第32-34讲 空间向量与立体几何-【高考艺术生专用】2022年高考数学一轮复习讲义（基础版，全国通用版）

第32讲 空间几何体的体积及表面积

空间几何体的表面积与体积公式

题型一：柱锥台表面积

1．（2021·全国高一课时练习）正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的表面积为（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则高为，它的表面积为.

故选:B.

2．（2021·全国高二单元测试）已知一个圆台的轴截面面积为6，轴截面的一个底角为30°，则这个圆台的侧面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

设圆台上底面的半径为，下底面的半径为，圆台的高为，

所以，

由题得，

所以这个圆台的侧面积是.

故选：B

3．（2021·全国）若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于（    ）

A．12 B．48 C．64 D．72

【答案】D

【详解】

解：六棱柱的底面是边长为3的正六边形，

故底面周长，

又侧面是矩形，侧棱长为4，

故棱柱的高，

棱柱的侧面积，

故选：D

4．（2021·全国高一课时练习）若圆锥的底面直径为6，高是4，则它的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

作圆锥的轴截面如图，则高AD=4,底面半径CD=3,

圆锥的母线AC=5，

所以圆锥的侧面积为.

故选：C.

5．（2021·广东海丰·高一月考）若一个圆柱的侧面积和它的两个底面积之和相等，则该圆柱的母线长与底面圆的半径的关系是（    ）

A． B． C． D．以上答案都有可能

【答案】A

【详解】

圆柱的侧面积和它的两个底面积之和相等，，.

故选：A.

6．（2021·重庆实验外国语学校高二期中）已知圆锥的高为，底面半径为4．若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【详解】

设球的半径为，因为圆锥的高为，底面半径为4，

所以圆锥的母线长为：，

由题意可知：，

故选：A

7．（2021·河北大名·）已知圆台的上底面面积是下底面面积的倍，母线长为4，若圆台的侧面积为，则圆台的高为（    ）

A．2 B． C．5 D．

【答案】B

【详解】

设上底面的半径为，因为圆台的上底面面积是下底面面积的倍，

所以下底面的半径为，又母线长为4，圆台的侧面积为，

所以，解得，所以，

所以圆台的高为，

故选：B．

8．（2021·运城市新康国际实验学校高二月考（理））如图，圆柱的底面半径为1，平面为圆柱的轴截面，从点开始，沿着圆柱的侧面拉一条绳子到点，若绳子的最短长度为，则该圆柱的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

长方形为圆柱的侧面展开图，如图所示：

由题知：，，分别为和的中点.

所以.

所以圆柱的侧面积为.

故选：A

9．（2021·天津市军粮城中学高一期中）正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则棱台的侧面积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，

所以棱台的斜高为: .

所以棱台的侧面积是: .

故选：D.

10．（2021·福建南平·高一期末）如图，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，若一个平行于底面的平面沿着该圆台母线的中点将此圆台分为上下两个圆台，设该平面上方的圆台侧面积为，下方的圆台侧面积为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

如图为圆台的截面图形，截面圆圆心为O，半径为r，则，l为上下方圆台的母线长，则，∴

故选：C.

11．（2021·山西吕梁·高一期末）圆锥的母线长是2，侧面积是，则该圆锥的高为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【详解】

设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，

因为圆锥的侧面积是，所以，所以，

则，

故选：A.

12．（2021·全国）已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由题意，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，

即圆锥的底面圆的半径为，母线长为，

所以该圆锥的侧面积为.

故选：B.

13．（2021·云南昆明八中高一期中）棱长都是3的正四面体的表面积为（    ）

A． B． C． D．54

【答案】A

【详解】

解：因为正四面体的棱长为3，

所以正四面体的表面积为，

故选：A

题型二：柱锥台体积

1．（2021·全国高一课时练习）若一个四棱锥的底面的面积为3，体积为9，则其高为（   ）

A． B．1 C．3 D．9

【答案】D

【详解】

设四棱锥的高为h，则由锥体的体积公式得：×3h=9，解得h=9，

所以所求高为9.

故选：D

2．（2021·全国高一课时练习）如图所示，正方体的棱长为1，则三棱锥的体积是（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【详解】

三棱锥D-ACD1的体积等于三棱锥D1-ACD的体积，三棱锥D1-ACD的底面ACD是直角边长为1的等腰直角三角形，高D1D=1，∴三棱锥D-ACD1的体积为V=×1×1×1=.

故选：A

3．（2021·全国高一课时练习）设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形，四棱锥的高为3，则该四棱锥的体积为（    ）

A．12 B．24 C．4 D．30

【答案】C

【详解】

所求的体积为，

故选：C.

4．（2021·全国高一课时练习）棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于（    ）

A． B． C． D．6

【答案】C

【详解】

依题意，棱台的上底面面积，下底面面积，高为，

故由公式可知，棱台的体积是，

故选：C.

5．（2021·全国高一课时练习）已知等腰直角三角形的直角边长为2，将该三角形绕其中一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由题意可知，所得几何体为圆锥，其体积.

故选：A．

6．（2021·广东罗湖·高三月考）若将面积为2的等腰直角三角形，以其一条直角边所在的直线为旋转轴旋转而成一个圆锥，则该圆锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由等腰直角三角形的面积为2，得其直角边长为2，

所以经过旋转得到圆锥的高为2，底面圆半径为2，

所以圆锥的体积为：.

故选：D

7．（2021·贵州师大附中高一月考）已知圆台上､下底面的半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由题意，该圆台，

则该圆台的体积.

故选：B.

8．（2021·肥城市教学研究中心高三模拟预测）《九章算术》中，将两底面为直角三角形的正柱体，亦即长方体的斜截平分体，称为堑堵.今有如图所示的堑堵形状容器装满水，当水量使用了一半时，水面高度占的（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

水的一半就是体积的一半，柱体体积公式是底面积乘高，高没变，底面积变为一半，

因为底面是等腰直角三角形，所以边长变为AB的，

所以水面高度占AB的，

故选：C.

9．（2021·山西高平·高一期中）已知一个圆锥的母线长为，其母线与底面所成的角为，则这个圆锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

由题得底面圆的半径，高，

故圆锥的体积．

故选：D

10．（2021·长沙铁路第一中学高二开学考试）已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，

由，得，

又，

所以，解得；

所以圆锥的高为，

所以圆锥的体积为．

故选：C．

11．（2021·江苏灌云·高二期中）若用半径为2的半圆纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥的体积为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【详解】

设圆锥的底面半径为，则，得，

所以圆锥的高为，

所以圆锥的体积为，

故选：D

12．（2021·江苏鼓楼·南京市第二十九中学高一月考）如图，棱锥体积与长方体体积的比值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：设，

因为平面，

所以，

因为，

所以棱锥体积与长方体体积的比值为，

故选：C

13．（2021·浙江高三专题练习）已知为等腰直角三角形，，其面积为1．以为轴，则将旋转一周形成的几何体的体积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

解：因为为等腰直角三角形，，其面积为1，

所以，且，解得，

以为轴，则将旋转一周形成的几何体为圆锥，此圆锥的底面半径为，高为，

所以圆锥的体积为，

故选：C

14．（2021·高邮市临泽中学高一期末）一个长、宽、高分别为80cm、60cm、100cm的长方体形状的水槽装有适量的水，现放入一个直径为40cm的木球（水没有溢出）．如果木球正好一半在水中，一半在水上，那么水槽中的水面升高了（    ）

A．cm B．cm

C．cm D．cm

【答案】B

【详解】

解：因为直径为40cm的木球，一半在水中，一半在水上，

所以可得木球在水中的体积，

因为木球在水中的体积等于水槽上升的体积，

所以水槽中水面上升的高度为

故选：B

15．（2021·北京市延庆区教育科学研究中心高一期末）如图，正方体的棱长为，那么三棱锥的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

.

故选：D

16．（2021·江苏扬州·高一期末）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积等于（    ）

A． B． C． D．4

【答案】A

【详解】

如图，正四棱锥，，，则，

则该正四棱锥的体积.

故选：A

题型三：球的表面积和体积

1．（2021·西藏拉萨中学高三月考（理））矩形中，，，沿将矩形折起，使面面，则四面体的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

如图：

矩形中，因为，

所以，

设交于，则是和的外心，

所以到点的距离均为，所以为四面体的外接球的球心，

所以四面体的外接球的半径，

所以四面体的外接球的体积.

故选:A.

2．（2021·全国高一课时练习）一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

设球心为，截面圆心为，连接，则垂直于截面圆，如图所示，

在中，，，

球的半径，球的体积．

故选：B.

3．（2021·昭通市昭阳区第一中学高二月考（理））半径为2cm的小金属球共有125个，熔化后铸成一个大金属球，如果不计损耗，可铸成的大金属球的表面积为（    ）

A．100 B．400 C．100 D．400

【答案】D

【详解】

设大金属球的半径为，

则，

所以其表面积为.

故选：D

4．（2021·天津河东·高二学业考试）一个球的表面积为，则这个球的半径为（    ）

A．6 B．12 C． D．

【答案】A

【详解】

由题意得，设球的半径为R，

则，

解得.

故选：A

5．（2021·湖北武汉·高三开学考试）某圆柱体的底面直径和高均与某球体的直径相等，则该圆柱体表面积与球体表面积的比值为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：设圆柱得底面半径为，则高为，球的半径为，

所以圆柱体表面积，

球得表面积，

所以圆柱体表面积与球体表面积的比值为.

故选：C.

6．（2021·浙江鄞州·宁波咸祥中学高一期中）一个球的体积为，则此球的半径是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

设球的半径为，则.

故选：C

7．（2021·广东东莞·高一期末）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

如图，O为外接球球心，母线BB1长度为2，底面半径r=O2B=1，易得外接球半径，

∴外接球体积.

故选：B.

8．（2021·浙江台州·高一期末）半径为1的球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

利用球的体积公式，可得球的体积.

故选：D.

9．（2021·贵州高二学业考试）棱长为2的正方体内切球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：因为正方体的棱长为2，

所以正方体的内切球半径为，

所以内切球的表面积为,

故选：A

10．（2021·广西七星·桂林十八中高二开学考试（理））若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

解：设正方体外接球的半径为，则由题意可得

，得，

所以球的表面积为，

故选：B

11．（2021·绥化市第二中学）设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为正方体的棱长为，故体对角线的长度为，

故外接球的直径为，其表面积为，

故选：C.

12．（2021·上海浦东新·华师大二附中）如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥的轴截面的顶角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：几何体的轴截面如图所示，设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则球的半径也为，

因为圆锥的体积恰好等于半球的体积，

所以，得，

所以，

设圆锥的轴截面的顶角为，则

，

故选：C

13．（2021·北京人大附中）已知正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为，则此三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B．3 C．6 D．9

【答案】C

【详解】

正三棱锥的外接球即是棱长为的正方体的外接球，

所以外接球的直径，

所以,

外接球的表面积，

故选：C

14．（2021·广西来宾·高三模拟预测（文））已知在高为2的正四棱锥中，，则正四棱锥外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

设正方形ABCD的中心为О，正四棱锥外接球的半径为，有，，解得，

则正四棱锥外接球的体积为.

故选：B

15．（2021·重庆市江津中学校高一开学考试）一个球的外切正方体的表面积为，则此球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

解：因为正方体的表面积为，所以正方体的棱长为1cm，

因为球内切于正方体，所以球的直径为1cm，所以球的半径为cm，

所以球的体积为，

故选：B