天津市滨海新区塘沽第一中学2022届高三下学期高考模拟数学试题

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天津市滨海新区塘沽第一中学2022届高三下学期高考模拟数学试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．已知全集，2，3，4，，集合，2，，，，则（       ）

A． B． C．，2， D．，3，

2．设，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．与函数的部分图像最符合的是（       ）

A． B．

C． D．

4．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如下图.该样本数据的55%分位数大约是（       ）

A． B． C． D．

5．已知，，，则a，b，c的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，所有棱长都为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（       ）

A． B．

C． D．

7．已知双曲线的焦点为、，抛物线的准线与交于、两点，且三角形为正三角形，则双曲线的离心率为（　　）

A． B． C． D．

8．关于函数，，，且在上单调，有下列命题：

（1）的图象向右平移个单位后关于轴对称

（2）

（3）的图象关于点对称

（4）在上单调递增

其中正确的命题有（             ）个

A．1 B．2 C．3 D．4

9．已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（       ）

A．4个 B．5个 C．3个或4个 D．4个或5个

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

10．i是虛数单位，复数______．

11．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为，则展开式中的常数项为_______．

12．已知圆的圆心在轴的正半轴上，且圆心到直线的距离为，若点在圆上，则圆的方程为______________________．

13．若，，且，则的最小值为___________

14．袋中有2个红球，2个白球，2个黑球共6个球，现有一个游戏：从袋中任取3个球，恰好三种颜色各取到1个则获奖，否则不获奖.则获奖的概率是___________.有3个人参与这个游戏，则至少有1人获奖的概率是___________.

15．在四边形中，，，，，点是线段上一点，且，，则______，若点为线段上的动点，则的取值范围为______.

16．在中，角，，所对边分别为，，，且，，.

(1)求边及的值；

(2)求的值.

17．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且．

(1)求证：平面；

(2)求二面角的大小；

(3)已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求点A到平面的距离．

18．已知平面直角坐标系中，点到抛物线准线的距离等于5，椭圆的离心率为，且过点

(1)求的方程；

(2)如图，过点作椭圆的切线交于两点，在轴上取点，使得，试解决以下问题：

①证明：点与点关于原点中心对称；

②若已知的面积是椭圆四个顶点所围成菱形面积的16倍，求切线的方程.

19．已知为等差数列，为公比大于的等比数列，且，，，．

(1)求和的通项公式；

(2)记为在区间中项的个数，求数列的前项和；

(3)，，求数列的前项和．

20．已知函数，（为自然对数的底）．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若存在均属于区间的，，且，使，证明：；

（Ⅲ）对于函数与定义域内的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的分界线．试探究当时，函数与是否存在“分界线”？若存在，请给予证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

根据集合的补集和交集的概念可求出结果.

【详解】

.

故选：B

2．B

【解析】

【分析】

根据充分必要条件的定义判断．

【详解】

由，得，解得．

由可得．由推不出，由能推出，

故“”是“”的必要而不充分条件，

即“”是“”的必要不充分条件．

故选：B．

3．B

【解析】

【分析】

通过函数定义域、奇偶性和符号进行判断排除．

【详解】

的定义域为，排除A；

，则为奇函数，排除C；

当时，，则

当时，

∴当时，，且，则，排除D；

故选：B．

4．C

【解析】

【分析】

由已知，可通过频率分布直方图的性质求解出的值，然后设出样本数据的55%分位数为，根据题意列出等量关系，求解即可.

【详解】

由直方图的性质可得：

，

解得，

由已知，设该样本数据的55%分位数大约是，由

，

解得.

故选：C.

5．C

【解析】

【分析】

根据指数函数的性质可判断a,c的大小关系，根据对数函数的性质可判断b的大小范围，由此可得答案.

【详解】

由题意得：，，

，且，

故，

故选：C

6．D

【解析】

【分析】

根据球的截面圆即为正三棱柱底面三角形的内切圆，求得截面的半径，再利用球的截面性质求解.

【详解】

解：设球的半径为R，球的截面圆的半径为r，即为正三棱柱底面三角形的内切圆的半径，

则，

解得，

由球的截面性质得： ，

解得，

所以球的体积为，

故选：D

7．A

【解析】

【分析】

求得，，由可得出关于、的齐次等式，结合可求得的值，即可得解.

【详解】

抛物线的标准方程为，该抛物线的准线方程为，

联立可得，所以，，

因为为等边三角形，且为的中点，则且，

所以，，即，即，

所以，，因为，解得.

故选：A.

8．B

【解析】

【分析】

先根据条件确定解析式，再根据图象变换以及正弦函数性质逐一判断选择.

【详解】

，

或

或

或或

因为在上单调，所以

因此或，（验证舍去）或

的图象向右平移个单位得，不关于轴对称，（1）错；

，（2）对；

，（3）错；

当时，，所以在上单调递增，（4）对；

故选：B

【点睛】

本题考查求三角函数解析式、三角函数图象与性质，考查综合分析求解能力，属中档题.

9．D

【解析】

【分析】

利用奇函数性质和关系式转化求出的关系式并利用单调性画出简图，再利用数形结合思想根据的取值范围求出零点个数.

【详解】

因为，所以的周期为2，

又因为为奇函数，，

令，得，又，所以，

当时，，

由单调递减得函数在上单调递增，

所以，得，

作出函数图象如图所示，

由图象可知当过点时，，此时在上只有3个零点.

当经过点时，，此时有5个零点.

当时，有4个零点.

当经过点时，，此时有5个零点.

当时，有4个零点.

当经过点时，，此时在上只有3个零点.

当时，有4个零点.

所以当时，函数在上有4个或5个零点.

故选：D

10．##-i+2

【解析】

【分析】

根据复数的运算法则，即可求解.

【详解】

由复数的运算法则，可得.

故答案为：.

11．

【解析】

【分析】

利用已知条件求出的值，再利用二项展开式通项可求得结果.

【详解】

在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为，

令，得各项系数和为，二项式系数和为，则，得．

展开式的通项为，

令，可得，因此，展开式中的常数项为.

故答案为：.

【点睛】

结论点睛：对于二项展开式的问题，注意一些常见结论的应用：

（1）二项式的系数和为；

（2）令变量为，二项式的值为各项系数和.

12．

【解析】

先由题意，设圆的圆心为，由点到直线距离求出圆心坐标，再由圆上的点求出半径，进而可求出圆的方程.

【详解】

由题意，设圆的圆心为，

因为圆心到直线的距离为，

所以，解得，即圆心坐标为；

又点在圆上，

所以半径为，

因此圆的方程为.

故答案为：.

13．##

【解析】

【分析】

结合已知等式，运用基本不等式进行求解即可.

【详解】

因为，

所以，

因为，当且仅当时取等号，即时取等号，

，当且仅当时取等号，即时取等号，

所以，当且仅当时取等号，

故答案为：

14．         

【解析】

【分析】

根据计数原理，所有的取球方法共有种，而三种球各有一个共包含个，故获奖的概率可求.有3个人参与这个游戏，设中奖人数为X,则，求出都不获奖的概率，故至少有1人获奖的概率可求.

【详解】

设中奖为事件A,则事件A包含的基本事件个数为，

所有的基本事件共有个，所以中奖概率为；

有3个人参与这个游戏,设中奖人数为X，则，

，

所以至少有1人获奖的概率为

故答案为：；.

15．         

【解析】

【分析】

以为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系，设，由和求出，然后由数量积运算求得，再设，，由数量积的坐标运算求得，从而可得其范围．

【详解】

如图，以为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系，则，

设，，则，

由得，，

，，

，

又由得，所以，，则，

，

；

设，，

，

因为，所以．即的范围是．

故答案为：；．

16．(1)，

(2)

【解析】

【分析】

（1）先由求得，结合三角形面积公式可得，根据条件可得，的值，再利用余弦定理求得，利用正弦定理求得；

（2）由（1）可知，则，，再结合二倍角公式和差角公式求解即可.

(1)

因为，，所以，

因为，所以，

又，所以，，

所以，

因为，即，所以.

(2)

在中，由（1）可知，则，

所以，，

则，，

所以.

17．(1)证明见解析

(2)

(3)

【解析】

【分析】

（1）先证明平面平面，再根据面面平行的性质可得平面；

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，根据二面角的向量公式可求出结果；

（3）根据异面直线和点面距的向量公式可求出结果.

(1)

证明：四边形是正方形，，平面，平面．所以平面．

四边形是梯形，， 平面，平面，所以平面，

平面，平面，，平面平面，

平面，平面．

(2)

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，2，，，0，，，2，，，0，，

，2，，，2，，，0，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，，得，1，，

设平面的法向量，，，

则，取，，，得，1，，

设二面角的大小为，由图形得为钝角，

则，

因为为钝角，，

二面角的大小为．

(3)

点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，

设则，，，，

，

解得，∴线段的长为．

设平面的法向量，因为，，

则，取，得，

又，所以．

18．(1)，

(2)

【解析】

【分析】

（1）先根据点到抛物线的准线的距离等于5得到，进而求出抛物线的方程；再利用椭圆的离心率、点在椭圆上建立关于、的方程组即可求解；

（2）①设出直线的方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用判别式为0得到，联立直线和抛物线的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、斜率和为0求出点的坐标，即可证明点与点关于原点中心对称；

②先求出椭圆四个顶点组成菱形的面积，再利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积公式求出，通过解方程即可求解.

(1)

解：因为点到抛物线的准线的距离等于5，

所以，解得，所以抛物线的方程为；

因为椭圆的离心率为，且过点，

所以 ，解得，

所以椭圆的方程为；

(2)

解：①因为，且直线与椭圆相切，

所以直线的斜率存在，设直线的方程为，

联立，得，

因为直线与椭圆相切，

所以，即，

联立，得，

设，，则；

设，因为，所以，

则，即，

即，

又，所以，即，

即点与点关于原点中心对称；

②椭圆四个顶点所围成菱形面积为，

所以的面积为，

则

，

令，即，

即，即，

即，

即，

因为，所以，，；

所以直线的方程为.

19．(1)，

(2)1153

(3)

【解析】

【分析】

（1）根据等差等比数列的基本量建立等式即可得解；

（2）根据定义依次计算找出规律即可求和；

（3）分奇数项和偶数项分别求和，结合裂项求和和错位相减即可得解.

(1)

为等差数列，为公比大于的等比数列，

设公差为，公比，

且，，，

，，

所以，

(2)

记为在区间中项的个数，

，

，

所以求数列的前项和

1153

(3)

记

，两式作差得：

数列的前项和

20．（Ⅰ）见解析；

（Ⅱ）见解析；

（Ⅲ）见解析.

【解析】

【分析】

(Ⅰ)由题意首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；

(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论首先确定的范围，然后结合函数的解析式和函数的单调性即可证得题中的不等式；

(Ⅲ)首先求得函数的最小值，然后结合题意猜出k,e的值并进行证明即可.

【详解】

（Ⅰ）函数的定义域为，

且

当时，，则函数在上单调递增；

当时，，，

∴在上单调递增，在上单调递减．

（Ⅱ），由（1）知，

又，，所以，

∴，即，

所以．

（Ⅲ）设，

则

则当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．

∴是函数的极小值点，也是最小值点，

∴．

∴函数与的图象在处有公共点．

设与存在“分界线”且方程为，

令函数

①由，得在上恒成立，

即在上恒成立，

∴，即，

∴，故．

②下面说明：，即恒成立．

设，则

∵当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

∴当时，取得最大值0，．

∴成立．

综合①②知，且，

故函数与存在“分界线”，

此时，．

【点睛】

导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．