专题16三角函数与解三角形第三缉（解析版）-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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【答案】-3
【解析】提示:tanx=tany-π3=tany-31+3⋅tany,tanz=tany+π3=tany+31-3⋅tany，
所以tanxtanz=tan2y-31-3tan2y，tany⋅(tanx+tanz)=tan2y-3tany1+3tany+tan2y+3tany1-3tany=8tan2y1-3tan2y，
相加得tanx⋅tany+tany⋅tanz+tanz⋅tanx=-3.
2．【2017年辽宁预赛】设fx是定义在R上的函数,满足fx+cs2x≤34,fx-sin2x∣≤14,则函数fx的解析式为.
【答案】fx=sin2x-14
【解析】提示：由已知及1=sin2x+cs2x≤fx+cs2x+fx-sin2x≤34+14=1得fx+cs2x=34,fx-sin2x=14.
从而fx=sin2x-14.
3．【2017年吉林预赛】已知锐角三角形ABC中,sinA+B=35,sinA-B=15,AB=3,则△ABC的面积为.
【答案】3(6+2)2
【解析】由{sin(A+B)=35sin(A-B)=15得{sinAcsB+csAsinB=35sinAcsB-csAsinB=15，
即{sinAcsB=25csAsinB=15，故tanA=2tanB.
又因为tanA+B=sinA+BcsA+B=35-45=-34，
且tanA+B=tanA+tanB1-tanAtanB=3tanB1-2tan2B所以tanB=6+22.
设AB边上的高为h,则3=AB=htanA+htanB=3h2tanB，即h=2tanB,
故S=12AB⋅h=12⋅3⋅2tanB=3tanB=32+62.
4．【2017年山东预赛】函数fx=sinx-13-2csx-2sinx0≤x≤2π的值域为.
【答案】-1,0
【解析】提示:令1-sinx=a,1-csx=b,则y=fx=-aa2+b20≤a≤1,0≤b≤1,
且a-12+b-12=1,所以点Pa,b在圆x-12+y-12=1上.
如图所示,设直线OP的倾斜角为θ,则0≤θ≤π2,所以y=-csθ∈-1,0.
5．【2017年山东预赛】在一个边长为a的正方形草坪的四个角上都安有喷水装置,喷水装置可以90∘旋转喷水,每个喷水装置都可以从其所在角的一边旋转喷水至该角的另一边,其有效射程均为a,则草坪上能同时被四个喷水装置喷水覆盖的区域占整个草坪的比例为.
【答案】π3+1-3
【解析】提示：如图,即求凸四边形EFGH的面积占正方形ABCD的面积的比例.
过E作EK⊥CD,以B点为原点,BC为x轴,BA为y轴建立坐标系,
则AC所在圆的方程为x2+y2=a2,BD所在圆的方程为x-a2+y2=a2,
联立方程得x=12a,y=32a,即Ea2,32a,则EK=12a,KC=32a.
同理可得Ga2,a-32a,Fa-32a,a2,H32a,a2.所以∠DCE=∠BCF=∠ECF=π6,
因此S弓形EF=12a2⋅π6-12⋅a2⋅sinπ6=π12-14a2.
所以则草坪上能同时被四个喷水装置覆盖的区域占整个草坪的比例为π3+1-3.
6．【2017年福建预赛】在△ABC中,内角A,B、C所对的边分别是a,b,c,且sinCcsA2=2-csCsinA2csA=35,a=4,则△ABC的面积为.
【答案】6
【解析】提示：由sinCcsA2=2-csCsinA2,知2sinCcs2A2=22-csCsinA2csA2，
所以sinC1+csA=2-csCsinAsinC+sinCcsA=2sinA-csCsinA，
故sinC+sinCcsA+csCsinA=2sinAsinC+sin(C+A)=2sinA.
所以sinC+sinB=2sinA,即c+b=2a.
又csA=35,a=4所以42=b2+c2-2bccsA,
即42=b2+8-b2-2b8-b×35,解得b=3或b=5.
所以b=3,c=5.或b=5,c=3
所以S△ABC=12bcsinA=12×3×5×45=6.
7．【2017年江西预赛】若sinx+csx=22,则sin3x+cs3x=.
【答案】528
【解析】提示:sinxcsx=sinx+csx2-12=-14,sin3x+cs3x=sinx+csx3-3sinxcsxsinx+csx=24+328=528
8．【2017年贵州预赛】已知△ABC中,A=π3,ABAC=58,内切圆半径r=23,则这个三角形的面积为.
【答案】403
【解析】提示:由ABAC=58,设AB=5x,AC=8x,又由A=π3及余弦定理得BC=7x.
因为△ABC的内切圆半径r=23,
根据三角形面积公式,得12⋅8x⋅5xsinπ3=125x+8x+7xr⇒x=2,
故S△ABC=403.
9．【2017年安徽预赛】设圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=3,BC=4,CD=5,DA=6,则四边形ABCD的面积是.
【答案】610
【解析】提示：由余弦定理,AC2=AB2+BC2-2AB⋅BC⋅csB=CD2+DA2-2CD⋅DA⋅csD.
再由A,B、C、D四点共圆,∠B+∠D=π.
因此，csB=32+42-52-6223×4+5×6=-37,
四边形ABCD的面积S=12AB⋅BC⋅sinB+12CD⋅DA⋅sinD=123×4+5×6407=610.
10．【2017年安徽预赛】设θ∈0,2π,若对任意x∈0,1恒有2x2sinθ-4x1-xcsθ+31-x2>0,则θ的取值范围是.
【答案】π6,π
【解析】提示:sinθ=f1>0.
设x∈0,1满足2x2sinθ=31-x2,则fx=2x1-x6sinθ-2csθ>0.
另一方面,由sinθ>0且6sinθ-2csθ>0,可得对于x∈0,1都有fx>0.
注意到gθ=6sinθ-2csθ在0,π2上单调递增,gπ6=0.
故θ的取值范围是π6,π.
11．【2017年广东预赛】设m、n均为正整数,则k=0m-1cs2kπm+k=0n-1sin2kπn=.
【答案】1或0
【解析】提示：因为cs2kπm+isin2kπm,k=0,1,⋯,m-1,cs2kπn+isin2kπn,k=0,1,⋯,n-1,分别是多项式xm-1与xn-1的根,
因此当m>1,n>1时由根与系数的关系可得k=0m-1cs2kπm+ik=0m-1sin2kπm=0k=0n-1cs2kπn+ik=0n-1sin2kπn=0，
所以k=0m-1cs2kπm=0,k=0n-1sin2kπn=0，
故k=0m-1cs2kπm+k=0n-1sin2kπn=0，
而当m=1时,k=0m-1cs2kπm+k=0n-1sin2kπn=1.
12．【2017年广东预赛】已知α,β,γ是一个三角形的三个内角,如果csα+csβ+csγ取得最大值,则sinα+sinβ+sinγ=.
【答案】332
【解析】提示:若α,β,γ中至少有两个不等,不妨设α≠β,
则csα+csβ+csγ=2csα+β2csα-β2-csα+β