还剩23页未读，
继续阅读
2022年河北省九年级中考数学模拟自测卷1(word版含答案)
展开
这是一份2022年河北省九年级中考数学模拟自测卷1(word版含答案)，共26页。
2022河北中考数学模拟自测卷1
一．选择题（共16小题，满分42分）
1．（3分）如图，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．（3分）下列计算结果一定正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．m3+m2＝m5
C．﹣（m+1）＝﹣m+1 D．（m2+1）0＝1
3．（3分）若m＜n，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．m﹣1＜n﹣1 B．3m＜3n C．﹣＞﹣ D．m2＜n2
4．（3分）的相反数是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．﹣9
5．（3分）把（﹣9）﹣（+6）+（﹣1）﹣（﹣2）写成省略括号的和的形式是（ ）
A．﹣9+6+1﹣2 B．﹣9﹣6﹣1+2 C．﹣9﹣6+1﹣2 D．﹣9﹣6+1+2
6．（3分）有一个正六面体骰子放在桌面上，将骰子如图所示顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2020次后，骰子朝下一面的数字是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．（3分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（ ）
A．DE＝BF B．AE＝CF C．∠ADE＝∠CBF D．∠AED＝∠CFB
8．（3分）如图，小芳在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离BE＝20米，镜子与小芳的距离ED＝2米时，小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端A，已知小芳的眼睛距地面的高度CD＝1.5米，铁塔AB的高度为（ ）（根据光的反射原理，∠1＝∠2）
A．18m B．15m C．20m D．16m
9．（3分）计算：（）2＝（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
10．（3分）如图，六边形ABCDEF是正六边形，点P是边AF的中点，PC，PD分别与BE交于点M，N，则S△PBM：S四边形MCDN的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2分）M为数轴上表示5的点，将点M沿数轴向右移动3个单位长度得到点N，再将点N向左移动7个单位长度得到点P，则点P对应的数是（ ）
A．﹣4 B．4 C．1 D．9
12．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一点D同时满足以下三个条件：①在直角边BC上；②在∠CAB的角平分线上；③在斜边AB的垂直平分线上，那么∠B为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
13．（2分）如图，在△ABC中，点P是△ABC的外角∠DBC、∠BCE的平分线的交点，若∠BPC＝70°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．55° D．60°
14．（2分）在九年级的一次考试中某道单选题的作答情况如图所示，由统计图可得选B的人数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
15．（2分）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
16．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，以点D为圆心，CD长为半径作，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作直线CE，F为菱形内部直线CE上一点，连接AF，DF，AC．若∠AFD＝90°，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共3小题，满分12分，每小题4分）
17．（4分）如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片4张，边长分别为a、b的矩形卡片12张，边长为b的正方形卡片9张．用这25张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ．
18．（4分）如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上．比较大小，∠A+∠C ∠1+∠2．
19．（4分）如图，直线l与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第二象限交于B、C两点，与x轴交于点A，连接OC，∠ACO的角平分线交x轴于点D．若AB：BC：CO＝1：2：2，△COD的面积为6，则k的值为 ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
20．（8分）太阳是炽热巨大的气体星球，正以每秒约400万吨的速度失去质量．太阳的直径约为140万千米，而地球的半径约为6378千米．请将上述三个数据用科学记数法表示，然后计算一年内太阳要失去多少万吨质量（一年按365天计算）．
21．（9分）已知某公司采购A，B两种不同洗手液共138瓶，设采购了A种洗手液x瓶
（1）嘉嘉说：“买到的B种洗手液的瓶数是A种的三倍．”琪琪由此列出方程：x+3x＝138，请用列出的方程判断嘉嘉的说法是否正确；
（2）采购人员说：“B种洗手液比A种至少多32瓶．”请通过列不等式的方法说明A种洗手液最多有几瓶．
22．（9分）甲口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2，3；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字4，5，6．从两个口袋中各随机取出1个小球．
（Ⅰ）采用树状图法（或列表法）列出所有可能的结果；
（Ⅱ）求取出的两个小球标号都是奇数的概率．
23．（9分）青岛胶东机场即将投入使用，为测量该机场东西两建筑物A、B的距离．如图，勘测无人机在点C处，测得建筑物A的俯角为50°，CA的距离为2千米，然后沿着平行于AB的方向飞行6.4千米到点D，测得建筑物B的俯角为37°，求该机场东西两建筑物AB的距离．（结果精确到0.1千米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）
24．（9分）如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，求劣弧的长度．
25．（10分）已知，直线y＝kx﹣1与抛物线y＝交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）当k＝时，求A，B两点的坐标；
（2）点P是直线AB下方的抛物线上一点，点Q在y轴上，且四边形APBQ是平行四边形．
①如图1，在（1）的条件下，求▱APBQ的面积；
②当k变化时，Q点是否是y轴上的一个定点？若是，请求出点Q的坐标，若不是，请说明理由．
26．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′．
（1）如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；
（2）如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；
（3）如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．
2022河北中考数学模拟自测卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题，满分42分）
1．（3分）如图，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线a平行的，只能是一条，
即与直线a相交的直线至少有3条，
故选：C．
2．（3分）下列计算结果一定正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．m3+m2＝m5
C．﹣（m+1）＝﹣m+1 D．（m2+1）0＝1
解：A、m2•m3＝m5，故A不符合题意；
B、m3与m2不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、﹣（m+1）＝﹣m﹣1，故C不符合题意；
D、（m2+1）0＝1，故D符合题意；
故选：D．
3．（3分）若m＜n，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．m﹣1＜n﹣1 B．3m＜3n C．﹣＞﹣ D．m2＜n2
解：A．∵m＜n，
∴m﹣1＜n﹣1，故本选项不符合题意；
B．∵m＜n，
∴3m＜3n，故本选项不符合题意；
C．∵m＜n，
∴﹣＞﹣，故本选项不符合题意；
D．当m＝﹣2，n＝1时，符合m＜n，
此时m2＞n2，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）的相反数是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．﹣9
解：，
3的相反数是﹣3，
故选：A．
5．（3分）把（﹣9）﹣（+6）+（﹣1）﹣（﹣2）写成省略括号的和的形式是（ ）
A．﹣9+6+1﹣2 B．﹣9﹣6﹣1+2 C．﹣9﹣6+1﹣2 D．﹣9﹣6+1+2
解：（﹣9）﹣（+6）+（﹣1）﹣（﹣2）＝﹣9﹣6﹣1+2；
故选：B．
6．（3分）有一个正六面体骰子放在桌面上，将骰子如图所示顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2020次后，骰子朝下一面的数字是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
解：观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，
∵2020÷4＝505，
∴滚动第2020次后与第一个相同，
∴朝下的数字是3的对面4，
故选：B．
7．（3分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（ ）
A．DE＝BF B．AE＝CF C．∠ADE＝∠CBF D．∠AED＝∠CFB
解：A、由DE＝BF，不能推出四边形DEBF是平行四边形，有可能是等腰梯形，故选项A符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，AB＝CD，
∵AE＝CF，
∴DF＝EB，
∴四边形DEBF是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝CF，
∴DF＝EB，
∴四边形DEBF是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，
∴∠CFB＝∠ABF，
∵∠AED＝∠CFB，
∴∠ABF＝∠AED，
∴DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：A．
8．（3分）如图，小芳在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离BE＝20米，镜子与小芳的距离ED＝2米时，小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端A，已知小芳的眼睛距地面的高度CD＝1.5米，铁塔AB的高度为（ ）（根据光的反射原理，∠1＝∠2）
A．18m B．15m C．20m D．16m
解：由镜面对称可知：△CDE∽△ABE，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝15米．
故选：B．
9．（3分）计算：（）2＝（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
解：原式＝22＝4．
故选：B．
10．（3分）如图，六边形ABCDEF是正六边形，点P是边AF的中点，PC，PD分别与BE交于点M，N，则S△PBM：S四边形MCDN的值为（ ）
A． B． C． D．
解：设正六边形的边长为a．则S△PCD＝2×a2＝a2，S四边形BCDE＝3×a2＝a2，
由题意MN是△PCD的中位线，
∴S△PMN＝S△PCD＝a2，
∴S四边形MNDC＝a2﹣a2＝a2，
∴S△BMC＝S△DNE＝（a2﹣a2）＝a2，
∵PM＝CM，
∴S△PBM＝S△BMC＝a2，
∴S△PBM：S四边形MCDN＝a2：a2＝1：2，
故选：A．
11．（2分）M为数轴上表示5的点，将点M沿数轴向右移动3个单位长度得到点N，再将点N向左移动7个单位长度得到点P，则点P对应的数是（ ）
A．﹣4 B．4 C．1 D．9
解：由数轴上点的平移规律“左减右加”可得，
5+3﹣7＝1，
故选：C．
12．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一点D同时满足以下三个条件：①在直角边BC上；②在∠CAB的角平分线上；③在斜边AB的垂直平分线上，那么∠B为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
解：∵D在直角边AB的垂直平分线上，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B，
∵D在∠CAB的角平分线上，
∴∠DAB＝∠DAC，
∴∠CAD＝∠DAB＝∠B＝30°，
故选：B．
13．（2分）如图，在△ABC中，点P是△ABC的外角∠DBC、∠BCE的平分线的交点，若∠BPC＝70°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．55° D．60°
解：∵点P是△ABC的外角∠DBC、∠BCE的平分线的交点，
∴∠ECB＝2∠PCB，∠DBC＝2∠PBC；
∵∠ECB+∠ACB＝180°，∠DBC+∠ABC＝180°，
∴2∠PCB+2∠PBC+∠ACB+∠ABC＝360°，
即2（∠PCB+∠PBC）+∠ACB+∠ABC＝360°；
由三角形的内角和定理知：∠PCB+∠PBC＝180°﹣∠BPC＝180°﹣70°＝110°，∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠BAC，
∴2×110°+180°﹣∠BAC＝360°，
解得∠BAC＝40°，
故选：A．
14．（2分）在九年级的一次考试中某道单选题的作答情况如图所示，由统计图可得选B的人数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：根据题意得：
×8%＝4（人），
答：选B的人数是4人；
故选：C．
15．（2分）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
解：原式＝，
故选：D．
16．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，以点D为圆心，CD长为半径作，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作直线CE，F为菱形内部直线CE上一点，连接AF，DF，AC．若∠AFD＝90°，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
解：连接AC，CE交AD于H，如图，
在菱形ABCD中，∵∠B＝60°，AB＝2，
∴∠ADC＝60°，DA＝DC，
∴△ADC为等边三角形，
∴CA＝CD，
由作法得EA＝ED，
∴CE垂直平分AD，
∵∠AFD＝90°，
∴△ADF为等腰直角三角形，
∴HF＝DH＝AH＝1，
∴DH＝AH＝1，
∴阴影部分的面积＝S扇形ADC﹣S△CDH﹣S△AHF
＝﹣×1×﹣×1×1＝π﹣．
故选：A．
二．填空题（共3小题，满分12分，每小题4分）
17．（4分）如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片4张，边长分别为a、b的矩形卡片12张，边长为b的正方形卡片9张．用这25张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 2a+3b ．
解：由题可知，25张卡片总面积为4a2+12ab+9b2，
∵4a2+6ab+9b2＝（2a+3b）2，
∴这个正方形边长为2a+3b．
故答案为：2a+3b．
18．（4分）如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上．比较大小，∠A+∠C ＝ ∠1+∠2．
解：∵∠B+∠A+∠C＝180°，∠1+∠2+∠B＝180°，
∴∠A+∠C＝180°﹣∠B，∠1+∠2＝180°﹣∠B，
∴∠A+∠C＝∠1+∠2，
故答案为：＝．
19．（4分）如图，直线l与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第二象限交于B、C两点，与x轴交于点A，连接OC，∠ACO的角平分线交x轴于点D．若AB：BC：CO＝1：2：2，△COD的面积为6，则k的值为 ﹣ ．
解：∵AB：BC：CO＝1：2：2，
∴设AB＝x，BC＝CO＝2x，
如图1，过D作DE∥l，交OC于E，
∴∠ACD＝∠CDE，
∵CD平分∠ACO，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴DE＝CE，
设DE＝a，则CE＝a，OE＝2x﹣a，
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴，即，
∴x（6x﹣5a）＝0，
∵x≠0，
∴6x﹣5a＝0，a＝x，
∵＝，
∴＝，
∵△COD的面积为6，
∴△AOC的面积为15，
如图2，过B作BG⊥x轴于G，过C作CH⊥x轴于H，
∴BG∥CH，
∴△ABG∽△ACH，
∴，
∵AB：BC＝1：2，
∴，
设BG＝b，CH＝3b，
∵直线l与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第二象限交于B、C两点，
∴B（，b），C（，3b），
∴GH＝＝﹣，
∵，
∴AG＝GH＝﹣，
∴OA＝AG+OG＝﹣＝﹣，
∵S△ACO＝，
，
k＝﹣，
故答案为：﹣．
三．解答题（共7小题，满分66分）
20．（8分）太阳是炽热巨大的气体星球，正以每秒约400万吨的速度失去质量．太阳的直径约为140万千米，而地球的半径约为6378千米．请将上述三个数据用科学记数法表示，然后计算一年内太阳要失去多少万吨质量（一年按365天计算）．
解：400万＝4.00×106，
140万＝1.40×106，6378＝6.378×103．
一年内太阳失去的质量为400×365×24×3600＝1.26144×1010（万吨）．
所以一年内太阳要失去约1.26144×1010万吨质量．
21．（9分）已知某公司采购A，B两种不同洗手液共138瓶，设采购了A种洗手液x瓶
（1）嘉嘉说：“买到的B种洗手液的瓶数是A种的三倍．”琪琪由此列出方程：x+3x＝138，请用列出的方程判断嘉嘉的说法是否正确；
（2）采购人员说：“B种洗手液比A种至少多32瓶．”请通过列不等式的方法说明A种洗手液最多有几瓶．
解：（1）∵x+3x＝138，
∴4x＝138，
解得x＝34.5，
∵x为是整数，
∴嘉嘉的说法不正确；
（2）设采购了A种洗手液x瓶，则采购了B种洗手液（138﹣x）瓶，
∵B种洗手液比A种至少多32瓶，
∴（138﹣x）﹣x≥32，
解得x≤53，
答：A种洗手液最多有53瓶．
22．（9分）甲口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2，3；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字4，5，6．从两个口袋中各随机取出1个小球．
（Ⅰ）采用树状图法（或列表法）列出所有可能的结果；
（Ⅱ）求取出的两个小球标号都是奇数的概率．
解：（Ⅰ）画树状图如下：
所有可能的结果有9种；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：共有9种等可能的结果，取出的两个小球标号都是奇数的结果有2种，
∴取出的两个小球标号都是奇数的概率为．
23．（9分）青岛胶东机场即将投入使用，为测量该机场东西两建筑物A、B的距离．如图，勘测无人机在点C处，测得建筑物A的俯角为50°，CA的距离为2千米，然后沿着平行于AB的方向飞行6.4千米到点D，测得建筑物B的俯角为37°，求该机场东西两建筑物AB的距离．（结果精确到0.1千米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）
解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFB＝∠ABF＝90°，
在Rt△AEC中，∠C＝50°，sin∠ECA＝，sin50°≈0.77．
∴AE≈0.77×2＝1.54（千米），CE＝AC•cos50°≈2×0.64＝1.28（千米），
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠EFB＝∠EAB＝90°，
∴四边形AEFB是矩形．
∴AE＝BF＝1.54千米，EF＝AB，
在Rt△DFB中，tan∠FDB＝，0.75＝，
解得：DF≈2.1（千米），
∴EF＝CD+DF﹣CE＝6.4+2.1﹣1.28≈7.2（千米），
∴AB＝EF＝7.2（千米），
答：该机场东西两建筑物AB的距离约为7.2千米．
24．（9分）如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，求劣弧的长度．
解：∵⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，
∴OM⊥AB，ON⊥AC，∠A＝（5﹣2）×180÷5＝108°，
∴∠AMO＝∠ANO＝90°，
∴∠MON＝180°﹣∠A＝72°，
∵⊙O的半径为2，
∴劣弧的长度为：＝π．
25．（10分）已知，直线y＝kx﹣1与抛物线y＝交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）当k＝时，求A，B两点的坐标；
（2）点P是直线AB下方的抛物线上一点，点Q在y轴上，且四边形APBQ是平行四边形．
①如图1，在（1）的条件下，求▱APBQ的面积；
②当k变化时，Q点是否是y轴上的一个定点？若是，请求出点Q的坐标，若不是，请说明理由．
（1）当k＝时，直线的解析式为y＝x﹣1，
∵直线y＝x﹣1与抛物线y＝交于A，B两点，
∴，
解得：，，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣，﹣），B（2，）；
（2）①∵点Q在y轴上，
∴设Q（0，m），
∵四边形APBQ是平行四边形，点Q（0，m）向左平移个单位，再向下平移m﹣（﹣）＝（m+）个单位得到A（﹣，﹣），
∴点B（2，）向左平移个单位，再向下平移m﹣（﹣）＝（m+）个单位得到P（2﹣，﹣m﹣），即P（，﹣m﹣），
把P（，﹣m﹣）代入y＝得：﹣m﹣＝×﹣，
解得：m＝﹣，
∴Q（0，﹣），P（，﹣），
如图1，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥AC于点D，过点P作PE⊥AD于点E，则C（0，），E（，﹣），D（2，﹣），
∴S▱ABPQ＝S△ACQ+S梯形CQBD﹣S△APE﹣S梯形EPBD
＝•AC•CQ+（CQ+BD）•CD﹣•AE•PE﹣•（PE+BD）•DE
＝××+×（+）×2﹣×2×1﹣×（1+）×
＝；
②点Q是y轴上的一个定点，
把y＝kx﹣1代入y＝得：kx﹣1＝，
整理得：x2﹣2kx﹣1＝0，
设关于x的方程x2﹣2kx﹣1＝0的两个实数根为x1、x2（x1＜0＜x2），则x1+x2＝2k，x1x2＝﹣1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（0，m），则y1＝x12﹣，y2＝x22﹣，
当k＞0时，如图2，
∵四边形APBQ是平行四边形，点Q（0，m）向左平移﹣x1个单位，再向下平移（m﹣y1）个单位得到A（x1，y1），
∴点B（x2，y2）向左平移﹣x1个单位，再向下平移（m﹣y1）个单位得到P（x1+x2，y2﹣m+y1），
把P（x1+x2，y2﹣m+y1）代入y＝得：y2﹣m+y1＝（x1+x2）2﹣，
∴x22﹣﹣m+x12﹣＝（x1+x2）2﹣，
∴﹣﹣m＝x1x2，
∴﹣﹣m＝﹣1，
∴m＝﹣，
∴Q（0，﹣）；
当k＜0时，如图3，
∵四边形APBQ是平行四边形，点Q（0，m）向左平移x2个单位，再向下平移（m﹣y2）个单位得到B（x2，y2），
∴点A（x1，y1）向左平移x2个单位，再向下平移（m﹣y2）个单位得到P（x1+x2，y1﹣m+y2），
把P（x1+x2，y1﹣m+y2）代入y＝得：y1﹣m+y2＝（x1+x2）2﹣，
∴x12﹣﹣m+x22﹣＝（x1+x2）2﹣，
∴﹣﹣m＝x1x2，
∴﹣﹣m＝﹣1，
∴m＝﹣，
∴Q（0，﹣），
综上所述，点Q是y轴上的一个定点，Q（0，﹣）．
26．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′．
（1）如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；
（2）如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；
（3）如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝4，
∵∠ACB＝90°，△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，点A′落在AC的延长线上，
∴∠A'CB＝90°，A'B＝AB＝5，
Rt△A'BC中，A'C＝＝4，
∴AA'＝AC+A'C＝8；
（2）过C作CE∥A'B交AB于E，过C作CD⊥AB于D，如图：
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴∠A'BC＝∠ABC，BC'＝BC＝3，
∵CE∥A'B，
∴∠A'BC'＝∠CEB，
∴∠CEB＝∠ABC，
∴CE＝BC＝3，
Rt△ABC中，S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，AC＝4，BC＝3，AB＝5，
∴CD＝＝，
Rt△CED中，DE＝＝＝，
同理BD＝，
∴BE＝DE+BD＝，C'E＝BC'+BE＝3+＝，
∵CE∥A'B，
∴＝，
∴＝，
∴BM＝；
（3）DE存在最小值1，理由如下：
过A作AP∥A'C'交C'D延长线于P，连接A'C，如图：
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴BC＝BC'，∠ACB＝∠A'C'B＝90°，AC＝A'C'，
∴∠BCC'＝∠BC'C，
而∠ACP＝180°﹣∠ACB﹣∠BCC'＝90°﹣∠BCC'，
∠A'C'D＝∠A'C'B﹣∠BC'C＝90°﹣∠BC'C，
∴∠ACP＝∠A'C'D，
∵AP∥A'C'，
∴∠P＝∠A'C'D，
∴∠P＝∠ACP，
∴AP＝AC，
∴AP＝A'C'，
在△APD和△A'C'D中，
，
∴△APD≌△A'C'D（AAS），
∴AD＝A'D，即D是AA'中点，
∵点E为AC的中点，
∴DE是△AA'C的中位线，
∴DE＝A'C，
要使DE最小，只需A'C最小，此时A'、C、B共线，A'C的最小值为A'B﹣BC＝AB﹣BC＝2，
∴DE最小为A'C＝1．
2022河北中考数学模拟自测卷1
一．选择题（共16小题，满分42分）
1．（3分）如图，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．（3分）下列计算结果一定正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．m3+m2＝m5
C．﹣（m+1）＝﹣m+1 D．（m2+1）0＝1
3．（3分）若m＜n，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．m﹣1＜n﹣1 B．3m＜3n C．﹣＞﹣ D．m2＜n2
4．（3分）的相反数是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．﹣9
5．（3分）把（﹣9）﹣（+6）+（﹣1）﹣（﹣2）写成省略括号的和的形式是（ ）
A．﹣9+6+1﹣2 B．﹣9﹣6﹣1+2 C．﹣9﹣6+1﹣2 D．﹣9﹣6+1+2
6．（3分）有一个正六面体骰子放在桌面上，将骰子如图所示顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2020次后，骰子朝下一面的数字是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．（3分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（ ）
A．DE＝BF B．AE＝CF C．∠ADE＝∠CBF D．∠AED＝∠CFB
8．（3分）如图，小芳在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离BE＝20米，镜子与小芳的距离ED＝2米时，小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端A，已知小芳的眼睛距地面的高度CD＝1.5米，铁塔AB的高度为（ ）（根据光的反射原理，∠1＝∠2）
A．18m B．15m C．20m D．16m
9．（3分）计算：（）2＝（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
10．（3分）如图，六边形ABCDEF是正六边形，点P是边AF的中点，PC，PD分别与BE交于点M，N，则S△PBM：S四边形MCDN的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2分）M为数轴上表示5的点，将点M沿数轴向右移动3个单位长度得到点N，再将点N向左移动7个单位长度得到点P，则点P对应的数是（ ）
A．﹣4 B．4 C．1 D．9
12．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一点D同时满足以下三个条件：①在直角边BC上；②在∠CAB的角平分线上；③在斜边AB的垂直平分线上，那么∠B为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
13．（2分）如图，在△ABC中，点P是△ABC的外角∠DBC、∠BCE的平分线的交点，若∠BPC＝70°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．55° D．60°
14．（2分）在九年级的一次考试中某道单选题的作答情况如图所示，由统计图可得选B的人数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
15．（2分）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
16．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，以点D为圆心，CD长为半径作，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作直线CE，F为菱形内部直线CE上一点，连接AF，DF，AC．若∠AFD＝90°，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共3小题，满分12分，每小题4分）
17．（4分）如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片4张，边长分别为a、b的矩形卡片12张，边长为b的正方形卡片9张．用这25张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ．
18．（4分）如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上．比较大小，∠A+∠C ∠1+∠2．
19．（4分）如图，直线l与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第二象限交于B、C两点，与x轴交于点A，连接OC，∠ACO的角平分线交x轴于点D．若AB：BC：CO＝1：2：2，△COD的面积为6，则k的值为 ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
20．（8分）太阳是炽热巨大的气体星球，正以每秒约400万吨的速度失去质量．太阳的直径约为140万千米，而地球的半径约为6378千米．请将上述三个数据用科学记数法表示，然后计算一年内太阳要失去多少万吨质量（一年按365天计算）．
21．（9分）已知某公司采购A，B两种不同洗手液共138瓶，设采购了A种洗手液x瓶
（1）嘉嘉说：“买到的B种洗手液的瓶数是A种的三倍．”琪琪由此列出方程：x+3x＝138，请用列出的方程判断嘉嘉的说法是否正确；
（2）采购人员说：“B种洗手液比A种至少多32瓶．”请通过列不等式的方法说明A种洗手液最多有几瓶．
22．（9分）甲口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2，3；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字4，5，6．从两个口袋中各随机取出1个小球．
（Ⅰ）采用树状图法（或列表法）列出所有可能的结果；
（Ⅱ）求取出的两个小球标号都是奇数的概率．
23．（9分）青岛胶东机场即将投入使用，为测量该机场东西两建筑物A、B的距离．如图，勘测无人机在点C处，测得建筑物A的俯角为50°，CA的距离为2千米，然后沿着平行于AB的方向飞行6.4千米到点D，测得建筑物B的俯角为37°，求该机场东西两建筑物AB的距离．（结果精确到0.1千米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）
24．（9分）如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，求劣弧的长度．
25．（10分）已知，直线y＝kx﹣1与抛物线y＝交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）当k＝时，求A，B两点的坐标；
（2）点P是直线AB下方的抛物线上一点，点Q在y轴上，且四边形APBQ是平行四边形．
①如图1，在（1）的条件下，求▱APBQ的面积；
②当k变化时，Q点是否是y轴上的一个定点？若是，请求出点Q的坐标，若不是，请说明理由．
26．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′．
（1）如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；
（2）如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；
（3）如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．
2022河北中考数学模拟自测卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题，满分42分）
1．（3分）如图，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线a平行的，只能是一条，
即与直线a相交的直线至少有3条，
故选：C．
2．（3分）下列计算结果一定正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．m3+m2＝m5
C．﹣（m+1）＝﹣m+1 D．（m2+1）0＝1
解：A、m2•m3＝m5，故A不符合题意；
B、m3与m2不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、﹣（m+1）＝﹣m﹣1，故C不符合题意；
D、（m2+1）0＝1，故D符合题意；
故选：D．
3．（3分）若m＜n，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．m﹣1＜n﹣1 B．3m＜3n C．﹣＞﹣ D．m2＜n2
解：A．∵m＜n，
∴m﹣1＜n﹣1，故本选项不符合题意；
B．∵m＜n，
∴3m＜3n，故本选项不符合题意；
C．∵m＜n，
∴﹣＞﹣，故本选项不符合题意；
D．当m＝﹣2，n＝1时，符合m＜n，
此时m2＞n2，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）的相反数是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．﹣9
解：，
3的相反数是﹣3，
故选：A．
5．（3分）把（﹣9）﹣（+6）+（﹣1）﹣（﹣2）写成省略括号的和的形式是（ ）
A．﹣9+6+1﹣2 B．﹣9﹣6﹣1+2 C．﹣9﹣6+1﹣2 D．﹣9﹣6+1+2
解：（﹣9）﹣（+6）+（﹣1）﹣（﹣2）＝﹣9﹣6﹣1+2；
故选：B．
6．（3分）有一个正六面体骰子放在桌面上，将骰子如图所示顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2020次后，骰子朝下一面的数字是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
解：观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，
∵2020÷4＝505，
∴滚动第2020次后与第一个相同，
∴朝下的数字是3的对面4，
故选：B．
7．（3分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（ ）
A．DE＝BF B．AE＝CF C．∠ADE＝∠CBF D．∠AED＝∠CFB
解：A、由DE＝BF，不能推出四边形DEBF是平行四边形，有可能是等腰梯形，故选项A符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，AB＝CD，
∵AE＝CF，
∴DF＝EB，
∴四边形DEBF是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝CF，
∴DF＝EB，
∴四边形DEBF是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，
∴∠CFB＝∠ABF，
∵∠AED＝∠CFB，
∴∠ABF＝∠AED，
∴DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：A．
8．（3分）如图，小芳在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离BE＝20米，镜子与小芳的距离ED＝2米时，小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端A，已知小芳的眼睛距地面的高度CD＝1.5米，铁塔AB的高度为（ ）（根据光的反射原理，∠1＝∠2）
A．18m B．15m C．20m D．16m
解：由镜面对称可知：△CDE∽△ABE，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝15米．
故选：B．
9．（3分）计算：（）2＝（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
解：原式＝22＝4．
故选：B．
10．（3分）如图，六边形ABCDEF是正六边形，点P是边AF的中点，PC，PD分别与BE交于点M，N，则S△PBM：S四边形MCDN的值为（ ）
A． B． C． D．
解：设正六边形的边长为a．则S△PCD＝2×a2＝a2，S四边形BCDE＝3×a2＝a2，
由题意MN是△PCD的中位线，
∴S△PMN＝S△PCD＝a2，
∴S四边形MNDC＝a2﹣a2＝a2，
∴S△BMC＝S△DNE＝（a2﹣a2）＝a2，
∵PM＝CM，
∴S△PBM＝S△BMC＝a2，
∴S△PBM：S四边形MCDN＝a2：a2＝1：2，
故选：A．
11．（2分）M为数轴上表示5的点，将点M沿数轴向右移动3个单位长度得到点N，再将点N向左移动7个单位长度得到点P，则点P对应的数是（ ）
A．﹣4 B．4 C．1 D．9
解：由数轴上点的平移规律“左减右加”可得，
5+3﹣7＝1，
故选：C．
12．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一点D同时满足以下三个条件：①在直角边BC上；②在∠CAB的角平分线上；③在斜边AB的垂直平分线上，那么∠B为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
解：∵D在直角边AB的垂直平分线上，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B，
∵D在∠CAB的角平分线上，
∴∠DAB＝∠DAC，
∴∠CAD＝∠DAB＝∠B＝30°，
故选：B．
13．（2分）如图，在△ABC中，点P是△ABC的外角∠DBC、∠BCE的平分线的交点，若∠BPC＝70°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．55° D．60°
解：∵点P是△ABC的外角∠DBC、∠BCE的平分线的交点，
∴∠ECB＝2∠PCB，∠DBC＝2∠PBC；
∵∠ECB+∠ACB＝180°，∠DBC+∠ABC＝180°，
∴2∠PCB+2∠PBC+∠ACB+∠ABC＝360°，
即2（∠PCB+∠PBC）+∠ACB+∠ABC＝360°；
由三角形的内角和定理知：∠PCB+∠PBC＝180°﹣∠BPC＝180°﹣70°＝110°，∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠BAC，
∴2×110°+180°﹣∠BAC＝360°，
解得∠BAC＝40°，
故选：A．
14．（2分）在九年级的一次考试中某道单选题的作答情况如图所示，由统计图可得选B的人数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：根据题意得：
×8%＝4（人），
答：选B的人数是4人；
故选：C．
15．（2分）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
解：原式＝，
故选：D．
16．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，以点D为圆心，CD长为半径作，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作直线CE，F为菱形内部直线CE上一点，连接AF，DF，AC．若∠AFD＝90°，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
解：连接AC，CE交AD于H，如图，
在菱形ABCD中，∵∠B＝60°，AB＝2，
∴∠ADC＝60°，DA＝DC，
∴△ADC为等边三角形，
∴CA＝CD，
由作法得EA＝ED，
∴CE垂直平分AD，
∵∠AFD＝90°，
∴△ADF为等腰直角三角形，
∴HF＝DH＝AH＝1，
∴DH＝AH＝1，
∴阴影部分的面积＝S扇形ADC﹣S△CDH﹣S△AHF
＝﹣×1×﹣×1×1＝π﹣．
故选：A．
二．填空题（共3小题，满分12分，每小题4分）
17．（4分）如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片4张，边长分别为a、b的矩形卡片12张，边长为b的正方形卡片9张．用这25张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 2a+3b ．
解：由题可知，25张卡片总面积为4a2+12ab+9b2，
∵4a2+6ab+9b2＝（2a+3b）2，
∴这个正方形边长为2a+3b．
故答案为：2a+3b．
18．（4分）如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上．比较大小，∠A+∠C ＝ ∠1+∠2．
解：∵∠B+∠A+∠C＝180°，∠1+∠2+∠B＝180°，
∴∠A+∠C＝180°﹣∠B，∠1+∠2＝180°﹣∠B，
∴∠A+∠C＝∠1+∠2，
故答案为：＝．
19．（4分）如图，直线l与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第二象限交于B、C两点，与x轴交于点A，连接OC，∠ACO的角平分线交x轴于点D．若AB：BC：CO＝1：2：2，△COD的面积为6，则k的值为 ﹣ ．
解：∵AB：BC：CO＝1：2：2，
∴设AB＝x，BC＝CO＝2x，
如图1，过D作DE∥l，交OC于E，
∴∠ACD＝∠CDE，
∵CD平分∠ACO，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴DE＝CE，
设DE＝a，则CE＝a，OE＝2x﹣a，
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴，即，
∴x（6x﹣5a）＝0，
∵x≠0，
∴6x﹣5a＝0，a＝x，
∵＝，
∴＝，
∵△COD的面积为6，
∴△AOC的面积为15，
如图2，过B作BG⊥x轴于G，过C作CH⊥x轴于H，
∴BG∥CH，
∴△ABG∽△ACH，
∴，
∵AB：BC＝1：2，
∴，
设BG＝b，CH＝3b，
∵直线l与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第二象限交于B、C两点，
∴B（，b），C（，3b），
∴GH＝＝﹣，
∵，
∴AG＝GH＝﹣，
∴OA＝AG+OG＝﹣＝﹣，
∵S△ACO＝，
，
k＝﹣，
故答案为：﹣．
三．解答题（共7小题，满分66分）
20．（8分）太阳是炽热巨大的气体星球，正以每秒约400万吨的速度失去质量．太阳的直径约为140万千米，而地球的半径约为6378千米．请将上述三个数据用科学记数法表示，然后计算一年内太阳要失去多少万吨质量（一年按365天计算）．
解：400万＝4.00×106，
140万＝1.40×106，6378＝6.378×103．
一年内太阳失去的质量为400×365×24×3600＝1.26144×1010（万吨）．
所以一年内太阳要失去约1.26144×1010万吨质量．
21．（9分）已知某公司采购A，B两种不同洗手液共138瓶，设采购了A种洗手液x瓶
（1）嘉嘉说：“买到的B种洗手液的瓶数是A种的三倍．”琪琪由此列出方程：x+3x＝138，请用列出的方程判断嘉嘉的说法是否正确；
（2）采购人员说：“B种洗手液比A种至少多32瓶．”请通过列不等式的方法说明A种洗手液最多有几瓶．
解：（1）∵x+3x＝138，
∴4x＝138，
解得x＝34.5，
∵x为是整数，
∴嘉嘉的说法不正确；
（2）设采购了A种洗手液x瓶，则采购了B种洗手液（138﹣x）瓶，
∵B种洗手液比A种至少多32瓶，
∴（138﹣x）﹣x≥32，
解得x≤53，
答：A种洗手液最多有53瓶．
22．（9分）甲口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2，3；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字4，5，6．从两个口袋中各随机取出1个小球．
（Ⅰ）采用树状图法（或列表法）列出所有可能的结果；
（Ⅱ）求取出的两个小球标号都是奇数的概率．
解：（Ⅰ）画树状图如下：
所有可能的结果有9种；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：共有9种等可能的结果，取出的两个小球标号都是奇数的结果有2种，
∴取出的两个小球标号都是奇数的概率为．
23．（9分）青岛胶东机场即将投入使用，为测量该机场东西两建筑物A、B的距离．如图，勘测无人机在点C处，测得建筑物A的俯角为50°，CA的距离为2千米，然后沿着平行于AB的方向飞行6.4千米到点D，测得建筑物B的俯角为37°，求该机场东西两建筑物AB的距离．（结果精确到0.1千米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）
解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFB＝∠ABF＝90°，
在Rt△AEC中，∠C＝50°，sin∠ECA＝，sin50°≈0.77．
∴AE≈0.77×2＝1.54（千米），CE＝AC•cos50°≈2×0.64＝1.28（千米），
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠EFB＝∠EAB＝90°，
∴四边形AEFB是矩形．
∴AE＝BF＝1.54千米，EF＝AB，
在Rt△DFB中，tan∠FDB＝，0.75＝，
解得：DF≈2.1（千米），
∴EF＝CD+DF﹣CE＝6.4+2.1﹣1.28≈7.2（千米），
∴AB＝EF＝7.2（千米），
答：该机场东西两建筑物AB的距离约为7.2千米．
24．（9分）如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，求劣弧的长度．
解：∵⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，
∴OM⊥AB，ON⊥AC，∠A＝（5﹣2）×180÷5＝108°，
∴∠AMO＝∠ANO＝90°，
∴∠MON＝180°﹣∠A＝72°，
∵⊙O的半径为2，
∴劣弧的长度为：＝π．
25．（10分）已知，直线y＝kx﹣1与抛物线y＝交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）当k＝时，求A，B两点的坐标；
（2）点P是直线AB下方的抛物线上一点，点Q在y轴上，且四边形APBQ是平行四边形．
①如图1，在（1）的条件下，求▱APBQ的面积；
②当k变化时，Q点是否是y轴上的一个定点？若是，请求出点Q的坐标，若不是，请说明理由．
（1）当k＝时，直线的解析式为y＝x﹣1，
∵直线y＝x﹣1与抛物线y＝交于A，B两点，
∴，
解得：，，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣，﹣），B（2，）；
（2）①∵点Q在y轴上，
∴设Q（0，m），
∵四边形APBQ是平行四边形，点Q（0，m）向左平移个单位，再向下平移m﹣（﹣）＝（m+）个单位得到A（﹣，﹣），
∴点B（2，）向左平移个单位，再向下平移m﹣（﹣）＝（m+）个单位得到P（2﹣，﹣m﹣），即P（，﹣m﹣），
把P（，﹣m﹣）代入y＝得：﹣m﹣＝×﹣，
解得：m＝﹣，
∴Q（0，﹣），P（，﹣），
如图1，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥AC于点D，过点P作PE⊥AD于点E，则C（0，），E（，﹣），D（2，﹣），
∴S▱ABPQ＝S△ACQ+S梯形CQBD﹣S△APE﹣S梯形EPBD
＝•AC•CQ+（CQ+BD）•CD﹣•AE•PE﹣•（PE+BD）•DE
＝××+×（+）×2﹣×2×1﹣×（1+）×
＝；
②点Q是y轴上的一个定点，
把y＝kx﹣1代入y＝得：kx﹣1＝，
整理得：x2﹣2kx﹣1＝0，
设关于x的方程x2﹣2kx﹣1＝0的两个实数根为x1、x2（x1＜0＜x2），则x1+x2＝2k，x1x2＝﹣1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（0，m），则y1＝x12﹣，y2＝x22﹣，
当k＞0时，如图2，
∵四边形APBQ是平行四边形，点Q（0，m）向左平移﹣x1个单位，再向下平移（m﹣y1）个单位得到A（x1，y1），
∴点B（x2，y2）向左平移﹣x1个单位，再向下平移（m﹣y1）个单位得到P（x1+x2，y2﹣m+y1），
把P（x1+x2，y2﹣m+y1）代入y＝得：y2﹣m+y1＝（x1+x2）2﹣，
∴x22﹣﹣m+x12﹣＝（x1+x2）2﹣，
∴﹣﹣m＝x1x2，
∴﹣﹣m＝﹣1，
∴m＝﹣，
∴Q（0，﹣）；
当k＜0时，如图3，
∵四边形APBQ是平行四边形，点Q（0，m）向左平移x2个单位，再向下平移（m﹣y2）个单位得到B（x2，y2），
∴点A（x1，y1）向左平移x2个单位，再向下平移（m﹣y2）个单位得到P（x1+x2，y1﹣m+y2），
把P（x1+x2，y1﹣m+y2）代入y＝得：y1﹣m+y2＝（x1+x2）2﹣，
∴x12﹣﹣m+x22﹣＝（x1+x2）2﹣，
∴﹣﹣m＝x1x2，
∴﹣﹣m＝﹣1，
∴m＝﹣，
∴Q（0，﹣），
综上所述，点Q是y轴上的一个定点，Q（0，﹣）．
26．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′．
（1）如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；
（2）如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；
（3）如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝4，
∵∠ACB＝90°，△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，点A′落在AC的延长线上，
∴∠A'CB＝90°，A'B＝AB＝5，
Rt△A'BC中，A'C＝＝4，
∴AA'＝AC+A'C＝8；
（2）过C作CE∥A'B交AB于E，过C作CD⊥AB于D，如图：
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴∠A'BC＝∠ABC，BC'＝BC＝3，
∵CE∥A'B，
∴∠A'BC'＝∠CEB，
∴∠CEB＝∠ABC，
∴CE＝BC＝3，
Rt△ABC中，S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，AC＝4，BC＝3，AB＝5，
∴CD＝＝，
Rt△CED中，DE＝＝＝，
同理BD＝，
∴BE＝DE+BD＝，C'E＝BC'+BE＝3+＝，
∵CE∥A'B，
∴＝，
∴＝，
∴BM＝；
（3）DE存在最小值1，理由如下：
过A作AP∥A'C'交C'D延长线于P，连接A'C，如图：
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴BC＝BC'，∠ACB＝∠A'C'B＝90°，AC＝A'C'，
∴∠BCC'＝∠BC'C，
而∠ACP＝180°﹣∠ACB﹣∠BCC'＝90°﹣∠BCC'，
∠A'C'D＝∠A'C'B﹣∠BC'C＝90°﹣∠BC'C，
∴∠ACP＝∠A'C'D，
∵AP∥A'C'，
∴∠P＝∠A'C'D，
∴∠P＝∠ACP，
∴AP＝AC，
∴AP＝A'C'，
在△APD和△A'C'D中，
，
∴△APD≌△A'C'D（AAS），
∴AD＝A'D，即D是AA'中点，
∵点E为AC的中点，
∴DE是△AA'C的中位线，
∴DE＝A'C，
要使DE最小，只需A'C最小，此时A'、C、B共线，A'C的最小值为A'B﹣BC＝AB﹣BC＝2，
∴DE最小为A'C＝1．
相关试卷
中考强化练习河北省中考数学模拟练习 卷（Ⅱ）（含答案及详解）： 这是一份中考强化练习河北省中考数学模拟练习 卷（Ⅱ）（含答案及详解），共31页。试卷主要包含了单项式的次数是，和按如图所示的位置摆放，顶点B，一元二次方程的根为．等内容，欢迎下载使用。
河北省中考数学模拟专项测评 A卷（含答案及详解）： 这是一份河北省中考数学模拟专项测评 A卷（含答案及详解），共29页。试卷主要包含了下列计算中，正确的是，下列方程变形不正确的是，如图，E等内容，欢迎下载使用。
2022年河北省中考数学模拟自测卷2(word版含答案)： 这是一份2022年河北省中考数学模拟自测卷2(word版含答案)，共28页。试卷主要包含了条线段等内容，欢迎下载使用。
