x为是整数，
∴嘉嘉的说法不正确；
（2）设采购了A种洗手液x瓶，则采购了B种洗手液（138﹣x）瓶，
∵B种洗手液比A种至少多32瓶，
∴（138﹣x）﹣x≥32，
解得x≤53，
答：A种洗手液最多有53瓶．
22．（9分）将6个球分别放入标有1，2，3，4，5，6这6个号码的盒子中．如图，将一个圆形转盘平均分成3份，分别标上数字1，2，3，现转动转盘两次，两次转得的数字之和是几，从几号盘子中摸出一个球（如：第一次转得数字为2，第二次转得数字为3，则和为5，就从5号盒子中摸球）．
（1）求从6号盒子中摸球的概率；
（2）通过计算，判断从几号盒子中摸球的概率最大？
解：（1）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中从6号盒子中摸球的结果有1种，
∴从6号盒子中摸球的概率为；
（2）由（1）可知，共有9种等可能的结果，其中从2号盒子中摸球的结果有1种，从3号盒子中摸球的结果有2种，从5号盒子中摸球的结果有2种，从1号盒子中摸球的结果有0种，从4号盒子中摸球的结果有3种，是最多的，
∴从2号盒子中摸球的概率为，从3号盒子中摸球的概率＝从5号盒子中摸球的概率＝，从1号盒子中摸球的概率为0，从4号盒子中摸球的概率为＝，
∵＞＞＞0；
∴从4号盒子中摸球的概率最大．
23．（9分）近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图，无人机从A处观测某建筑物至高点O时，俯角为37°；继续水平前行10米到达B处，观测点O，此时的俯角为45°，已知无人机的水平飞行高度为45米．求这栋楼的高度是多少米．（结果精确到0.1）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.79，tan37°≈0.75，≈1.41）
解：如图，过点O，作OC⊥AB，交AB的延长线于点C，延长CO交地平面于点E，
由题意可知，∠OAC＝37°，∠OBC＝45°，AB＝10m，AD＝45m，
设OC＝x米，
在Rt△BOC中，
∵∠OBC＝45°，
∴BC＝OC＝xm，
在Rt△AOC中，AC＝AB+BC＝（10+x）m，∠OAC＝37°，
∴tan37°＝＝≈0.75，
解得x≈30.0，
即OC＝30.0米，
∴OE＝CE﹣OC＝45﹣30.0＝15.0（m），
答：这栋楼的高度约是15.0米．
24．（9分）如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，求劣弧的长度．
解：∵⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，
∴OM⊥AB，ON⊥AC，∠A＝（5﹣2）×180÷5＝108°，
∴∠AMO＝∠ANO＝90°，
∴∠MON＝180°﹣∠A＝72°，
∵⊙O的半径为2，
∴劣弧的长度为：＝π．
25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过△ABC的三个顶点A（0，1）、B（﹣6，7）、C（﹣4，1）．点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）直接写出抛物线的解析式： y＝x2+2x+1 ；
（2）过点P作PD⊥AC交AB于点D，连接PC、PA，求四边形PADC的面积的最大值；
（3）如图2，连接PB交AC于点E，当S△BCE＝S△AEP时，求点P的坐标．
解：（1）由题意得，
∴，
∴y＝x2+2x+1；
故答案是y＝x2+2x+1；
（2）∵A（0，1），B（﹣6，7），
∴直线y＝﹣x+1，
设P（m，m2+2m+1），
∴D（m，﹣m+1），
∴PD＝（﹣m+1）﹣（m2+2m+1）
＝﹣m2﹣3m，
＝
＝×（﹣m2﹣3m）
＝﹣m2﹣6m
＝﹣（m+3）2+9，
∴当m＝﹣3时，四边形PADC的面积最大值是9；
（3）如图2，
作BG⊥AC于G，作PH⊥AC于H，
∴BG＝6，
设E（m，1），
设直线BE的函数关系式是y＝kx+b，
∴，
∴，
∴BE的解析式是：y＝﹣x+，
由x2+2x+1＝﹣x+，
∴x2+x+（1﹣）＝0，
∵x＝﹣6是方程一个根，
∴由根与系数的关系得，
x1+（﹣6）＝﹣，
∴，
把代入y＝﹣x+得，
∴y＝﹣•+
＝，
∴PH＝1﹣y＝，
∵S△BCE＝S△AEP，
∴，
∴6•（m+4）＝[﹣m•]，
化简得，
m2+7m+12＝0，
∴m1＝﹣3，m2＝﹣4（舍去），
把m＝﹣3代入＝﹣2，
当x＝﹣2时，y＝＝﹣1，
∴P （﹣2，﹣1）．
26．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′．
（1）如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；
（2）如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；
（3）如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝4，
∵∠ACB＝90°，△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，点A′落在AC的延长线上，
∴∠A'CB＝90°，A'B＝AB＝5，
Rt△A'BC中，A'C＝＝4，
∴AA'＝AC+A'C＝8；
（2）过C作CE∥A'B交AB于E，过C作CD⊥AB于D，如图：
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴∠A'BC＝∠ABC，BC'＝BC＝3，
∵CE∥A'B，
∴∠A'BC'＝∠CEB，
∴∠CEB＝∠ABC，
∴CE＝BC＝3，
Rt△ABC中，S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，AC＝4，BC＝3，AB＝5，
∴CD＝＝，
Rt△CED中，DE＝＝＝，
同理BD＝，
∴BE＝DE+BD＝，C'E＝BC'+BE＝3+＝，
∵CE∥A'B，
∴＝，
∴＝，
∴BM＝；
（3）DE存在最小值1，理由如下：
过A作AP∥A'C'交C'D延长线于P，连接A'C，如图：
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴BC＝BC'，∠ACB＝∠A'C'B＝90°，AC＝A'C'，
∴∠BCC'＝∠BC'C，
而∠ACP＝180°﹣∠ACB﹣∠BCC'＝90°﹣∠BCC'，
∠A'C'D＝∠A'C'B﹣∠BC'C＝90°﹣∠BC'C，
∴∠ACP＝∠A'C'D，
∵AP∥A'C'，
∴∠P＝∠A'C'D，
∴∠P＝∠ACP，
∴AP＝AC，
∴AP＝A'C'，
在△APD和△A'C'D中，
，
∴△APD≌△A'C'D（AAS），
∴AD＝A'D，即D是AA'中点，
∵点E为AC的中点，
∴DE是△AA'C的中位线，
∴DE＝A'C，
要使DE最小，只需A'C最小，此时A'、C、B共线，A'C的最小值为A'B﹣BC＝AB﹣BC＝2，
∴DE最小为A'C＝1．
2022年河北中考数学模拟自测卷2
一．选择题（共16小题，满分42分）
1．（3分）如图，四点A、B、C、D共线，则图中共有（ ）条线段．
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（3分）下列计算结果一定正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．m3+m2＝m5
C．﹣（m+1）＝﹣m+1 D．（m2+1）0＝1
3．（3分）a，b都是实数，且a＜b．则下列不等式的变形正确的是（ ）
A．a+x＞b+x B．﹣a+1＞﹣b+1 C．3a＞3b D．＞
4．（3分）设，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）把（﹣9）﹣（+6）+（﹣1）﹣（﹣2）写成省略括号的和的形式是（ ）
A．﹣9+6+1﹣2 B．﹣9﹣6﹣1+2 C．﹣9﹣6+1﹣2 D．﹣9﹣6+1+2
6．（3分）如图是一个正方体的表面展开图，则图中“是”这一面的对面的字是（ ）
A．我 B．爱 C．育 D．才
7．（3分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（ ）
A．DE＝BF B．AE＝CF C．∠ADE＝∠CBF D．∠AED＝∠CFB
8．（3分）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
9．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，六边形ABCDEF是正六边形，点P是边AF的中点，PC，PD分别与BE交于点M，N，则S△PBM：S四边形MCDN的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2分）如图1，圆的周长为4个单位，在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q，如图2，先让圆周上表示m的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示﹣2019的点与圆周上重合的点对应的字母是（ ）
A．m B．n C．p D．q
12．（2分）如图，在△ABC中，BC＝12，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为30cm，则AC的长为（ ）
A．18 B．12 C．10 D．8
13．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的外角∠BAD的平分线，BF平分∠ABC与AE的反向延长线相交于点F，则∠BFE为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
14．（2分）七年级一班同学根据兴趣分成五个小组，并制成了如图所示的条形统计图，若制成扇形统计图，第1小组对应扇形圆心角的度数为（ ）
A．45° B．60° C．72° D．120°
15．（2分）已知实数x，y满足：x2﹣+2＝0，y2﹣+2＝0，则2022|x﹣y|的值为（ ）
A． B．1 C．2022 D．20222
16．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，以点D为圆心，CD长为半径作，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作直线CE，F为菱形内部直线CE上一点，连接AF，DF，AC．若∠AFD＝90°，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共3小题，满分12分，每小题4分）
17．（4分）三种不同类型的地砖的长、宽如图所示，若现有A型地砖4块，B型地砖4块，C型地砖2块，要拼成一个正方形，则应去掉1块地砖；这样的地砖拼法可以得到一个关于m，n的恒等式为 ．
18．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线，则∠ADB的度数为 度．
19．（4分）如图，直线l与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第二象限交于B、C两点，与x轴交于点A，连接OC，∠ACO的角平分线交x轴于点D．若AB：BC：CO＝1：2：2，△COD的面积为6，则k的值为 ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
20．（8分）某房间内每立方米空气中含有3×106个细菌．为了了解某种杀菌剂的效果，科学家们进行了一次测试，发现1毫升杀菌剂可以杀灭2×105个细菌．若要将长10米、宽8米、高3米的房间内的细菌全部杀灭，则需要多少毫升杀菌剂？
21．（9分）已知某公司采购A，B两种不同洗手液共138瓶，设采购了A种洗手液x瓶
（1）嘉嘉说：“买到的B种洗手液的瓶数是A种的三倍．”琪琪由此列出方程：x+3x＝138，请用列出的方程判断嘉嘉的说法是否正确；
（2）采购人员说：“B种洗手液比A种至少多32瓶．”请通过列不等式的方法说明A种洗手液最多有几瓶．
22．（9分）将6个球分别放入标有1，2，3，4，5，6这6个号码的盒子中．如图，将一个圆形转盘平均分成3份，分别标上数字1，2，3，现转动转盘两次，两次转得的数字之和是几，从几号盘子中摸出一个球（如：第一次转得数字为2，第二次转得数字为3，则和为5，就从5号盒子中摸球）．
（1）求从6号盒子中摸球的概率；
（2）通过计算，判断从几号盒子中摸球的概率最大？
23．（9分）近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图，无人机从A处观测某建筑物至高点O时，俯角为37°；继续水平前行10米到达B处，观测点O，此时的俯角为45°，已知无人机的水平飞行高度为45米．求这栋楼的高度是多少米．（结果精确到0.1）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.79，tan37°≈0.75，≈1.41）
24．（9分）如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，求劣弧的长度．
25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过△ABC的三个顶点A（0，1）、B（﹣6，7）、C（﹣4，1）．点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）直接写出抛物线的解析式： ；
（2）过点P作PD⊥AC交AB于点D，连接PC、PA，求四边形PADC的面积的最大值；
（3）如图2，连接PB交AC于点E，当S△BCE＝S△AEP时，求点P的坐标．
26．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′．
（1）如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；
（2）如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；
（3）如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．
2022年河北中考数学模拟自测卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题，满分42分）
1．（3分）如图，四点A、B、C、D共线，则图中共有（ ）条线段．
A．7 B．6 C．5 D．4
解：图中的线段为AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条，
故选：B．
2．（3分）下列计算结果一定正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．m3+m2＝m5
C．﹣（m+1）＝﹣m+1 D．（m2+1）0＝1
解：A、m2•m3＝m5，故A不符合题意；
B、m3与m2不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、﹣（m+1）＝﹣m﹣1，故C不符合题意；
D、（m2+1）0＝1，故D符合题意；
故选：D．
3．（3分）a，b都是实数，且a＜b．则下列不等式的变形正确的是（ ）
A．a+x＞b+x B．﹣a+1＞﹣b+1 C．3a＞3b D．＞
解：A、不等式的两边都加或都减同一个整式，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，故B正确；
C、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故C错误；
D、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故D错误；
故选：B．
4．（3分）设，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
解：
＝
＝
＝
＝
＝×4××
＝
故选：D．
5．（3分）把（﹣9）﹣（+6）+（﹣1）﹣（﹣2）写成省略括号的和的形式是（ ）
A．﹣9+6+1﹣2 B．﹣9﹣6﹣1+2 C．﹣9﹣6+1﹣2 D．﹣9﹣6+1+2
解：（﹣9）﹣（+6）+（﹣1）﹣（﹣2）＝﹣9﹣6﹣1+2；
故选：B．
6．（3分）如图是一个正方体的表面展开图，则图中“是”这一面的对面的字是（ ）
A．我 B．爱 C．育 D．才
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“我”与“是”是相对面，
“育”与“人”是相对面，
“们”与“才”是相对面．
故选：A．
7．（3分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（ ）
A．DE＝BF B．AE＝CF C．∠ADE＝∠CBF D．∠AED＝∠CFB
解：A、由DE＝BF，不能推出四边形DEBF是平行四边形，有可能是等腰梯形，故选项A符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，AB＝CD，
∵AE＝CF，
∴DF＝EB，
∴四边形DEBF是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝CF，
∴DF＝EB，
∴四边形DEBF是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，
∴∠CFB＝∠ABF，
∵∠AED＝∠CFB，
∴∠ABF＝∠AED，
∴DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：A．
8．（3分）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
解：设蜡烛火焰的高度是xcm，
由相似三角形对应高的比等于相似比得到：＝．
解得x＝6．
即蜡烛火焰的高度是6cm．
故选：A．
9．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、原式＝|﹣9|＝9，不符合题意；
B、原式＝，不符合题意；
C、原式＝﹣2，符合题意；
D、原式＝6，不符合题意，
故选：C．
10．（3分）如图，六边形ABCDEF是正六边形，点P是边AF的中点，PC，PD分别与BE交于点M，N，则S△PBM：S四边形MCDN的值为（ ）
A． B． C． D．
解：设正六边形的边长为a．则S△PCD＝2×a2＝a2，S四边形BCDE＝3×a2＝a2，
由题意MN是△PCD的中位线，
∴S△PMN＝S△PCD＝a2，
∴S四边形MNDC＝a2﹣a2＝a2，
∴S△BMC＝S△DNE＝（a2﹣a2）＝a2，
∵PM＝CM，
∴S△PBM＝S△BMC＝a2，
∴S△PBM：S四边形MCDN＝a2：a2＝1：2，
故选：A．
11．（2分）如图1，圆的周长为4个单位，在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q，如图2，先让圆周上表示m的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示﹣2019的点与圆周上重合的点对应的字母是（ ）
A．m B．n C．p D．q
解：由题意可得，
﹣1与q对应，﹣2与p对应，﹣3与n对应，﹣4与m对应，
2019÷4＝504…3，
∴数轴上表示﹣2019的点与圆周上重合的点对应的字母是n，
故选：B．
12．（2分）如图，在△ABC中，BC＝12，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为30cm，则AC的长为（ ）
A．18 B．12 C．10 D．8
解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
又∵△BCE的周长为30，可得AC+BC＝30，
∵BC＝12，
∴AC＝30﹣12＝18，
故选：A．
13．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的外角∠BAD的平分线，BF平分∠ABC与AE的反向延长线相交于点F，则∠BFE为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
解：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠ABC，
∵AE平分∠DAB，
∴∠EAB＝∠DAB，
∵∠DAB﹣∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠EAB﹣∠ABF＝45°，
∴∠BFE＝∠EAB﹣∠ABF＝45°，
故选：C．
14．（2分）七年级一班同学根据兴趣分成五个小组，并制成了如图所示的条形统计图，若制成扇形统计图，第1小组对应扇形圆心角的度数为（ ）
A．45° B．60° C．72° D．120°
解：∵第1组人数占总人数的比例为＝，
∴在扇形图中，第1小组对应的圆心角度数是×360°＝72°，
故选：C．
15．（2分）已知实数x，y满足：x2﹣+2＝0，y2﹣+2＝0，则2022|x﹣y|的值为（ ）
A． B．1 C．2022 D．20222
解：∵x2﹣+2＝0，y2﹣+2＝0，
∴x2＝﹣2，y2＝﹣2，
∴x3＝1﹣2x，y3＝1﹣2y，
∴x3+2x＝1，y3+2y＝1，
∴x3+2x＝y3+2y，
∴x＝y，
∴x﹣y＝0，
∴2022|x﹣y|
＝2022|0|
＝20220
＝1，
故选：B．
16．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，以点D为圆心，CD长为半径作，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作直线CE，F为菱形内部直线CE上一点，连接AF，DF，AC．若∠AFD＝90°，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
解：连接AC，CE交AD于H，如图，
在菱形ABCD中，∵∠B＝60°，AB＝2，
∴∠ADC＝60°，DA＝DC，
∴△ADC为等边三角形，
∴CA＝CD，
由作法得EA＝ED，
∴CE垂直平分AD，
∵∠AFD＝90°，
∴△ADF为等腰直角三角形，
∴HF＝DH＝AH＝1，
∴DH＝AH＝1，
∴阴影部分的面积＝S扇形ADC﹣S△CDH﹣S△AHF
＝﹣×1×﹣×1×1＝π﹣．
故选：A．
二．填空题（共3小题，满分12分，每小题4分）
17．（4分）三种不同类型的地砖的长、宽如图所示，若现有A型地砖4块，B型地砖4块，C型地砖2块，要拼成一个正方形，则应去掉1块地砖；这样的地砖拼法可以得到一个关于m，n的恒等式为 （2m+n）2＝4m2+4mn+n2 ．
解：4块A的面积为：4×m×m＝4m2；
4块B的面积为：4×m×n＝4mn；
2块C的面积为2×n×n＝2n2；
那么这三种类型的砖的总面积应该是：
4m2+4mn+2n2＝4m2+4mn+n2+n2＝（2m+n）2+n2，
因此，多出了一块C型地砖，去掉一块C型地砖，这两个数的平方为（2m+n）2．
这样的地砖拼法可以得到一个关于m，n的恒等式为：4m2+4mn+n2＝（2m+n）2
故答案为：4m2+4mn+n2＝（2m+n）2．
18．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线，则∠ADB的度数为 85 度．
解：∵∠BAC＝40°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B
＝65°．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝20°．
∴∠ADB＝∠CAD+∠C
＝20°+65°
＝85°．
故答案为：85．
19．（4分）如图，直线l与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第二象限交于B、C两点，与x轴交于点A，连接OC，∠ACO的角平分线交x轴于点D．若AB：BC：CO＝1：2：2，△COD的面积为6，则k的值为 ﹣ ．
解：∵AB：BC：CO＝1：2：2，
∴设AB＝x，BC＝CO＝2x，
如图1，过D作DE∥l，交OC于E，
∴∠ACD＝∠CDE，
∵CD平分∠ACO，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴DE＝CE，
设DE＝a，则CE＝a，OE＝2x﹣a，
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴，即，
∴x（6x﹣5a）＝0，
∵x≠0，
∴6x﹣5a＝0，a＝x，
∵＝，
∴＝，
∵△COD的面积为6，
∴△AOC的面积为15，
如图2，过B作BG⊥x轴于G，过C作CH⊥x轴于H，
∴BG∥CH，
∴△ABG∽△ACH，
∴，
∵AB：BC＝1：2，
∴，
设BG＝b，CH＝3b，
∵直线l与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第二象限交于B、C两点，
∴B（，b），C（，3b），
∴GH＝＝﹣，
∵，
∴AG＝GH＝﹣，
∴OA＝AG+OG＝﹣＝﹣，
∵S△ACO＝，
，
k＝﹣，
故答案为：﹣．
三．解答题（共7小题，满分66分）
20．（8分）某房间内每立方米空气中含有3×106个细菌．为了了解某种杀菌剂的效果，科学家们进行了一次测试，发现1毫升杀菌剂可以杀灭2×105个细菌．若要将长10米、宽8米、高3米的房间内的细菌全部杀灭，则需要多少毫升杀菌剂？
解：10×8×3×3×106÷（2×105）×1
＝7.2×108÷（2×105）
＝3.6×103（毫升）．
答：需要3.6×103毫升杀菌剂．
21．（9分）已知某公司采购A，B两种不同洗手液共138瓶，设采购了A种洗手液x瓶
（1）嘉嘉说：“买到的B种洗手液的瓶数是A种的三倍．”琪琪由此列出方程：x+3x＝138，请用列出的方程判断嘉嘉的说法是否正确；
（2）采购人员说：“B种洗手液比A种至少多32瓶．”请通过列不等式的方法说明A种洗手液最多有几瓶．
解：（1）∵x+3x＝138，
∴4x＝138，
解得x＝34.5，
∵x为是整数，
∴嘉嘉的说法不正确；
（2）设采购了A种洗手液x瓶，则采购了B种洗手液（138﹣x）瓶，
∵B种洗手液比A种至少多32瓶，
∴（138﹣x）﹣x≥32，
解得x≤53，
答：A种洗手液最多有53瓶．
22．（9分）将6个球分别放入标有1，2，3，4，5，6这6个号码的盒子中．如图，将一个圆形转盘平均分成3份，分别标上数字1，2，3，现转动转盘两次，两次转得的数字之和是几，从几号盘子中摸出一个球（如：第一次转得数字为2，第二次转得数字为3，则和为5，就从5号盒子中摸球）．
（1）求从6号盒子中摸球的概率；
（2）通过计算，判断从几号盒子中摸球的概率最大？
解：（1）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中从6号盒子中摸球的结果有1种，
∴从6号盒子中摸球的概率为；
（2）由（1）可知，共有9种等可能的结果，其中从2号盒子中摸球的结果有1种，从3号盒子中摸球的结果有2种，从5号盒子中摸球的结果有2种，从1号盒子中摸球的结果有0种，从4号盒子中摸球的结果有3种，是最多的，
∴从2号盒子中摸球的概率为，从3号盒子中摸球的概率＝从5号盒子中摸球的概率＝，从1号盒子中摸球的概率为0，从4号盒子中摸球的概率为＝，
∵＞＞＞0；
∴从4号盒子中摸球的概率最大．
23．（9分）近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图，无人机从A处观测某建筑物至高点O时，俯角为37°；继续水平前行10米到达B处，观测点O，此时的俯角为45°，已知无人机的水平飞行高度为45米．求这栋楼的高度是多少米．（结果精确到0.1）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.79，tan37°≈0.75，≈1.41）
解：如图，过点O，作OC⊥AB，交AB的延长线于点C，延长CO交地平面于点E，
由题意可知，∠OAC＝37°，∠OBC＝45°，AB＝10m，AD＝45m，
设OC＝x米，
在Rt△BOC中，
∵∠OBC＝45°，
∴BC＝OC＝xm，
在Rt△AOC中，AC＝AB+BC＝（10+x）m，∠OAC＝37°，
∴tan37°＝＝≈0.75，
解得x≈30.0，
即OC＝30.0米，
∴OE＝CE﹣OC＝45﹣30.0＝15.0（m），
答：这栋楼的高度约是15.0米．
24．（9分）如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，求劣弧的长度．
解：∵⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，
∴OM⊥AB，ON⊥AC，∠A＝（5﹣2）×180÷5＝108°，
∴∠AMO＝∠ANO＝90°，
∴∠MON＝180°﹣∠A＝72°，
∵⊙O的半径为2，
∴劣弧的长度为：＝π．
25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过△ABC的三个顶点A（0，1）、B（﹣6，7）、C（﹣4，1）．点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）直接写出抛物线的解析式： y＝x2+2x+1 ；
（2）过点P作PD⊥AC交AB于点D，连接PC、PA，求四边形PADC的面积的最大值；
（3）如图2，连接PB交AC于点E，当S△BCE＝S△AEP时，求点P的坐标．
解：（1）由题意得，
∴，
∴y＝x2+2x+1；
故答案是y＝x2+2x+1；
（2）∵A（0，1），B（﹣6，7），
∴直线y＝﹣x+1，
设P（m，m2+2m+1），
∴D（m，﹣m+1），
∴PD＝（﹣m+1）﹣（m2+2m+1）
＝﹣m2﹣3m，
＝
＝×（﹣m2﹣3m）
＝﹣m2﹣6m
＝﹣（m+3）2+9，
∴当m＝﹣3时，四边形PADC的面积最大值是9；
（3）如图2，
作BG⊥AC于G，作PH⊥AC于H，
∴BG＝6，
设E（m，1），
设直线BE的函数关系式是y＝kx+b，
∴，
∴，
∴BE的解析式是：y＝﹣x+，
由x2+2x+1＝﹣x+，
∴x2+x+（1﹣）＝0，
∵x＝﹣6是方程一个根，
∴由根与系数的关系得，
x1+（﹣6）＝﹣，
∴，
把代入y＝﹣x+得，
∴y＝﹣•+
＝，
∴PH＝1﹣y＝，
∵S△BCE＝S△AEP，
∴，
∴6•（m+4）＝[﹣m•]，
化简得，
m2+7m+12＝0，
∴m1＝﹣3，m2＝﹣4（舍去），
把m＝﹣3代入＝﹣2，
当x＝﹣2时，y＝＝﹣1，
∴P （﹣2，﹣1）．
26．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′．
（1）如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；
（2）如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；
（3）如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝4，
∵∠ACB＝90°，△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，点A′落在AC的延长线上，
∴∠A'CB＝90°，A'B＝AB＝5，
Rt△A'BC中，A'C＝＝4，
∴AA'＝AC+A'C＝8；
（2）过C作CE∥A'B交AB于E，过C作CD⊥AB于D，如图：
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴∠A'BC＝∠ABC，BC'＝BC＝3，
∵CE∥A'B，
∴∠A'BC'＝∠CEB，
∴∠CEB＝∠ABC，
∴CE＝BC＝3，
Rt△ABC中，S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，AC＝4，BC＝3，AB＝5，
∴CD＝＝，
Rt△CED中，DE＝＝＝，
同理BD＝，
∴BE＝DE+BD＝，C'E＝BC'+BE＝3+＝，
∵CE∥A'B，
∴＝，
∴＝，
∴BM＝；
（3）DE存在最小值1，理由如下：
过A作AP∥A'C'交C'D延长线于P，连接A'C，如图：
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴BC＝BC'，∠ACB＝∠A'C'B＝90°，AC＝A'C'，
∴∠BCC'＝∠BC'C，
而∠ACP＝180°﹣∠ACB﹣∠BCC'＝90°﹣∠BCC'，
∠A'C'D＝∠A'C'B﹣∠BC'C＝90°﹣∠BC'C，
∴∠ACP＝∠A'C'D，
∵AP∥A'C'，
∴∠P＝∠A'C'D，
∴∠P＝∠ACP，
∴AP＝AC，
∴AP＝A'C'，
在△APD和△A'C'D中，
，
∴△APD≌△A'C'D（AAS），
∴AD＝A'D，即D是AA'中点，
∵点E为AC的中点，
∴DE是△AA'C的中位线，
∴DE＝A'C，
要使DE最小，只需A'C最小，此时A'、C、B共线，A'C的最小值为A'B﹣BC＝AB﹣BC＝2，
∴DE最小为A'C＝1．
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