2021-2022学年浙江省金华市磐安县九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年浙江省金华市磐安县九年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 以下调查中，适宜用全面调查的是

A. 了解全班同学每周体育锻炼的时间
B. 调查某批次汽车的抗撞击能力
C. 调查春节联欢晚会的收视率
D. 全国中学生的视力情况

3. 已知二元一次方程组，则的值为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线和，得到理由是

A. 连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C. 在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
 

5. 实数，，，，，，相邻两个之间依次多一个，其中无理数的个数是

A.  B.  C.  D.

6. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则

A. ， B. ，
C. ， D. ，

7. 如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上．下列说法正确的是

A. 点是的内心
B. 点是的外心
C. 点是的内心
D. 点是的外心
 

8. 一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，四边形中，，，，动点从点以每秒个单位长度的速度向点运动，动点也同时从点沿的路线以每秒个单位长度的速度向点运动，当点到达点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为单位：秒，的面积为，当时，的值为

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或

10. 如图，将正方形纸片沿折叠，使点的对称点落在边上，点的对称点为点，交于点，连接交于点，连接下列四个结论中：
    ∽；
    ；
    平分；
    ，
    其中正确的结论是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 若分式有意义，则的取值范围是______ ．
12. 已知，，则______．
13. 为降低处理成本，减少土地资源消耗，我国正在积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃圾”蓝色垃圾桶、“有害垃圾”红色垃圾桶、“可回收物”绿色垃圾桶和“其他垃圾”黑色垃圾桶这四类标准将垃圾分类处理．爷爷把两袋垃圾随意丢入两个垃圾桶，恰巧被爷爷扔对的概率是______．
14. 如图，在中，，，点、分别在边和边上，沿着直线翻折，点落在边上，记为点，如果，而且，则______．
     

15. 若关于的方程无解，则的取值是______．
16. 如图，在中，，，，于，与等长的线段在边上沿方向以的速度向终点运动运动前与重合，过，分别作的垂线交直角边于，两点，设运动的时间为．
    线段运动过程中，四边形成为矩形时的值______；
    以，，为顶点的三角形与相似时的值______．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）

17. 计算：．
18. 解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解．
19. 如图，中，、分别是、的中点，，过点作，交的延长线于点．
    求证：四边形是菱形．
    若，，求菱形的面积．
    
     

20. 某数学兴趣小组通过调查研究把“如何测量嵩岳寺塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间实地测量．

请你根据表中信息结合示意图帮助该数学兴趣小组求嵩岳寺塔的高度．
精确到米，参考数据：，，

21. 某校组织全体名学生参加“强国有我”读书活动，要求每人必读本书，活动结束后从各年级学生中随机抽查了若干名学生了解读书数量情况，并根据：本；：本；：本；：本四种类型的人数绘制了不完整的条形统计图图和扇形统计图图请根据统计图解答下列问题：
    在这次调查中类型有多少名学生？
    直接写出被调查学生读书数量的众数和中位数；
    求被调查学生读书数量的平均数，并估计全校名学生共读书多少本？

22. 如图，是的外接圆，为直径，点在半圆上，且与点在的异侧，交的延长线于点，．
    求证：；
    求证：是的切线；
    若，，求．

23. 如图，在平面直角坐标系中．
    直线分别交轴、轴于、两点，点在双曲线上，过点分别作轴、轴的垂线，交直线于、两点，请直接写出、、、四点的坐标，并求出的值．
    直线分别交轴、轴于、两点，点在双曲线上，过点分别作轴、轴的垂线，、交直线于、两点，求的值．
    直线分别交轴、轴于、两点，点在双曲线上，过点分别作轴、轴的垂线，交直线于、两点，直接写出的值用含的代数式表示．

如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，已知．
求抛物线的函数表达式；
若点在轴上，在该抛物线的对称轴上，是否存在唯一的点，满足？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
若点在轴上，满足的点是否存在？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的倒数是，
故选D．
根据倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
 

2.【答案】

【解析】解：、了解全班同学每周体育锻炼的时间，适宜采用全面调查，故A符合题意；
B、调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查，故B不符合题意；
C、调查春节联欢晚会的收视率，适宜采用抽样调查，故C不符合题意；
D、全国中学生的视力情况，适宜采用抽样调查，故D不符合题意；
故选：．
根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：，
，可得：，
．
故选：．
把方程组的两个方程的左右两边分别相减，求出的值即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查平行线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．
【解答】
解：由题意 ， ，
同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 ．   

5.【答案】

【解析】解：、、、是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有，相邻两个之间依次多一个，共有个．
故选：．
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

6.【答案】

【解析】解：与点关于轴对称，
，，
故选：．
关于轴对称的点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数．由此即可求解．
本题考查平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中的点关于轴对称的点的坐标特点是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：根据点，，，，都在正方形网格的格点上．
可知：点到点，，的三点的距离相等，
所以点是的外心，
故选：．
根据三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心即可解决问题．
本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握内心与外心的定义．
 

8.【答案】

【解析】解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为的正三角形．
正三角形的边长，
圆锥的底面圆半径是，母线长是，
底面周长为
侧面积为，
底面积为，
这个物体的表面积是．
故选：．
由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为的正三角形．可计算边长为，据此即可得出表面积．
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
 

9.【答案】

【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形．

，，，
，
，，
≌，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
当点在上时，，
或不符合题意舍弃，
当点在上时，，
不符合题意舍弃，
当点在上时，，
或不符合题意舍弃，
综上所述，满足条件的的值为或．
故选：．
如图，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形．分三种情形分别求出的值，可得结论．
本题考查轨迹，勾股定理，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

10.【答案】

【解析】解：四边形是正方形，
．
由折叠可知：，．
，
，
，
．
，
．
，
∽．
故正确；
过点作于，
由折叠可得：，
，
，
，
在和中，
，
≌．
，．
，
≌，
，
，
不正确；
由折叠可得：，
，
，
，
即平分．
正确；
连接，，，如图，

≌，≌，
，，
，
，
．
．
由折叠可得：，
．
．
由折叠可知：．
．
，，
，
，，，四点共圆，
．
在和中，
，
≌．
，
，
，
，
．
，
∽，
，
，
．
正确；
综上可得，正确的结论有：．
故选：．
利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；
过点作于，通过证明≌，进而说明≌，可得，可得不正确；
由折叠可得：，由可得，结论成立；
连接，，，由≌，≌可知：，，所以，由于，则，由折叠可得：，则；利用勾股定理可得；由，，得到，所以，，，四点共圆，所以，通过≌，可得，这样，，因为，易证∽，则得，从而说明成立．
本题主要考查了相似形的综合题，正方形的性质，翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角形的相似的判定与性质，翻折问题是全等变换，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：根据题意，得
，
解得，；
故答案是：．
分式有意义，分母不为零．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
分式值为零分子为零且分母不为零．
 

12.【答案】

【解析】解：，将，代入，可得：
，
则，
所以，
故答案为：．
根据题中条件，结合完全平方公式，先计算出的值，然后再除以即可求出答案．
本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特点是解答本题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：将“厨余垃圾”蓝色垃圾桶、“有害垃圾”红色垃圾桶、“可回收物”绿色垃圾桶和“其他垃圾”黑色垃圾桶分别记作、、、，
列表如下：

由表可知共有种等可能结果，其中恰巧被爷爷扔对的只有种结果，
所以恰巧被爷爷扔对的概率为，
故答案为：．
将“厨余垃圾”蓝色垃圾桶、“有害垃圾”红色垃圾桶、“可回收物”绿色垃圾桶和“其他垃圾”黑色垃圾桶分别记作、、、，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】

【解析】解：沿着直线翻折，点落在边上，记为点，，
设，则，
在中，
，
则，
解得：，则，
，
∽，
，
，
解得：，
故答案为：．
直接利用翻折变换的性质结合勾股定理得出，的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
本题考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练运用勾股定理，属于中考常考题型．
 

15.【答案】或

【解析】解：去分母得：，
化简得：，
原方程无解，
当时，整式方程无解，分式方程也无解，
；
当时，时，分式方程无解，
，
为或．
首先去分母化分式方程为整式方程，然后讨论方程无解的情况．
本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．
 

16.【答案】 

【解析】解：当四边形是矩形时，有，
由已知得，
与求类似可求出，
，
解得，
当时，四边形是矩形．
故答案为：．
当时，∽，
且四边形是矩形，此时，
当时，
由三角形面积公式得：，
，，，
，
在中，，，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
∽，
，
即，
解得  ，
当或时，以，，为顶点的三角形与相似．
故答案为：．
根据矩形的性质得出，把和的值代入求出即可；
由求出，再，证∽相似，得出比例式，求出即可；
本题主要考查对矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．
 

17.【答案】解：

．

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

18.【答案】解：
解不等式，，
解不等式，，
，
解集在数轴上表示如下：

的整数解为，，，，．

【解析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
先求出各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，在数轴上表示出来，找出整数解即可．
 

19.【答案】证明：、分别是、的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是菱形；
解：由知，
，
是等边三角形，
，
，
，
过点作于点，

，
在中，
，，，
，
．

【解析】先证四边形是平行四边形．再证，即可得出结论；
根据等边三角形的判定和性质以及菱形的性质解答即可．
此题主要考查菱形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：延长交于点，

则，米，米，
设米，
在中，，
米，
米，
在中，，
，
，
经检验，是原方程的根，
米，
米，
嵩岳寺塔的高度约为米．

【解析】延长交于点，根据题意可得，米，米，设米，然后在中，利用锐角三角函数定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】解：这次调查一共抽查的学生人数为名，
类人数名；
被调查学生读书数量的众数为本，中位数为本；
被调查学生读书数量的平均数为：本，
本，
答：估计全校名学生共读书本．

【解析】由两个统计图可知，类人数为人，占可得抽查总人数，进而求出类的学生人数；
根据中位数、众数的意义求解即可；
先求出样本的平均数，再乘以总人数即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
弧弧，
，
，
；
证明：连接，

，
，
，
，
，
，
，
是的半径
是的切线；
解：过点作于点，

，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
由可知：，
又，，
≌，
，
，
，
，
弧弧，
，
为的直径，
，
，
．

【解析】由四边形是的内接四边形，可得，即有，根据，有，故，；
连接，由，可证，得，从而是的切线；
过点作于点，证明≌，得，由≌，得，即可得，由得，故．
本题考查圆的性质及应用，涉及圆的切线，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握圆的性质，正确作出辅助线．
 

23.【答案】解：针对于直线，
令，则，
，
令，则，
，
，
，
，，
，，
；

当时，，解得，
，
当时，，

设，
则，，，
，
，
；

当时，，解得，
，
当时，，

设，
则，，，
，
，
 

【解析】先求出点，坐标，进而求出点坐标，进而求出点，坐标，再求出，，即可求出答案；
先表示出点，，，坐标，再求出，，即可求出答案；
同的方法即可求出答案．
此题是反比例函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，两点间的距离公式，二次根式的化简，求出点，坐标是解本题的关键．
 

24.【答案】解：，，
∽，
，
，
，
，
抛物线与轴交于点，，
设，
把代入得，解得，
抛物线的函数表达式；

存在，
抛物线的对称轴上是否存在唯一的点，满足，就是指以为直径的圆与对称轴：直线有唯一的交点，即相切．
如图，

设的中点为，
，
点的横坐标为，
点到直线的距离为，
直径的长为，
，
点的坐标为或；

存在，如图：

当点在以为弦的上，圆心角．
过点做于，则．
，
．
，
，
或，
设，
，
当时，，
或，
同理，当时，或
综上所述，点的坐标为或或或．

【解析】证明∽，根据相似三角形的性质可得，利用待定系数法即可求解；
由题意得为直径的圆与对称轴：直线有唯一的交点，即相切．根据切线的性质可得点的横坐标为，所以点到直线的距离为，则直径的长为，根据勾股定理即可求解；
当点在以为弦的上，圆心角是的两倍．过点做于，则根据，可得，利用两点的距离公式即可得点的坐标．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，圆周角定理，垂径定理，切线的性质，能够作出适当的辅助线，利用圆的有关性质，勾股定理，锐角三角函数求解是解题的关键．