2021中考数学真题知识点分类汇编-图形的对称填空题（含答案）

这是一份2021中考数学真题知识点分类汇编-图形的对称填空题（含答案），共48页。

2021中考数学真题知识点分类汇编-图形的对称填空题（含答案）

一．轴对称的性质（共4小题）
1．（2021•鞍山）如图，∠POQ＝90°，定长为a的线段端点A，OQ上运动（点A，B不与点O重合），C为AB的中点，A′O交AB于点D，当△OBD是等腰三角形时　 　．

2．（2021•广州）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，则∠BCD的度数为 　 　．

3．（2021•株洲）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（“”为“蜨”，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，共十三只（图①中的“樣”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图（“一樣二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，则∠DCP＝　 　度．

4．（2021•嘉兴）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A′，A′P．在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是 　 　；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为 　 　．

二．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共2小题）
5．（2021•淄博）在直角坐标系中，点A（3，2）关于x轴的对称点为A1，将点A1向左平移3个单位得到点A2，则A2的坐标为 　 　．
6．（2021•宜昌）如图，在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2），则点B关于x轴的对称点C的坐标是 　 　．

三．剪纸问题（共1小题）
7．（2021•资阳）将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径MN对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，再将△AOB展开得到如图3的一个六角星．若∠CDE＝75°，则∠OBA的度数为 　 　．

四．轴对称-最短路线问题（共8小题）
8．（2021•西宁）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，AD是BC边上的中线，M是AD上的一个动点，MN，则BM+MN的最小值是 　 　．

9．（2021•丹东）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△ABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若AB＝AC＝，BC＝2，则PA+PB+PC＝　 　；若AB＝2，BC＝2，AC＝4，则PA+PB+PC＝　 　．
10．（2021•毕节市）如图，在菱形ABCD中，BC＝2，Q为AB的中点，P为对角线BD上的任意一点　 　．

11．（2021•鄂尔多斯）如图，已知正方形ABCD的边长为6，点F是正方形内一点，DF，且∠ADF＝∠DCF，连接EB，EF　 　．

12．（2021•呼和浩特）已知菱形ABCD的面积为2，点E是一边BC上的中点，点P是对角线BD上的动点．连接AE，则线段PE与PC的和的最小值为 　 　，最大值为 　 　．
13．（2021•聊城）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，C分别在x轴，y轴上，B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，点E的坐标为 　 　．

14．（2021•黄冈）如图，正方形ABCD中，AB＝1，∠ACD的平分线交AD于点E，在AB上截取AF＝DE，分别交CE，CA于点G，H，PQ⊥AC于点Q，连接PH．下列结论：①CE⊥DF；③EA＝AH，其中所有正确结论的序号是 　 　．

15．（2021•青海）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，则DN+MN的最小值是 　 　．

五．翻折变换（折叠问题）（共23小题）
16．（2021•锦州）如图，∠MON＝30°，点A1在射线OM上，过点A1作A1B1⊥OM交射线ON于点B1，将△A1OB1沿A1B1折叠得到△A1A2B1，点A2落在射线OM上；过点A2作A2B2⊥OM交射线ON于点B2，将△A2OB2沿A2B2折叠得到△A2A3B2，点A2落在射线OM上；…按此作法进行下去，在∠MON内部作射线OH1B1，A2B2，A3B3，…，AnBn交于点P1，P2，P3，…Pn，又分别与A2B1，A3B2，A4B3，…，An+1Bn，交于点Q1，Q2，Q3，…，Qn．若点P1为线段A1B1的中点，OA1＝，则四边形AnPnQnAn+1的面积为 　 　（用含有n的式子表示）．

17．（2021•阿坝州）如图，腰长为2+2的等腰△ABC中，D为腰AB上的一个动点，将△ACD沿CD折叠，当CE与△ABC的某一条腰垂直时，BD的长为 　 　．

18．（2021•黔西南州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，M是BC上的点，且CM＝3，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C′处，则线段AN的长是 　 　．

19．（2021•盘锦）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝2，点P为边AB上一点，以DP为折痕将△DAP翻折，连接AA′，AA′交PD于点M，连接AQ，MQ　 　．

20．（2021•镇江）如图，点A，B，C，O在网格中小正方形的顶点处，O，将△ABC沿l平移得到△MNO，M是A的对应点，P，Q分别是A，M的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于1　 　．

21．（2021•抚顺）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，连接BO．若AB＝4，CF＝5　 　．

22．（2021•大连）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，BE＝2，则BB′的长是 　 　．

23．（2021•湘西州）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，∠1＝20°，则∠2的度数是 　 　．

24．（2021•威海）如图，先将矩形纸片ABCD沿EF折叠（AB边与DE在CF的异侧），AE交CF于点G，使CG与AE在同一条直线上，折痕为GH．若∠AEF＝α，则HE＝　 　cm．

25．（2021•本溪）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，EF交AD于点G，连接CG交PQ于点H；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是 　 　（填序号即可）．

26．（2021•东营）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E．若AE＝5　 　．

27．（2021•深圳）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，将△CDE沿DE折叠，得到△FDE，CF，∠BFC＝90°，AB＝4，EF＝10　 　．

28．（2021•海南）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，将此矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，则AD′的长为 　 　，DD′的长为 　 　．

29．（2021•河南）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1．第一步，将纸片沿CD折叠，点A落在A'处；第二步，将纸片沿CA'折叠，如图3．当点D′恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段A′D′的长为 　 　．

30．（2021•黑龙江）在矩形ABCD中，AB＝2cm，将矩形ABCD沿某直线折叠，折痕与直线AD交于点E，且DE＝3cm　 　cm2．
31．（2021•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，点E在线段AC上，D是线段BC上的一点，连接DE，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时　 　．

32．（2021•盐城）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，连接AC′，当BE＝　 　时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．

33．（2021•杭州）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，则∠DAF＝　 　度．

34．（2021•广安）如图，将三角形纸片ABC折叠，使点B、C都与点A重合，AE＝EF，DE＝　 　．

35．（2021•泰安）如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD＞AB），使AB落在AD上，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，使点B落在AE上的点G处，连接DE，CE＝2，则AD的长为 　 　．

36．（2021•成都）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在边AD，且AE＝3，按以下步骤操作：
第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，则线段BF的长为 　 　；
第二步，分别在EF，A′B′上取点M，N，使点F与点E重合，则线段MN的长为 　 　．

37．（2021•重庆）如图，△ABC中，点D为边BC的中点，将△ADC沿直线AD翻折至△ABC所在平面内，得△ADC′，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若AE＝BE，则AD的长为　 　．

38．（2021•重庆）如图，三角形纸片ABC中，点D，E，AC，BC上，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为　 　．

六．图形的剪拼（共3小题）
39．（2021•烟台）综合实践活动课上，小亮将一张面积为24cm2，其中一边BC为8cm的锐角三角形纸片（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形BCDE（如图2）　 　cm．

40．（2021•常州）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在△ABC中，连接DE，过点A作AF⊥DE，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE＝3，AF＝2　 　．

41．（2021•湖州）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB的长应是 　 　．

七．胡不归问题（共1小题）
42．（2021•郴州）如图，在△ABC中，AB＝5，sinA＝，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点PB的最小值为 　 　．


参考答案与试题解析
一．轴对称的性质（共4小题）
1．（2021•鞍山）如图，∠POQ＝90°，定长为a的线段端点A，OQ上运动（点A，B不与点O重合），C为AB的中点，A′O交AB于点D，当△OBD是等腰三角形时　67.5°或72°　．

【详解】解：∵∠POQ＝90°，C为AB的中点，
∴OC＝AC＝BC，
∴∠COA＝∠BAO，∠OBC＝∠BOC，
又由折叠性质可得∠COA＝∠COA′，
∴∠COA＝∠COA′＝∠BAO，
设∠COA＝∠COA′＝∠BAO＝x°，则∠BCO＝2x°，∠OBD＝90°﹣x°，
①当OB＝OD时，∠ABO＝∠BDO，
∴90°﹣x°＝3x°，
解得x＝22.4°，
∴∠OBD＝90°﹣22.5°＝67.5°；
②当BD＝OD时，∠OBD＝∠A′OB，
∴90°﹣x°＝90°﹣8x°，解得：x＝0（舍去），
∴此情况不存在；
③当OB＝DB时，∠BDO＝∠A′OB，
∴3x°＝90°﹣5x°，
解得：x＝18°，
∴∠OBD＝90°﹣18°＝72°；
综上，∠OBD的度数为67.5°或72°，
【答案】67.5°或72°．
2．（2021•广州）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，则∠BCD的度数为 　33°　．

【详解】解：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝38°，
∵B′D∥AC，
∴∠ADB′＝∠A＝38°，
∵点B关于直线CD的对称点为B′，
∴∠CDB′＝∠CDB＝（38°+180°）＝109°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝180°﹣38°﹣109°＝33°．
【答案】33°．
3．（2021•株洲）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（“”为“蜨”，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，共十三只（图①中的“樣”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图（“一樣二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，则∠DCP＝　21　度．

【详解】解：∵点P与点A关于直线DQ对称，∠ADQ＝24°，
∴∠PDQ＝∠ADQ＝24°，AD＝DP，
∵△ABD和△CBD为两个全等的等腰直角三角形，
∴∠CDB＝∠ADB＝45°，CD＝AD，
∴∠CDP＝∠CDB+∠ADB+∠PDQ+∠ADQ＝138°，
∵AD＝DP，CD＝AD，
∴CD＝DP，即△DCP是等腰三角形，
∴∠DCP＝（180°﹣∠CDP）＝21°．
【答案】21．
4．（2021•嘉兴）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A′，A′P．在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是 　　；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为 　（1+）π﹣1﹣　．

【详解】解：如图1中，过点B作BH⊥AC于H．

在Rt△ABH中，BH＝AB•sin30°＝1BH＝，
在Rt△BCH中，∠BCH＝45°，
∴CH＝BH＝1，
∴AC＝CA′＝8+，
当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，
设CA′交AB的延长线于K．
在Rt△ACK中，CK＝AC•sin30°＝，
∴A′K＝CA′﹣CK＝1+﹣＝．
如图2中，点P到达点B时扇形A′CA﹣2S△ABC＝﹣3×）×1＝（1+．

【答案】，（6+．
二．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共2小题）
5．（2021•淄博）在直角坐标系中，点A（3，2）关于x轴的对称点为A1，将点A1向左平移3个单位得到点A2，则A2的坐标为 　（0，﹣2）　．
【详解】解：∵点A（3，2）关于x轴的对称点为A4，
∴A1（3，﹣4），
∵将点A1向左平移3个单位得到点A3，
∴A2的坐标为（0，﹣5）．
【答案】（0，﹣2）．
6．（2021•宜昌）如图，在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2），则点B关于x轴的对称点C的坐标是 　（1，﹣2）　．

【详解】解：∵将点A（﹣1，2）向右平移4个单位长度得到点B，
∴B（1，2），
则点B关于x轴的对称点C的坐标是（7，﹣2）．
【答案】（1，﹣4）．
三．剪纸问题（共1小题）
7．（2021•资阳）将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径MN对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，再将△AOB展开得到如图3的一个六角星．若∠CDE＝75°，则∠OBA的度数为 　135°　．

【详解】解：由题知，∠AOB＝，
由翻折知∠OAB＝∠DCE，
∵∠CDE＝75°，
∴∠DCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠OAB＝∠DCE＝，
∴∠OBA＝180°﹣∠AOB﹣∠OAB＝180°﹣30°﹣15°＝135°，
【答案】135°．
四．轴对称-最短路线问题（共8小题）
8．（2021•西宁）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，AD是BC边上的中线，M是AD上的一个动点，MN，则BM+MN的最小值是 　　．

【详解】解：连接CM，CN，
∵△ABC是等边三角形，AD是中线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴BM＝CM，
∴BM+MN＝CM+MN，即当点C、M，BM+MN最小值为CN的长，


∵点N是AB的中点，
∴CN⊥AB，AN＝，
∴CN＝＝＝3，
∴BM+MN最小值为：3，
【答案】3．
9．（2021•丹东）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△ABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若AB＝AC＝，BC＝2，则PA+PB+PC＝　5　；若AB＝2，BC＝2，AC＝4，则PA+PB+PC＝　2　．
【详解】解：如图，过A作AD⊥BC，
过B，C分别作∠DBP＝∠DCP＝30°，P为△ABC的费马点，
∵AB＝AC＝，BC＝2，
∴，
∴，
∴PD＝4，
∴，
∴，
∴PA+PB+PC＝5；
②如图：
∵AB＝2，BC＝2，
∴AB2+BC2＝16，AC2＝16，
∴AB2+BC4＝AC2，∠ABC＝90°，
∵，
∴∠BAC＝30°，
将△APC绕点A逆时针旋转60°，
由旋转可得：△APC≌△AP'C'，
∴AP'＝AP，PC＝P'C'，∠CAC'＝∠PAP'＝60°，
∴△APP′是等边三角形，
∴∠BAC'＝90°，
∵P为△ABC的费马点，
即B，P，P'，PA+PB+PC＝BC'，
∴PA+PB+PC＝BP+PP'+P'C'＝BC'＝＝，
【答案】5，．


10．（2021•毕节市）如图，在菱形ABCD中，BC＝2，Q为AB的中点，P为对角线BD上的任意一点　　．

【详解】解：如图，连接PC，CQ．

∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABP＝∠PBC，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
∵AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∵AQ＝QB，
∴CQ⊥AB，
∴CQ＝BC•sin60°＝，
∵PA+PQ＝PC+PQ≥CQ，
∴PA+PQ≥，
∴PA+PQ的最小值为．
【答案】．
11．（2021•鄂尔多斯）如图，已知正方形ABCD的边长为6，点F是正方形内一点，DF，且∠ADF＝∠DCF，连接EB，EF　3﹣3　．

【详解】解：

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠FDC＝90°，
∵∠ADF＝∠FCD，
∴∠FDC+∠FCD＝90°，
∴∠DFC＝90°，
∴点F在以DC为直径的半圆上移动，
如图，设DC的中点为O，则点B的对应点是B'，
连接B'O交AD于E，交半圆O于F，OF＝3，
∵∠C'＝90°，B'C'＝C'D＝CD＝6，
∴OC'＝4，
∴B'O＝＝＝3，
∴B'F＝3﹣3，
∴EB+FE的长度最小值为3﹣3，
【答案】7﹣3．
12．（2021•呼和浩特）已知菱形ABCD的面积为2，点E是一边BC上的中点，点P是对角线BD上的动点．连接AE，则线段PE与PC的和的最小值为 　　，最大值为 　2+　．
【详解】解：根据图形可画出图形，如图所示，

过点B作BF∥AC交AE的延长线于点F，
∴∠F＝∠CAE，∠EBF＝∠ACE，
∵点E是BC的中点，
∴△ACE≌△FBE（AAS），
∴BF＝AC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴∠BAE＝∠F，
∴AB＝BF＝AC，
在菱形ABCD中，AB＝BC，
∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等边三角形；
∴∠ABC＝60°，
设AB＝a，则BD＝，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝2，即，
∴a＝2，即AB＝BC＝CD＝2；
∵四边形ABCD是菱形，
∴点A和点C关于BD对称，
∴PE+PC＝AP+EP，
当点A，P，E三点共线时，此时AE＝；
点P和点D重合时，PE+PC的值最大，
过点D作DG⊥BC交BC的延长线于点G，连接DE，

∵AB∥CD，∠ABC＝60°，
∴∠DCG＝60°，
∴CG＝1，DG＝，
∴EG＝6，
∴DE＝＝，
此时PE+PC＝2+；
即线段PE与PC的和的最小值为；最大值为2+．
【答案】；2+．
13．（2021•聊城）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，C分别在x轴，y轴上，B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，点E的坐标为 　（﹣，0）　．

【详解】解：在BC上截取BH＝3，作点D关于x轴的对称点D'，

∴BH＝EF＝3，BC∥AO，
∴四边形BHEF是平行四边形，
∴BF＝EH，
∵点D与点D'关于x轴对称，
∴DE＝D'E，点D'坐标为（3，
∵四边形BDEF的周长＝EF+BF+BD+DE，
∴四边形BDEF的周长＝EH+ED'+BD+EF，
∵EF和BD是定值，
∴当EH+D'E有最小值时，四边形BDEF的周长有最小值，
∴当点E，点H，EH+D'E有最小值，
∵点B（﹣4，6），
∴点H（﹣2，6），
设直线D'H的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线D'H的解析式为y＝﹣10x﹣4，
∴当y＝2时，x＝﹣，
∴点E（﹣，0），
【答案】（﹣，0）．
14．（2021•黄冈）如图，正方形ABCD中，AB＝1，∠ACD的平分线交AD于点E，在AB上截取AF＝DE，分别交CE，CA于点G，H，PQ⊥AC于点Q，连接PH．下列结论：①CE⊥DF；③EA＝AH，其中所有正确结论的序号是 　①②④　．

【详解】解：∵正方形ABCD，
∴CD＝AD，∠CDE＝∠DAF＝90°，
∴∠ADF+∠CDF＝90°，
在△CDE和△DAF中，
，
∴△CDE≌△DAF（ASA），
∴∠DCE＝∠ADF，
∴∠DCF+∠CDF＝90°，
∴∠DGC＝90°，
∴CE⊥DF，故①正确；
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE＝∠HCG，
在△GCD和△GCH中，
，
∴△GCD≌△GCH（ASA），
∴CD＝CH，∠CDH＝∠CHD，
∵正方形ABCD，
∴CD∥AB，
∴∠CDF＝∠AFD，
∴∠CHD＝∠AFD，
∵∠CHD＝∠AHF，
∴∠AFD＝∠AHF，
∴AF＝AH，
∴AC＝AH+CH＝AF+CD＝DE+CD，故②正确，
设DE＝AF＝AH＝a，
∵∠AHF＝∠DHC，∠CDF＝∠AFH，
∴△DHC∽△FHA，
∴＝，
∴＝，
∴a＝﹣1，
∴DE＝AF＝AH＝﹣4，
∴AE＝1﹣DE＝2﹣，
∴EA≠AH；
∵△GCD≌△GCH，
∴DG＝GH，
∵CE⊥DF，
∴CG垂直平分DH，
∴DP＝PH，
当DQ⊥HC时，PH+PQ＝DP+PQ有最小值，
过点D作DM⊥HC，
则DM的长度为PH+PQ的最小值，
∵S△ADC＝＝，
∴DM＝，故④正确．
【答案】①②④．

15．（2021•青海）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，则DN+MN的最小值是 　10　．

【详解】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，
∴连接BN，BD，
∴BN＝ND，
∴DN+MN＝BN+MN，
连接BM交AC于点P，
∵点 N为AC上的动点，
由三角形两边和大于第三边，
知当点N运动到点P时，
BN+MN＝BP+PM＝BM，
BN+MN的最小值为BM的长度，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣4＝6，
∴BM＝＝10，
∴DN+MN的最小值是10．
【答案】10．

五．翻折变换（折叠问题）（共23小题）
16．（2021•锦州）如图，∠MON＝30°，点A1在射线OM上，过点A1作A1B1⊥OM交射线ON于点B1，将△A1OB1沿A1B1折叠得到△A1A2B1，点A2落在射线OM上；过点A2作A2B2⊥OM交射线ON于点B2，将△A2OB2沿A2B2折叠得到△A2A3B2，点A2落在射线OM上；…按此作法进行下去，在∠MON内部作射线OH1B1，A2B2，A3B3，…，AnBn交于点P1，P2，P3，…Pn，又分别与A2B1，A3B2，A4B3，…，An+1Bn，交于点Q1，Q2，Q3，…，Qn．若点P1为线段A1B1的中点，OA1＝，则四边形AnPnQnAn+1的面积为 　　（用含有n的式子表示）．

【详解】解：由折叠可知，OA1＝A1A6＝，
又A1B8∥A2B2，
∴△OA4P1∽△OA2P6，△OP1B1∽△OP4B2，
∴＝＝＝，
又点P1为线段A1B2的中点，
∴A1P1＝P7B1，
∴A2P6＝P2B2，
则点P2为线段A2B2的中点，
同理可证，P2、P4、⋯Pn依次为线段A3B7、A4B4、⋯AnBn的中点．
∵A8B1∥A2B2，
∴△P1B1Q3∽△P2A2O7，
∴＝＝，
则△P1B4Q1的P1B3上的高与△P2A2O2的A2P2上的高之比为5：2，
∴△P1B5Q1的P1B5上的高为，
同理可得△P2B7Q2的P2B4上的高为⋯，
由折叠可知A2A8＝，A6A4＝，
∵∠MON＝30°，
∴A1B1＝tan30°×OA4＝1，
∴A2B5＝2，A3B5＝4，⋯
∴＝﹣
＝﹣
＝，
同理，＝﹣
＝﹣
＝，
⋯，
＝﹣
＝
＝
＝
＝．
【答案】．
17．（2021•阿坝州）如图，腰长为2+2的等腰△ABC中，D为腰AB上的一个动点，将△ACD沿CD折叠，当CE与△ABC的某一条腰垂直时，BD的长为 　或2　．

【详解】解：当CE⊥AB 时，如图，

设垂足为M，在Rt△AMC中，
由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝22.5°，
∵等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝67.5°，
∴∠BCM＝22.3°，
∴∠BCM＝∠DCM，
在△BCM和△DCM中，
，
∴△BCM≌△DCM（ASA），
∴BM＝DM，
由折叠得：∠E＝∠A＝45°，AD＝DE，
∴△MDE是等腰直角三角形，
∴DM＝EM，
设DM＝x，则BM＝xx，
∴AD＝x．
∵AB＝5+2，
∴8x+x＝2，解得：x＝，
∴BD＝2x＝2；
当CE⊥AC时，如图，

∴∠ACE＝90°，
由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝45°，
∵等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，
∴∠E＝∠A＝45°，AD＝DE，
∴∠ADC＝∠EDC＝90°，即点D，且△ADC、△ACE都是等腰直角三角形，
∵AB＝AC＝2+2，
∴AD＝AC＝2+，
BD＝AB﹣AD＝（7+2）﹣（4+，
综上，BD的长为．
【答案】或8．
18．（2021•黔西南州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，M是BC上的点，且CM＝3，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C′处，则线段AN的长是 　4　．

【详解】解：连接PM，如图
∵AB＝6，BC＝9，
∴BM＝BC﹣CM＝3﹣3＝6，
由折叠性质得，CD＝PC′＝6，C′M＝CM＝3，
在Rt△PBM和Rt△MC′P中，
，
∴Rt△PBM≌Rt△MC′P（HL），
∴PB＝C′M＝3，
∴PA＝AB﹣PB＝7﹣3＝3．
设AN＝x，则ND＝6﹣x＝PN，
在Rt△APN中，AN2+AP2＝PN2，
即x2+36＝（9﹣x）2，
解得x＝6，
∴AN的长是4．
【答案】4．

19．（2021•盘锦）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝2，点P为边AB上一点，以DP为折痕将△DAP翻折，连接AA′，AA′交PD于点M，连接AQ，MQ　4　．

【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点T，连接BT，RT，MT．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠RAT＝90°，
∵AR＝DR＝，AT＝2AB＝4，
∴RT＝＝＝8，
∵A，A′关于DP对称，
∴AA′⊥DP，
∴∠AMD＝90°，
∵AR＝RD，
∴RM＝AD＝，
∵MT≥RT﹣RM，
∴MT≥4，
∴MT的最小值为4，
∵QA+QM＝QT+QM≥MT，
∴QA+QM≥2
∴QA+QM的最小值为4．
【答案】4．
20．（2021•镇江）如图，点A，B，C，O在网格中小正方形的顶点处，O，将△ABC沿l平移得到△MNO，M是A的对应点，P，Q分别是A，M的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于1　　．

【详解】解：连接PQ，AM，

由图形变换可知：PQ＝AM，
由勾股定理得：AM＝，
∴PQ＝．
【答案】．
21．（2021•抚顺）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，连接BO．若AB＝4，CF＝5　2　．

【详解】解：连接AF，过O作OH⊥BC于H

∵将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，
∴AF＝CF＝5，OA＝OC，
在Rt△ABF中，BF＝＝，
∴BC＝BF+CF＝8，
∵OA＝OC，OH⊥BC，
∴O为AC中点，OH∥AB，
∴OH是△ABC的中位线，
∴BH＝CH＝BC＝4AB＝2，
在Rt△BOH中，OB＝＝，
【答案】2．
22．（2021•大连）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，BE＝2，则BB′的长是 　2　．

【详解】解：∵菱形ABCD，
∴AB＝AD，AD∥BC，
∵∠BAD＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∵AB′⊥BD，
∴∠BAB'＝，
∵将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，
∴BE＝B'E，AB＝AB'，
∴∠ABB'＝，
∴∠EBB'＝∠ABE﹣∠ABB'＝120°﹣75°＝45°，
∴∠EB'B＝∠EBB'＝45°，
∴∠BEB'＝90°，
在Rt△BEB'中，由勾股定理得：
BB'＝，
【答案】2．
23．（2021•湘西州）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，∠1＝20°，则∠2的度数是 　40°　．

【详解】解：如图

分别延长EB、DB到F，G，
由于纸带对边平行，
∴∠1＝∠4＝20°，
∵纸带翻折，
∴∠2＝∠4＝20°，
∴∠DBF＝∠3+∠8＝40°，
∵CD∥BE，
∴∠2＝∠DBF＝40°．
【答案】40°．
24．（2021•威海）如图，先将矩形纸片ABCD沿EF折叠（AB边与DE在CF的异侧），AE交CF于点G，使CG与AE在同一条直线上，折痕为GH．若∠AEF＝α，则HE＝　　cm．

【详解】解：如图，分别过G，EN⊥GH于N，
延长GF、延长HE至点P，
则GM＝AB＝2cm，
由题意，∠AEF＝α，
∵四边形ABCD为矩形，
∴GF∥HE，
∴∠GFE＝∠PEF＝α，
∴GE＝GF．
同理可得：GE＝HE．
∴HE＝GF，
∴四边形GHEF为平行四边形．
∴∠GFE＝∠GHE＝α，
∵EN⊥GH于N，HE＝GE，
∴由等腰三角形三线合一性质可得：HN＝GN＝，
∵sin∠GHE＝sinα＝＝，
∴HG＝，
在Rt△HEN中，cos∠GHE＝cosα＝，
∴HE＝＝＝＝．
【答案】．

25．（2021•本溪）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，EF交AD于点G，连接CG交PQ于点H；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是 　①③④　（填序号即可）．

【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°．
由折叠可知：∠GEP＝∠BCD＝90°，∠F＝∠D＝90°．
∴∠BEP+∠AEG＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠AEG+∠AGE＝90°，
∴∠BEP＝∠AGE．
∵∠FGQ＝∠AGE，
∴∠BEP＝∠FGQ．
∵∠B＝∠F＝90°，
∴△PBE∽△QFG．
故①正确；
②过点C作CM⊥EG于M，
由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠GEC，
在△BEC和△MEC中，
，
∴△BEC≌△MEC（AAS）．
∴CB＝CM，S△BEC＝S△MEC．
∵CG＝CG，
∴Rt△CMG≌Rt△CDG（HL），
∴S△CMG＝S△CDG，
∴S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四边形CDQH，
∴②不正确；
③由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠GEC，
即EC平分∠BEG．
∴③正确；
④连接DH，MH，如图，

∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，
∴∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，
∴∠ECG＝∠ECM+∠GCM＝∠BCD＝45°，
∵EC⊥HP，
∴∠CHP＝45°．
∴∠GHQ＝∠CHP＝45°．
由折叠可得：∠EHP＝∠CHP＝45°，
∴EH⊥CG．
∴EG4﹣EH2＝GH2．
由折叠可知：EH＝CH．
∴EG6﹣CH2＝GH2．
∵CM⊥EG，EH⊥CG，
∴∠EMC＝∠EHC＝90°，
∴E，M，H，C四点共圆，
∴∠HMC＝∠HEC＝45°．
在△CMH和△CDH中，
，
∴△CMH≌△CDH（SAS）．
∴∠CDH＝∠CMH＝45°，
∵∠CDA＝90°，
∴∠GDH＝45°，
∵∠GHQ＝∠CHP＝45°，
∴∠GHQ＝∠GDH＝45°．
∵∠HGQ＝∠DGH，
∴△GHQ∽△GDH，
∴．
∴GH5＝GQ•GD．
∴GE2﹣CH2＝GQ•GD．
∴④正确；
综上可得，正确的结论有：①③④．
【答案】①③④．
26．（2021•东营）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E．若AE＝5　　．

【详解】解：设CF与DE交于点O，

∵将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，
∴GO＝DO，CF⊥DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠ADC＝90°＝∠FOD，
∴∠CFD+∠FCD＝90°＝∠CFD+∠ADE，
∴∠ADE＝∠FCD，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（ASA），
∴AE＝DF＝5，
∵AE＝5，AD＝12，
∴DE＝＝＝13，
∵cos∠ADE＝，
∴，
∴DO＝＝GO，
∴EG＝13﹣3×＝，
【答案】．
27．（2021•深圳）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，将△CDE沿DE折叠，得到△FDE，CF，∠BFC＝90°，AB＝4，EF＝10　10﹣4　．

【详解】解：如图，延长ED交FC于G，DE交于点M，

∵将△CDE沿DE折叠，得到△FDE，
∴EF＝EC，DF＝DC，
∴EG⊥CF，
又∵∠BFC＝90°，
∴BF∥EG，
∵AB∥EF，
∴四边形BFEM是平行四边形，
∴BM＝EF＝10，
∴AM＝BM﹣AB＝10﹣4，
∵AB∥EF，
∴∠M＝∠FED，
∴∠M＝∠CED＝∠AEM，
∴AE＝AM＝10﹣8，
【答案】10﹣4．
28．（2021•海南）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，将此矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，则AD′的长为 　6　，DD′的长为 　　．

【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，
∵AD′＝CD，
∴AD′＝6；
连接AC，
∵AB＝4，BC＝AD＝8，
∴AC＝＝＝10，
∵∠BAF＝∠D′AE＝90°，
∴∠BAE＝∠D′AF，
在△BAE和△D′AF中
，
∴△BAE≌△D′AF（ASA），
∴D′F＝BE，∠AEB＝∠AFD′，
∴∠AEC＝∠D′FD，
由题意知：AE＝EC；
设BE＝x，则AE＝EC＝8﹣x，
在Rt△ABE中，∠B＝90°
（8﹣x）2＝68+x2，
解得：x＝，
∴BE＝，AE＝6﹣＝，
∴＝，
∴＝，
∵∠AD′F＝∠D′AE＝90°，
∴D′F∥AE，
∵DF∥EC，
∴△DD′F∽△CAE，
∴＝＝，
∴DD′＝×10＝，
【答案】8，．

29．（2021•河南）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1．第一步，将纸片沿CD折叠，点A落在A'处；第二步，将纸片沿CA'折叠，如图3．当点D′恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段A′D′的长为 　 或 2﹣　．

【详解】解：①点D′恰好落在直角三角形纸片的AB边上时，设A′C交AB边于点E，

由题意：△ADC≌△A′DC≌△A′D′C，A′C垂直平分线段DD′．
则∠D′A′C＝∠DA′C＝∠A＝60°，A′C＝AC＝1．
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴BC＝AC•tanA＝1×tan60°＝．
AB＝2AC＝2，
∵，
∴CE＝．
∴A′E＝A′C﹣CE＝3﹣．
在Rt△A′D′E中，
∵cos∠D′A′E＝，
∴，
∴A′D′＝2A′E＝2﹣．
②点D′恰好落在直角三角形纸片的BC边上时，如图，

由题意：△ADC≌△A′DC≌△A′D′C，∠ACD＝∠A′CD＝∠A′CD′＝；
则∠D′A′C＝∠DA′C＝∠A＝60°，A′C＝AC＝1．
∵∠D′A′C＝60°，∠A′CD′＝30°，
∴∠A′D′C＝90°，
∴A′D′＝′C＝．
综上，线段A′D′的长为：．
【答案】 或 2﹣．
30．（2021•黑龙江）在矩形ABCD中，AB＝2cm，将矩形ABCD沿某直线折叠，折痕与直线AD交于点E，且DE＝3cm　（2+6）或（6﹣2）　cm2．
【详解】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，
∴BE＝ED＝3cm．
在Rt△ABE中，AB2+AE4＝BE2．
∴24+AE2＝36，
解得AE＝cm．
∴AD＝AE+ED＝（+4）cm或AD＝ED﹣AE＝（3﹣
∴矩形ABCD的面积为为AD•AB＝（3+6）cm2或（6﹣2）cm2．
【答案】（2+6）或（6﹣4）．

31．（2021•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，点E在线段AC上，D是线段BC上的一点，连接DE，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时　　．

【详解】解：如图，过点F作FH⊥AC于H，

∵将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，
∴AB＝FG＝2，AE＝EF＝6，
∴EG＝＝＝3，
∵sin∠FEG＝，
∴，
∴HF＝，
∵cos∠FEG＝，
∴，
∴EH＝，
∴AH＝AE+EH＝，
∴AF＝＝＝，
【答案】．
32．（2021•盐城）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，连接AC′，当BE＝　或　时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．

【详解】解：设BE＝x，则EC＝4﹣x，
由翻折得：EC′＝EC＝4﹣x，当AE＝EC′时，
∵矩形ABCD，
∴∠B＝90°，
由勾股定理得：72+x2＝（5﹣x）2，
解得：，
当AE＝AC′时，如图
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝∠AEC′+∠FEC′＝90°，
∴∠BEA+∠FEC＝90°，
∵△ECF沿EF翻折得△EC′F，
∴∠FEC′＝∠FEC，
∴∠AEB＝∠AEH，
∵∠B＝∠AHE＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AHE（AAS），
∴BE＝HE＝x，
∵AE＝AC′，
∴EC′＝2EH，
即4﹣x＝4x，
解得，
综上所述：BE＝或．
【答案】或．

33．（2021•杭州）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，则∠DAF＝　18　度．

【详解】解：连接DM，如图：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°．
∵M是AC的中点，
∴DM＝AM＝CM，
∴∠FAD＝∠MDA，∠MDC＝∠MCD．
∵DC，DF关于DE对称，
∴DF＝DC，
∴∠DFC＝∠DCF．
∵MF＝AB，AB＝CD，
∴MF＝FD．
∴∠FMD＝∠FDM．
∵∠DFC＝∠FMD+∠FDM，
∴∠DFC＝2∠FMD．
∵∠DMC＝∠FAD+∠ADM，
∴∠DMC＝2∠FAD．
设∠FAD＝x°，则∠DFC＝3x°，
∴∠MCD＝∠MDC＝4x°．
∵∠DMC+∠MCD+∠MDC＝180°，
∴2x+4x+4x＝180．
∴x＝18．
【答案】18．
34．（2021•广安）如图，将三角形纸片ABC折叠，使点B、C都与点A重合，AE＝EF，DE＝　　．

【详解】解：∵把三角形纸片折叠，使点B，折痕分别为DE，
∴BE＝AE，AF＝FC，
∴∠AFE＝30°，又AE＝EF，
∴∠EAF＝∠AFE＝30°，
∴∠AEB＝60°，
∴△ABE是等边三角形，∠AED＝∠BED＝30°，
∴∠BAE＝60°，
∵DE＝，
∴AE＝BE＝AB＝＝2，
∴BF＝BE+EF＝8，∠BAF＝60°+30°＝90°，
∴FC＝AF＝＝7，
∴BC＝BF+FC＝，
【答案】．
35．（2021•泰安）如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD＞AB），使AB落在AD上，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，使点B落在AE上的点G处，连接DE，CE＝2，则AD的长为 　4+2　．

【详解】解：由翻折的性质可知，EB＝EB′，
在Rt△EBF和Rt△EB′D中，
，
∴Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL），
∴BF＝DB′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠CDB′＝∠EB′D＝90°，
∴四边形ECDB′是矩形，
∴DB′＝EC＝2，
∴BF＝EC＝2，
由翻折的性质可知，BF＝FG＝3，∠EGF＝∠B＝∠AGF＝90°，
∴AG＝FG＝2，
∴AF＝2．
∴AB＝AB′＝2+2，
∴AD＝AB′+DB′＝4+2，
【答案】4+2．

36．（2021•成都）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在边AD，且AE＝3，按以下步骤操作：
第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，则线段BF的长为 　1　；
第二步，分别在EF，A′B′上取点M，N，使点F与点E重合，则线段MN的长为 　　．

【详解】解：如图，过点F作FT⊥AD于T，连接FN，设AC交EF于J．

∵四边形ABFT是矩形，
∴AB＝FT＝4，BF＝AT，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝2
∴AC＝＝＝4，
∵∠TFE+∠AEJ＝90°，∠DAC+∠AEJ＝90°，
∴∠TFE＝∠DAC，
∵∠FTE＝∠D＝90°，
∴△FTE∽△ADC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴TE＝2，EF＝2，
∴BF＝AT＝AE﹣ET＝3﹣4＝1，
设A′N＝x，
∵NM垂直平分线段EF，
∴NF＝NE，
∴12+（4﹣x）2＝42+x2，
∴x＝2，
∴FN＝＝＝，
∴MN＝＝＝，
【答案】1，．
37．（2021•重庆）如图，△ABC中，点D为边BC的中点，将△ADC沿直线AD翻折至△ABC所在平面内，得△ADC′，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若AE＝BE，则AD的长为　3　．

【详解】解：由题意可得，
△DCA≌△DC′A，OC＝OC′，
∴点O为CC′的中点，
∵点D为BC的中点，
∴OD是△BCC′的中位线，
∴OD＝BC′，
∴∠COD＝∠EC′B＝90°，
∵AE＝BE，BC′＝2，
∴OD＝1，
在△EC′B和△EOA中，
，
∴△EC′B≌△EOA（AAS），
∴BC′＝AO，
∴AO＝2，
∴AD＝AO+OD＝8+1＝3，
【答案】5．
38．（2021•重庆）如图，三角形纸片ABC中，点D，E，AC，BC上，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为　5　．

【详解】解：∵纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合，
∴DE垂直平分AF．
∴AD＝DF，AE＝EF．
∵DE∥BC，
∴DE为△ABC的中位线．
∴DE＝BC＝×（4+6）＝7．
∵AF＝EF，
∴△AEF为等边三角形．
∴∠FAC＝60°．
在Rt△AFC中，
∵tan∠FAC＝，
∴AF＝＝2．
∴四边形ADFE的面积为：DE×AF＝＝5．
【答案】5．
六．图形的剪拼（共3小题）
39．（2021•烟台）综合实践活动课上，小亮将一张面积为24cm2，其中一边BC为8cm的锐角三角形纸片（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形BCDE（如图2）　22　cm．

【详解】解：延长AT交BC于点P，

∵AP⊥BC，
∴•BC•AP＝24，
∴×8×AP＝24，
∴AP＝3（cm），
由题意，AT＝PT＝3（cm），
∴BE＝CD＝PT＝3（cm），
∵DE＝BC＝8cm，
∴矩形BCDE的周长为8+8+8+3＝22（cm）．
【答案】22．
40．（2021•常州）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在△ABC中，连接DE，过点A作AF⊥DE，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE＝3，AF＝2　12　．

【详解】解：由题意，BG＝CH＝AF＝2，EF＝EH，
∴DG+EH＝DE＝3，
∴BC＝GH＝8+3＝6，
∴△ABC的边BC上的高为6，
∴S△ABC＝×4×4＝12，
解法二：证明△ABC的面积＝矩形BCHG的面积，可得结论．
【答案】12．
41．（2021•湖州）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB的长应是 　﹣1　．

【详解】解：∵地毯面积被平均分成了3份，
∴每一份的边长为＝，
∴CD＝5×＝，

在Rt△ACD中，根据勾股定理可得AD＝＝，
又根据剪裁可知BD＝CK＝1，
∴AB＝AD﹣BD＝﹣5．
【答案】﹣1．
七．胡不归问题（共1小题）
42．（2021•郴州）如图，在△ABC中，AB＝5，sinA＝，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点PB的最小值为 　　．

【详解】解：过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CH⊥AB于点H，

∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵sinA＝＝，AB＝5，
∴BD＝4，
由勾股定理得AD＝，
∴sin∠ABD＝，
∴EP＝，
∴PC+PB＝PC+PE，
即点C、P、E三点共线时PB最小，
∴PC+PB的最小值为CH的长，
∵S△ABC＝，
∴4×7＝5×CH，
∴CH＝．
∴PC+PB的最小值为．
【答案】．