第32-34讲 空间向量与立体几何-【高考艺术生专用】2022年高考数学一轮复习特训特练（基础版，全国通用版）

第34讲 空间向量在空间几何中的运用（解答题：含探索性问题）

1．（2021·河北高二月考）如图，在三棱柱中，侧棱长为4，平面平面，是边长为4的等边三角形，且，已知是的中点．以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．

（1）求向量，的坐标；

（2）求异面直线与所成角的大小．

2．（2021·全国）如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，点在上，且．

（1）求证：；

（2）求与所成角的余弦值．

3．（2021·福建三明一中高二开学考试）在正方体中，已知O为中点，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

（1）求平面的法向量，并证明平面；

（2）求异面直线与夹角的余弦值.

4．（2021·北京市陈经纶中学高二月考）如图，四棱柱的侧棱平面，四边形为菱形，分别为，的中点．，．

（1）证明：，，四点共面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求到平面的距离．

5．（2021·大同市平城中学校高一月考）在如图所示的四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，平面，．

（1）求二面角的余弦值．

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

6．（2021·梁河县第一中学高二月考）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

7．（2021·全国高二课时练习）如图，正四棱柱中，，为棱的中点．

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

8．（2021·四平市第一高级中学高二月考）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的余弦值.

9．（2021·广州市第八十九中学）三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求平面和平面的夹角的余弦值．

10．（2021·全国高二课时练习）如图，各棱长都相等的三棱柱中，平面平面，是棱的中点，．

（1）若，求证：平面；

（2）若的中点为，求二面角的余弦值．

11．（2021·云南曲靖一中高三月考（理））如图，在四棱锥中， ， ， ，平面.

（1）在线段上是否存在一点使得平面?若存在，求出的位置；若不存在，请说明理由；

（2）若点满足，求二面角的平面角的余弦值.

12．（2021·天津市第四十七中学高三月考）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，点分别在线段､上，且，连接，延长与的延长线交于点，连接，.

（1）求证：平面；

（2）若时，求平面与平面所成角的正弦值；

（3）若直线与平面所成角的正切值为，求值.

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