2021-2022学年河南省新乡市长垣县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年河南省新乡市长垣县八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列不能判定是直角三角形的是

A. ，， B. ：：：：
C. ：：：： D. ，

4. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是

A. 且 B.  C. 且 D.

5. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6. 在菱形中，，，则

A.
B.
C.
D.

7. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为千米，则，两点间的距离为千米．

A.  B.  C.  D.

8. 如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约米，则旗杆的高度是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是

A.
B.
C.
D.

10. 如图，点，，，分别为四边形的边，，，的中点．下列三种说法：
    四边形一定是平行四边形；
    若，则四边形是菱形；
    若，则四边形是矩形．
    其中正确的是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 如图，点表示的实数是______．

12. 如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形、、面积为、、，则正方形的面积为______．

13. 甲船以的速度离开港口向北偏东方向航行，乙船同时离开港口以的速度沿一定方向航行，半小时后分别到达、两点，且相距，则乙船沿______方向航行．
    
     

14. 如图，矩形的对角线相交于点，，，已知，，则四边形的周长为______．
     

15. 我们知道，四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）

16. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
17. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，，点是的中点，若，．
    求的长；
    求平行四边形的面积．
    
    
    
    
    
    
     
18. 一住宅楼发生火灾，消防车立即赶到，准备在距大楼米的处升起云梯到火灾窗口展开营救，已知云梯长，云梯底部距离地面米，此时消防队员能否救下等候在距离地面约米窗口的受困群众？说说你的理由．
     

19. 如图，在▱中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，在上截取连接．
    求证：四边形是菱形；
    请用无刻度的直尺在▱内找一点，使标出点的位置，保留作图痕迹，不写作法
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图：正方形网格中每个小方格的边长为，且点、、均为格点．
    求的面积；
    通过计算判断的形状；
    求边上的高．
    
     

21. 平行四边形中，过点作于点，点在上，，连接，．
    求证：四边形是矩形；
    若平分，且，，求矩形的面积．

22. 【教材呈现】人教八年级下册数学教材第页的部分内容．
    如图，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？
    【问题解决】如图，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上．
    求证：四边形是正方形．请完成以下填空
    证明：四边形是矩形，
    ，
    折叠，，
    四边形是矩形，______
    折叠，______，
    四边形是正方形．______
    【问题拓展】如图，已知平行四边形纸片，将平行四边形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在边上．
    求证：四边形是菱形．
    连结，若，，则菱形的面积为______．

23. 下面是张华设计的尺规作图．
    已知：矩形．
    作法：
    分别以，为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点，；
    作直线；
    以点为圆心，为半径作弧，交直线于点，连接，；
    根据张华设计的尺规作图，解决下列问题：
    求的度数；
    过点作，交直线于点．
    求证：四边形为平行四边形．
    用等式表示平行四边形的面积和矩形的面积的数量关系为______．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、，被开方数不含分母，不是最简二次根式；
B、，是最简二次根式；
C、，被开方数中不含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；，不是最简二次根式；
D、，被开方数中不含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、与不属于同类二次根式，不能运算，故D不符合题意；
故选：．
利用二次根式化简的法则，二次根式的减法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的减法，二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】
 

【解析】解：、，故选项A中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
B、，故选项B中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
C、：：：：，
最大的角，
故选项C中的三角形不能构成直角三角形，符合题意；
D、，，，
，
故选项C中的三角形是直角三角形，不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理可以判断选项A和中的三条线段能否够构成直角三角形，根据三角形内角和可以判断和，从而可以判断哪个选项符合题意．
本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
 

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据分式有意义，分母不等于零；二次根式的被开方数是非负数得到不等式且即可求得答案．
【解答】
解：依题意，得
且，
解得且．
故选A．  

5.【答案】
 

【解析】解：、，，四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、，，四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
C、，，四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、，，不能得出四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 

6.【答案】
 

【解析】解：在菱形，
．
，．
故选：．
利用菱形的性质和等腰三角形的性质即可求解．
本题运用了菱形的性质和等腰三角形的性质的知识点，运用知识准确计算是解决问题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：由题意得：
，
，
千米，点是的中点，
千米，
故选：．
根据题意可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质，进行计算即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：如图，

设旗杆的高度为，则，，，
在中，，解得，
即旗杆的高度是．
故选：．
设旗杆的高度为，则，，，利用勾股定理得到，然后解方程求出即可．
本题考查了勾股定理的应用：在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 

9.【答案】
 

【解析】解：
连接，过作轴于，
点的坐标是，
，，由勾股定理得：，
四边形是矩形，
，
，
故选：．
根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出，即可得出答案．
本题考查了点的坐标、矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据矩形的性质得出是解此题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：点，，，分别为四边形的边，，，的中点，
，，，，，
四边形是平行四边形，故符合题意；
若，则，
平行四边形是菱形，故符合题意；
若，则，
平行四边形是矩形，故符合题意；
故选：．
根据三角形中位线定理得到，，，，，根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理判断即可．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：根据勾股定理可知，，
所以点表示的数是．
故答案为：．
利用勾股定理，求得的长度即可．
本题考查的是无理数的表示方法，解题关键是了解正方向的数，就是离开原点的距离．
 

12.【答案】
 

【解析】解：由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形面积，
故答案为：．
根据勾股定理和正方形的性质即可得到结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

13.【答案】南偏东
 

【解析】解：甲船以的速度、乙船以的速度航行了半小时，
，，
，
，则，
是直角三角形，
，
，
，
乙船沿南偏东方向航行．
故答案为：南偏东．
根据已知可得出是直角三角形，进而结合方向角得出答案．
本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是根据题目提供的方位角判定直角三角形．
 

14.【答案】
 

【解析】解：四边形是矩形，，，
，，，，，，
，
，，
四边形是平行四边形，
又
四边形是菱形，
，
由勾股定理得：，
，
，
即四边形的周长为，
故答案为：．
根据矩形的性质得出，，，，，，求出，根据菱形的判定得出四边形是菱形，根据菱形的性质得出，根据勾股定理求出，再求出即可．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点，能熟记矩形的性质和菱形的判定定理是解此题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，，
，
故答案为
由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论．
本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
 

16.【答案】解：

；


．
 

【解析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
先算乘法，再算加减，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地把每一个二次根式化成最简二次根式是解题的关键．
 

17.【答案】解：四边形为平行四边形，
，
是的中点，
；
，
，
在中，，，
，
平行四边形的面积．
 

【解析】根据平行四边形可得为中点，进而根据中位线定理可得的长；
根据勾股定理可得，然后根据平行四边形的面积，即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形对角线互相平分的性质和中位线定理是解题关键．
 

18.【答案】解：能救下．理由如下：如图所示：
由题意得，米，米，
在中，，
，
而，
故能救下．
 

【解析】先根据题意建立直角三角形，然后利用勾股定理求出的长度，最后与云梯的长度比较即可得出答案．
此题考查了勾股定理的应用；根据题意得出、的长度，利用勾股定理求出是解答本题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
如图所示：点即为所求：

 

【解析】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图基本作图等知识，解题的关键是作出图形，属于中考常考题型．
根据平行四边形的性质和判定，菱形的判定即可证明；
连结，，根据菱形的性质可得和的交点即为点．
 

20.【答案】解：的面积；
由勾股定理得：，
，
，
，
是直角三角形，，
是直角三角形；
，，是直角三角形，
边上的高．
 

【解析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
由矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可；
由勾股定理和勾股定理的逆定理即可得出结论；
由三角形的面积即可得出结果．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
解：，
，
平分，
，
，
在中，，，
，
矩形的面积为．
 

【解析】根据有一个角是度的平行四边形是矩形即可判定．
首先证明，求出即可解决问题．
本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质、角平分线的定义、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 

22.【答案】有三个角是直角的四边形为矩形    有一组邻边相等的矩形是正方形 
 

【解析】【问题解决】
解：四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，
四边形是矩形有三个角是直角的四边形为矩形，
由折叠的性质得：，
四边形是正方形有一组邻边相等的矩形是正方形，
故答案为：有三个角是直角的四边形为矩形，，有一组邻边相等的矩形是正方形；
【问题拓展】
证明：四边形是平行四边形，
，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
解：如图，四边形是菱形，，，
，
故答案为：．
【问题解决】由矩形的性质得，再由折叠的性质得：，，则四边形是矩形，然后由，即可得出结论；
【问题拓展】由平行四边形的性质得，则，再证，则，得四边形是平行四边形，然后由即可得出结论；
由菱形面积公式得，即可得出答案．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、折叠的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质、矩形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】
 

【解析】解：连接，
由作图知，是线段的垂直平分线，
，
，
，
是等边三角形，
；
故答案为：；

证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：设与交于，
，，
，
故答案为：．
连接，由作图知，是线段的垂直平分线，得到，推出是等边三角形，于是得到结论；
根据矩形的性质得到，推出，得到四边形是平行四边形；
设与交于，根据矩形和平行四边形的面积公式即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键．