2022年湖南省永州市宁远县中考数学模拟试卷（三）（含答案解析）

2022年湖南省永州市宁远县中考数学模拟试卷（三）

1. 的倒数是

A.  B.  C. 2 D.

2. 下列图形属于轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 如图是由两个大小不一样的圆柱组成的几何体，几何体的左视图是
   
    

A.  B.  C.  D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 在中，自变量x的取值范围是

A.  B.  C.  D. 且

6. 一组数据：3，2，1，5，2的中位数和众数分别是

A. 1和2 B. 1和5 C. 2和2 D. 2和1

7. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点都在格点上．若是由绕点P按逆时针方向旋转得到，且各顶点仍在格点上，则旋转中心P的坐标是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，是的外接圆，，，于点D且，则的半径为
    

A.  B. 4 C.  D.

9. 如图，在中，，使点P到AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹

A.  B.
C.  D.

10. 如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，对称轴为直线有以下结论：①；②；③若点，，均在函数图象上，则；④若方程的两根为，且，则；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得，则a的范围为其中结论正确的有

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

11. 计算______.
12. 分解因式：______.
13. 中国首次火星探测任务天问一号探测器实施近火捕获制动，环绕器3000N轨控发动机点火工作约15分钟，探测器顺利进人近火点高度约400000米，将400000用科学记数法表示为______.
14. 已知：公式，其中，，，均不为零．则______用含有，，的式子表示
15. 如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为又经过人工测量操控者A和教学楼BC之间的水平距离为80米，教学楼BC的高度______米．注：点A、B、C、D都在同一平面上，参考数据：，结果保留整数
16. 直线与平行，将该直线向下平移3个单位长度后经过点则该函数解析式为______.
17. 如图，点B为反比例函数上的一点，点A为x轴负半轴上一点，连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转，点B的对应点为点若点C恰好也在反比例函数的图象上，已知B、C的纵坐标分别为4、1，则______.

18. 如图，正方形ABCD的边长为2，AC，BD交于点O，点E为内的一点，连接AE，BE，CE，OE，若，给出下列四个结论：①；②线段AE的最小值是；③∽；④其中正确的结论有______填写所有正确结论的序号
19. 计算：
20. 先化简，再求值：，其中
21. 针对春节期间新型冠状病毒事件，九班学生参加学校举行的“珍惜生命.远离病毒”知识竞赛初赛，赛后班长对成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布直方图未完成

根据情况画出的扇形图如图，请解答下列问题：
该班总人数为______ ；
频数分布表中______ ，并补全频数分布直方图中的“A”和“D”部分；
扇形统计图中，类别B所在扇形的圆心角是______ 度.
全校共有720名学生参加初赛，估计该校成绩“D”范围内的学生有多少人？

22. 如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且，，求证：
    ≌；
     

23. 如图，海中有一个小岛A，该岛的四周10海里的范围内有暗礁．有一货轮在海面上由西向东航行．到达B处时，该货轮位于小岛南偏西的方向上，再往东行驶20海里后到达小岛的南偏西的方向上的C处．如果货轮继续向东航行，是否会有触礁的危险？请通过计算说明．

24. 如图，在中，，以AB为直径的交AC于点D，交BC于点E，过点E作于点F，交AB的延长线于点
    求证：PE是的切线；
    若的直径为5，，求BP的长.
    
     

25. 通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．
    【模型呈现】
    如图，在，，将斜边AB绕点A顺时针旋转得到AD，过点D作于点E，可以推理得到≌，进而得到，
    我们把这个数学模型成为“K型”．
    推理过程如下：
    
    【模型迁移】
    二次函数的图象交x轴于点，两点，交y轴于点动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．
    
    求二次函数的表达式；
    连接BD，当时，求的面积；
    在直线MN上存在一点P，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；
    当时，在直线MN上存在一点Q，使得，求点Q的坐标．
26. 观察发现
    如图1、图2，已知在和中，，，将固定，绕点C旋转．
    如图1，若和是等腰直角三角形，，，，直接判断AD与BE之间的数量关系是______；其中BE的最大值为______.
    应用推广
    如图2，若和是直角三角形，，，判断AD与BE之间的数量关系，说明理由，并求出BE的最大值．
    拓展提升
    如图3，已知在中，，，以BC为直角边向外作等腰，连接AD，求出AD的最大值．
     

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：，
则的倒数是
故选：
直接利用特殊角的三角函数值结合倒数的定义得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值以及倒数，正确掌握相关定义是解题关键．
 

2.【答案】B

【解析】解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
 

3.【答案】A

【解析】解：从左面看，底层是较大的矩形，上层中间是一个较小的矩形．
故选：
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
 

4.【答案】B

【解析】解：A、，原式计算错误，故本选项错误；
B、，原式计算正确，故本选项正确；
C、，原式计算错误，故本选项错误；
D、，原式计算错误，故本选项错误．
故选
结合选项分别进行同底数幂的乘法、二次根式的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法等运算，然后选择正确选项．
本题考查了二次根式的乘除法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法等知识，解答该题的关键在于掌握各知识点的运算法则．
 

5.【答案】D

【解析】解：由题意得：，，
解得：且，
故选：
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
 

6.【答案】C

【解析】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，
则中位数为2，
众数为
故选：
根据中位数和众数的概念求解．
本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

7.【答案】D

【解析】解：观察图象可知，旋转中心P的坐标为，

故选：
根据两组对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，可得结论．
本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是理解两组对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，属于中考常考题型．
 

8.【答案】B

【解析】解：如图，连接OA，OC，

，
，
，，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
的半径为4，
故选：
连接OA，OC，根据圆周角定理得，根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理求出
本题考查了三角形外接圆与外心，垂径定理定理，勾股定理，含角的直角三角形的性质，利用圆周角定理构造出是解题的关键．
 

9.【答案】C

【解析】解：点P到AB、BC的距离相等，
点P在的角平分线上，
选项C符合题意，
故选：
点P到AB、BC的距离相，则点P在的角平分线上．
本题考查作图-基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，属于中考常考题型．
 

10.【答案】B

【解析】解：对称轴为直线，函数图象与x轴负半轴交于，
，
，
由图象可知，，
，
，故①正确；
由图可知，当时，，
，即，故②正确；抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，y值越大；
又，，，
；故③错误；
由抛物线对称性可知，抛物线与x轴另一个交点为，
抛物线解析式为：，
令，
则，
如图，作，

由图形可知，；故④正确；
由题意可知：M，N到对称轴的距离为，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得，
即，
，
，，
，
解得：，故⑤错误；
故选：
根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
 

11.【答案】

【解析】解：原式

故答案为：
利用绝对值的意义和负整数指数幂的意义进行计算即可．
本题主要考查了实数的运算，绝对值，负整数指数幂的意义，正确使用上述法则进行运算是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：


故答案为：
直接提取公因式2a，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

13.【答案】

【解析】解：
故答案为：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数，当原数绝对值时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
 

14.【答案】

【解析】解：，
，
，
故答案为：
利用比例的性质进行计算即可．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
 

15.【答案】14

【解析】解：过点D作于点E，过点C作于点F，
则四边形BCFE是矩形，
由题意得，米，米，，
在中，，
，
米，
米，
四边形BCFE是矩形，
米，
在中，，，
米，
米
答：教学楼BC高约14米．
过点D作于点E，过点C作于点F，由锐角三角函数定义得米，则米，再求出米，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：直线与平行，
设一次函数的解析式是，向下平移3个单位长度后得到，
图象过点，
，
解得，
该函数的解析式为
故答案为：
根据两直线平行，可得一次函数的k值相等，可设一次函数的解析式是，根据平移的规律得到，把点代入，即可求出
本题考查了两直线平行问题，一次函数图形与几何变换，用待定系数法求解析式．
 

17.【答案】

【解析】解：如图，过点C作轴于E，过点B作轴于F，
，
，
由旋转知，，，
，
，
≌，
，，
、C的纵坐标分别为4、1，
，，
，，
设则，
点B、点C在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
故答案为：
如图过点C作轴于E，过点B作轴于F，求得，根据旋转的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，设则，根据点B、点C在反比例函数的图象上，得到，于是得到结论．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，构造出≌是解本题的关键．
 

18.【答案】①②④

【解析】解：四边形ABCD是正方形，
，，
，
，
点E，点B，点C，点O四点共圆，
，故①正确；
，
点E在直径为BC的圆上，
如图，取BC的中点F，连接AF，EF，

，
在中，，
当点E在AF上时，AE有最小值，
此时：，
的最小值为，故②正确；
点E，点B，点C，点O四点共圆，
，，
，
，
与不相似，故③错误；
如图，过点O作，交CE于H，

，，
，
，
，
，
，
又，
≌，
，
，故④正确，
故答案为：①②④．
通过证明点E，点B，点C，点O四点共圆，可得，故①正确；由题意可得点E在直径为BC的圆上，当点E在AF上时，AE有最小值，由勾股定理可得AE的最小值为，故②正确；由圆周角定理可得，则，即与不相似，故③错误；由“SAS”可证≌，可得，由线段的和差关系，故④正确，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

 

【解析】分别根据二次根式的性质，算术平方根的定义，立方根的定义，绝对值的性质以及特殊角的三角函数值计算即可．
本题考查了实数的运算，熟记相关定义与特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：原式

，
，
，
又，
，
则原式

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据绝对值的性质和分式有意义的条件得出x的知，再代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

21.【答案】解：；
；
补全频数分布直方图，如图所示，

；
人，
答：该校成绩范围内的学生有90人．

【解析】

【分析】
本题考查频数分布表、频数分布直方图的意义和制作方法，扇形统计图，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
从统计图中可知“ C 组”的有 24 人，占全班人数的 ，可求出全班人数；
根据所有频数的和等于全班人数 48 人，可求出 a 的值，即可补全频数分布直方图；
“类别 B ”占全班的 ，因此相应的圆心角为 的 ；
“ D 组”占全班的 ，估计全校 720 人的 为“ D 组”的人数．
【解答】
解： 人 ，
故答案为 48 ；
人 ，
故答案为 2 ；
补全频数分布直方图见答案；
，
故答案为 120 ；
见答案 .   

22.【答案】证明：，
，
，
在和中
，
≌；

由知≌，
，
 

【解析】求出，根据SAS推出两三角形全等即可；
根据全等三角形的性质推出，根据平行线的判定推出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，内错角相等，两直线平行．
 

23.【答案】解：过点A作直线BC的垂线，垂足为D，
由题意，得，，
，
又，
，
，
，
海里，
在中，海里，
由题意知：以海岛A为圆心，半径长为10海里范围内有暗礁．这里，，
所以，如果货轮继续向东航行，没有触礁的危险．

【解析】点A作直线BC的垂线，垂足为D，由题意，得，，求得，得到，在中，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
 

24.【答案】证明：连接AE，OE，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
为的直径，
，
，
，
设，，
，
，
负值舍去，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
 

【解析】连接AE，OE，根据等腰三角形的性质和等量代换得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论；
根据圆周角定理得到，设，，根据勾股定理得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题．
 

25.【答案】解：将点，代入，
，，
；
，
的直线解析式为，
当时，，
，
，
，，，
的面积的面积的面积；
，
，
设，
，，
，
，
，
，
，

或，
或，
或；
当时，，
点Q在抛物线对称性上，
如图：过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与的交点分别为与，
，
，
，，
，
又，
，
与关于x轴对称，
，
点坐标分别为，；

【解析】将点，代入即可；
由已知分别求出，，，根据的面积的面积的面积即可求解；
由已知可得，设，根据勾股定理可得，，再由，得到m与t的关系式：，因为，则有求出或，即可求D点坐标；
当时，，可知点Q在抛物线对称性上；过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与的交点分别为与，由，可得圆半径，即可求Q点坐标分别为，
本题考查二次函数的图象及性质，动点问题；能够熟练掌握二次函数解析式与相应点的求法，熟悉等腰直角三角形的性质，应用勾股定理和直线垂直的性质建立坐标之间的联系，借助圆周角的性质，等腰三角形的性质，互余角的性质将角进行转换是解题的关键．
 

26.【答案】

【解析】解：，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在绕点C旋转的过程中，且，，
，
当B，C，E三点共线且点B在EC的延长线上时BE最大，最大值为
故答案为：，15；

，
理由：和都是直角三角形，，
：，CD：，
：：CE，
，
，
，
∽，
：：，
，
，，
当A，C，D三点共线且点A在DC的延长上时AD最大，
AD的最大値为，
的最大值；

如图3，以CD为边在CD下方作，且，连接ED，BE，

和都是等腰直角三角形，
，，，
，
≌，
，
设点F是CD的中点，连接BF，EF，
在中，，
当点B、F、E共线时BE最大，BE的最大值为，
由题意可知BF是斜边CD上的中线，
，，
在中，，
的最大值为
证≌即可判断AD与BE之间的数量关系，当点B、C、E共线时，BE的值最大，根据已知条件可求最大值；
类似证∽，可得AD与BE之间的数量关系和BE的最大值；
如图3，以CD为边在CD下方作，且，连接ED，类比证≌，根据直角三角形斜边上的中线即可得最大值．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形判定于性质、相似三角形判断与性质，三角形的三边关系，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识，解题关键是充分理解题意，恰当的知识迁移，构建全等三角形证明线段之间的关系．