专题34不等式第三缉（解析版）-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题34不等式第三缉1．【2017年浙江预赛】设在中有两个实数根,则的取值范围为        .【答案】【解析】提示：因为在中有两个实数根,所以满足，由此可以得到的取值范围为.2．【2017年江苏预赛】设是实数,则的最大值是        .【答案】【解析】提示:因为,所以两边同除以,得,当时取等号.因此的最大值是.3．【2016年陕西预赛】设m、n均为正整数，且满足24m=n4.则m的最小值为________.【答案】54【解析】由n4=24m=23×3m，知mmin=2×33=54.4．【2016年陕西预赛】设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数，且f(x)+g(x)=2x.若对x∈[1，2]，不等式af(x)+g(2x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是_______.【答案】 【解析】由f(x)+g(x)=2x    ① f(-x)+g(-x)=2-x-f(x)+g(x)=2-x.    ②由式①、②得，g(x)= ，f(x)=.由af(x)+g(2x)≥0a(2x-2-x)+22x+2-2x≥0.    ③令t=2x-2 –x，由x[1，2]，得t∈ ，且22x+2-2x=t2+2.则对t∈由式③得.因为函数在区间内单调递增，所以t=时，.故，即.5．【2016年陕西预赛】设a∈R.则函数f(x)=|2x-1|+|3x-2|+|4x-3|+|5x-4|的最小值为_______.【答案】1【解析】注意到，当且仅当，即时，等号成立.故6．【2016年福建预赛】设f(x)为定义在R上的函数，若f(0)=1008，且对任意的x∈R，满足f(x+4)-f(x)≤2(x+1)，f(x+12)-f(x)≥6(x+5).则 _________.【答案】504.【解析】由条件知f(x+12)-f(x) =(f(x+12)-f(x+8))+(f(x+8)-f(x+4))+(f(x+4)-f(x))≤2((x+8)+1)+2((x+4)+1)+2(x+1) =6x+30-6(x+5).又f(x+12)-f(x)≥6(x+5)，于是，f(x+12)-f(x)=6(x+5).则f(2016) 故.7．【2016年福建预赛】当x、y、z为正数时，的最大值为________.【答案】.【解析】注意到，（1），当且仅当时，等号成立；（2），当且仅当时，等号成立.则x2+y2+z2.当且仅当x：y：z=4：1：时，上式等号成立.从而，的最大值为.8．【2016年新疆预赛】已知,且.则的最小值为______.【答案】2【解析】令，则.，由,当且仅当a与b同向时,上式等号成立.故当时,取得最小值2.9．【2016年山西预赛】设n为正整数，使介于之间．则n＝__________.【答案】4【解析】注意到，.而为无理数，则.故表示不超过实数x的最大整数).10．【2016年全国】设实数a满足.则a的取值范围是________.【答案】【解析】由.则由原不等式得:.又，故.11．【2016年吉林预赛】设实数x、y满足则2x-y的最大值为________.【答案】1【解析】试题分析：画出线性约束条件的可行域，由可行域知目标函数的最大值为1.考点：线性规划的有关知识。点评：求目标函数的最值，通常要把目标函数转化为斜截式的形式，即的形式，但要注意的正负。当为正时，求z的最大值就是求直线在y轴上的截距最大时对应的点；当为负时，求z的最大值就是求直线在y轴上的截距最小时对应的点。12．【2016年吉林预赛】设实数x、y满足则2x-y的最大值为________.【答案】1【解析】试题分析：画出线性约束条件的可行域，由可行域知目标函数的最大值为1.考点：线性规划的有关知识。点评：求目标函数的最值，通常要把目标函数转化为斜截式的形式，即的形式，但要注意的正负。当为正时，求z的最大值就是求直线在y轴上的截距最大时对应的点；当为负时，求z的最大值就是求直线在y轴上的截距最小时对应的点。13．【2016年浙江预赛】已知为互不相等的整数。则的最小值为__________。【答案】8【解析】注意到，，其最小值为8.14．【2016年上海预赛】已知，则的取值范围为__________．【答案】;【解析】由及 有，所故结果为．15．【2016年四川预赛】设实数x、y、z、w满足.则的最大值为________.【答案】【解析】易知，对任意的实数t，有，当且仅当时等号成立.注意到.当且仅当时，上式等号成立.从而，M的最大值为.16．【2016年江西预赛】若对于所有的正数x、y,均有,则实数a的最小值为______.【答案】【解析】由当x=y时,上式等号成立.所以, 实数a的最小值为.17．【2016年湖北预赛】已知实数x、y满足.则的取值范围是___________.【答案】【解析】设.则，.故由，得2≤P≤14.18．【2016年河南预赛】若实数满足，则的取值范围是_____。【答案】【解析】依题意有.令.于是，.则.故的取值范围是.19．【2016年河南预赛】已知函数在区间（0,2）内既有极大值又有极小值。则的取值范围是______________。【答案】【解析】依题意，知在区间（0,2）上有两个不同的零点，即在区间（0,2）上有两个不同的实根，不妨设为.      则.  故的取值范围是（0,1）.20．【2016年甘肃预赛】若实数满足的最大值为________________.【答案】【解析】21．【2016年甘肃预赛】已知甲、乙两个工程队各有若干人.若从甲工程队调90人到乙工程队，则乙工程队的总人数是甲工程队的2倍；若从乙工程队调部分人到甲工程队，则甲工程队的总人数是乙工程队的6倍.则甲工程队原来最少有__________人.【答案】153【解析】设甲、乙两队原来各有a、b人.则.        ①再设从乙工程队调c人到甲工程队.则.        ②由①、②消去b，整理得.由于a、c为正整数，从而，.又，于是，.则a的最小值为153.因此，甲工程队原来最少有153人.22．【2016年北京预赛】记自然数的数字和为.则方程的解集为__________.【答案】1980【解析】易知，.注意到，小于2016的自然数中的数字和最大为28，例如，，这表明，.进一步，.最后，.由方程得.故.又除以9的余数相同，而2016除以9的余数为0，从而，每个数除以9的余数为0.于是，只能取1971、1980、1989、1998、2007.经检验，只有.因此，方程的解集为.23．【2016高中数学联赛（第01试）】设实数a满足，则a的取值范围是        .【答案】【解析】由a<|a|可得a<0，原不等式可变形为，即，所以.又a<0，故.24．【2015年全国】在平面直角坐标系中，点集所对应的平面区域的面积为______.【答案】24【解析】设.先考虑点集在第一象限中的部分，此时，.故这些点对应于图中的及其内部.由对称性，知点集对应的区域是图中以原点为中心的菱形及其内部.类似地，设.则点集对应的区域是图中以为中心的菱形及其内部.由点集的定义，知所对应的平面区域是被点集中恰一个所覆盖的部分.因此，本题所要求的即为图中阴影区域的面积.由，知两直线的交点为.由对称性知.故答案为：2425．【2015年浙江预赛】设.若对任意的，均有，则______，______.【答案】        【解析】令，知.考虑过定点的直线，与开口向上的抛物线，满足对任意所对图像上的点不在轴同侧.因此，.又，故.26．【2015年上海预赛】若实数x、y 满足，则的最大值为________.【答案】【解析】已知等式即  .     ①令.则.故式①变形为.于是，点M（u，v）在圆弧：上变动，如图.显然，当M取点时，最大，此时，.故.27．【2015年新疆预赛】若实数x、y满足，则的最小值为 ______.【答案】【解析】令.由.将上面方程视为关于的二次方程.由为实数知.故的最小值为.28．【2015年天津预赛】设均为实数，满足.则的最小值为__________.【答案】1【解析】由已知等式得.再由柯西不等式得.当且仅当时，上式等号成立.故所求的最小值为1.29．【2015年四川预赛】已知点P（x、y）满足。则到x轴的距离的点P的概率为________。【答案】【解析】如图，围成的区域为正方形ABCD.易知，正方形ABCD的面积为8.由于直线y=1与AD、AB分别交于点E、F，直线y=-1与CD、CB交于点H、G，从而，.故点P的概率.30．【2015年北京预赛】实数使得：.则的最大值为_________.【答案】32【解析】注意到，=.又.于是，在闭区间上，函数为增加的.故其最大值在时得到，即的最大值为32.