第35讲-圆柱、圆锥和球-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

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1.三棱锥V-ABC中, AB＝AC＝10，BC＝12，各侧面与底面成的二面角都是45°，
求三棱锥的高及侧面积？
2.斜三棱柱的底面是等腰三角形，，，棱柱顶点
A
B
C
A1
B1
C1
到三点的距离相等，侧棱长是13，求它的侧面积．
蠕虫的毯子
所谓“蠕虫的毯子”这个问题是要找出能够覆盖任何一条长度为一个单位的曲线的最小二维区域。
此问题的名称似乎很奇怪，不过你可以把这个区域想象成一块毯子，而把曲线想象成一条蛰伏的蠕虫。它的母亲需要一个我们称之为“万用毯子”的东西——不管蠕虫宝宝蛰伏的姿势如何，这块毯子都可以把它盖住。许多年前，加拿大艾伯塔大学的数学家Le Mser提出了一个令人困惑的，而且至今尚未解决的问题：面积最小的万用毯子具有什么样的形状?
这个一般性的问题的一个显而易见的答案是：此毯子应为一个半径为单位长度的圆盘，因此其总面积应为，即3．14l。如果蠕虫宝宝的头枕在圆心上，那么它的尾巴最多也只能搁在一个单位远的地方。
1973年，Empria国立大学的Jnametk Gerriets和Gerge D．Ple描述了一个五边形的毯子，它的面积只有0．286个单位。直到不久前，尚无人发现面积更小的毯子。但是，后来Darid Reynlds证明了一块面积为(4+)／24(即0．239)的四边形毯子是万用毯子。在这一数学领域中，Reynlds的结果是富有戏剧性的。他的方法的某一变形形式可以得出面积更小的毯子。
为了解释Reynlds的方法，我首先将用此法证明一个直径为单位长度的半圆——其面积为／8，或0．392——是万用毯子。给定蠕虫宝宝的某一种姿势，画一条直线把它的头和尾连接起来(如果蠕虫宝宝弯曲成了一个闭合的环形，则随意画一条线穿过其身体)。现在找出包住蠕虫宝宝的最小矩形；此矩形的两条边应当与刚才画的第一条线平行(见图1)。将此矩形称为一个“块”。此块的宽度W在0与1之间。对于任意一个W，我们可以估计出高度。我们知道，当蠕虫宝宝取等腰三角形的姿势睡觉时，任何一个块的最大高度应当为。
知识点一：圆柱的概念与性质
知识梳理
圆柱：将矩形绕其一边所在直线旋转一周，所形成的的几何体叫做圆柱；所在
直线叫做圆柱的轴；
线段和旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；
线段旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；叫做圆柱侧面的一条母线；
圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做圆柱的高。
【性质】根据圆柱的形成过程易知：
圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行；
圆柱有两个相互平行的底面.
侧面积、表面积和体积
圆柱的侧面积：
，其中，分别为圆柱的底面半径、周长，为母线长；
圆柱的体积
，其中为底面积，为高，为底面半径；
例题精讲
例1：用一张长、宽分别为的矩形纸张卷成一个没有底面的圆柱筒，则圆柱的底面积为 ．
例2：若一个圆柱的高是，它的侧面展开图中母线与对角线的夹角是，则此圆柱的体积为 ．
例3：如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC
中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到
点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为 ．
例4：如图，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为高为，杯内有深的溶液，先将水杯倾斜，且倾斜时点始终在桌面上，设直径所在直线与桌面所成的角为（图）
求图中圆锥的母线与液面所在平面所成的角（用表示）；
要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求角的最大值；
要保证倒出的溶液体积不少于，求角的取值范围（保留到）
巩固练习
1.轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱。若一个等边圆柱的轴截面面积为，则它的底面积为 ．
【答案】
2.甲乙两人分别利用一张长20厘米，宽15厘米的纸，用两种不同的方法围成一个圆柱体（接头
处不重叠），那么围成的圆柱（ ）
A．体积相等 B．用20厘米作为高的体积大
C．用15厘米作为高的体积大 D．无法比较
3.有一根长为cm,底面半径为的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？
4.如图的后母戊鼎（原称司母戊鼎）是迄今为止世界上出土最大、最重的青铜礼器，有“镇国之宝”的美誉，后母戊鼎双耳立，折沿宽缘，直壁，深腹，平底，下承中空“柱足”，造型厚重端庄，气势恢宏，是中国青铜时代辉煌文明的见证，右图为鼎足近似模型的三视图（单位：），经该鼎青铜密度为（单位：），
则根据三视图信息可得一个柱足的重量约为（重量 = 体积×密度，单位：）（ ）
1250 B. 5000 C.3750 D. 15000
知识点二：圆锥的定义与性质
知识梳理
圆锥：将直角三角形（及其内部）绕其一条直角边所在直线旋转一周，
所形成的几何体叫做圆锥；所在直线叫做圆锥的轴；点叫做圆锥的顶点；
直角边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；
斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；
斜边叫做圆锥侧面的一条母线；
圆锥的顶点到底面间的距离叫做圆锥的高．
【性质】根据圆锥的形成过程易知：
圆锥有无穷多条母线，且所有母线相交于圆锥的顶点；
每条母线与轴的夹角都相等.
侧面积、表面积和体积
圆锥的侧面积：
，其中，分别为圆锥的底面半径、周长，为母线长.
圆锥的体积：
，其中为底面积，为高，为底面半径。
例题精讲
例1：下列命题中的真命题是（ ）
A．以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆柱；
C．圆柱、圆锥的底面都是圆；
D．圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径．
例2：《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为尺，米堆的高为尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为立方尺，由此估算出堆放的米约有（ ）
A．斛 B.斛 C.斛 D.斛
例3：已知顶点为的圆锥的母线长为，底面半径为，是底面圆周上的两点，
为底面中心，且，求在圆锥侧面上由点到点的最短路线长．
C
P
S
Q
A
O
B
E
例4：如图，已知圆锥底面半径，点为半圆弧的中点，点为母线的中点，与所成的角为．求：
（1）圆锥的全面积；
（2）两点在圆锥侧面上的最短距离．
巩固练习
1.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是 （ ）
、圆锥 、圆柱 、球体 、以上都有可能
2.把一个圆柱切削成一个最大的圆锥，已已知削去部分的体积比圆锥体积大3.6立方分米，那么圆锥的体积是 立方分米．
3.若圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面圆的半径是 ．
4.如图，圆锥形封闭容器，高为h，圆锥内水面高为若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为
知识点三：圆柱、圆锥的综合
例题精讲
例1：如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，那么所截得的图形可能是图中的_______．
【答案】（1）（3）
例2：如图，圆柱的轴截面是正方形，点在底面圆周上，
点在上，且，若圆柱的底面积与的面积之比等于。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值。
例3：圆锥SO的轴截面是等腰直角三角形，AB是⊙O的直径，Q是圆周上不同于A、B的点。
（1）若∠ AOQ=，SO=h，求底面中心O到平面SQB的距离；
（2）若 二面角Q-SA-B等于，求SQ与轴截面SAB所成角的大小 .
巩固练习
1．如图，用半径为cm，面积为cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 该容器最多盛水多少？（结果精确到0.1 cm3）
2.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9．6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分．再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
（1）当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值
（精确到0．01平方米）；
（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．
当灯笼底面半径为0．3米时，求图中两根直线型霓虹灯
所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
3.如图所示，圆锥的顶点为，底面中心为，母线，底面半径与互相垂直，
且.
（1）求圆锥的表面积；
（2）求二面角的大小（结果用反三角函数表示）.
知识点四：球的概念与性质
知识梳理
球：将圆心为的半圆绕其直径所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做球；半圆的圆弧所
形成的曲面叫做球面，把点称为球心，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径。
【补充】
球心到球面上任意点的距离都相等；
② 任意平面与球面的交线都是圆；当平面通过球心时，所得交线是大圆；当平面不通过球心时，所得交线是小圆.
球的表面积为，
球的体积为。
例题精讲
例1:有下列命题:
①在圆柱的上､下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③过球面上任意两点和球心有且只有一个大圆；
④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.
其中正确的是( )
.①②； .②③； .①③； .②④.
例2: 64个直径都为的球，记它们的体积之和为，表面积之和为；一个直径为的球，
记其体积为，表面积为，则（ ）
A． B．
C． D．
例3：棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形（正四面体的截面）的面积。
例4：已知三棱锥内接于球，三条侧棱两两垂直且长都等于1，求球的表面积和体积．
A
B
C
P
O
O1
Q
巩固练习
1.如果球、正方体与等边圆柱（底面直径与母线相等）的体积相等，
求它们的表面积的大小关系．
2．如图，AB是球O的直径，C、D是球面上两点，且点D在以BC为直径的小圆上，设小圆所在的平面为．
（1）求证：平面ABC ；
（2）设D为BC弧的中点，AD与平面 所成角为 ，过球的半径OD且垂直于截面BC弦于点E，
求△OED与过OD的截面圆的面积之比．
知识点五：球面距离
知识梳理
经度、纬度：
经线：球面上从北极到南极的半个大圆
纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆
经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数
纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数
球面距离：球面上两点之间的最短距离，也是过两点的大圆的圆弧（劣弧）长度．
（1）两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离 即： (为球心角的弧度数)．
（2）半球的底面： 已知半径为的球，用过球心的平面去截球，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆（包含它内部的点），叫做所得半球的底面．
例题精讲
例1：设地球半径为，在北纬圈上有，两地，它们在纬度圈上的弧长等于，
求，两地间的球面距离.
例2：在地球本初子午线上有两点。它们的纬度差为，若地球半径为，求两点间的球面距离。
例3：设地球上两点,，其中位于北纬，位于南纬，且、两点的经度差为，求、两点的球面距离。
巩固练习
1.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过3个点的小圆的周长
为，求这个球的半径．
2.地球半径为，地位于经度，北纬；地位于纬度，东经。
P
Q
O
O1
（1）地球自转6小时，地旋转了多少路程？
（2）求两地的球面距离．
1．圆柱形容器内盛有高度为的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________
2．圆锥的高为，侧面积为，其内切球的表面积为________．
3.如图，圆柱的轴截面是正方形，点在底面的圆周上，，是垂足．
（1）求证：；
（2）如果圆柱与三棱锥的体积的比等于，求直线与平面所成的角．
4．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
5．点在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为( )
A. B. C. D.
6．若一个正四面体的表面积为，其内切球的表面积为，则＝________.
笔耕不辍
学习目标：
掌握圆柱、圆锥和球的性质
能够运用圆柱、圆锥和球的性质解决一些实际问题
图形
定义
有关线
轴
直线
直线
母线
有关面
底面
圆
圆
截面
圆
圆
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
侧面及
展开图
表面积
其中分别是底面半径和母线长
体积
其中为圆锥的高