专题07+单选压轴题-备战2022年新高考数学模拟试题分类汇编（广东专用）

专题07 单选压轴题

1．（2021•广州一模）已知是自然对数的底数，设，，，则　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】已知是自然对数的底数，，，，

设，

则，

当时，，函数在上是增函数，

当时，，函数在上是减函数，

（3），（2），而，

所以，

又因为，，为常用不等式，可得，

令，

，

当时，，函数在上是减函数，

故（2）（e），

则，即，

则，

故：

2．（2021•深圳一模）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为　　

A．18 B．24 C．36 D．48

【答案】

【详解】据题意：圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．点为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系：

则，，．

圆的方程为，可设，

所以，．

故

．

3．（2021•湛江一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且，，成等差数列，则的离心率为　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】因为，，成等差数列，

设，公差为，，，

因为，所以，

由勾股定理可得：，解得，

由椭圆的定义可得三角形的周长为，

由，即，，

在直角三角形中，，

所以离心率

4．（2021•广东一模）若的展开式中的系数为3，则　　

A．1 B． C． D．2

【答案】

【详解】，

而的展开式的通项公式为，

故 的展开式中的系数为，

则

5．（2021•惠州一模）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】方程，，

即为，

可得，

则，

可得动点到定点和定直线的距离的比为常数，

由双曲线的定义，可得，

解得

6．（2021•深圳模拟）在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有2个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有11个正三角形），这个过程称之为迭代．在边长为243的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有10个正三角形），其中最小的正三角形面积为　　

A． B．1 C． D．

【答案】

【详解】设最大正三角形的边长为，则，

其内部迭代出的正三角形的边长分别为，，

由余弦定理得，

同理得，，，，，

最小的正三角形的面积为．

7．（2021•广东二模）已知椭圆的短轴长为4，焦距为．过椭圆的上端点作圆的两条切线，与椭圆分别交于另外两点，．则的面积为　　

A．6 B． C． D．

【答案】

【详解】由已知可得，，，则，，

，

则椭圆方程为，

如图，

设所在直线方程为，即，

由题意，，解得．

则所在直线方程为．

联立，解得，，

由对称性可得，，，则，点到直线的距离．

．

8．（2021•潮州一模）已知四棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其侧面积等于，则球的体积等于　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】当此四棱锥体积取得最大值时，底面，

设正方形的边长，则，

解得，

则球的半径．

则球的体积．

9．（2021•珠海一模）已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第行第列的数记为，如，，则时，　　

A．54 B．18 C．9 D．6

【答案】

【详解】奇数构成的数阵，令，解得，故2021是数阵中的第1011个数，

第1行到第行一共有个奇数，

则第1行到第44行末一共有990个奇数，第1行到第45行末一共有1035个数，

所以2021位于第45行，

又第45行是从左到右依次递增，且共有45个奇数，

所以2021位于第45行，从左到右第21列，

所以，，

则．

10．（2021•佛山二模）已知不相等的两个正实数，满足，则下列不等式中不可能成立的是　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】由已知，因为，

所以原式可变形为，

令，，

函数与均为上的增函数，且，且（1）（1），

当时，，，，

当时，，，，

要比较与的大小，只需比较与的大小，

，

设，则，

故在上单调递减，

又（1），（2），

则存在使得，

所以当时，，

当，时，，

又因为（1），（1），（4），

所以当时，，当时，正负不确定，

故当，时，，所以（1），故，

当，时，正负不定，所以与的正负不定，

所以，，均有可能，即选项，，均有可能，选项不可能．

11．（2021•湛江三模）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】由有三个零点得有三个零点，

设，则，

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，

因为，（2），

所以．

12．（2021•汕头一模）在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语）（物理、历史）选（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则在选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率为　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】在选考的科目中甲、乙两位同学选考的基本事件总数，

其中甲、乙两位同学恰有两科相同包含的基本事件个数：

，

在选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率为：

．

13．（2021•惠州模拟）已知，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】构造函数，，由函数图像可知：

在时，，即，

，

又，

14．（2021•潮州二模）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，称为“局部奇函数”，若为定义域上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【答案】

【详解】根据题意，为“局部奇函数”等价于关于的方程有解．

即，整理得：，

必有，解得：，即的取值范围为，，

15．（2021•肇庆二模）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为坐标原点，在双曲线上存在点，使得．设△的面积为．若，则该双曲线的离心率为　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】由可得，

设，，

由可得：，

所以，

又因为，即，

所以，

可得离心率

16．（2021•广东模拟）已知函数，令，，，则，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】令，，

则，

令，，

恒成立，

在上单调递增，

，

在上单调递增，

，，

，

又，

，

，

，

17．（2021•梅州一模）某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列，，，进行重新编辑，重新编辑后的新序列为，它的第项为．若序列的所有项都是2，且，，则等于　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】设，则序列，，，，，

所以第项，

当时，

，

将，，代入上式解得，．

18．（2021•霞山区校级模拟）如图所示，直线为双曲线的一条渐近线，，是双曲线的左、右焦点，关于直线的对称点为，且是以为圆心，以半焦距为半径的圆上的一点，则双曲线的离心率为　　

A． B． C．2 D．3

【答案】

【详解】直线为双曲线的一条渐近线，则直线为，

，是双曲线的左、右焦点，

，，

关于直线的对称点为，设为，

，，

解得，，

，，

是以为圆心，以半焦距为半径的圆上的一点，

，

整理可得，

即，

，

19．（2021•湛江二模）函数在区间，上的零点个数是　　

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】

【详解】令，可得或

或，，

，，则，，

可取的值有0，1，2，3，4，

方程共有6个解，

函数在区间，上的零点个数为6个，

20．（2021•河源模拟）已知函数，则不等式的解集是　　

A．， B．， C．，， D．，，

【答案】

【详解】的定义域为，

，

为上的奇函数，

又．

是上的增函数．

由，得，

则，即，

解得：．

不等式的解集是：，．

21．（2021•江门一模）正实数，，满足，，，则实数，，之间的大小关系为　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】，

即为函数与的图象交点的横坐标；

，

即为函数与的图象交点的横坐标；

，

即为函数与的图象交点的横坐标；

在同一坐标系中画出图象，可得．

22．（2021•茂名模拟）在三棱锥中，，，、分别为、的中点，且，，，则异面直线与所成角的余弦值为　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】连结，，，，如图所示，

因为，，又，，平面，

所以平面，又，平面，

所以，，

又因为为的中点，

所以，，

同理可得，，，

又因为，

所以和都是等边三角形，

故，

则三棱锥是正四面体，

取的中点，连结，则，

所以为直线与所成的角（或其补角），

因为，所以，，，

在中，由余弦定理可得，，

所以异面直线与所成角的余弦值为．

23．（2021•濠江区校级模拟）已知抛物线，过定点的直线与抛物线相交于点，，若为常数，则实数的值为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】

【详解】设，，，，直线，

联立方程，

消掉可得：，

．，

所以

因为为常数，

所以，满足△．

24．（2021•广东模拟）已知函数在，内有且仅有两个零点，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【答案】

【详解】函数在，内有且仅有两个零点，则

即在，内有且仅有两个解．

当，，则，．

由于，，，，，

25．（2021•清新区校级模拟）已知函数，若，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【答案】

【详解】由题可知，

，

，

令，则，即为奇函数，

函数与在上均单调递增，

在上单调递增，即在上也单调递增，

不等式，等价于，

，

在上单调递增，

，

解得，

实数的取值范围是，．

26．（2021•广州二模）已知双曲线的左、右顶点分别是，，右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】由题意设，，当的外接圆面积达到最小时，

设其外接圆的半径，即最小，而，

所以最大时，的外接圆面积达到最小，

可得最大，而，

，，

所以，

当且仅当，即，

所以的坐标，将点坐标代入双曲线的方程可得，

即，可得，

所以，

所以渐近线的方程为：

27．（2021•揭阳模拟）已知函数定义域为，满足，且对任意均有成立，则满足的的取值范围是　　

A．，， B．，， 

C．， D．，

【答案】

【详解】因为函数定义域为，满足，

所以函数关于直线对称，

因为对任意均有成立，

所以函数在，上单调递减，

由对称性可知在，上单调递增，

因为，0即，

所以，即，

解得．

28．（2021•广东模拟）设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为　　

A． B． 

C． D．

【答案】

【详解】由是定义在上的奇函数，其导函数为，

当时，，

令，因为是定义在，，上的奇函数，

是定义在，，上的偶函数，

当时，，由，得，

，则在上单调递减，

将化为，即，则，

又是定义在，，上的偶函数，

在，上单调递增，且，

当，时，，将化为，

即（3），则，

综上，所求不等式的解集为，，

29．（2021•梅州二模）设，，均为正数，且，，，则　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】，，，，

，，，，，

，，，，

．

30．（2021•广东模拟）若函数为自然对数的底数）是减函数，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】函数的定义域为，

，

因为函数是减函数，所以恒成立，

令，则恒成立，

当时，成立；

当时，则的图象开口向上，不恒成立，不符合题意；

当时，要使恒成立，则△，解得，又，所以．

综上可得，实数的取值范围是．