专题59初等数论第二缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题59初等数论第二缉1．【2016年山东预赛】使为素数的正整数数对（a，b）=________.【答案】【解析】令，.设.则.因为，所以，.又p为素数，则，且或p.若，则.因为p为素数，所以，.故，此时，不符合题意.若，则从而，.综上，.2．【2016年山西预赛】若12个互不相同的正整数之和为2016，则这些正整数的最大公约数的最大值为__________.【答案】24【解析】设最大公约数为d，12个数分别为.记.于是，.欲使最大，应使取最小．由于互异，则.注意到，，且78不为2016的因数.又，其大于78的最小正因数为.故，且可以取到，只需令.3．【2016年江西预赛】若将数1,2,…,9分别填入3×3方格表的九个格中,使得每行三个数的和、每列三个数的和均为素数,则填法为______.【答案】179263845 （答案不唯一）【解析】1,2,…,9中三个数的和为素数7，11，13，17，19，23，先排四个偶数2684 ，再填奇数，调整，可得一解，179263845 4．【2016年江西预赛】把1至n(n>1)这n个连续正整数按适当顺序排成一个数列,使得数列中每相邻两项的和为平方数.则n的最小值为______.【答案】15【解析】例如,排出的一个数列为8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9记这n个连续正整数的集合为M={1,2,…,n}.由于n>1,则集合M中必有2,而2+7=9,于是,n≥7.当n=7时,从1至7这七个数可以搭配成满足条件的三个数段:(1,3,6),(2,7),(4,5),但它们不能连接成一个7项的数列,故应增加后续的数,增加8可使得第一段扩充成(8,1,3,6),增加9可使得第二段扩充成(2,7,9),但新的三段也不能连接,还需增加新数,即n≥10.而之前的数若与8、9、10邻接,只有8+1=9,9+7=16,10+6=16这三段扩充为(8,1,3,6,10),(2,7,9),(4,5),仍旧不能连接,应当借助新的平方数25,从1至10这十个数能搭配成和为25的最小数是15,则n≥15.当M={1,2,…,15}时,可排出上面的情形8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9.5．【2016年湖北预赛】已知素数p、q满足．则________.【答案】14【解析】由.易知，为大于1的奇数，也为大于1的奇数．则.6．【2015年全国】对四位数，若，则称类数；若，则称类数.用分别表示类数与类数的个数.则的值为______.【答案】285【解析】记类数、类数的全体分别为，再记个位数为零的类数全体为，个位数不为零的类数全体为.对任一四位数，将其对应到四位数.注意到，.则.反之，每个唯一对应于中的元素.因此，建立了之间的一一对应.故.下面计算.对任意四位数可取0，1，…，9，对其中每个，由，知分别有种取法.故.因此，.故答案为：2857．【2015年上海预赛】使得n2的各位数字之和为34的最小正整数n是______.【答案】167【解析】注意到n2至少为五位数,所以n至少为三位数,计算可得满足,因此最小正整数n是167.8．【2015年新疆预赛】的个位数为________.【答案】4【解析】用表示一个自然数n的个位数.则.从而，的个位数为4.9．【2015年天津预赛】设.则除以100的余数为__________.【答案】6【解析】由.由，知当正整数时，为100的倍数.从而，除以100与除以100有相同的余数，均为36，知除以100的余数为6.10．【2015年四川预赛】对任意正整数n，定义函数，且当时，其中，为不同的素数。若记为12的全部不同正因数的集合，则________。【答案】0【解析】由，知.则11．【2015年北京预赛】已知为从小到大排列的前2015个素数，记.则关于的不定方程的正整数解集为_________.【答案】【解析】由两两之差为3的倍数，知.            ①由已知得为3的倍数.再根据式①，若题中不定方程成立，则均为3的倍数，即原方程左边有因子，但不被整除，矛盾.从而，原方程的正整数解集为.12．【2015年陕西预赛】若正整数满足，则的值为______.【答案】144【解析】由，，知从而，.13．【2015年山西预赛】设，其中，.则________.（表示不超过实数x的最大整数）.【答案】4【解析】注意到：.则.又，于是，.故.从而，.14．【2015年江西预赛】若三位数为平方数，其数字和也为平方数，则称为“超级平方数”。这种超级平方数的个数为____________。【答案】13【解析】可顺次列举出100、121、144、169、196、225、324、400、441、484、529、900、961.15．【2015年江西预赛】在前一万个正整数构成的集合中，被3除余2，且被5除余3、被7除余4的元素有______________个。【答案】95【解析】由题意，知对于每个满足条件的数，数应当被3、5、7除皆余1，且为偶数.因此，应为3、5、7的公倍数，且为奇数，即为105的奇倍数.而当时，，其在中，共有190个数为105的倍数，其中奇倍数恰有95个.16．【2015年吉林预赛】从0，1，…，9中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字可以出现两次），如5224.则这样的四位数共有______个.【答案】3888【解析】分三种情形讨论.四位数中不含0的有（个）；四位数中含0且0只出现一次的有（个）.从而，共有个17．【2015年湖北预赛】使得均是完全平方数的最大素数为__________.【答案】7【解析】设.显然，.由，两式相减得.又为素数且，则.因为，所以，.故.从而，满足条件的只有一个，即.18．【2015年河南预赛】不能表示为 （x、y∈Z+）的最小正奇数为_______.【答案】3【解析】因为x、y∈Z,所以 恒为奇数，且.若，则.而，于是，不存在正整数x、y,使得.因此，所求的最小正奇数为3.19．【2015高中数学联赛（第01试）】对四位数(1≤a≤9，0≤b，c，d≤9)，若a>b，b<c，c>d，则称为P类数：若a<b，b>c，c<d，则称为Q类数.用N(P)与N(Q)分别表示P类数与Q类数的个数，则N(P)－N(Q)的值为                                           .【答案】285【解析】分别记P类数、Q类数的全体为A，B，再将个位数为零的P类数全体记为A0，个位数不等于零的P类数全体记为A1，对任一四位数，将其对应到四位数，注意到，故，反之，每个唯一对应于A1中的元素，这建立了A1与B之间的一一对应，因此有.下面计算：对任一四位数可取0，1，…，9，对其中每个b，由b<a≤9及b<c≤9知，a和c分别有9－b种取法，从而.因此.20．【2018年陕西预赛】若既约分数化为小数是，则当最小时，（   ）A．9    B．7    C．5    D．2【答案】D【解析】由题意得.可见，随着增大，的下界不断增大.当时，不存在满足条件的整数；当时，满足条件.故.21．【2018年陕西预赛】若既约分数化为小数是，则当最小时，（   ）A．9    B．7    C．5    D．2【答案】D【解析】由题意得.可见，随着增大，的下界不断增大.当时，不存在满足条件的整数；当时，满足条件.故.22．【2018年陕西预赛】若既约分数化为小数是，则当最小时，（   ）A．9    B．7    C．5    D．2【答案】D【解析】由题意得.可见，随着增大，的下界不断增大.当时，不存在满足条件的整数；当时，满足条件.故.23．【2018年辽宁预赛】方程的整数解（x，y）的个数为（）.A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】共5组.当时无解；当，故，所以，所以.综上共5组解.故答案为：A24．【2018年辽宁预赛】设三位数，若以为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数有(　　) A．45个         B．81个        C．165个      D．216个【答案】C【解析】试题分析：要能构成三角形的边长，显然均不为0。即
（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中三个数码都相同，所以（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中只有2个不同数码.设为，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组共有组.但当大数为底时，设，必须满足。此时，不能构成三角形的数码是a987654321b4，3
2，14，3
2，13，2
13，2
11，21，211 共20种情况。 同时，每个数码组中的二个数码填上三个数位，有种情况。
故. 综上，.考点：排列组合问题.25．【2017年辽宁预赛】对于三位数,满足的三位数的个数共有(   )个.A.13  B.14  C.15  D.16【答案】【解析】提示：因为三位数,满足,所以即所以当时,共有9种,即111、222、333、444、555、666、777、当，即370、481、592，当，即407、518、629.所以满足条件的三位数共有15个.26．【2017年陕西预赛】设是正整数,以下各组数中,使为既约分数的是(   )(A)  (B)(C)   D)【答案】【解析】提示：因为所以为既约分数.27．【2015年天津预赛】用表示不超过实数的最大整数.则方程共有（    ）个不同的实根.A．1    B．2    C．3    D．4【答案】C【解析】由只能为、0、1、2，2.28．【2015年四川预赛】设素数p满足存在正整数x、y使得，则符合条件的素数p的个数为（）A．1    B．2    C．3    D．4【答案】A【解析】显然，.当素数时，显然，，且.由，知.则.经验证，p=3符合条件.