专题02+【大题限时练2】-备战2022年上海高考数学满分限时题集

专题02 大题限时练2

1．如图，在直三棱柱中，，．

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）若是棱的中点．求点到平面的距离．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）由于，所以（或其补角）即为异面直线与所成角，

连接，在△中，

由于，所以△是等边三角形，

所以，所以异面直线与所成角的大小为．

（2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为，0，、，2，、，2，、，0，．

设平面的法向量为，则．

，，

且，

，取，

得平面的一个法向量为，

且，

又，

于是点到平面的距离

所以，点到平面的距离等于．

解法二：过点作交于，由平面．

在中，由，，得，

所以，点到平面的距离等于．

2．已知函数．

（1）若，求函数的零点；

（2）针对实数的不同取值，讨论函数的奇偶性．

【答案】（1）；（2）当时，函数为偶函数，当时，函数为非奇非偶函数

【详解】（1）根据题意，函数，则有，解可得，

即函数的定义域为，，

由，得，

化简得，即，，

所以，函数的零点为；

（2）函数的定义域为，，若函数为奇函数，则必有（1）；

代入得于是无解，所以函数不能为奇函数，

若函数为偶函数，由（1）得解得；

又当时，，则；

对任意，都成立，

综上，当时，函数为偶函数，当时，函数为非奇非偶函数．

3．某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产件，需另投入成本为当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时（万元）每件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完．

（1）写出年利润（万元）关于年产量（件的函数解析式：

（2）年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

【答案】（1）；（2）当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元

【详解】（1）①当时，根据年利润销售收入成本，

；

②当时，根据年利润销售收入成本，

．

综合①②可得，．

（2）①当时，，

当时，取得最大值万元；

②当时，，

当且仅当，即时，取得最大值万元．

综合①②，由于，

当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元

4．双曲线的左顶点为，右焦点为，点是双曲线上一点．

（1）当时，求双曲线两条渐近线的夹角；

（2）若直线的倾斜角为，与双曲线的另一交点为，且，求的值；

（3）若，且，点是双曲线上位于第一象限的动点，求证：．

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【详解】（1）由，可得双曲线的方程为，渐近线方程为，

则双曲线两条渐近线的夹角的正切值为，

即有夹角为；

（2）直线的斜率为，又，，则直线的方程为，

设，，，，

由可得，

所以，，

所以，

化为，解得；

（3）证明：令，则，解得，

由时，，而，所以，

解得，即双曲线的方程为，，，

设，可得，

，，

所以，

因为为第一象限的点，可得．

5．若数集至少含有3个数，且对于其中的任意3个不同数，，，，，都不能成为等差数列，则称为“集”．

（1）判断集合，2，4，8，，，是否是集？说明理由；

（2）已知，．集合是集合，2，3，，的一个子集，设集合，求证：若是集，则也是集；

（3）设集合，判断集合是否是集，证明你的结论．

【答案】见解析

【详解】（1）任取三个不同元素（其中，

若此三数成等差数列，则，

但，因此这三个数不能成等差数列．

所以，集合，2，4，8，，，是“集”．

（2）反证法．假设不是“集”，即中存在三个不同元素，

使，，成等差数列，则．

因为是“集”，所以，，，不能全在中；

如果，，全在中，则依然成立，

且，，都在中，这说明中存在三个数构成等差数列，

即不是“集”，与条件矛盾，因此，，，也不能全在中，

由于中最小可能元素（为大于中最大可能元素（为，

所以必有，．

从而，，故；

同样，，故．

这与矛盾，故也是“集“．

（3）集合是“集”，证明如下：

记，则，

故．

任取，，（其中，则．

当时，

（这是由于，故，即；

当时，若，，成等差数列，则，即，化简得

从而是的正整数倍，由于与互质（为两个连续正整数），

因此是的正整数倍或是的正整数倍，

若是的正整数倍，则，而，则式不成立；

若是的正整数倍，则，而，仍不成立．

综上可知，，，不能成等差数列，即证明了集合是“集”．