02填空题-2021中考数学真题知识点分类汇编-锐角三角形（含答案，29题）

这是一份02填空题-2021中考数学真题知识点分类汇编-锐角三角形（含答案，29题），共29页。试卷主要包含了计算等内容，欢迎下载使用。

02填空题-2021中考数学真题知识点分类汇编-锐角三角形（含答案，29题）

一．锐角三角函数的定义（共1小题）
1．（2021•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sinB的值是 　 　．

二．特殊角的三角函数值（共1小题）
2．（2021•杭州）计算：sin30°＝　 　．
三．解直角三角形（共6小题）
3．（2021•无锡）如图，在△ABC中，AD是高，E是AB上一点，CE交AD于点F，且AD：BD：CD：FD＝12：5：3：4，则sin∠BEC的值是 　 　．

4．（2021•无锡）如图，△ABC中，∠C＝90°，tanB＝3，MN垂直平分AB，AN＝10，则BC＝　 　．

5．（2021•内江）已知，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，则△ABC的面积为 　 　．
6．（2021•绵阳）在直角△ABC中，∠C＝90°，+＝，∠C的角平分线交AB于点D，且CD＝2，斜边AB的值是 　 　．
7．（2021•海南）如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是 　 　．

8．（2021•乐山）如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x轴正半轴所夹的锐角为α，那么当sin
α的值最大时，n的值为 　 　．

四．解直角三角形的应用（共6小题）
9．（2021•遵义）小明用一块含有60°（∠DAE＝60°）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示，若小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB为1.62m，小明与树之间的水平距离BC为4m，则这棵树的高度约为 　 　m．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）

10．（2021•梧州）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是 　 　米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）

11．（2021•娄底）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形ABCD表示一个“鱼骨”，AB平行于车辆前行方向，BE⊥AB，∠CBE＝α，过B作AD的垂线，垂足为A′（A点的视觉错觉点），若sinα＝0.05，AB＝300mm，则AA′＝　 　mm．

12．（2021•衢州）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且OA＝OB，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得FA＝54cm，EB＝45cm，AB
＝48cm．
（1）椅面CE的长度为 　 　cm．
（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角∠CHD的度数达到最小值30°时，A，B两点间的距离为 　 　cm（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）

13．（2021•荆州）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为 　 　cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73）

14．（2021•金华）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．
（1）ED的长为 　 　．
（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC′（如图2），点P的对应点为P′，BC′与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上的光点为E′．若DD′＝5，则EE′的长为 　 　．

五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共2小题）
15．（2021•无锡）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 　 　米．
16．（2021•山西）太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5：12（i为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为 　 　米．

六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共11小题）
17．在数学实践活动课上，某兴趣小组测量操场上篮球筐距地面的高度如图所示，已知篮球筐的直径AB约为0.45m，某同学站在C处，先仰望篮球筐直径的一端A处，测得仰角为42°，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为35°．若该同学的目高OC为1.7m，则篮球筐距地面的高度AD大约是 　 　m．（结果精确到1m）．
（参考数据：tan42°≈0.9，tan35°＝0.7，tan48°≈1.1，tan55°≈1.4）

18．（2021•黔西南州）如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与地面距离为150m，则这栋楼的高度是 　 　m．

19．（2021•百色）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为 　 　米．

20．（2021•阜新）如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为 　 　m（结果精确到1m，≈1.7）．

21．（2021•赤峰）某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头C处的高度CD为238米，点A，D，B在同一直线上，则雪道AB的长度为 　 　米．（结果保留整数，参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

22．（2021•烟台）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为 　 　米．
（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）

23．（2021•黄石）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC＝5米，CD＝4米，∠BCD＝150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为45°，则电线杆AB的高度约为 　 　米．
（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果按四舍五入保留一位小数）

24．（2021•湖北）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10s．同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°，则这架无人机的飞行高度大约是 　 　m（≈1.732，结果保留整数）．

25．（2021•广西）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为 　 　米（结果保留根号）．

26．（2021•黄冈）如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则建筑物BC的高约为 　 　m
（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

27．（2021•乐山）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C处测得石碑顶A点的仰角为30°，她朝石碑前行5米到达点D处，又测得石碑顶A点的仰角为60°，那么石碑的高度AB的长＝　 　米．（结果保留根号）

七．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）
28．（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 　 　海里（结果保留根号）．

29．（2021•武汉）如图，海中有一个小岛A．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12nmile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是 　 　nmile（≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1）．

参考答案与试题解析
一．锐角三角函数的定义（共1小题）
1．（2021•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sinB的值是 　　．

【解析】解：∵∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，
∴sinB＝＝．
【答案】．
二．特殊角的三角函数值（共1小题）
2．（2021•杭州）计算：sin30°＝　　．
【解析】解：sin30°＝．
三．解直角三角形（共6小题）
3．（2021•无锡）如图，在△ABC中，AD是高，E是AB上一点，CE交AD于点F，且AD：BD：CD：FD＝12：5：3：4，则sin∠BEC的值是 　　．

【解析】解：过C作CH⊥AB于点H，过点F作FG⊥AB于点G，

设BD＝5x，则AD＝12x，CD＝3x，DF＝4x，
∴AB＝，CF＝，AF＝AD﹣DF＝8x，
∵∠AGF＝∠ADB＝90°，∠GAF＝∠DAB，
∴△AGF∽△ADB，
∴，即，
∴FG＝，
∵∠B＝∠B，∠BHC＝∠BDA，
∴△BCH∽△BAD，
∴，即，
∴CH＝，
∵FG∥CH，
∴△EFG∽△ECH，
∴，即，
∴EF＝，
∴sin∠BEC＝，
【答案】．
4．（2021•无锡）如图，△ABC中，∠C＝90°，tanB＝3，MN垂直平分AB，AN＝10，则BC＝　6　．

【解析】解：∵MN⊥AB，
∴∠AMN＝∠ACB＝90°，
∴∠ANM＝∠B，
在Rt△AM中，
设MN＝a，AM＝b，
则，
解得：a＝，b＝3，
∴AM＝3，
∵MN垂直平分AB，
∴AB＝2AM＝6，
在Rt△ABC中，
设BC＝m，AC＝n，
则，
解得：m＝6，
即BC＝6．
【答案】6．
5．（2021•内江）已知，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，则△ABC的面积为 　2或14　．
【解析】解：过点B作AC边的高BD，
Rt△ABD中，∠A＝45°，AB＝4，
∴BD＝AD＝4，
在Rt△BDC中，BC＝5，
∴CD＝＝3，
①△ABC是钝角三角形时，
AC＝AD﹣CD＝1，
∴S△ABC＝AC•BD＝＝2；
②△ABC是锐角三角形时，
AC＝AD+CD＝7，
∴S△ABC＝AC•BD＝×7×4＝14，
【答案】2或14．

6．（2021•绵阳）在直角△ABC中，∠C＝90°，+＝，∠C的角平分线交AB于点D，且CD＝2，斜边AB的值是 　3　．
【解析】解：如图，
∵∠C＝90°，∠C的角平分线交AB于点D，且CD＝2，
∴DE＝EC＝CF＝FD＝2，
∵tanA＝，tanB＝，+＝，
∴+＝，
即＝，
又∵AC2+BC2＝AB2，
∴＝，
在Rt△ADE中，AE＝＝，
在Rt△BDF中，BF＝＝，
∴AC•BC＝（2+）（2+）
＝4（1+++1）
＝4（2+）
＝18，
∴＝
∴AB2＝45，
即AB＝3，
【答案】3．

7．（2021•海南）如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是 　（4，）　．

【解析】解：过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．

∵B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），
∴OC＝，OB＝1，
∴BC＝＝2．
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝＝＝＝2．
∵∠ABG+∠CBO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，
∴∠ABG＝∠BCO．
∴sin∠ABG＝＝＝，cos∠ABG＝＝＝，
∴AG＝，BG＝3．
∴OG＝1+3＝4，
∴顶点A的坐标是（4，）．
【答案】（4，）．
8．（2021•乐山）如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x轴正半轴所夹的锐角为α，那么当sinα的值最大时，n的值为 　　．

【解析】解：过点A作AM⊥y轴于点M，作AN⊥BN交于点N，

∵直线y＝﹣2与x轴平行，
∴∠ABN＝α，
当sinα的值最大时，则tanα＝值最大，
故BN最小，即BG最大时，tanα最大，
即当BG最大时，sinα的值最大，
设BG＝y，
则AM＝4，GC＝n+2，CM＝3﹣n，
∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠BCG＝90°，
∴∠CAM＝∠BCG，
∴tan∠CAM＝tan∠BCG，
∴，即，
∴y＝﹣（n﹣3）（n+2）＝﹣（n﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当n＝时，y取得最大值，
故n＝，
【答案】．
四．解直角三角形的应用（共6小题）
9．（2021•遵义）小明用一块含有60°（∠DAE＝60°）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示，若小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB为1.62m，小明与树之间的水平距离BC为4m，则这棵树的高度约为 　8.5　m．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）

【解析】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
∵BC＝4m，AB＝1.62m，
∴AD＝BC＝4m，DC＝AB＝1.62m，
Rt△AED中，∵∠DAE＝60°，AD＝4m，
∴ED＝AD•tan60°＝4×＝4（m），
∴CE＝ED+DC＝4+1.62≈8.5（m）
答：这棵树的高度约为8.5m．
【答案】8.5．
10．（2021•梧州）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是 　326　米．（结果精确到1
米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）

【解析】解：由题意，在Rt△ABC中，
∵AC＝40米，∠A＝83°，tanA＝，
∴BC＝tanA•AC
≈8.14×40
＝325.6
≈326（米）．
【答案】326．
11．（2021•娄底）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形ABCD表示一个“鱼骨”，AB平行于车辆前行方向，BE⊥AB，∠CBE＝α，过B作AD的垂线，垂足为A′（A点的视觉错觉点），若sinα＝0.05，AB＝300mm，则AA′＝　15　mm．

【解析】解：∵BA'⊥AD，AD∥BC，
∴A'B⊥BC，
∴∠A'BC＝∠ABE＝90°，
∴∠ABA'＝∠CBE＝α，
∵sin∠A'BA＝sinα＝＝0.05，
∴AA'＝300×0.05＝15（mm），
【答案】15．
12．（2021•衢州）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且OA＝OB，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得FA＝54cm，EB＝45cm，AB＝48cm．
（1）椅面CE的长度为 　40　cm．
（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角∠CHD的度数达到最小值30°时，A，B两点间的距离为 　12.5　cm（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）

【解析】解：（1）∵CE∥AB，
∴∠ECB＝∠ABF，
∴tan∠ECB＝tan∠ABF，
∴，
∴，
∴CE＝40（cm），
【答案】40；
（2）如图2，延长AD，BE交于点N，

∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
在△ABF和△BAN中，
，
∴△ABF≌△BAN（ASA），
∴BN＝AF＝54（cm），
∴EN＝9（cm），
∵tanN＝，
∴＝，
∴DE＝8（cm），
∴CD＝32（cm），
∵点H是CD的中点，
∴CH＝DH＝16（cm），
∵CD∥AB，
∴△AOB∽△DOC，
∴＝＝＝，
如图3，连接CD，过点H作HP⊥CD于P，

∵HC＝HD，HP⊥CD，
∴∠PHD＝∠CHD＝15°，CP＝DP，
∵sin∠DHP＝＝sin15°≈0.26，
∴PD≈16×0.26＝4.16（cm），
∴CD＝2PD＝8.32（cm），
∵CD∥AB，
∴△AOB∽△DOC，
∴，
∴，
∴AB＝12.48≈12.5（cm），
【答案】12.5．
13．（2021•荆州）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为 　6.3　cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73）

【解析】解：如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，
在Rt△ABM中，
∵∠BAE＝60°，AB＝16，
∴BM＝sin60°•AB＝×16＝8（cm），
∠ABM＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BCD中，
∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABM＝50°﹣30°＝20°，
∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°，
又∵BC＝8，
∴BD＝sin70°×8≈0.94×8＝7.52（cm），
∴CN＝DM＝BM﹣BD＝8﹣7.52≈6.3（cm），
即点C到AE的距离约为6.3cm，
【答案】6.3．

14．（2021•金华）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．
（1）ED的长为 　13　．
（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC′（如图2），点P的对应点为P′，BC′与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上的光点为E′．若DD′＝5，则EE′的长为 　11.5　．

【解析】解：（1）如图，由题意可得，∠APB＝∠EPD，∠B＝∠EDP＝90°，
∴△ABP∽△EDP，
∴＝，
∵AB＝6.5，BP＝4，PD＝8，
∴＝，
∴DE＝13；
【答案】13．
（2）如图2，过点E′作∠E′FD′＝∠E′D′F，过点E′作E′G⊥BC′于点G，

∴E′F＝E′D′，FG＝GD′，
∵AB∥MN，
∴∠ABD′+∠E′D′B＝180°，
∴∠ABD′+∠E′FG＝180°，
∵∠E′FB+∠E′FG＝180°，
∴∠ABP′＝∠E′FP′，
又∠AP′B＝∠E′P′F，
∴△ABP′∽△E′FP′，
∴＝即，＝，
设P′F＝4a，则E′F＝6.5a，
∴E′D′＝6.5a，
在Rt△BDD′中，∠BDD′＝90°，DD′＝5，BD＝BP+PD＝12，
由勾股定理可得，BD′＝13，
∴cos∠BD′D＝，
在Rt△E′GD′中，cos∠BD′D＝＝，
∴GD′＝2.5a，
∴FG＝GD′＝2.5a，
∵BP′+P′F+FG+GD′＝13，
∴4+4a+2.5a+2.5a＝13，解得a＝1，
∴E′D′＝6.5，
∴EE′＝DE+DD′﹣D′E′＝13+5﹣6.5＝11.5．
【答案】11.5．
五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共2小题）
15．（2021•无锡）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 　10　米．
【解析】解：设上升的高度为x米，
∵上山直道的坡度为1：7，
∴水平距离为7x米，
由勾股定理得：x2+（7x）2＝1002，
解得：x1＝10，x2＝﹣10（舍去），
【答案】10．
16．（2021•山西）太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5：12（i为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为 　　米．

【解析】解：由题意得：∠ACB＝90°，AB＝0.5×40＝20（米），
∵扶梯AB的坡度i＝5：12＝，
∴设BC＝5a米，则AC＝12a米，
由勾股定理得：（5a）2+（12a）2＝202，
解得：a＝（负值已舍去），
∴BC＝（米），
【答案】．
六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共11小题）
17．在数学实践活动课上，某兴趣小组测量操场上篮球筐距地面的高度如图所示，已知篮球筐的直径AB约为0.45m，某同学站在C处，先仰望篮球筐直径的一端A处，测得仰角为
42°，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为35°．若该同学的目高OC为1.7m，则篮球筐距地面的高度AD大约是 　3　m．（结果精确到1m）．
（参考数据：tan42°≈0.9，tan35°＝0.7，tan48°≈1.1，tan55°≈1.4）

【解析】解：如图：

由题意可得四边形AEFB是矩形，四边形OCDE是矩形，
∴AB＝EF＝0.45，OC＝ED＝1.7，
设OE＝x，AE＝BF＝y，
在Rt△AOE中，tan42°＝，
∴，
在Rt△BOF中，tan35°＝，
∴，
联立方程组，可得，
解得：，
∴AD＝AE+ED＝≈3，
【答案】3．
18．（2021•黔西南州）如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A
处看一栋楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与地面距离为150m，则这栋楼的高度是 　100　m．

【解析】解：如图，过A作AH⊥BC，交CB的延长线于点H，

在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，AD＝150m，
∴CD＝AD•tan30°＝150×＝50（m），
∴AH＝CD＝50m．
在Rt△ABH中，
∵∠BAH＝30°，AH＝50m，
∴BH＝AH•tan30°＝50×＝50（m），
∴BC＝AD﹣BH＝150﹣50＝100（m），
答：这栋楼的高度为100m．
【答案】100．
19．（2021•百色）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为 　20　米．

【解析】解：在Rt△APO中，OP＝15米，∠APO＝30°，
∴OA＝OP•tan30°＝（米），
在Rt△POB中，OP＝15米，∠OPB＝60°，
∴OB＝（米），
∴AB＝OA+OB＝20（米），
【答案】20．
20．（2021•阜新）如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为 　57　m（结果精确到1m，≈1.7）．

【解析】解：如图，过A作AE⊥CD于E，
则AB＝CE，
在△ACE中，∵∠AEC＝90°，∠CAE＝30°，EC＝AB＝21米，
∴AC＝21×2＝42（米），
∴AE＝＝＝21≈35.7（米），
在Rt△ADE中，∵∠AED＝90°，∠DAE＝45°，
∴AE＝DE＝35.7米，
∴乙楼DC＝CE+ED＝21+35.7＝56.7≈57（米）．
答：乙楼的高约为57米．

21．（2021•赤峰）某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头C处的高度CD为238米，点A，D，B在同一直线上，则雪道AB的长度为 　438　米．（结果保留整数，参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【解析】解：由题意得，∠CAD＝50°，∠CBD＝45°，
在Rt△CBD中，∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝238米，
在Rt△CAD中，tan∠CAD＝，
则AD＝≈200米，
则AB＝AD+BD≈438米，
答：AB两点间的距离约为438米．
【答案】438．
22．（2021•烟台）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为 　14　米．
（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）

【解析】解：过O点作OC⊥AB于C点，

∵当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，
∴AC＝45米，∠CAO＝30°，
∴OC＝AC•tan30°＝（米），
∴旗杆的高度＝40﹣15≈14（米），
【答案】14．
23．（2021•黄石）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC＝5米，CD＝4米，∠BCD＝150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为45°，则电线杆AB的高度约为 　10.5　米．
（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果按四舍五入保留一位小数）

【解析】解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，
∵∠BCD＝150°，
∴∠DCF＝30°，又CD＝4米，
∴DF＝2米，CF＝（米），
由题意得∠E＝45°，
∴EF＝DF＝2米，
∴BE＝BC+CF+EF＝5+2+2＝（7+2）米，
∴AB＝BE＝7+2≈10.5（米），
【答案】10.5．

24．（2021•湖北）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10s．同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°，则这架无人机的飞行高度大约是 　20　m（≈1.732
，结果保留整数）．

【解析】解：过A点作AH⊥BC于H，过B点作BD垂直于过C点的水平线，垂足为D，如图，
根据题意得∠ACD＝75°，∠BCD＝30°，AB＝3×10＝30m，
∵AB∥CD，
∴∠ABH＝∠BCD＝30°，
在Rt△ABH中，AH＝AB＝15m，
∵tan∠ABH＝，
∴BH＝＝＝15，
∵∠ACH＝∠ACD﹣∠BCD＝75°﹣30°＝45°，
∴CH＝AH＝15m，
∴BC＝BH+CH＝（15+15）m，
在Rt△BCD中，∵∠BCD＝30°，
∴BD＝BC＝≈20（m）．
答：这架无人机的飞行高度大约是20m．
【答案】20．

25．（2021•广西）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为 　（30﹣10）　米（结果保留根号）．

【解析】解：由题意可得，∠ADB＝60°，∠ACB＝45°，AB＝30m，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
在Rt△ABD中，
∵∠ADB＝60°，
∴BD＝AB＝10（m），
∴CD＝BC﹣BD＝（30﹣10）m，
【答案】（30﹣10）．
26．（2021•黄冈）如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则建筑物BC的高约为 　24.2　m（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

【解析】解：在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，
则BC＝CD，
设BC＝CD＝x，则AC＝x+8，
在Rt△ACD中，tan∠ADC＝＝，
则x+8＝x•tan53°，
∴x+8＝1.33x，
∴x≈24.2（m），
故建筑物BC的高约为24.2m，
【答案】24.2．
27．（2021•乐山）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C处测得石碑顶A点的仰角为30°，她朝石碑前行5米到达点D处，又测得石碑顶A点的仰角为60°，那么石碑的高度AB的长＝　　米．（结果保留根号）

【解析】解：设石碑的高度AB的长为x米，
Rt△ABC中，BC＝＝x，
Rt△ABD中，BD＝＝，
∵CD＝5，
∴BC﹣BD＝5，
即x﹣＝5，
解得x＝，
【答案】．
七．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）
28．（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 　25　海里（结果保留根号）．

【解析】解：过P作PC⊥AB于C，如图所示：
由题意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝50海里，
在Rt△APC中，cos∠APC＝，
∴PC＝PA•cos∠APC＝50×＝25（海里），
在Rt△PCB中，cos∠BPC＝，
∴PB＝＝＝25（海里），
【答案】25．

29．（2021•武汉）如图，海中有一个小岛A．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12nmile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是 　10.4　nmile（≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1）．

【解析】解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，
由题意得，∠BAE＝60°，∠CAE＝30°，
∴∠ABC＝30°，∠ACE＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC＝12nmile，
在Rt△ACE中，sin∠ACE＝，
∴AE＝AC•sin∠ACE＝6≈10.4（nmile），
故小岛A到航线BC的距离是10.4nmile，
【答案】10.4．