专题61平面几何第一缉（解析版）-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题61平面几何第一缉1．【2021年吉林预赛】如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点P， ，则∠DCB=        .【答案】 【解析】由相交弦定理得 ,所以 .直径 ,连接DO.由 ,知 所以 2．【2019年北京预赛】在的边和上分别取点和,使得,,在线段上取点,使得,是射线与的交点,,由点到边的距离,则的面积等于                                           .【答案】【解析】过点作的平行线,交于点,过点作的平行线,交于点,连接,.则：,相加得.注意到,设.由,得.由,得.于是，.因此,得.所以.3．【2019年贵州预赛】在△ABC中,AB=30,AC=20,S△ABC=210,D,E分别为边AB,AC的中点,∠BAC的平分线分别与DE,BC交于点F,G.则四边形BGFD的面积为                                           .【答案】【解析】如图,在△ABC中,由AG平分∠BAC可得：.又S△ABC=210,则.由D、E分别为边AB、AC的中点知,且,所以△ADF:△ABG.由故.4．【2018年贵州预赛】顺次连结圆x2+y2=9与双曲线xy=3的交点，得到一个凸四边形，则此凸四边形的面积为______．【答案】【解析】设A(m，n)(m>0，n>0)为两曲线在第一象限的一个交点．由两曲线既关于原点对称．又关于直线y=x对称，得另外三个交点坐标为B(n，m)，C(－m，－n)，D(－n，－m)．则四边形ABCD为矩形，其面积 ．故答案为：5．【2018年北京预赛】一个三角形的一边长为8，面积为12，则这个三角形的周长的最小值=________.【答案】18【解析】在中，设边上的高为，则，解得.在的一侧作直线且与的距离为3，以为对称轴作出点的对称点，连接，与交于的周长是最小的.这是因为,此时，又因为，所以.因此周长的最小值为5+5+8=18.6．【2018年贵州预赛】若边长为6的正△ABC的三个顶点到平面α的距离分别为1， 2，3，则△ABC的重心G到平面α的距离为_______．【答案】【解析】（1）当△ABC的三个顶点在平面α的同侧时，由公式求得重心G到平面α的距离为2．（2）当△ABC的三个顶点中，其中一点与另两点分别在平面α的异侧时，求得重心G到平面α的距离分别为0，．故答案为：7．【2018年贵州预赛】顺次连结圆x2+y2=9与双曲线xy=3的交点，得到一个凸四边形，则此凸四边形的面积为______．【答案】【解析】设A(m，n)(m>0，n>0)为两曲线在第一象限的一个交点．由两曲线既关于原点对称．又关于直线y=x对称，得另外三个交点坐标为B(n，m)，C(－m，－n)，D(－n，－m)．则四边形ABCD为矩形，其面积 ．故答案为：8．【2018年天津预赛】凸六边形ABCDEF的6条边长相等，内角A、B、C分别为134°、106°、134°.则内角E是___________（用度数作答）.【答案】134°【解析】不妨设边长为1，设AC、DF的中点分别为M、N，且A在DF上的射影为K，则，即.又设，则，利用，我们有，因此，即等腰△DEF的底角为23°，可见其顶角E为134°.故答案为：134°9．【2018年河北预赛】设点O为三角形ABC内一点，且满足关系式： _____.【答案】【解析】将化为.设M、N分别是AB、AC的中点，则.设△ABC的面积为S，由几何关系知，所以.10．【2018年河北预赛】过动点作圆： 的切线，其中为切点，若（为坐标原点），则的最小值是__________．【答案】【解析】解答：由圆的方程可得圆心C的坐标为(2,2)，半径等于1.由M(a,b),则|MN|2=(a−2)2+(b−2)2−12=a2+b2−4a−4b+7，|MO|2=a2+b2.由|MN|=|MO|,得a2+b2−4a−4b+7=a2+b2.整理得：4a+4b−7=0.∴a，b满足的关系为：4a+4b−7=0.求|MN|的最小值，就是求|MO|的最小值。在直线4a+4b−7=0上取一点到原点距离最小，由“垂线段最短”得，直线OM垂直直线4a+4b−7=0，由点到直线的距离公式得：MN的最小值为： .11．【2016年天津预赛】已知凸n边形n个内角的度数均为整数并且互不相等,最大内角的度数为最小内角的度数的3倍.则n可以取到的最大值为______.【答案】20【解析】设n个内角的度数按从大到小的次序为：，则.由n个内角的度数均为整数知.再由n个内角的度数均为整数且互不相等知..故，，，结合n为正整数,知.因为当时,,,所以,n个内角的度数为满足要求.综上,n可取到的最大值为20.12．【2016年吉林预赛】给定平面上四点O、A、B、C，满足.则的最大值为________.【答案】【解析】试题分析：由已知，得，由余弦定理可得，从而中边边上的高为，由知点在以为圆心，4为半径的圆上，到直线的距离最大值为，∴面积的最大值为．考点：向量的数量积，三角形面积最大值．13．【2016年江西预赛】如图,在四面体ABCD中,△ABC为正三角形,AD=BD=2,AD⊥BD,AD⊥CD.则点D到面ABC的距离为______.【答案】【解析】据题意得.则,.又.从而,以D为顶点的三面角均为直角.设点D到面ABC的距离为h故14．【2016年北京预赛】如图，与正方形的边分别切于点，与边交于点厘米，厘米.则的面积为__________平方厘米【答案】【解析】如图，联结的半径，记半径为，作于点.则.又，故.在中，由勾股定理得（不合题意）.故的面积为平方厘米.15．【2016年北京预赛】如图，切于点交于点交于点于点.联结并延长，与交于点，联结.若，则的度数为__________.【答案】【解析】联结.因为切于点，所以.由.又四点共圆.又，故.16．【2015年北京预赛】在锐角内取点，使得分别为边的中点.则的度数为__________.【答案】【解析】由条件易知.如图4，延长到点，使得，联结则,.于是，四点共圆.因此，.又分别为边的中点，的中点，故.因此，.17．【2019年北京预赛】如图,已知半径分别等于厘米和厘米的外切于点.两圆的一条外公切线切于点,切于点,过作的垂线与的中垂线交于点是的中点.则的面积等于A.  B.  C.  D.【答案】C【解析】如图,连接,过作的垂线,垂足为,因为是两圆的公切线,是切点,所以,,于是四边形为矩形,有,,.易知,,所以.又.在中,根据勾股定理,有.所以,,进而有.18．【2018年北京预赛】的直径上一点，.延长到点，使，连交半圆于点，过点的垂线交的延长线于，则的长度为A．.    B．.    C．.    D．.【答案】C【解析】连结，是直径，，因此，.于点.即，所以四点共圆，.，因此，故.. 选C.19．【2021年江西预赛】如图,锐角 中,以高AD为直径的圆0,交AC,AB于E,F,过点E,F分别作圆 的切线,若两切线相交于点 .证明:直线AP重合于 的一条中线.【答案】证明见解析【解析】证明：设 为BC中点,过点E,F的切线 分别交BC于N,K,设 ,只要证点 重合; 分别被直线 所截,据梅尼历斯定理, ,为证 只要证 设圆心为O,连DE,DF,ON,OK,因为 为 的切线,所以OK是DF的中垂线,又 ,则OK∥AB，即OK是△DAB的中位线，K是BD的中点，同理N是CD的中点，所以KN= BC=MB=MC，因此MK=CN=ND，于是 (2).又在直角三角形△ADB，△ADC中，由于 (3)，据②③可知①式成立，因此结论得证.20．【2021年广西预赛】如图，设点 、 分别为圆 的内接三角形 的边AB、AC上的点,且 .线段BD、CE的垂直平分线分别交圆 的劣贩 于点 、 ,点 为劣弧 的中点.求证: .【答案】证明见解析【解析】证明:如图,作OL、OM分别垂直AB、AC交圆 于点J、K，连接JK，则点J、K分别为劣弧 和劣弧 弧的中点.因为 ,所以 .下面证明 取BD、CE的中点 ,易知 分别垂直AB、AC,故 分别平行于OJ、OK.因为 ,所以 . 到过圆心 的线段OJ的距离与 到过圆心 的线段OK的距离相等，故 等于 ,从而 .于是由 可得 .21．【2021年新疆预赛】如图，AC=BC，△ABC外接圆在A，C的切线交于D点，BD交圆于E，射线AE交CD于F证明：F是CD的中点.【答案】证明见解析【解析】证明：延长AF至G，使得AG=BD.连接CG，DG.因为AC=BC，∠DBC=∠GAC，AG=BD，所以  ①因此CG=CD=AD.  ②设∠CAB=∠1，∠ABC=∠2，∠ACB=∠3，∠GCD=∠4，∠DCA=∠5，∠DAC=∠6，∠ADC=∠7，由弦切角定理得：∠5=∠2=∠1，∠5=∠6=∠1，因此∠3=∠7，由①知：∠GCA=∠DCB，所以∠3=∠4，因此∠4=∠7，AD∥CG.  ③由②③知：四边形ACGD是平行四边形，故F是CD的中点22．【2021年全国高中数学联赛A卷二试】如图所示，在△ABC中，M是边AC的中点，D，E是的外接圆在点处的切线上的两点,满足,且是线段的中点,过三点的圆与边相交于另一点,过三点的圆与的延长线相交于点.证明:.【答案】证明见解析【解析】取边的中点,则共线,且.由弦切角定理可知.又,故.因此  .   ①由已知条件,四点共圆,故,因此.于是   ②结合①、②以及可得，即有   ③由弦切角定理可知.又四点共圆,故.因此.于是,结合③可得.又,故.所以.从而,即.23．【2021年全国高中数学联赛B卷二试】如图所示,是的内心,点分别为在边上的投影.直线的外接圆相交于点在间）.已知四点共圆,证明:四点共圆.【答案】证明见解析【解析】记的外接圆为.因为,故四点共圆.因此.又由四点共圆可知,故.因此三点共线.由共圆可知,故,即.因此于是四边形是正方形，垂直平分线段.设是的中点,则由内心熟知的结论可知,因此是的中垂线与圆的交点.又直线与圆相交于两点,且显然不同于,故与重合.因此是的中点.于是三点共线.因此,进而四点共圆.24．【2020高中数学联赛A卷（第02试）】如图,在等腰中, ,为内心,为BI的中点,P为边AC上一点,满足AP=3PC,PI延长线上一点H满足MH⊥PH,Q为ΔABC的外接圆上劣弧AB的中点.证明:BH⊥QH.【答案】证明见解析【解析】取AC的中点N.由AP=3PC,可知P为NC的中点.易知B,I,N共线,∠INC=90°.由I为ΔABC的内心,可知CI经过点Q,且∠QIB=∠IBC+∠ICB=∠ABI+∠ACQ=∠ABI+∠ABQ=∠QBI,又M为BI的中点,所以QM⊥Bl.进而QM∥CN.考虑ΔHMQ与ΔHIB.由于MH⊥PH,故∠HMQ=90°-∠HMI=∠HIB.又∠IHM=∠INP=90°,故,于是所以,得∠HQM=∠HBI.从而H,M,B,Q四点共圆.于是有∠BHQ=∠BMQ=90°,即BH⊥QH.25．【2020高中数学联赛B卷（第02试）】如图,A,B,C,D,E是圆Ω上顺次的五点,满足ABC=BCD=CDE,点P,Q分别在线段AD,BE上,且P在线段CQ上.证明:∠PAQ=∠PEQ.【答案】证明见解析【解析】记S为AD与BE的交点,T为CQ延长线与圆Ω的交点.注意到ABC=BCD=CDE,可设AB,CD所对的圆周角均为α,BC,DE所对的圆周角均为β.于是∠ATQ=∠ATC=α+β,∠PTE=∠CTE=α+β,∠PSQ=∠BDA+∠DBE=α+β.由∠ATQ=∠PSQ得S,A,T,Q四点共圆,又由∠PTE=∠PSQ得P,S,T,E四点共圆.所以∠PAQ=∠PTS=∠PEQ.26．【2020年福建预赛】如图所示,在 中, 的内切圆 与边BC、CA分别切于点D、E,联结AI并延长,与 的外接圆 交于点 ,联结ND、NO并延长,分别与 交于点G、M,联结GE并延长,与 交于点 .证明(1) ；(2)MF//AC.【答案】证明见解析【解析】 如图,联结BN,BI,BG,由 为 的内心知 又 ， ,则 又 ,故 .(2)联结GA、GM.由 ,得 由 为 的内心 为弧 的中点 又 ,则 结合 得 四点共圆 27．【2020年广西预赛】如图1，设H为 内一点,D、E、F分别为AH、BH、CH的延长线与BC、CA、AB的交点, 为FE的延长线与BC的延长线的交点, 为DG的中点,以 为圆心、OD为半径作圆交线段FE于点P.（1） ；（2） .【答案】证明见解析【解析】 在 中,据塞瓦定理,知AD、BE、CF三线交于点H.则 .据梅涅劳斯定理,知直线FEG与 三边分别交于点 则 .因此, .(2)由 ,知 .如图3,联结OP.由 ,得 从而, .结合 ,得 因此, .28．【2019年全国】如图，在锐角△ABC中，M是BC边的中点.点P在△ABC内，使得AP平分∠BAC.直线MP与△ABP，△ACP的外接圆分别相交于不同于点P的两点D，E.证明：若DE=MP，则BC=2BP.【答案】证明见解析【解析】如图：只要证明两小黄全等△DBP，△EMC。， DP=ME.所以只要BD=CE.注意M是中点，BPsin∠BPM=CPsin∠MPC， BPsin∠BPD=CPsin∠CPE， .