天津市第七中学2022-2023学年高三上学期期中模拟数学试题（解析版）

天津七中2022-2023学年高三（上）期中复习模拟数学试卷

一、单选题（本大题共9小题，共45分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设全集,集合,集合等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意,对集合进行化简,先求,再求即可.

【详解】解:全集,集合,

,

.

故选:B

2. 在某次高中学科竞赛中，名考生的参赛成绩统计如图所示，分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（    ）

A. 成绩在分的考生人数最多 B. 考生竞赛成绩的中位数为分

C. 不及格的考生人数为人 D. 考生竞赛成绩的平均分约分

【答案】B

【解析】

【分析】由频率分布直方图可知选项正确，根据中位数的计算方法可求得考生竞赛成绩的中位数，判断B;求出不及格人数判断C;利用区间中点值乘以该组的频率，再依次相加，即可求出平均值的估计值，判断D.

【详解】根据频率分布直方图得，成绩出现在的频率最大，所以成绩在分的考生人数最多，故A正确；

由于 ，

，

故考生竞赛成绩的中位数为 ，故B错误；

不及格考生数为 ，故C正确；

根据频率分布直方图估计考生竞赛成绩平均分为 ，故D正确。

故选：B．

3. 像“，，”这样能够成直角三角形的数称为勾股数，又称为（    ）

A. 毕达哥拉斯数 B. 杨辉数 C. 拉格朗日恒等数 D. 三角数

【答案】A

【解析】

【分析】勾股定理又称为毕达哥拉斯定理，即可得出.

【详解】勾股定理又称为毕达哥拉斯定理，

故勾股数又称为毕达哥拉斯数.

故选：A.

4. 已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性判断 的范围可得答案.

【详解】,

故，

故选：D.

5. 一个球的表面积是，那么这个球的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据表面积可先求出球半径，即可由体积公式求出体积.

【详解】设球的半径为，则，解得，

则这个球的体积为.

故选：C

6. 把函数的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向左平移个单位,这时对应于这个图像的解析式是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据三角函数图像的变换求解即可.

【详解】解：函数的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，可以得到函数的图像，

再把图像向左平移个单位，可以得到函数的图像.

所以，此时对应于这个图像的解析式是.

故选:A

7. 已知函数的部分图像大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出的定义域可排除A；证明是奇函数可排除B；当且趋近于时，可排C，进而可得正确选项.

【详解】的定义域为，故排除选项A；

定义域为，关于原点对称，

，所以是奇函数，图象关于原点对称，故排除选项B；

当且趋近于时，，故排除选项C，

故选：D

8. 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.

详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,

由斜率为得，，

由正弦定理得,

所以，故选D.

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

9. 已知定义在R上的偶函数，其导函数为．当时，恒有，若，则不等式的解集为

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据为偶函数，则也为偶函数，利用导数可以判断在为减函数，则不等式可转化为，解不等式即可得到答案．

【详解】解：是定义在R上的偶函数， ．

时，恒有，

又，

在为减函数．

为偶函数， 也为偶函数

在为增函数．

又，，即，化简得，得．故选A．

【点睛】通过构造新函数来研究函数单调性是本题一大亮点，同时利用抽象函数的单调性、奇偶性解不等式是常考考点，要牢牢掌握．

二、填空题（本大题共6小题，共30分）

10. 设为虚数单位，则复数__________．

【答案】

【解析】

【分析】

利用复数的除法运算法则：分子､分母同乘以分母的共轭复数，化简复数．

【详解】

复数

故答案为：．

【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．

11. 在的展开式中，项的系数为______．

【答案】10

【解析】

【分析】利用二项定理展开，再利用多项式乘法法则求出项即可作答.

【详解】依题意，，因此展开式中项为，

所以项的系数为10.

故答案为：10

12. 已知随机变量X服从二项分布，则________．

【答案】

【解析】

【分析】由二项分布的概率公式即可得解.

【详解】解：因为随机变量X服从二项分布，

所以根据二项分布概率公式得：.

故答案为：

13. 若，，，则的最小值为___________.

【答案】3

【解析】

【分析】利用基本不等式常值代换即可求解.

【详解】因为，，，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为3，

故答案为：3

14. 如图，以等腰直角的斜边BC上的高AD为折痕把和折成互相垂直的两个平面，若，得出如下结论：

①

②三棱锥是正三棱锥

③二面角的大小为

④三棱锥的外接球的表面积为

其中所有正确结论的序号是___________.

【答案】①②④

【解析】

【分析】根据面面垂直得线面垂直，进而可证明线线垂直可判断①，根据三棱锥的棱长，可判断三角形为等边三角形，且三条侧棱长度相等即可判断②，根据二面角的几何法求解，可判断③，根据三棱锥外接球找球心的方法，可以确定球心在过中点的垂线上，进而可求④.

【详解】因为平面平面，且为其交线，平面,

故平面,又平面,所以，故① 对，

由①知，,且,又因为,所以三棱锥是正三棱锥，②对，

取的中点,连接 ,因为,,故,因此为二面角的平面角,在中，,故，所以③ 错误，

过作,设球心为,过作交于，因为平面,所以平面,故四边形为长方形,所以,在直角三角形中，,在直角三角形中，,因此,故是中点，因此

,三棱锥的外接球的表面积为,故④对，

故答案为：①②④

15. 已知，则使恒成立的的范围是______ ．

【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件，构造函数，再求出函数的最大值作答.

【详解】因，令，，依题意，，

当时，，求导得，当时，，当时，，

因此在上单调递增，在上单调递减，当时，，

当时，，求导得，在上单调递减，

，于是得函数在上单调递减，，

因此，则，

所以的取值范围是.

故答案为：

【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.

三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 已知函数，（）．

（1）求的值；

（2）求的单调递减区间及图象的对称轴方程．

【答案】（1）；（2）减区间，，．

【解析】

【分析】

（1）根据三角恒等变换公式代简的表达式为的形式，然后求得的值；

（2）结合三角函数的图象及性质，易求得的单调递减区间及图象的对称轴方程．

【详解】（1）因为

．

（2）由（1）得，令，

，

所以的单调递减区间为．

又令﹐，，

故图象的对称轴方程为，．

【点睛】本题考查三角函数化简、三角函数的图象及性质等问题，属于较易题．

17. 现给出两个条件：①，② .从中选出一个条件补充在下面问题中，并以此为依据求解问题：

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，　     　.

（1）求B；

（2）若b=2，求△ABC面积的最大值.

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.

【解析】

【分析】若选择条件①：（1）利用余弦定理将角化边得，再根据余弦定理求出角B；（2）由基本不等式可得，再根据面积公式计算可得；

若选择条件②：（1）利用二倍角公式得到，再利用正弦定理将角化边即可得解；（2）利用基本不等式得到，再根据面积公式计算可得；

【详解】若选择条件①：

（1）因为，所以由余弦定理可得

 ，整理可得，所以

∵，

（2）∵b=2，,  ∴由余弦定理得

 又，故（当且仅当a=c时取等号） ，∴

所以

故当且仅当a=c时面积的最大值为

若选择条件②：

（1）由条件可知，，  ∴

由正弦定理得

∴，又，所以

又 ，所以

（2）∵b=2，∴由余弦定理得

又，故（当且仅当时取等号）  ∴

所以

故当且仅当时面积的最大值为

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、以及三角形面积公式解三角形，以及基本不等式的应用，属于中档题.

18. 如图①，在五边形中，，，，，是以为斜边的等腰直角三角形.现将沿折起，使平面平面，如图②，记线段的中点为.

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）运用面面垂直的判定定理进行证明；（2）建立空间直角坐标系，借助空间向量的坐标形式运用向量的数量积公式进行分析求解.

【小问1详解】

∵，是线段的中点，∴.

又∵，∴四边形为平行四边形，又，∴，

又∵是等腰直角的中点，∴.

∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴平面平面.

【小问2详解】

∵平面平面，且，∴平面，∴.

∴两两垂直，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

∵为等腰直角三角形，且，

∴，

∴，，，，，，

∴，，设平面的一个法向量为，则有

，∴，不妨取，得，

∵平面，∴平面的一个法向量为，

设平面与平面所成的锐二面角为，则

，

∴平面与平面所成的锐二面角大小为.

19. 已知函数在上单调递减．

（1）求的取值范围；

（2）令，，求在上的最小值．

【答案】（1）   

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）求出导函数, 在 上单调递减, 等价于 在 上恒成立. 只需 在 上恒成立. 由二次函数的性质可得不等式组, 解出即可;

（2）可求，, 可知, 2] , . 按照极值点在区间 (1，2）的左侧、区间内、区间右侧三种情况 进行讨论, 由单调性可求得函数的最小值;

【小问1详解】

，

若 在 上单调递减, 则 在 上恒成立.；

而 , 只需 在 上恒成立.；

于 ,解得 .

【小问2详解】

则，

令，则，，

当时，即时， 在上成立,

此时在上单调递增,有最小值 ;

当 即 时, 当 时有 ,

此时在 上单调递减,当 时，有,

 此时 在 上单调递增,有最小值;

当 即时, 在上成立,

此时在上单调递减,有最小值 .

综上：当，最小值 ;

，最小值

，最小值

【点睛】该题考查利用导数研究函数的单调性、最值, 考查分类讨论思想；根据极值点与区间的位置关系分类讨论是解决本题第二小问的关键.本题属于较难题.

20. 已知数列的前n项和为，且．

（1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；

（2）在与之间插入n个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，其公差为，求数列的前n项和．

【答案】（1）证明见解析，   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据公式得到，得到，再根据等比数列公式得到答案.

（2）根据等差数列定义得到，再利用错位相减法计算得到答案.

【小问1详解】

，当时，，得到；当时，，

两式相减得到，整理得到，

即，故，

数列是首项为，公比为的等比数列，，

即，验证时满足条件，故.

【小问2详解】

，故，

，

，

两式相减得到：，

整理得到：，故.