专题07+【大题限时练7】-备战2022年上海高考数学满分限时题集

专题07 大题限时练7

1．已知、是正四棱柱的棱、的中点，异面直线与所成角的大小为．

（1）求证：、、、在同一平面上；

（2）求二面角的大小．

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】（1）证明：连结，，

因为，分别为，的中点，

所以，

又在正四棱柱中，，且，

所以四边形为平行四边形，故，

所以，

故、、、在同一平面上；

（2）解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

设正四棱柱的底面边长为2，高为，

则，1，，，2，，，0，，，0，，

所以，

因为异面直线与所成角的大小为，

所以，解得，

所以，1，，，2，，，2，，

所以，

设平面的法向量为，

则有，

令，则，故，

平面的一个法向量为，

所以，

由图可知，二面角的平面角为锐角，

所以二面角的大小为．

2．设函数，，．

（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；

（2）设，解关于的不等式．

【答案】见解析

【详解】（1），

由可得，关于原点对称，

因为，

当时，，，

所以函数是偶函数；

当时，，，

，

所以，

函数是非奇非偶函数．

（2）因为，

，

因为，

所以，

即，

整理得，

所以，且，

所以，且，，

解得，且，，

故不等式的解集，且，．

3．如图，，，三地在以为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，，是圆形区域外一景点，，．

（1）、相距多少公里？（精确到小数点后两位）

（2）若一汽车从处出发，以每小时50公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？（精确到小数点后两位）

【答案】（1）15.28公里；（2）1.25小时

【详解】（1）在中，由余弦定理可得，

，

，

则（公里）．

答：、相距约15.28公里；

（2）在中，，

在中，，

即，，

，

．

（公里）．

所需时间为小时．

答：从行驶到约需要1.25小时．

4．焦点为的抛物线与圆交于，两点，其中点横坐标为，方程的曲线记为，是曲线上一动点．

（1）若在抛物线上且满足，求直线的斜率；

（2）是轴上一定点．若动点在上满足的范围内运动时，恒成立，求的取值范围；

（3）是曲线上另一动点，且满足，若的面积为4，求线段的长．

【答案】（1）；（2），；（3）

【详解】（1）是抛物线上满足的点，

过点作于，

由抛物线的定义可知，，

设，则，解得，

又因为点在抛物线上，

所以，得，

所以直线的斜率为．

（2）设，，

由，得，

所以，，，，

由，得，

即，

因为，所以，

令，则是增函数，且，

当时，取得最小值，所以，

即恒成立的范围是，．

（3）点，都是上的动点，

①当，都在圆弧上时，

，，

所以，

不满足的条件．

②当在抛物线上，在圆上，

由，得，

在中，，

③当，都在抛物线上，

设，，，，

所以，，

因为，

所以，即，

所以，

所以，①

因为的面积为4，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以②，

①②得，，

所以，

令，

则，

解得或，

即或，

代入②得（舍或，

若，则，同号，且，

由②可知，，

所以矛盾，

所以（舍，

综上所述，．

5．设数列满足：，，设，．

（1）设，，若数列的前四项、、、满足，求；

（2）已知，，，当，，时，判断数列是否能成等差数列，请说明理由；

（3）设，，，求证：对一切的，，均有．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析

【详解】（1）若，即，即，所以，

可得，

所以，可得，所以，可得，可得；

若，同理可得，无解．

所以；

（2）若为等差数列，因为，所以，递增，

，因为，所以，

又因为递增，所以一定会出现大于，且不满足，所以矛盾，

所以数列不能成等差数列；

（3）证明：时，；

假设时，成立，

则时，，

①在第一、二象限时，成立；

在第三、四象限时，，

成立；

②在第一、四象限时，成立；

在第二、三象限时，，所以成立；

所以对一切的，，均有．