专题29数列第五缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题29数列第五缉
1．【2021年江西预赛】正整数数列an 满足a1=a2=a3=1 ,叱的任何连续四个项an,an+1,an+2,an+3 都满足:anan+3-an+1an+2=1 .证明:对于它的任意三个连续项an,an+1,an+2 而言.其首尾两项之和an+an+2 必是中间一项an+1 的倍数.
【答案】证明见解析
【解析】证明:据条件易得,数列an 开始的一此项为:1,1,1,2,3,7,11,26,41,97,⋯⋯ ,
据此猜想:a2n-1+ a2n+1=2a2n(1);a2n+a2n+2=3a2n+1(2) ，
对n 归纳,奠基是显然的,
设(1)，(2)两式对于n 成立,考虑n+1 的情形:
据所给条件式,对所有的正整数k ,都有ak+3=ak+1ak+2+1ak(3) ,
则a2n+3=a2n+1a2n+2+1a2n= 2a2n-a2n-1a2n+2+1a2n=
=2a2n+2+-a2n+2a2n-1+a2n+2a2n-1-a2n+1a2na2n=2a2n+2+-a2n+1a2na2n= 2a2n+2-a2n+1 ,
即a2n+1+a2n+3=2a2n+2.
而a2n+4=a2n+2a2n+3+1a2n+1=3a2n+1-a2na2n+3+a2na2n+3-a2n+1a2n+2a2n+1=3a2n+3-a2n+2 ，
即a2n+2+ a2n+4=3a2n+3. 从而,(1) ，(2) 两式对于n+1 也成立,命题得证.
2．【2021年福建预赛】已知数列an,bn 满足a1=3, an+1=2an+2n+1-1, bn=an-12nn∈N* .
(1)求数列bn 的通项公式;
(2)设cn=(-1)nbn,Tn 是数列cn 的前n 项的和，求证:T2n>-22 .
【答案】(1) bn=n；(2)证明见解析.
【解析】(1)由bn=an-12n ,得an=2nbn+1,an+1=2n+1bn+1+1 ,代入an+1=2an+2n+1-1 ,
得2n+1bn+1+1=22nbn+1+2n+1-1 .
所以，bn+1-bn=1 ,数列bn+1-bn 为等差数列.
又b1=a1-12=1 ，所以,bn=1+1×(n-1)=n .
(2)由（1）知,cn=(-1)nbn=(-1)nn .所以：
T2n=-1+12-13+14-⋯-12n-1+12n
=-1+12+13+14+⋯+12n+212+14+16+18+⋯+12n
=-1+12+13+14+⋯+12n+2⋅121+12+13+14+⋯+1n
=-1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n
由柯西不等式知：
1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n2
≤12+12+12+⋯+121(n+1)2+1(n+2)2+1(n+3)2+⋯+1(2n)2
3 ,试探究满足ak=2k 的正整数k 的存在性及其个数，并证明你的结论.
注:这里(x,y) 表示正整数x,y的最大公约数.
【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.
【解析】证明：(1)当a=3 时，由a1=3 ,
知a2=a1+2,a1=3+(2,3)=4 ,a3=a2+3,a2=4+(3,4)=5 .
若ak=k+2(k≥3) ,则ak+1=ak+k+1,ak=k+2+(k+1,k+2)=k+3 .
所以，当k=2,3,4,⋯ ,时总有ak=k+2 .
又当k≥3 时, 2k>k+2=ak ,
所以，只有k=2 ,满足ak=2k .
所以，当a=3 时，存在唯一一个正整数k=2 ，使得ak=2k .
(2)当a>3 时,a1≥4 .
若a1=4 ,则a2=a1+2,a1=4+(2,4)=4+2=6 .
若a1≥5 ,则a2=a1+2,a1≥5+2,a1≥6 .
所以，若存在正整数k ,使得ak=2k ,则k≥3.
我们断言当a>3 时，不存在正整数k ,使得ak=2k .
反证法:假设存在正整数k ,使得ak=2k ,记m=mink∣ak=2k,k∈N+ ,则m≥3.
以下先证明一个引理：当1≤n≤m-1 时，总有an>2n.
由前面讨论可知,a1>2, a2>4 ,
若an-1>2(n-1) (2≤n2(n-1)+1=2n-1 ,
因此，an≥2n .结合m 的最小性，可知an≠2n ,因此，an>2n .
下面推出矛盾:
易见an 为卢格单调递增的正整数数列，因为am=2m ,所以，am-1≤2m-1 .
又由引理知am-1>2(m-1) ,故am-1=2m-1.
注意到m≥3 ,则可类似地由单调性和引理可得am-2=2m-3 或am-2=2m-2.
若am-2=2m-3 ,则：
am-1=am-2+m-1,am-2=2m-3+(m-1,2m-3)=2m-3+(m-1,m-2)=2m-3+1=2m-2 ，
与am-1=2m-1 矛盾.
若am-2=2m-2 ,则：
am-1=am-2+m-1,am-2=2m-2+(m-1,2m-2)=2m-2+m-1=3m-3>2m-1
(因为m≥3 ),与am-1=2m-1 矛盾!
因此，当a>3 时，不存在正整数k ,使得ak=2k .
4．【2021年重庆预赛】数列an 的相邻两项an 和an+1 为二次方程x2-3nx+cn=0(n=1,2,3,⋯) 的两个根，当a1=1 时，求cn .
【答案】c2n-1=a2n-1a2n=9n2-9n+2c2n=a2na2n+1=9n2-1
【解析】由韦达定理，知:an+an+1=3n,cn=anan+1 .
由a1=1 ,知a2=2 .
再多写一项，有an+1+an+2=3n+3 ,于是an+2=an+3 ,形成隔项等差数列.
所以a2n-1=3n-2a2n=3n-1.
于是，所求cn 的通项为c2n-1=a2n-1a2n=9n2-9n+2c2n=a2na2n+1=9n2-1 .
5．【2021年四川预赛】给定正整数a,b,其中a