专题17三角函数与解三角形第四缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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【答案】32
【解析】
依题意知
fx=1-2sin2x+2sinx
=-2sinx-122+32.
又sinx∈0,1，故当sinx=12时，fx取得最大值32.
2．【2016年新疆预赛】设△ABC的∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且满足acsB-bcsA=45c. 则tanAtanB=______.
【答案】9
【解析】
由余弦定理得a⋅a2+c2-b22ac-b⋅b2+c2-a22bc=45c
⇒a2-b2=45c2.
从而，由正弦定理得
tanAtanB=sinA⋅csBsinB⋅csA=a⋅a2+c2-b22acb⋅b2+c2-a22bc =a2+c2-b2b2+c2-a2=9.
3．【2016年四川预赛】若实数α、β、γ构成以2为公比的等比数列，sinα、sinβ、sinγ构成等比数列，则csa=_____.
【答案】-12
【解析】
设β=2a，γ=4a.
由sinβsinα=sinγsinB⇒sin2αsinα=sin4αsin2α
⇒2sinα⋅csαsinα=2sin2α⋅cs2αsin2α⇒2cs2α-csα-1=0
⇒csα=-12或1.
若csα=1，则sinα=0（舍去）.
从而，csα=-12.
4．【2016年江西预赛】如图,P为正方形ABCD内切圆上的一点,记∠APC=α,∠BPD=β则 tan2a+tan2β=______.
【答案】8
【解析】
如图,建立直角坐标系.
设圆方程为x2+y2=r2
则正方形顶点坐标分别为A-r,-r,Br,-r,cr,r,d-r,r
若Prcsθ,rsinθ,则直线PA、PB、PC、PD的斜率分别为kPA=1+sinθ1+csθ, kPB=-1+sinθ1-csθ, kPC=-1-sinθ1-csθ, kPD=-1-sinθ1+csθ.
故tan2α=kPC-kPA1+kPAkPC2=4csθ-sinθ2
tan2β=kPD-kPB1+kPBkPD2=4csθ+sinθ2
因此tan2α+tan2β=8.
5．【2016年江西预赛】设x为锐角.则函数y=sinx⋅sin2x的最大值为______.
【答案】439
【解析】
由 y=sin2x⋅csx
⇒y2=4sin4x⋅cs2x≤22sin2x+2cs2x33=1627⇒y=439
当cs2x=13时,以上各式等号成立.
6．【2016年湖南预赛】方程16sinπx⋅csπx=16x+1x的解集为______.
【答案】{14,-14}.
【解析】
当x>0时，
16x+18≥8，当且仅当x=14时，上式等号成立.
又16sinπx⋅csπx=8sin2πx≤8， ①
当且仅当x=14+k(k∈Z)时，式①等号成立.
于是，当x>0时，方程只有解x=14.
由奇函数的性质，知x=-14为另一解.
故方程的解集为{14,-14}.
7．【2016年甘肃预赛】已知函数f(x)=sinωx+csωx(ω>0),x∈R,若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数f(x)的图像关于直线x=ω对称,则ω的值为 ．
【答案】π2
【解析】由f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且f(x)的图像关于直线x=ω对称,可得2ω≤πω,且f(ω)=sinω2+csω2=2⇒sin(ω2+π4)=1,所以ω2+π4=π2⇒ω=π2.
考点:本题主要考查三角函数的性质.
视频
8．【2016高中数学联赛（第01试）】设函数f(x)=sinkx104+cskx104，其中k是一个正整数.若对任意实数a，均有{f(x)|a0.设t=πx∈0,π.
则6-π2x2sinπx-2πxcsπx =6-t2sint-2tcst=pt.于是，p't=4-t2cst.
易知，p't在区间0,π2上递增，在区间π2,2上递减，在区间2,π上递增.
又p0=0,p'0>0,故t∈0,x时，pt>0,即x∈0,1时，f''x>0.
从而，fx为区间0,1上的下凸函数.
由琴生不等式，知当x∈0,1时，fx+f1-x2≥fx+1-x2=f12=4.
故gx≥8，等式根号成立当且仅当x=12.
因此，所求gx的最小值为8
32．【2015年甘肃预赛】已知△ABC的外接圆半径为R,且 2Rsin2A-sin2C=2a-bsinB,其中,a、b分别为∠A、∠B的对边则∠C的大小为______.
【答案】45∘
【解析】
题设等式结合正弦定理得：
a2-c2=2a-bb，
⇒a2+b2-c2=2ab，
⇒csC=a2+b2-c22ab=22，
⇒∠C=45°.
33．【2015年福建预赛】若sinπ9+sin2π9+⋅⋅⋅+sinnπ9=12tan4π9，则正整数n的最小值为__________.
【答案】4
【解析】
注意到，2sinπ18k=1nsinkπ9=k=1ncs2k-1π18-cs2k+1π18=csπ18-cs2n+1π18
⇒tan4π9⋅sinπ18=csπ18-cs2n+1π18⇒csπ18=csπ18-cs2n+1π18⇒cs2n+1π18=0
⇒n=9k+4k∈Z.
故正整数n的最小值为4.
34．【2015高中数学联赛（第01试）】若实数α满足csα=tanα，则1sinα+cs4α的值为 .
【答案】2
【解析】由条件知cs2α=sinα，反复利用此结论，并注意到cs2α+sin2α=1，
得1sinα+cs4α=cs2α+sin2αsinα+sin2α=(1+sinα)+1-cs2α=2+sinα-cs2α=2.
35．【2015高中数学联赛（第01试）】设ω为正实数，若存在a,b(π⩽a