2021-2022学年重庆市江津北师大附中等金砖四校联考七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年重庆市江津北师大附中等金砖四校联考七年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共12小题，共48分）

1. 下面的每组图形中，左面的平移后可以得到右面的是

A.  B.
C.  D.

2. 在实数，，，，，中，有理数的个数有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 如图所示，若，，则等于

A.
B.
C.
D.

4. 下列各组数中相等的是

A. 与 B. 与 C. 与 D. 与

5. 若是关于，的二元一次方程，则的值为

A.  B.  C.  D.

6. 下列说法正确的是

A. 是的算术平方根 B. 的平方根是
C. 的平方根是 D. 是的立方根

7. 已知下列命题：相等的角是对顶角；邻补角的平分线互相垂直；互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；平行于同一条直线的两条直线平行．其中真命题的个数为

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 用代入消元法解方程组，将代入可得

A.  B.
C.  D.

9. 如图，直线，相交于点，射线平分，，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

10. 若点在第三象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标是

A.  B.  C.  D.

11. 小亮问老师有多少岁了，老师说：“我像你这么大时，你才岁，你到我这么大时，我就岁了．”求小亮和老师的岁数各是多少？若设小亮和老师的岁数分别为岁和岁，则可列方程组

A.  B.
C.  D.

12. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点伴随点已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，，这样依次得到点，，，，，若点的坐标为，点的坐标为

A.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共4小题，共16分）

13. 的平方根为______．
14. 如图，计划把河水引到水池中，先作，垂足为，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是______．
     

15. 如图，已知，平分，平分，，，则的度数为______．
     

16. 学校计划购买和两种品牌的足球，已知一个品牌足球元，一个品牌足球元．学校准备将元钱全部用于购买这两种足球两种足球都买，该学校的购买方案共有______种．

三．选择题（本题共9小题，共86分）

17. 计算：．
18. 完成下面的证明，
    已知：如图，，、分别是、的平分线．
    求证：．
    证明：______，
    ____________
    ____________
    、分别是、的平分线______，
    ，____________
    ______
    ______

19. 用适当的方法解下列方程组：
    ；
    ．
20. 已知的立方根是，的算术平方根是．
    求，的值．
    求的平方根．
21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，若把向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，点，，的对应点分别为，，．
    写出，，的坐标；
    在图中画出平移后的；
    求的面积．

22. 如图，已知，．
    求证：；
    若，且，求的度数．
    
     

23. 某书店计划同时购进，两类图书，已知购进本类图书和本类图书共需元；购进本类图书和本类图书共需元．，两类图书每本的进价各是多少元？
24. 一个多位数乘以，得到一个新的数，我们把这个新数的首位和末位上的数字去掉后剩下的数叫做多位数的“留守数”，如果两个多位数的“留守数”的数字之和相等，我们称这两个多位数为“孪生数”．
    如：，，和的“留守数”均为，所以和是“孪生数”；
    再如：，，和的“留守数”数字之和均为，所以和是“孪生数”．
    的“留守数”是______，与 ______“孪生数”填“是”或“不是”；
    如果两个两位数和是“孪生数”，其中，，且，其中均为到之间的整数，均为到之间的整数，求出所有符合条件的两位数．
25. 已知，如图，直线，、分别交、于、两点，，的平分线相交于点．
    求的度数；
    如图，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由；
    在图中作，的平分线相交于点，作，的平分线交于点，作，的平分线交于点，请直接写出的度数．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、两图形不全等，故本选项不符合题意；
B、两图形不全等，故本选项不符合题意；
C、通过平移得不到右边的图形，只能通过轴对称得到，故本选项不符合题意；
D、左面的图形平移后可以得到右面图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，即可判断出答案．
本题考查图形的平移变换．注意平移不改变图形的形状和大小，属于基础题，一定要熟记平移的性质及特点．
 

2.【答案】

【解析】解：在实数，，，，，中，有理数有，，，，有理数的个数有个．
故选：．
根据有理数的定义可得答案．
本题考查了实数，熟练掌握有理数的定义是解题关键．
 

3.【答案】

【解析】解：与是对顶角，
，
，
，
，
．
故选：．
由对顶角相等得到与相等，等量代换得到，利用同位角相等两直线平行得到与平行，利用两直线平行同旁内角互补得到与互补，根据的度数即可求出的度数．
此题考查了平行线的判定与性质，以及对顶角与邻补角，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：与，不相等，故此选项不合题意；
B.与，不相等，故此选项不合题意；
C.与，相等，故此选项符合题意；
D.与不相等，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简，进而判断得出答案．
此题主要考查了绝对值的性质以及二次根式的性质等知识，正确化简各数是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】解：是关于，的二元一次方程，
，
解得，
．
故选：．
由二元一次方程的定义可知，的次数为，据此可列出方程组，并求解．
此题考查二元一次方程定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有个未知数；含未知数项的次数都为一次；方程是整式方程．
 

6.【答案】

【解析】解：、是的算术平方根，原说法正确，故此选项符合题意；
B、的平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、是负数，没有平方根，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、是的立方根，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选：．
根据立方根、平方根、算术平方根的定义解答即可．
本题考查立方根、平方根、算术平方根，解题的关键是明确它们各自的计算方法．
 

7.【答案】

【解析】解：相等的角不一定是对顶角，所以错误；
邻补角的平分线互相垂直，所以正确；
互补的两个角可能都是直角，所以错误；
平行于同一条直线的两条直线平行，所以正确．
故选C．
根据对顶角的定义对进行判断；根据邻补角的定义和垂直的定义对进行判断；利用特例对进行判断；根据平行线的性质对进行判断．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
 

8.【答案】

【解析】解：将代入可得：．
故选：．
根据代入消元计算即可．
本题考查解二元一次方程组，解题关键是熟知解二元一次方程组的基本步骤：消元．
 

9.【答案】

【解析】解：射线平分，，
，
，
，
．
故选：．
由射线平分，，得出，由，得出得出答案．
本题主要考查了垂线和角平分线，解决本题的关键是找准角的关系．
 

10.【答案】

【解析】解：点在第三象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为，
，，
点的坐标是．
故选：．
根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：设小亮和老师的岁数分别为岁和岁，
．
故选：．
设小亮和老师的岁数分别为岁和岁，根据题意可得，老师现在的年龄学生现在的年龄学生现在的年龄；老师岁老师现在的年龄老师现在的年龄学生现在的年龄，根据等量关系列出方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
 

12.【答案】

【解析】解：的坐标为，
，，，，
，
依此类推，每个点为一个循环组依次循环，
，
点的坐标与的坐标相同，为．
故选：．
根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每个点为一个循环组依次循环，用除以，根据商和余数的情况确定点的坐标即可．
本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每个点为一个循环组依次循环是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了平方根的知识，属于基础题，掌握定义是关键．
先计算算术平方根，再根据平方根的定义即可得出答案．
【解答】
解： ，
的平方根为 ．
故答案为： ．   

14.【答案】连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短

【解析】

【分析】
本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．
过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．
【解答】
解：根据连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
沿 开渠，能使所开的渠道最短．
故答案为连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．   

15.【答案】

【解析】解：平分，平分，
，，
，，
，
，
，，
．
故答案为：．
先根据角平分线的定义，得出，，再根据三角形内角和定理，推理得出，进而求得的度数．
此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角相等的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：设购买个品牌足球，个品牌足球，
依题意，得：，
解得：，
，均为正整数，
是的倍数，
或或或，
共有种购买方案．
故答案为：．
设购买个品牌足球，个品牌足球，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各进货方案，此题得解．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

．

【解析】先算乘方，求出算术平方根、立方根，去绝对值，再算加减即可．
本题考查实数运算，解题的关键是掌握乘方运算，算术平方根、立方根，去绝对值等相关知识．
 

18.【答案】已知    内错角相等，两直线平行    两直线平行，同位角相等  已知    角平分线的定义  等量代换  同位角相等，两直线平行

【解析】证明：已知，
内错角相等，两直线平行．
两直线平行，同位角相等．
、分别是、的平分线已知，
，角平分线的定义．
等量代换．
同位角相等，两直线平行．
故答案为：已知；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；已知；；角平分线的定义；等量代换；同位角相等，两直线平行．
由平行线的判定得，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到，进而可判定．
本题主要考查了平行线的性质与判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
 

19.【答案】解：，
得，
解得．
把代入得，
解得．
方程组的解是．
，
得：，
解得．
把代入得：，
解得．
方程组的解是．

【解析】加减消元法消去求出，把代入第一个方程求出即可．
加减消元法消去求出，把代入第一个方程求出即可．
本题考查解二元一次方程组，解题关键是熟知解二元一次方程组的基本步骤：消元．
 

20.【答案】解：的立方根是，的算术平方根是，
，，
，；
由知，，
，
的平方根为，
的平方根为．

【解析】根据立方根和算术平方根的定义即可得出答案；
先求出代数式的值，再求它的平方根即可．
本题考查了平方根，立方根，算术平方根，掌握一个正数的平方根有个是解题的关键，不要漏解．
 

21.【答案】解：由平移可得，，，．
平移后的如图所示．

，
的面积为．

【解析】依据平移规律，即可得出，，的坐标；
依据，，的坐标，画出平移后的；
依据割补法进行计算，即可得到的面积．
本题主要考查了利用平移变换作图，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
 

22.【答案】证明：，，
又，
，
；
，
又，
，
，
，．
又，
，
．

【解析】欲证明，只需推知即可；
利用平行线的判定定理推知，然后由平行线的性质即可得到结论．
本题考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
 

23.【答案】解：设类图书每本的进价是元，类图书每本的进价是元，
依题意得：，
解得：．
答：类图书每本的进价是元，类图书每本的进价是元．

【解析】设类图书每本的进价是元，类图书每本的进价是元，利用总价单价数量，结合“购进本类图书和本类图书共需元；购进本类图书和本类图书共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

24.【答案】  是

【解析】解：，
的“留守数”是；
，
的“留守数”是，
与是“孪生数”，
故答案为：，是；
，且，
，，
，
，，且，
，又为两位数，
，
，
或，或或．
根据“留守数”和“孪生数”的定义即可求解；
先求出，再根据题意，求出即可．
本题考查了新定义，理解新定义的含义并灵活运用是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图中，
，
，
，的平分线相交于点，
，，
，
；

结论：．
理由：如图中，过点作．

，，
，
，的平分线相交于点，
，，
，
；

由可知，，
同法可知，，
，
，
当时，．

【解析】利用平行线的性质以及角平分线的定义解决问题即可；
结论：如图中，过点作利用平行线的性质解决问题；
探究规律，利用规律解决问题即可．
本题考查平行线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．