专题05【大题限时练5】-备战2022年上海高考数学满分限时题集

专题05 大题限时练5

1．如图，是圆锥的顶点，是底面圆的圆心，、是底面圆的两条直径，且，，，为的中点．

（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）求点到平面的距离．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）连接，则，

所以为异面直线与所成角，

因为，，又，

所以平面，又平面，

所以，

在中，，，

，

所以异面直线与所成角大小为．

（2）以为原点，，，为，，轴，如图所示：

所以，0，，，2，，，0，，，0，，

，0，，，2，，，2，，

设平面的法向量为，，，

因为，即，令，，，

所以，0，，

，0，，0，，

所以点到平面的距离．

2．已知函数为常数，．

（1）讨论函数的奇偶性；

（2）当为偶函数时，若方程在，上有实根，求实数的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】（1）函数的定义域为，

又

①当时，即时，可得

即当时，函数为偶函数；

②当时，即时，可得

即当时，函数为奇函数．

（2）由（1）可得，当函数为偶函数时，，

即时，

由题可得，

令，则有

，

又，当且仅当时，等号成立

根据对勾函数的性质可知，，即

①

此时的取值不存在；

②

此时，可得的取值为

综上可得

3．如图某公园有一块直角三角形的空地，其中，，长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中、、分别在、、上．设．

（1）若，求的边长；

（2）当多大时，的边长最小？并求出最小值．

【答案】（1）；（2）时取得最小值，即的边长最小值

【详解】（1）设的边长为千米，由得，，

中，，，

为等边三角形，，

故，

即的边长为；

（2）设的边长为千米，

所以，，

中，，，，

由正弦定理得，，

故，

当时取得最小值，即的边长最小值．

4．已知椭圆的方程为．

（1）设，是椭圆上的点，证明：直线与椭圆有且只有一个公共点；

（2）过点作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为、，点在直线上的射影为点，求点的坐标；

（3）互相垂直的两条直线与相交于点，且、都与椭圆只有一个公共点，求点的轨迹方程．

【答案】（1）见解析；（2），；（3）

【详解】（1）证明：当时，，

直线线即直线，与椭圆只有一个公共点，

当时，由，

得，

△，

又，

所以有△，从而方程组只有一组解，

所以直线与椭圆有且只有一个公共点．

（2）设，，，，

则两条直线为，，

又，是它们的交点，

所以，，

从而有，，，的坐标满足直线方程，

所以直线的方程为，

直线的方程为，

由，得，，即，．

（3）设，，

当直线与有一条斜率不存在时，，，，

当直线与有一条斜率存在时，设为和，

由，得，

所以△，

整理得，，

所以，是这个方程的两个根，

所以，

所以，

所以点的轨迹方程为．

5．对于至少有三项的实数列，若对任意的，都存在、（其中，，，，，使得成立，则称数列具有性质．

（1）分别判断数列1，2，3，4和数列，0，1，2是否具有性质，请说明理由；

（2）已知数列是公差为的等差数列，若，且数列和都具有性质，求公差的最小值；

（3）已知数列（其中，，，试探求数列具有性质的充要条件．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析

【详解】（1）数列1，2，3，4不具有性质，理由如下：

当时，，不存在、（其中，，，，，使得成立，

所以数列1，2，3，4不具有性质，

数列，0，1，2具有性质，理由如下：

若，，，则满足，

若，，，则满足，

所以数列，0，1，2具有性质．

（2）的公差为，，

，

，

要使最小，

，

，

，，，

又，

当时，，

此时令的首项为，则数列和都具有性质，

．

（3）数列且具有性质，

，

，

（充分性成立），

又由可得，

即（必要性成立），

数列具有性质的充要条件是．