2022年湖南省永州市中考数学模拟试卷（含解析）

2022年湖南省永州市中考数学模拟试卷

一．选择题（本题共10小题，共40分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 刚刚闭幕不久的北京冬奥会曾引起人们的高度关注，创新的数字平台合作带动广泛参与，据冬奥会大数据统计，粉丝在奥林匹克网站上给他们支持的奥运选手共发出万条虚拟助威，万用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 如图，，垂足为，过作，若，则

A.
B.
C.
D.

4. 如图，在矩形中，，分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点，且，，，则的长为

A.  B.  C.  D.

5. 为了加强安全教育，某校组织以防溺水为主题的演讲比赛，参加决赛的名选手成绩单位：分如下：，，，，，，这名选手成绩的众数和中位数分别是

A. 分，分 B. 分，分 C. 分，分 D. 分，分

6. 随着人们生活水平的提高，对环境的保护越来越重视，下列垃圾分类标识的图案中，不是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

7. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是

A.  B.  C.  D.

8. 在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是

A.  B.
C.  D.

9. 如图，在边长为的菱形中，，以点为圆心，菱形的高为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是

A.
B.
C.
D.

10. 观察下列一组图形，其中图形中共有颗星，图形中共有颗星，图形中共有颗星，图形中共有颗星，，按此规律，图形中星星的颗数是

1. 
    B.  C.  D.

二．填空题（本题共8小题，共32分）

11. 使有意义的的取值范围是______ ．
12. 因式分解：______．
13. 已知圆锥的底面半径为厘米，母线长为厘米，则它的侧面展开图的面积等于______平方厘米结果中保留
14. 在一个暗箱里放有个除颜色外完全相同的球，这个球中红球只有个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球，记下颜色后，再放回暗箱，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在那么估计大约有______个．
15. 九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术．其中，方程术是九章算术最高的数学成就．九章算术中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：“今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出钱，还差三钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，可列方程组为______．
16. 如图是某个几何体的三视图，该几何体是______ ．

17. 如图，点是反比例函数图象上的点，分别过点向横轴、纵轴作垂线段，与坐标轴恰好围成一个正方形，再以正方形的一组对边为直径作两个半圆，其余部分涂上阴影，则阴影部分的面积为______．
     

18. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是平行四边形，点、、的坐标分别为，，，点是的中点，点为线段上的动点，若是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为______．

三．计算题（本题共1小题，共8分）

19. 计算：．

四．解答题（本题共7小题，共70分）

20. 先化简再求值：，其中满足．
21. 今年我县中考的体育测试成绩改为等级制，即把测试结果分为四个等级：级：优秀；级：良好；级：及格；级：不及格．我县月份举行了全县九年级学生体育测试．现从中随机抽取了部分学生的体育成绩，并将其绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
    本次抽样测试的学生人数是______；
    图中的度数是______，并把图条形统计图补充完整；
    该县九年级有学生名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估算不及格的人数是多少？

22. 今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球年单价为元，年单价为元．
    求年到年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
    选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：
    
    试问去哪个商场购买足球更优惠？
23. 高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点是某市一高考考点，在位于考点南偏西方向距离米的处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于点北偏东方向的点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改进行驶，试问：消防车是否需要改道行驶？请说明理由．取

24. 如图，内接于，，是的直径，点是延长线上的一点，且．
    求证：是的切线；
    求证：；
    若，求的直径．
     

25. 和是绕点旋转的两个相似三角形，其中与、与为对应角．
    如图，若和分别是以与为顶角的等腰直角三角形，且两三角形旋转到使点、、在同一条直线上的位置时，请直接写出线段与线段的关系；
    若和为含有角的直角三角形，且两个三角形旋转到如图的位置时，试确定线段与线段的关系，并说明理由；
    若和为如图的两个三角形，且，，在绕点旋转的过程中，直线与夹角的度数是否改变？若不改变，直接用含、的式子表示夹角的度数；若改变，请说明理由．

26. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点、，点坐标为，连接、．
    请直接写出二次函数的表达式；
    判断的形状，并说明理由；
    若点在轴上运动，当以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点的坐标；
    如图，若点在线段上运动不与点、重合，过点作，交于点，当面积最大时，求此时点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据相反数的定义直接求解．
本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答此题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
，
故选：．
利用平行线的性质和三角形内角和定理计算即可．
本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

4.【答案】

【解析】解：如图，连接，
 

四边形是矩形，
，
，
在和中，

≌，
，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
≌，
，
在中，，
，
是等边三角形，
，，
，，
是等边三角形，
，
．
故选：．
连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据矩形的性质可得，根据等边对等角的性质可得，再根据三角形的内角和定理列式求出，即，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，再利用勾股定理列式计算即可求出．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，作辅助线并求出是解题的关键．

5.【答案】

【解析】解：由题中的数据可知，出现的次数最多，所以众数为分；
从小到大排列：，，，，，，，
故可得中位数是分；
故选：．
分别根据众数的定义及中位数的定义求解即可．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
此题考查了中位数及众数的定义，属于基础题，注意掌握众数及中位数的定义及求解方法．
 

6.【答案】

【解析】解：不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

7.【答案】

【解析】解：一元二次方程的二次项系数是，一次项系数，
由韦达定理，得
．
故选：．
根据一元二次方程的根与系数的关系可以直接求得的值．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 

8.【答案】

【解析】解：当时，
函数的图象位于一、三、四象限，的图象位于一、三象限，符合；
当时，
函数的图象位于二、三、四象限，的图象位于二、四象限，
故选：．
分和两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
考查了反比例函数和一次函数的性质，解题的关键是能够分类讨论，难度不大．
 

9.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，，
，，
是菱形的高，
，
，
图中阴影部分的面积菱形的面积扇形的面积．
故选：．
由菱形的性质得出，，由三角函数求出菱形的高，图中阴影部分的面积菱形的面积扇形的面积，根据面积公式计算即可．
本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：设图形中星星的颗数是为正整数，
，，，，
，
．
故选：．
设图形中星星的颗数是为正整数，列出部分图形中星星的个数，根据数据的变化找出变化规律“”，依此规律即可得出结论．
本题考查了规律型中的图形的变化类，根据图形中数的变化找出变化规律是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：有意义，
又分式有意义，
，解得．
二次根式有意义，被开方数大于或等于，分式有意义，分母不为．
本题考查了二次根式的意义和分式的意义．
 

12.【答案】

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：它的侧面展开图的面积平方厘米．
故答案为：．
由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，从而利用扇形的面积公式可计算圆锥的侧面积．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

14.【答案】

【解析】解：由题意可得，，
解得，个．
估计大约有个．
故答案为：．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
 

15.【答案】

【解析】解：由题意可得，
，
故答案为：．
根据今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出钱，还差三钱可以列出相应的方程组，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
 

16.【答案】三棱柱

【解析】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱。
故答案为：三棱柱。
由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状。
考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形。
 

17.【答案】

【解析】解：由题意可以假设，
则，
，
，
，
故答案为．
由题意可以假设，则，求出点坐标即可解决问题；
本题考查反比例函数图象上的点的特征、正方形的性质、圆的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】或或

【解析】解：如图，作于．

，，
，
点是的中点，
，
，
，，
当时，可得，，，
当时，，
综上所述，满足条件的点坐标为或或．
分两种情形分别讨论求解即可；
本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：


．

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开立方、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

20.【答案】解：原式


，
，
，
则原式．

【解析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：本次抽样测试的学生人数是：人．
故答案为：；
，
级人数为：人，把图条形统计图补充完整如下：

故答案为：；
人，
这次不及格的人数约是人．
用级的人数除以所占的百分比求出总人数；
用乘以级所占的百分比求出的度数，再用总人数减去、、级的人数，求出级的人数，从而补全统计图；
用九年级所有得学生数乘以不及格的人数所占的百分比，求出不及格的人数．
此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用到的知识点是用样本估计总体、频数、频率、总数之间的关系等，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：设年到年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为，
根据题意得：，
解得：或舍去．
答：年到年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为．
个，
在商城需要的费用为元，
在商城需要的费用为元．
．
答：去商场购买足球更优惠．

【解析】设年到年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为，根据年及年该品牌足球的单价，即可得出关于的一元二次方程，解之取其小于的值即可得出结论；
根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：根据年及年该品牌足球的单价，列出关于的一元二次方程；根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买个该品牌足球的总费用．
 

23.【答案】解：如图：过点作于点，
由题意得：，，米，
，
，
，
在中，米米．
答：消防车不需要改道行驶．

【解析】首先过点作于点，易得，然后利用三角函数的知识，求得的长，继而可得消防车是否需要改进行驶．
此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
 

24.【答案】证明：连结、，如图，
为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
与相切；

证明：，
∽，
，

；

解：连接，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
的直径．

【解析】连结、，如图，利用圆周角定理得到，，则，再利用得到，接着根据圆周角定理得，然后根据三角形内角和定理可计算出，于是根据切线的判定定理可判断与相切；
通过∽，得到，由于于是得到结论；
连接，证得是等边三角形，得到，求得，得到，即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：线段与线段的关系是，；分
理由：连接、；
、都是等腰直角三角形，
，，，
≌，
，；
，
，即；
故线段与线段的关系是，．

如图，连接、并延长，设交点为点；
∽，
，
．
，
，

∽分
．
在中，，，
分
又，，
，
．
∽，
，
，，
，

即分

在绕点旋转的过程中，直线与夹角的度数不改变，且度．分

【解析】连接、，然后证得≌，根据所得的等角和等边来判断、的关系．
连接、并延长，设交点为点，根据已知条件，易证得∽，得：：，而、同为的余角，则可证得，得，而，由此可证得，即．
根据上面的求解过程可知：在绕点旋转的过程中，直线与夹角的度数不改变，解题思路和方法同．
本题考查了图形的旋转变化以及相似三角形的判定和性质，理清图中角与角之间的关系，是解答此题的关键．
 

26.【答案】解：二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点、，点坐标为，
，
解得．
抛物线表达式：；
是直角三角形．
令，则，
解得，，
点的坐标为，
由已知可得，
在中，
在中，
又，
在中，
是直角三角形．
，，
，
以为圆心，以长为半径作圆，交轴于，此时的坐标为，
以为圆心，以长为半径作圆，交轴于，此时的坐标为或，
作的垂直平分线，交轴于，此时的坐标为，
综上，若点在轴上运动，当以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时，点的坐标分别为、、、．
如图，，，，
，

．
．
，
．
设点的坐标为，则，
，
∽，
，
，
，
，
，


，
当时，面积最大是，
点坐标为．
当面积最大时，点坐标为．

【解析】根据待定系数法即可求得；
根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
分别以、两点为圆心，长为半径画弧，与轴交于三个点，由的垂直平分线与轴交于一个点，即可求得点的坐标；
如图，根据勾股定理喝勾股定理的逆定理得到根据平行线的性质得到设点的坐标为，则，根据相似三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论．
本题是二次函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解的关键是待定系数法求解析式，解的关键是三角形相似的判定和性质以及函数的最值等．解的关键是等腰三角形的性质．