专题56概率统计第一缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题56概率统计第一缉1．【2021年吉林预赛】某食品厂制作了4种不同的精美卡片，在该厂生产的每袋食品中都随机装入一张卡片，规定：如果收集齐了4种不同的卡片，便可获得奖品小明一次性购买该种食品6袋，那么小明获奖的概率是                                           .【答案】 【解析】总共有 种可能,其中获奖的情况可分为两类，第一类是有3袋食品的卡片相同的获奖情况(即AAABCD)有 种,第二类是有两组2袋食品的卡片相同的获奖情况(即AABBCD)有 种.所以概率是 .2．【2021年全国高中数学联赛A卷一试】一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数.随机地抛掷该骰子三次(各次抛掷结果相互独立)，所得的点数依次为，则事件“”发生的概率为                                           .【答案】【解析】注意到，因此，掷得的三个点数满足条件,当且仅当最大数与最小数之差为3,即是的一个排列,其中.对每个,当或时,各有3种不同的排列，当或时,各有6种不同的排列.因此,满足条件的点数有种情况.从而所求概率为.3．【2021年全国高中数学联赛B卷一试】设是的一个随机排列，则在这9个数中既出现9又出现12的概率为                                           .【答案】【解析】一个随机排列满足要求当且仅当该排列中1,9两数相邻,且2,6与3,4中至少有一对数相邻.现计算这样的排列的个数.设这些排列中2,6相邻的排列有个，3,4相邻的排列有个,2,6与3,4两对数都相邻的排列有个.为计算,先将1,9两数“捆绑”,2,6两数“捆绑”,并将它们与剩下的6个数进行排列，有种方式,又考虑到1,9的次序与2,6的次序,得.类似可知.由容斥原理，.因此,所求概率为.4．【2020年福建预赛】在以凸18边形的顶点为顶点构成的三角形中,任取一个三角形,则所取的三角形与该18边形无公共边的概率为                                           .【答案】 【解析】以凸18边形的顶点为顶点的三角形个数为 对于凸18边形的任意一个顶点A,要取与凸18边形无公共边的三角形的一个顶点，则三角形的另两个顶点 不能为顶点 在凸18边形中的两条边的另两个顶点,只是其他15个顶点中的不相邻的两个顶点,共有 种不同的选取方法.故与原凸18边形无公共边的三角形个数为 因此,所求的概率为 .5．【2020年甘肃预赛】从 中任取三个不同的数.则这三个数构成等差数列的概率为          .【答案】 【解析】设取出的三个数为 由题意,知a、c奇偶性相同.故 6．【2020年吉林预赛】两人轮流投掷色子,每人每次投掷两个,第一个使两个色子点数之和大于6者为胜,否则轮到另一个人投掷.则先投掷人获胜的概率为                                           .【答案】 【解析】同时投掷两个色子点数和大于6的概率为 ,从而,先投掷人的获胜概率为 .7．【2020年新疆预赛】由集合 中选出5个数，组成该体合的子集，从这些子集中任取一个，则取出的子集满足该子集中的5个数中任意两个数的和都不等于11拿概率为                                           .【答案】 【解析】易知由集合 中选出5个数，组成该体合的子集个数为： ；满足子集中的5个数中任意两个数的和都不等于11的子集个数，可以这样考虑：先把数字分成5组： ,由于选出的5个数中，任意两个数的和都不等于11,所以从每组中任选一个数字即可，故共可组成 (个)这样的子集.所以概率为: .8．【2019年全国】在1，2，3…，10中随机选出一个数a，在-1，-2，-3.…，-10中随机选出一个数b，则a2+b被3整除的概率为                                           .【答案】【解析】若a∈{1，2，4，5，7，8，10}，.若.若a∈{3，6，9}，.若.∴a2+b为3的倍数的概率为.9．【2019年江苏预赛】从中任取个不同的数，并从小到大排成一数列，此数列为等比数列的概率为  .答案【解析】满足条件的等比数列共有个:.故所求概率.10．【2019年上海预赛】某侦查班有12名战士,其中报务员3名现将这12名战士随意分成三组,分别有3名、4名、5名战士则每一组均有1名报务员的概率为                                           .【答案】【解析】注意到,将12名战士随意分成三组,每组分别有3名、4名、5名战士的分法共有种,其中,满足每一组均有1名报务员的分法有种.故每一组均有1名报务员的概率为.11．【2019年新疆预赛】随机取一个由0和1构成的8位数，它的偶数位数字之和与奇数位数字之和相等的概率为                                           .【答案】【解析】设a是满足题意的8位数，故知其偶数位上的1的个数和在奇数位上的1的个数相同，从而在奇数位上与偶数位上的1的个数可能为1，2，3或4.注意到首位为1，下面分情况讨论:(i)奇数位上与偶数位上有1个1，3个0，共有种可能;(i)奇数位上与偶数位上有2个1，2个0.共有种可能;(i)奇数位上与偶数位上有3个1，1个0，共有种可能;(iv)奇数位上与偶数位上有4个1，共有种可能;合计共有4+18+12+1=35个满足条件的自然数n.又因为0和1构成的8位数共有个，从而概率为.12．【2019年贵州预赛】已知m∈{11,13,15,17,19},n∈{2000,2001,……,2019}则mn的个位数是1的概率为                              .【答案】【解析】当m=11,n∈{2000,2001,……,2019}时,mn的个位数都是1,此时有20种选法；当m=13,n∈{2000,2004,2008,2012,2016}时,mn的个位数都是1,此时有5种选法；当m=15时,mn的个位数不可能为1,此时有0种选法;当m=17,n∈{2000,2004,2008,2012,2016}时,mn的个位数都是1,此时有5种选法；当m=19,n∈{2000,2002,2004,……,2018}时,mn的个位数都是1,此时有10种选法；综上,所求概率为.13．【2018年江苏预赛】将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数随机填入的方格表中，每个小方格恰填写一个数，且所填数各不相同，则使每行、每列所填数之和都是奇数的概率是________.【答案】.【解析】要使每行、每列所填数之和都是奇数，必须使每行或每列中要么只有一个奇数，要么三个全为奇数，故满足条件的填法共有种.因此所求的概率为.故答案为：14．【2018年重庆预赛】从正九边形中任取三个顶点构成三角形，则正九边形的中心在三角形内的概率________．【答案】【解析】如图，正9边形中包含中心的三角形有以下三种形状：对于（1），有3种情况；对于（2），有9种情况：对于（3）；有18种情况；故所求概率为，故答案为：15．【2018年安徽预赛】从1，2，…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差的概率=_________.【答案】【解析】的样本方差，当且仅当是连续的正整数.故.故答案为：16．【2018年山东预赛】甲、乙两人轮流掷一枚硬币至正面朝上或者朝下，规定谁先掷出正面朝上为赢；前一场的输者，则下一场先掷．若第一场甲先掷，则甲赢得第场的概率为______．【答案】        【解析】设甲赢得第场的概率为，在每一场先掷的人赢得的概率为，所以，由此得，因此．17．【2018年湖北预赛】一枚骰子连贯投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率为______.【答案】 【解析】设分别是四次投掷骰子得到的点数，那么共有种不同的情况.如果从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数，则.若的值都相等，则种不同的情况；若恰好取两个不同的值，则种不同的情况；若恰好取3个不同的值，则种不同的情况；若恰好取4个不同的值，则种不同的情况.因此，满足的情况共有（种）.故所求的概率为.18．【2018年甘肃预赛】某市公租房房源位于三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子． 申请其中任意一个小区的房子是等可能的，则该市的任意4位申请人中，恰有2人申请小区房源的概率是______．【答案】【解析】本题为古典概型，．19．【2018年福建预赛】从如图所示的，由9个单位小方格组成的，方格表的16个顶点中任取三个顶点，则这三个点构成直角三角形的概率为______．【答案】    【解析】先计算矩形的个数，再计算直角三角形的个数．如图所示，根据矩形特点，由这16个点可以构成个不同的矩形．又每个矩形可以分割成4个不同的直角三角形，且不同的矩形，分割所得的直角三角形也不同．因此，可得个直角顶点在矩形顶点的不同的直角三角形．再算直角顶点不在矩形顶点：（1）在的矩形中，有直角顶点不在矩形顶点，边长分别为的直角三角形两个．而矩形横向、纵向各有6个，故共有个．（2）在的矩形中，有直角顶点不在矩形顶点，边长分别为的直角三角形4个，边长分别为的直角三角形4个．而矩形横向、纵向各有两个，故共有个．所以，所求的概率．20．【2018年全国】将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a，b，c，d，e，f，则abc+def是偶数的概率为                                           .【答案】【解析】先考虑abc+def为奇数的情况，此时abc，def一奇一偶，若abc为奇数，则a，b，c为1，3，5的排列，进而d，e，f为2，4，6的排列，这样有3！×3！=36种情况，由对称性可知，使abc+def为奇数的情况数为36×2=72种.从而abc+def为偶数的概率为.21．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a，，c，d，e，f，则abc+def是偶数的概率为                                           .【答案】【解析】先考虑abc+def为奇数的情况，此时abc、def一奇一偶，若abc为奇数，则a、b、c为1、3、5的排列，进而d、e、f为2、4、6的排列，这样有种情况，由对称性可知，使abc+def为奇数的情况数为36×2=72种.从而abc+def为偶数的概率为.22．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为，b，c，d，e，f，则abc+def是奇数的概率为                                           .【答案】【解析】当abc+def为奇数时，abc，def必为一奇一偶，若abc为奇数，则a，b，c为1，3，5的排列，d，e，f为2，4，6的排列，这样有3!×3!=36种情况.由对称性可知，满足条件的情况数为36×2=72种.从而所求概率为.23．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，点集K={(x，y)|x，y=－1，0，1在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为的概率是                                           .【答案】【解析】易知K中有9个点，故在K中随机取出三个点的方式数为种.将K中的点按如图标记为，其中有8对点之间的距离为.由对称性，考虑取两点的情况，则剩下的一个点有7种取法，这样有7×8=56个三点组(不计每组中三点的次序).对每个Ai(i=1，2，…，8)，K中恰有两点与之距离为(这里下标按模8理解)，因而恰有这8个三点组被记了两次.从而满足条件的三点组个数为56－8=48，进而所求概率为.24．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，点集K={(x，y)|x，y=－1，0，1}.在K中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为                                           .【答案】【解析】注意K中共有9个点，故在K中随机取出三个点的方式数为种.当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况:(1)三点在一横线或一纵线上，有6种情况.(2)三点是边长为的等腰直角三角形的顶点，有4×4=16种情况.(3)三点是边长为的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0，0)的有4个，直角顶点位于(±1，0)、(0，±1)的各有一个共有8种情况.综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为6+16+8=30，进而所求概率为.25．【2017年天津预赛】正2017边形内接于单位圆,任取它的两个不同顶点,则的概率是       .【答案】【解析】提示:的充要条件是.对任意给定的,使得的点的取法有种,因此,所求概率为.26．【2017年福建预赛】将8个三好生名额分配给甲、乙.丙、丁4个班级,每班至少1个名额,则甲班恰好分到2个名额的概率为                                          .【答案】【解析】提示:将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级,每班至少1个名额的不同分配方案有种.(用隔板法:将8个名额排成一排,在它们形成的7个空挡中揷人3块隔板,则每种揷人隔板的方式对应一种名额分配方式,反之亦然.)其中,甲班恰好分到2个名额的分配方案有种.(相当于将6个名额分配给3个班级,每班至少1个名额.)所以,所求的概率为.27．【2017年湖北预赛】六个人围成一圈玩掷硬币游戏(硬币质地均匀),每人掷一次硬币.规定：硬币反面朝上的要表演节目,正面朝上的不用表演,则没有两个表演者相邻的概率为                                          .【答案】【解析】提示:所有情形共有种,满足题设的表演者至多3人.易知表演人数恰为且满足题设的情形种数分别为1、6、2,而恰有2人表演且满足题设的情形有种.故所求概率为.28．【2017年陕西预赛】袋中装有2个红球,3个白球、个黄球,从中任取4个球,则其中三种颜色的球都有的概率是                                          .【答案】【解析】提示：从袋中的9个球中任取4个,不同的取法共有(种),其中三种颜色的球都有的取法有故所求概率.29．【2017年甘肃预赛】某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等),则在男生甲被选中的情况下,男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是                                          .【答案】【解析】提示.30．【2017年贵州预赛】掷一枚硬币,每次出现正面得1分,出现反面得2分.反复掷这枚硬币,则恰好得分的概率为                                          .【答案】【解析】提示:设得分的概率为得不到分的情况只有先得分,再掷出反面,概率为.所以.31．【2017年安徽预赛】设正八面体的边长是1,则其两个平行表面之间的距离是        .【答案】【解析】提示：不妨设此正八面体的六个顶点的坐标是,其两个平行平面之间的距离.32．【2017年安徽预赛】设是正整数,随机选取的非空子集和,则不是空集的概率是       .【答案】【解析】提示:共有个子集,其中个子集满足个子集满足所求概率是33．【2017年广东预赛】从各位数字两两不等且和为10的所有四位数中任取两个数,则2017被取到的可能性为                                          .【答案】【解析】提示:方程的整数解有且仅有,因此符合条件的四位数恰有:故所求概率为.34．【2017年广西预赛】一名篮球队员进行投篮练习.若第次投篮投中,则第次投篮投中的概率为;若第次投篮不中,则第次投篮投中的概率为.若该队员第1次投篮投中的概率为,则第4次投篮投中的概率为                                          .【答案】【解析】提示:设该队员投进第个球的概率为,投失的概率为,则投进第个球的概率为即故.35．【2017年新疆预赛】在边长为3的正方形中随机选取个点,其中与正方形的顶点距离小于1的点有个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的试验值为                                          .【答案】【解析】提示：由几何概型概率计算公式得,从而.