2021-2022学年浙江省宁波市海曙区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年浙江省宁波市海曙区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 二次根式中，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 某班位同学的美术作业分数如表，则该作业全班同学的平均分约为(    )

A. 分 B. 分 C. 分 D. 分

3. 若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 以下反比例函数图象只位于第二象限的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 疫情期间居民更愿意使用在线上买菜，某买菜今年一月份新注册用户为万，三月份新注册用户为万，设每月的平均增长率为，可以列出方程为(    )

A.  B.
C.  D.

6. 已知四边形对角线互相平分，添加以下哪个条件可以使它成为菱形(    )

A. 一组对边相等 B. 对角线相等 C. 对角线垂直 D. 一个内角为

7. 如图，平行四边形中，平分交于点，平分交于点，，，那么长为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，面积为的菱形中，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，反比例函数和一次函数图象交于，两点，点坐标为，当时，的取值范围为(    )

A. 或
B. 或
C. 或
D. 或

10. 如图，平行四边形的四个顶点分别在平行四边形的四条边上，，分别交、于点、过点作，分别交、于点、，若要求平行四边形的面积，只需知道下列哪个四边形的面积(    )

A. 四边形 B. 四边形 C. 四边形 D. 四边形

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 数据、、、的众数是______．
12. 比较大小：______填“、、或”
13. 方程有一个根是，则的值为______．
14. 反比例函数，在每个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是______．
15. 如图，正方形中，在延长线上，，交于点，连结，若，那么的度数是______．

16. 如图，一块含的三角板的一个顶点与矩形的顶点重合，直角顶点落在边上，另一顶点恰好落在边的中点处，若，则的长为______．

17. 如图，平面直角坐标系放置有两个三角板和，其中、为，，，和分别经过、两点，则的值为______．

18. 如图，中，，以为边在三角形外的平行四边形的对角线交于点，，，则的最大值是______．

三、解答题（本大题共6小题，共46分）

19. 化简：；
    解方程：．
20. 一位同学统计了甲乙两位选手在一次射击比赛中三枪的成绩单位：环，制成如下统计表．

直接写出甲三次射击成绩的中位数是______环；
计算的值，并指出甲和乙这三枪射击成绩的稳定性哪个更好．

21. 图，图，图都是由边长为的小菱形构成的网格，每个网格图中都有个小菱形已经涂上了阴影，请在余下的小菱形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．
    使得个阴影小菱形组成一个既是轴对称图形又是中心对称图形图；
    使得个阴影小菱形组成一个轴对称图形但不是中心对称图形图；
    使得个阴影小菱形组成一个中心对称图形但不是轴对称图形图．
     

22. 某水果商出售进价为元千克的香蕉，已知每天的销量千克和单价元千克之间的函数关系如图，一天中的单价保持不变每千克毛利润售价进价
    直接写出：与之间的函数关系式为______；某天售价为元千克，则该天的毛利润为______元；
    一天的销售毛利润能否为元？请说明理由．

23. 如图，菱形的顶点、分别在轴与轴正半轴上，、在第一象限，轴，反比例函数的图象经过顶点．
    若，．
    求反比例函数的解析式；
    证明：点落在反比例函数的图象上；
    若，，求菱形的边长．

24. 将平行四边形纸片按图所示的方式折叠，使顶点，同时落在线段上的点处顶点，同时落在线段上的点处，其中长为，长为．
    求证：四边形为矩形；
    探究：线段的长度会随着长度的变化而变化吗？如果会，请用含的代数式表示的长度；如果不会，请直接写出的长度；
    若，连结，当时如图，求的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次根式有意义的条件，属于基础题．
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】

解：由题意可知：，
，
故选A．
 

2.【答案】 

【解析】解：该作业全班同学的平均分约为分，
故选：．
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为多边形的内角和公式为，
所以，
解得，
所以这个多边形的边数是．
故选：．
利用多边形的内角和公式即可求解．
本题考查了多边形的内角和公式及利用内角和公式列方程解决相关问题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故反比例函数位于第一、三象限，不合题意；
B.，故反比例函数位于第三象限，不合题意；
C.，故反比例函数位于第二、四象限，不合题意；
D.，故反比例函数位于第二象限，符合题意；
故选：．
根据反比例函数的性质判断即可．
本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设每月的平均增长率为，
依题意，得：，
故选：．
设每月的平均增长率为，根据该买菜今年一月份及三月份新注册用户人数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形对角线互相平分，
四边形是平行四边形，
A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C符合题意；
D、一个内角为的平行四边形是矩形，故D不符合题意；
故选：．
根据菱形的判定方法，逐一判断即可解答．
本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：在平行四边形中，，，，
，，
平分交于点，平分交于点，
，，
，，
，，
．
故选：．
由平行四边形的性质可得，，，结合平行线的性质及角平分线的定义可证得，，进而可得，，再利用可求解．
本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，求解，的长是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：菱形的面积为，
与互相垂直平分，，
即，
，
．
故选：．
根据菱形的性质和菱形的面积公式得到与互相垂直平分，，则利用勾股定理得到，利用完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
 

9.【答案】 

【解析】解：把代入得，
反比例函数解析式为，
把代入得，解得，
一次函数解析式为，
解得或，
，
观察图象，当时，的取值范围为或，
故选：．
把点坐标代入中求出得到反比例函数解析式，把点坐标代入中求出得到一次函数解析式，然后解析式联立成方程组，解方程组求得的坐标，通过观察图象即可求得当时，的取值范围．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，，

四边形是平行四边形，
的面积▱的面积，
四边形是平行四边形，
，
，
，
的面积的面积，
，
四边形是平行四边形，
的面积▱的面积，
▱的面积▱的面积，
若要求平行四边形的面积，只需知道四边形的面积，
故选：．
连接，，根据平行四边形的性质可得的面积▱的面积，再利用平行四边形的性质可得，从而可得，进而可得的面积的面积，然后再根据，可证四边形是平行四边形，从而可得的面积▱的面积，进而可得▱的面积▱的面积，即可解答．
本题考查了平行四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：数据、、、中出现次，次数最多，
所以其众数为，
故答案为：．
根据众数的定义求解即可．
本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
而，
．
故答案为：．
先把两个实数平方，然后根据实数的大小比较方法即可求解．
此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较次方的方法等．
 

13.【答案】 

【解析】解：方程有一个根是，
，
，
故答案为：．
将代入原方程中，得到关于的一元一次方程，求解即可．
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是将代入原方程中，得到关于的一元一次方程．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得的图象在每个象限内随的增大而增大，
则，
即．
故答案为：．
由于反比例函数的图象在每个象限内随的增大而增大，则满足即可．
本题考查了反比例函数的图象和性质：、当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．、当时，在同一个象限内，随的增大而减小；当时，在同一个象限，随的增大而增大．
 

15.【答案】 

【解析】解：在正方形中，是对角线，
，
在和中，

≌，
，
，
，
．
故答案为：．
首先利用正方形的性质证明≌，然后利用全等三角形的性质得到，最后利用直角三角形的性质求解．
本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了全等三角形的判定与性质，有一定的综合性．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
点是的中点，
，
，
，
，
，
故答案为：．
利用矩形和等腰直角三角形性质可证得：≌，得出：，，由点是的中点，可得，再由，可得，即可求得答案．
本题考查了矩形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，过点、分别作轴的垂线，垂足为、，
设，
在中，，
为等腰直角三角形，
，
点，
点在反比例函数的图象上，
，
在中，，
，
在中，，
，，
点，
点在反比例函数的图象上，
，
，
故答案为：．
设，利用三角尺特殊的锐角，由特殊锐角三角函数和直角三角形的边角关系可用含有的代数式表示点、的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征，用含有的代数式表示、即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的边角关系以及特殊锐角三角函数值，掌握反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的边角关系以及特殊锐角三角函数值是解决问题的前提，用含有的代数式表示出点、点的坐标，进而表示、是解决问题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：取中点，连结，，

，，
，
四边形为平行四边形，
，
是的中位线，
，
，
，
．
故答案为：．
取中点，连结，，由直角三角形的性质可求得的长，利用平行四边形的性质及三角形的中位线的性质可求得的长，再利用三角形的三边关系可求解的最大值．
本题主要考查平行四边形的性质，三角形的中位线，三角形的三边关系，利用三角形的三边关系确定的最大值是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
；
，
当时，
解得：，
当时，
，
方程的解为或． 

【解析】将化为，化为，再进行计算即可；
当时，解得，当时，，即可求解．
本题考查解一元二次方程，二次根式的加减法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和二次根式加减法的法则．
 

20.【答案】 

【解析】解：甲选手第三枪的环数为，
甲三次射击成绩从小到大排列为，，，
甲三次射击成绩的中位数是环，
故答案为：；

甲三次射击成绩的平均数为环，
，
，
乙的稳定性更好．
根据题意求出甲选手第三枪的环数，即可得到结论；
求出甲的方差，与乙的方差比较即可得到结论．
本题考查了中位数、方差的知识，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

21.【答案】解：如图中，在的位置涂上阴影构造平行四边形即可；
如图中，在两个位置任选其一即可；
如图中，在两个位置任选其一即可．
 

【解析】根据中心对称图形的定义画出图形即可；
根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可；
根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可．
本题考查作图利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案等知识，解题的关键是掌握中心对称图形的定义，轴对称图形的定义属于中考常考题型．
 

22.【答案】   

【解析】解：设与之间的函数关系式为，
图象经过和，
，
解得：，
与之间的函数关系式为；
当时，，
某天售价为元千克时，该天的毛利润为元，
故答案为：，；
由题意得，
化简可得，
，
原方程无解，
一天的销售毛利润不能达到元．
根据图形用待定系数法求函数解析式即可；
根据一天的利润每千克利润销量列出一元二次方程，通过判断方程无解即可．
本题考查一次函数的应用题和一元二次方程的应用，解题的关键是根据图形写出与之间的函数关系式．
 

23.【答案】解：过点作轴垂线交于点，
，
四边形为菱形，
，，，
，
轴，
，
，
四边形为矩形，
，
，，
，，
同理：四边形为矩形，
，，
，
点在反比例函数的图象上，
反比例函数的解析式为；

过点作轴垂线交于点，
同的方法得，四边形、为矩形，
，，
，
反比例函数的解析式为，
当时，，
落在反比例函数的图象上；

四边形为菱形，
，，，
，
设，
在中，，
，，
同的方法得，，
，
反比例函数的解析式为，
在反比例函数的图象上，
，
由于，舍去负值，
，
即菱形的边长为． 

【解析】过点作轴垂线交于点，进而判断出四边形为矩形，进而求出，即可求出答案；
过点作轴垂线交于点，同的方法求出，即可得出结论；
先判断出，设，进而得出，，同的方法得，，进而建立方程，即可求出答案．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的判定和性质，菱形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
 

24.【答案】解：如图，

由折叠可得，，
，
，
同理可得，
四边形为矩形；

线段的长度不会随着长度的变化而变化，．
理由：如图，连接，

由折叠可知，，，
，
同理可得，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
由知，四边形为矩形，
．

方法一：
连接，

由题意：，
，
，
，
，
同理：，
，
，，
设，则，
，，
，
，
，
，，
．
方法二：连接交于点，由题意：，

，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
． 

【解析】由折叠的性质证出，同理可得，由矩形的判定可得出答案；
连接，证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得出，由知，四边形为矩形，由矩形的性质得出则可得出结论；
方法一：连接，由折叠的性质证出，，设，则，由直角三角形的性质得出，解方程求出的值，则可得出答案；
方法二：连接交于点，由题意：，由矩形的面积求出的长，由勾股定理求出的长，则可求出答案．
本题属于几何变换综合题，考查了翻折变换，勾股定理，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．