第06讲 二次函数-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

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第06讲-二次函数（解析版）
学习目标：
1.掌握二次函数的图像与性质；
2.会求含参数的二次函数最值；
3.掌握一元二次方程根的分布；
4.掌握二次函数综合运用

教学内容

1、已知，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】因为，则．
所以且仅当，即时等号成立，故选B．

2、已知都是负实数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，故选B．





知识点一：二次函数的图像与性质
知识梳理
一、二次函数（Quadratic function）的解析式的三种形式：
1． 一般式：
2． 顶点式：，其中为抛物线的顶点坐标．
3． 交点式（零点式）：， 为抛物线与轴的交点坐标．
二、二次函数的图像及性质：
（1）当时，函数图像开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线；当时，随着的增大而减小；当时，随着的增大而增大；当时，函数取最小值；
（2）当时，函数图像开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线；当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小；当时，函数取最大值。
三、二次函数在闭区间上的最值：
设，求在上的最大值与最小值。
当时，它的图像是开口向上的抛物线，数形结合可得在闭区间上的最值：
（1）当时，的最小值是的最大值是。
（2）当时，的最小值是的最大值是。
（3）若，由在上是增函数，则的最小值是，最大值是。
（4）若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是。
当时，可类比得结论。
例题精讲
例1、已知函数，若，，则必有（ ）
A . B.
C . D.的符号不能确定
【答案】 A
【解析】函数的对称轴为x＝－，又因为，，
故，所以
例2、已知 ，若是函数
的零点，则四个数按从小到大的顺序是　　 　　　（用符号连接起来）．
【答案】
【解析】令，的两根为由图像平移可得
例3、若二次函数对一切恒有成立，且， 则 ．
【答案】 153
【解析】时，，且为二次函数的顶点，,
例4、已知函数fx=ax2+bx+c，a>b>c，a+b+c=0，集合A=m|fm<0,m∈R，则（　　）
A. 任意m∈A，都有fm+3>0
B. 任意m∈A，都有fm+3<0
C. 存在m∈A，使得fm+3=0
D. 存在m∈A，使得fm+3<0
【答案】A
【解析】由a+b+c=0可得函数fx的两个零点分别为ca和1；则m+3-1>ca+2=a-ba>0，故fm+3>f1=0，选A．
例5、设二次函数的图像的顶点为，与轴的交点为，当为等边三角形时，求的值．
【答案】
【解析】由函数，化简得．因而有，又设．

由是等边三角形，得，即．
所以，由，得所求的值为
巩固练习
1、函数的图像经过四个象限的充要条件是（ ）
A、且 B、且
C、且 D、
【答案】D
【解析】A错误，不经过第一象限。B错误，可以不经过第二象限或第四象限。C错误，不经过第三、四象限
2、定义域为的函数有四个单调区间，则实数满足（ ）
. ； ．；
.； ..
【答案】 C
【解析】为偶函数，因此对称轴在轴右侧，C正确
3、已知二次函数满足条件及.
（1）求；
（2）求在上的最大值和最小值.
【解析】（1）设，由，可知
∵
故由得，因而， 所以；
（2）∵ ，所以当时，的最小值为
当时，的最大值为.
知识点二：含参数的二次函数最值
知识梳理
一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．
设，求在上的最大值与最小值．
分析：将配方，得对称轴方程
当时，抛物线开口向上
若必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；
若
当时，抛物线开口向上，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．当时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图像总结如下：
当时



当时



例题精讲
例1、当时，求函数的最小值(其中为常数)．
【解析】函数的对称轴为．画出其草图．
(1) 当对称轴在所给范围左侧．即时：当时，；
(2) 当对称轴在所给范围之间．即时：当时，；
(3) 当对称轴在所给范围右侧．即时：
当时，．

综上所述：
例2、已知，求的最小值的表达式，并求的最大值．
【解析】
若，即时，；
若 ，即时，．

当时，，得；
当时，．
所以，的最大值为．
例3、设为实数，函数，求f(x)的最小值．
【解析】（1）当时，
①若，则;
②若，则
（2）当时，
①若，则;；
②若，则
综上所述，当时，；当时，；当时，．
例4、已知函数在区间上的最小值是最大值是，求，的值。
【答案】
【解析】由，知，则，
又∵在上当增大时也增大所以，解得。

例5、已知函数，试判断是否存在正实数，使函数在区间上的值域为？若存在，求出；若不存在，说明理由。
【答案】
【解析】假设存在满足题设， ，
因为，所以两个最值点只能在端点和顶点处取到，而，所以，，解得，所以存在满足题意。
例6、设二次函数在区间上的最大值，最小值分别是，集合。
（1） 若，且，求的值；
（2） 若且，记，求。
【答案】（1）
【解析】（1）由可知又，故1,2是方程的两实根，由韦达定理解得
，当时，即；当时，即
（2） 由题意得，方程有两相等实根
由韦达定理即
其对称轴方程为，又，故

巩固练习
1、设函数的最小值为，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】，
2、函数满足, 且在上的值域为，则的取值范围是 ________.
【答案】
【解析】，所以对称轴为，，
3、已知二次函数的值域为，求在上的最小值
【解析】因为函数值域为，所以函数图像开口向上，，且对称轴为由，原函数可以写成。
对称轴为
当，即时，

当，即时，






4、已知函数，它的定义域为，值域为，求实数、的值.
【答案】.
【解析】，，是的两个不同的解，所以

知识点三：一元二次方程的根分布
知识梳理
1、一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程（）的两个实根为，，且。
【定理1】，(两个正根)，
推论：，或
上述推论结合二次函数图像不难得到。

【定理2】，，
推论：，或
由二次函数图像易知它的正确性。




【定理3】
【定理4】 ，且；
，且。


2、一元二次方程的非零分布——分布
设一元二次方程（）的两实根为，，且。为常数。则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若干定理。
【定理1】

【定理2】。

【定理3】。

推论1 。
推论2 。
【定理4】有且仅有（或）

【定理5】或
此定理可直接由定理4推出。
【定理6】或



讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②端点的函数值的符号；③对称轴与取值范围的相对位置。



例题精讲
例1、若一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0有两个正根，求m的取值范围.
【答案】0 【解析】方法一：有根△≥0即4[(m+1)²+m(m-1)]≥0，得：2m²+m+1≥0（恒成立）
两个正根x1＞0，x2＞0，∴0 方法二：对于0有两正根，x1＞0，x2＞0 ó可以合并解得0
例2、求关于的方程的二实根均大于的充要条件。
【答案】
【解析】解一：方程应有实根，且，
故题意


故所求的充要条件为
解二：（数形结合）设，
则的图像是以直线为对称轴
且张口向上的抛物线。该抛物线与轴有公共点，且公共点都在直线的右侧。

。
故所求的充要条件为
例3、已知关于的二次方程。若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，求的范围；
【答案】
【解析】 条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得

∴
例4、设=,，求证：
（1）； （2）方程在内有两个实根．
【解析】（1）因为由条件
（2）抛物线，而内分别有一实根．故方程内有两个实根。

例5、 关于的方程在区间上有实根，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】这题使用根的分布的方法较为复杂，使用分离参数的方法简便很多.
例6、已知满足，，且，则的范围是 。
【答案】
【解析】由得 又，故，即
又，所以 所以
所以是方程的两个小于不等实根
所以，解得

巩固练习
1、k在何范围内取值，一元二次方程kx2＋3kx＋k－3＝0有一个正根和一个负根？
【答案】 0 【解析】两根异号，k≠0，且x1·x2= 得00
得k>0或k<（此步也可以省略，∵即a、c异号时，一定会有两个异号的根）
所以0
2、方程至少有一个负实数根的充要条件是______.
【答案】
【解析】当得到符合题意．
当时，显然方程没有等于零的根．
若方程有两异号实根，根据根与系数之间的关系得到；
若方程有两个负的实根，由根与系数之间的关系得到
∴，
可知参数的范围是 ，综上可知为．
3、求实数的范围，使关于的方程．
（1）有两个实根，且一个比2大，一个比2小．
（2）有两个实根，且满足．
（3）至少有一个正根．
【解析】设．
（1）依题意有，即，得．
（2）依题意有　　　　　　　　解得：．
　　（3）方程至少有一个正根，则有三种可能：
　　　　　①有两个正根，此时可得，即．
　　　　　②有一个正根，一个负根，此时可得，得．
　　　　　③有一个正根，另一根为0，此时可得　　．
4、为实数，关于的二次方程有两个实数根分别介于0与1之间以及1与2之间，求的取值范围．
【答案】
【解析】构造二次函数，结合图形，有


，
故的取值范围是．



知识点四：二次函数综合运用
知识梳理

1、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：
设。
①函数的图像与轴无交点方程无实根不等式的解为一切实数不等式的无解；
②函数的图像与x轴相切方程有两个相等的实根不等式的解为；
③函数的图像与x轴有两个不同的交点方程有两个不等的实根：不等式的解为或不等式的解为。

例题精讲
例1、已知函数fx=-x2+ax+ba,b∈R的值域为-∞,0，若关于x的不等式fx>c-1的解集为m-4.m+1，则实数c的值为__________．
【答案】 -214
【解析】∵函数fx=-x2+ax+ba,b∈R的值域为-∞,0，
∴Δ=0，∴a2+4b=0，∴b=-a24，
∵关于x的不等式fx>c-1的解集为m-4,m+1，
∴方程fx=c-1的两根分别为：m-4，m+1，
∵方程-x2+ax-a24=c-1根为x=a2±1-c，
∴两根之差为21-c=m+1-m-4，c=-214．

例2、若集合中的所有元素之和为1，则实数a的取值集合为 ______．
【答案】
【解析】由题意可得是集合中的元素，无解或解为，
例3、函数，若时，恰成立，求的值．
【答案】
【解析】由题意可得是的解集，
例4、求出所有实数的值，使二次方程的两个根都是整数．
【答案】
【解析】由，得

化简得，由
经检验， 所求的值为
例5、对于函数，若存在，使 成立，则称 为的不动点。如果函数有两个相异的不动点、。
（1）若，且的图像关于直线对称，求证；
（2）若且 ，求的取值范围。
【解析】(I) 由 f (x) 表达式得 m = －，
∵ g(x) = f (x)－x = a x 2 + (b－1) x + 1，a > 0，
由 x1，x2 是方程 f (x) = x的两相异根，且 x1 < 1 < x2，
∴ g(1) < 0 Þ a + b < 0 Þ －> 1 Þ －> ，即 m > ．
(II) △= (b－1) 2－4a > 0 Þ (b－1) 2 > 4a，
x1 + x2 = ，x1x2 = ，
∴ | x1－x2 | 2 = (x1 + x2) 2－4x1x2 = () 2－= 2 2，
∴ (b－1) 2 = 4a + 4a 2 (*)
又 | x1－x2 | = 2，
∴ x1、x2 到 g(x) 对称轴 x = 的距离都为1，
要 g(x) = 0 有一根属于 (－2,2)，
则 g(x) 对称轴 x = Î (－3,3)，
∴ －3 < < 3 Þ a > | b－1 |，
把代入 (*) 得：(b－1) 2 > | b－1 | + (b－1) 2，
解得：b < 或 b > ， ∴ b 的取值范围是：(－¥, )∪( ,+¥)．

例6、已知，若对任意的恒成立，则（　　）
A. 的最小值为1
B. 的最小值为2
C. 的最小值为4
D. 的最小值为8
【答案】B
【解析】，故选B．
例7、科学研究表明：一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化。开始上课时，学生的注意力逐步增强，随后学生的注意力开始分散。经过实验分析，得出学生的注意力指数随时间（分钟）的变化规律为：
．
（1）如果学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）
（2）现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解24分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，那么，教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？（精确到1分钟）
【解析】（1）由于学生的注意力指数不低于80，即
当时，由得；
当时，由得；
所以，
故学生处于“理想听课状态”所持续的时间有分钟.
（2）设教师上课后从第分钟开始讲解这道题，由于
所以
要学生的注意力指数最低值达到最大，只需
即
解得
所以，教师上课后从第分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数最低值达到最大.
巩固练习
1、记方程①，方程②，方程③，其中是正实数，当成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是（　　）
A. 方程①有实根，且②有实根
B. 方程①有实根，且②无实根
C. 方程①无实根，且②有实根
D. 方程①无实根，且②无实根
【答案】B
【解析】当方程①有实根，且②无实根时，，成等比数列，，即方程③的判别式，此时方程③无实根．
2、已知函数（、），满足，且在时恒成立．
（1）求、的值；
（2）若，解不等式；
（3）是否存在实数，使函数在区间上有最小值？若存在，
请求出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由，得，
因为在时恒成立，所以且△，，
即，，，所以．
（2）由（1）得，由，
得，即，
所以，当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为空集 ．
（3），
的图像是开口向上的抛物线，对称轴为直线．
假设存在实数，使函数在区间上有最小值．
① 当，即时，函数在区间上是增函数，所以，
即，解得或，因为，所以；
② 当，即时，函数的最小值为，
即，解得或，均舍去；
③ 当，即时，在区间上是减函数，所以，
即，解得或，
因，所以．
综上，存在实数，或时，函数在区间上有最小值．




3、有一块铁皮零件，其形状是由边长为的正方形截去一个三角形所得的五边形，其中
，，如图所示，现在需要用这块材料截取矩形铁皮，使得矩形的相邻
两边分别落在上，另一个顶点落在边或边上，设，矩形的面积
为．
（1）试求出矩形铁皮的面积关于的函数解析式，并写出定义域；
（2）试问如何截取（即取何值时），可使得到的矩形的面积最大？
【解析】(1)依据题意并结合图形，可知：
　 当点在线段上，即时，；
　 当点在线段上，即时，由，得．
于是，．
　　所以， 定义域．
(2)由(1)知，当时，；
当时，，当且仅当时，等号成立．
　因此，的最大值为．
答：先在上截取线段，然后过点作的垂线交于点，再过点作的
平行线交于点，最后沿与截铁皮，所得矩形面积最大，最大面积为．





1、若函数满足，那么（ ）
A、 B、
C、 D、与大小不能确定
【答案】C
【解析】为函数对称轴，
2、已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是
。
【答案】
【解析】所以，
3．设函数在闭区间上的最大值是，最小值是，则（ ）
A. 与有关，且与有关；
B. 与有关，且与无关；
C. 与无关，且与无关；
D. 与无关，且与有关．
【答案】B
【解析】，均含有，所以差值与无关，B正确
4．方程的两实根满足，则实数的取值范围为____________.
【答案】
【解析】，
，
5、已知，，若方程在区间上有解，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】，，所以可整理：.令，对称轴在区间的右侧，可保证区间内函数单调，所以，即，易得
6、在平面直角坐标系中，设定点，是函数图象上一动点．若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 ．
【答案】
【解析】函数解析式（含参数）求最值问题

因为，则，分两种情况：
（1）当时，，则
（2）当时，，则
7、已知二次方程有且只有一个实根属于，且都不是方程的根，求的取值范围．
【答案】
【解析】f(x) = ，由于f(x)是二次函数，所以2m+1 ≠ 0，即m ≠ - .
f(x) =0在（1，2）上有且仅有一个实根当且仅当f(1)·f(2)<0 Û (5m+3)(m-2)<0 Û - 综上得：m的取值范围是(- , - )∪(- , 2)．
8、函数在上有最大值5及最小值2，求，的值．
【解析】对称轴方程为
（1） 当时，有时取最大值，时取最小值，则 得
（2） 当时，有时取最大值，时取最小值，则 得
经检验均符合题意，所以或
9、已知函数，．当时，函数的最小值是关于的函数．求的最大值及其相应的值；
【解析】 当时，； 当时，；
当时，． 所以，
分段讨论并比较大小得，当时，有最大值4．



10、设二次函数，方程的两个根满足。
（1） 当时，证明；
（2） 函数的图像关于直线对称，证明：。
【解析】（1）由题意可知.
,∴ ,
∴ 当时，.
又,
∴ ,
综上可知，所给问题获证。
（2）由题意 .
它的对称轴方程为
由方程的两个根满足, 可得
且,
∴ ，
即 ， 而
故 。




笔耕不辍