2021-2022学年浙江省金华市义乌市九年级（上）期末数学试卷 word，解析版

这是一份2021-2022学年浙江省金华市义乌市九年级（上）期末数学试卷 word，解析版，共34页。试卷主要包含了选择题.，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年浙江省金华市义乌市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）.
1．（3分）下面四个美术字中，可以近似地看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）厉害了，我的国!“中国制造”震撼世界．2018年底我国高速公路已开通里程数达13.65万公里，居世界第一，将数据136500用科学记数法表示正确的是（　　）
A．1.365×106 B．1.365×105 C．13.65×104 D．1365×103
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2x+3y＝5xy B．（m+2）2＝m2+4
C．（xy2）3＝xy6 D．a10÷a5＝a5（a≠0）
4．（3分）若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是（　　）
A．15π B．20π C．24π D．30π
5．（3分）为调查某班学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了30名同学，结果如表：
每天使用零花钱（单位：元）
5
10
15
20
25
人数
2
5
8
9
6
则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（　　）
A．20，15 B．20，17.5 C．20，20 D．15，15
6．（3分）若关于x的方程无解，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．﹣2
7．（3分）若点A（m，n）在一次函数y＝3x+b的图象上，且3m﹣n＞2，则b的取值范围为（　　）
A．b＞2 B．b＞﹣2 C．b＜2 D．b＜﹣2
8．（3分）如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AE＝AB，AF＝AC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（　　）

A．S1+S3＝2S2 B．S1+S3＝4S2
C．S1＝S3＝S2 D．S2＝（S1+S3）
9．（3分）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（　　）

A．1.5 B．3 C．4.5 D．9
10．（3分）如图，半径为6的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝60°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是（　　）

A．﹣1 B．2﹣2 C．4﹣4 D．
二．填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是　 　．
13．（4分）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是　 　．

14．（4分）如图，正方形ABCD的面积为36cm2，点E在BC上，点G在AB的延长线上，四边形EFGB是正方形，以点B为圆心，BC的长为半径画，连接AF，CF，则图中阴影部分的面积为　 　．

15．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点M在CD的边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则cos∠EFC的值是 　 　．

16．（4分）城市的许多街道是相互垂直或平行的，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．如A（﹣2，1），B（﹣1，﹣2），则d（A，B）＝|﹣2﹣（﹣1）|+|1﹣（﹣2）|＝4．
（1）函数y＝﹣2x+4的图象如图（1）所示，C是图象上一点，d（O，C）＝5，则点C的坐标是　　 　 　．
（2）某市要修建一条通往景观湖的道路（既不能破坏景观湖，也不在景观湖底钻隧道），如图（2），道路以M为起点，先沿水平MN方向到某处．再在该处拐一次直角可沿直线到湖边某点P处，如图建立平面直角坐标系xOy，圆心O（7，3），半径为，则修建道路距离d（M，P）的取值范围 　 　．


三、解答题（本题共有8小题，第17～19小题每小题6分，第20～21小题每小题6分，第22～23小题每小题6分，第24小题12分，共66分．请务必写出解答过程.）
17．（6分）计算或解方程：
（1）（）﹣1++|﹣2|﹣6sin45°；
（2）．
18．（6分）时下娱乐综艺节目风靡全国，随机对九年级部分学生进行了一次调查，对最喜欢《我是喜剧王》（记为A）、《王牌对王牌》（记为B）、《奔跑吧，兄弟》（记为C）、《欢乐喜剧人》（记为D）的同学进行了统计（每位同学只选择一个最喜欢的节目），绘制了以下不完整的统计图，请根据图中信息解答问题：

（1）求本次调查一共选取了多少名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若九年级共有1900名学生，估计其中最喜欢《奔跑吧，兄弟》的学生大约是多少名．
19．（6分）如图是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点A，B均在格点上，请仅用无刻度的直尺．
（1）在图1中画出AB的中点O；（保留辅助线，辅助线用虚线）
（2）在图2中画一个Rt△ABC，使点C在格点上．（不写作法，保留作图痕迹）

20．（8分）图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图．已知活动调节点B可以上下调整高度，离地面CD的距离BC＝160cm．设花洒臂与墙面的夹角为α，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长AB＝30cm．假设水柱AE垂直AB直线喷射，小华在离墙面距离CD＝120cm处淋浴．

（1）当α＝30°时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高DE．
（2）如果小华要洗脚，需要调整水柱AE，使点E与点D重合，调整的方式有两种：
①其他条件不变，只要把活动调节点B向下移动即可，移动的距离BF与小华的身高DE有什么数量关系？直接写出你的结论；
②活动调节点B不动，只要调整α的大小，在图3中，试求α的度数．
（参考数据：≈1.73，sin8.6°≈0.15，sin36.9°≈0.60，tan36.9°≈0.75）
21．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，＝，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠1＝∠BCE；
（2）求证：BE是⊙O的切线；
（3）若EC＝2，CD＝8，求cos∠DBA．

22．（10分）快车和慢车分别从A市和B市两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，慢车到达A市后停止行驶，快车到达B市后，立即按原路原速度返回A市（调头时间忽略不计），结果与慢车同时到达A市．快、慢两车距B市的路程y1、y2（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示．
（1）A市和B市之间的路程是 　 　km；
（2）求a的值，并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义；
（3）快车与慢车迎面相遇以后，再经过多长时间两车相距20km？

23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）顶点为P，且该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．我们规定：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区域”（不包含边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点．
（1）求抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）如果抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a经过（1，3）．
①求a的值；
②在①的条件下，直接写出“G区域”内整点的个数．
（3）如果抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a在“G区域”内有4个整点，直接写出a的取值范围．

24．（12分）已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．

（1）求AE和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．

2021-2022学年浙江省金华市义乌市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）.
1．（3分）下面四个美术字中，可以近似地看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
2．（3分）厉害了，我的国!“中国制造”震撼世界．2018年底我国高速公路已开通里程数达13.65万公里，居世界第一，将数据136500用科学记数法表示正确的是（　　）
A．1.365×106 B．1.365×105 C．13.65×104 D．1365×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将136500用科学记数法表示为：1.365×105．
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2x+3y＝5xy B．（m+2）2＝m2+4
C．（xy2）3＝xy6 D．a10÷a5＝a5（a≠0）
【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法进行计算，再逐个判断即可．
【解答】解：A．2x与3y不能合并，故本选项不符合题意；
B．（m+2）2＝m2+4m+4，故本选项不符合题意；
C．（xy2）3＝x3y6，故本选项不符合题意；
D．a10÷a5＝a5，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是（　　）
A．15π B．20π C．24π D．30π
【分析】根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：根据题意得圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，
所以这个圆锥的侧面积＝•5•2π•3＝15π．
故选：A．
5．（3分）为调查某班学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了30名同学，结果如表：
每天使用零花钱（单位：元）
5
10
15
20
25
人数
2
5
8
9
6
则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（　　）
A．20，15 B．20，17.5 C．20，20 D．15，15
【分析】分别根据众数和中位数的定义求解．
【解答】解：20出现了9次，出现的次数最多，所以这30名同学每天使用的零花钱的众数为20元；
30个数据中，第15个和第16个数分别为15、20，它们的平均数为17.5，所以这30名同学每天使用的零花钱的中位数为17.5元．
故选：B．
6．（3分）若关于x的方程无解，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】先去分母得到整式方程x﹣1＝m﹣（x﹣3），整理得m﹣2x＝﹣4，由于x的方程无解，则x﹣3＝0，即x＝3，然后把x＝3代入m﹣2x＝﹣4进行计算即可得到m的值．
【解答】解：去分母得x﹣1＝m﹣（x﹣3），
整理得m﹣2x＝﹣4，
∵x的方程无解，
∴x﹣3＝0，即x＝3，
∴m﹣2×3＝﹣4，
∴m＝2．
故选：C．
7．（3分）若点A（m，n）在一次函数y＝3x+b的图象上，且3m﹣n＞2，则b的取值范围为（　　）
A．b＞2 B．b＞﹣2 C．b＜2 D．b＜﹣2
【分析】由点A的坐标结合一次函数图象上点的坐标特征，可得出3m+b＝n，再由3m﹣n＞2，即可得出b＜﹣2，此题得解．
【解答】解：∵点A（m，n）在一次函数y＝3x+b的图象上，
∴3m+b＝n．
∵3m﹣n＞2，
∴﹣b＞2，即b＜﹣2．
故选：D．
8．（3分）如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AE＝AB，AF＝AC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（　　）

A．S1+S3＝2S2 B．S1+S3＝4S2
C．S1＝S3＝S2 D．S2＝（S1+S3）
【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S3＝4S2．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，AE＝AB，AF＝AC，
∴AE＝BE，AF＝CF，EF2＝AE2+AF2，
∴EF2＝BE2+CF2．
∴π•EF2＝π•（BE2+CF2），即S2＝（S1+S3）．
∴S1+S3＝4S2．
故选：B．

9．（3分）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（　　）

A．1.5 B．3 C．4.5 D．9
【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．
【解答】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．

∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，
∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD，
∵AC＝CD＝3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝．
故选：C．
10．（3分）如图，半径为6的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝60°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是（　　）

A．﹣1 B．2﹣2 C．4﹣4 D．
【分析】连接AG并延长，交BC于点F，由△ABC的重心为G，可知F为BC的中点，再由垂径定理可知OF⊥BC，从而可求得OF的长；在AO上取点E，使AE＝AO，连接GE，可判定△AGE∽△AFO，由相似三角形的性质列出比例式，求得GE的长，进而可得点E的坐标，利用勾股定理求出DE的长，根据G在以E为圆心，2为半径的圆上运动，可知DG的最小值为DE的长减去2，计算即可．
【解答】解：连接AG并延长，交BC于点F，

∵△ABC的重心为G，
∴F为BC的中点，
∴OF⊥BC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOF＝60°，
∴∠OBF＝30°，
∴OF＝OB＝3，
∵△ABC的重心为G，
∴AG＝AF，
在AO上取点E，使AE＝AO，连接GE，
∵＝＝，∠FAO＝∠GAE，
∴△AGE∽△AFO，
∴＝，
∴GE＝2．
∴G在以E为圆心，2为半径的圆上运动，
∴E（2，0），
∴DE＝＝2，
∴DG的最小值是2﹣2，
故选：B．
二．填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥　．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，3x﹣4≥0，
解得，x≥，
故答案为：x≥．
12．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是　3﹣3　．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．
【解答】解：由于P为线段AB＝6的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝6×＝3﹣3．
故答案为：3﹣3．
13．（4分）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是　　．

【分析】过点A作AB⊥x轴于B，根据正切等于对边比邻边列式求解即可．
【解答】解：过点A作AB⊥x轴于B，
∵点A（3，t）在第一象限，
∴AB＝t，OB＝3，
又∵tanα＝＝＝，
∴t＝．
故答案为：．

14．（4分）如图，正方形ABCD的面积为36cm2，点E在BC上，点G在AB的延长线上，四边形EFGB是正方形，以点B为圆心，BC的长为半径画，连接AF，CF，则图中阴影部分的面积为　9πcm2　．

【分析】根据正方形的性质得出∠G＝∠ABC＝∠CEF＝90°，AB＝BC＝6，EF＝BE＝GF＝BG，设EF＝BE＝GF＝BG＝a，则阴影部分的面积S＝S扇形BAC+S正方形EFGB+S△CEF﹣S△AGF，代入求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形EFGB是正方形，且正方形ABCD的面积为36cm2，
∴∠G＝∠ABC＝∠CEF＝90°，AB＝BC＝6，EF＝BE＝GF＝BG，
设EF＝BE＝GF＝BG＝a，
则阴影部分的面积S＝S扇形BAC+S正方形EFGB+S△CEF﹣S△AGF
＝+a2+•a•（6﹣a）﹣•（6+a）a
＝9π，
故答案为9πcm2．
15．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点M在CD的边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则cos∠EFC的值是 　　．

【分析】过点E作HG⊥AB于点H，交CD于点G，然后由对称得到∠AEM＝∠D＝90°，进而通过K型相似证明△AHE∽△EGM，然后利用相似三角形的性质求得AH、HE、EG的长，过点E作EN⊥BC于点N，进而得到BN、FN、EN的长，再利用勾股定理求得EF的长，最后得到cos∠EFN的值．
【解答】解：如图，过点E作HG⊥AB于点H，交CD于点G，则∠AHE＝∠EGM＝90°，四边形AHGD是矩形，
由对称得，∠AEM＝∠D＝90°，AE＝AD＝3，EM＝DM＝1，
∴∠AEH+∠MEG＝90°，
∵∠AEH+∠HAE＝90°，
∴∠MEG＝∠HAE，
∴△AHE∽△EGM，
∴，
设MG＝x，则AH＝MG+MD＝x+1，
∴，
∴HE＝3x，EG＝，
在△AHE中，AH2+HE2＝AE2，
∴（x+1）2+（3x）2＝32，
解得：x＝或x＝﹣1（舍），
∴AH＝，HE＝，EG＝，
过点E作EN⊥BC于点N，则∠ENF＝90°，四边形ENBH为矩形，
∴EN＝BH＝AB﹣AH＝3﹣＝，BN＝HE＝，
由旋转得，BF＝DM＝1，
∴FN＝FB+BN＝1+＝，
∴EF＝＝，
∴cos∠EFN＝＝，
故答案为：．

16．（4分）城市的许多街道是相互垂直或平行的，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．如A（﹣2，1），B（﹣1，﹣2），则d（A，B）＝|﹣2﹣（﹣1）|+|1﹣（﹣2）|＝4．
（1）函数y＝﹣2x+4的图象如图（1）所示，C是图象上一点，d（O，C）＝5，则点C的坐标是　　 　（3，﹣2）或（﹣，）　．
（2）某市要修建一条通往景观湖的道路（既不能破坏景观湖，也不在景观湖底钻隧道），如图（2），道路以M为起点，先沿水平MN方向到某处．再在该处拐一次直角可沿直线到湖边某点P处，如图建立平面直角坐标系xOy，圆心O（7，3），半径为，则修建道路距离d（M，P）的取值范围 　8≤d（O，P）≤10+　．


【分析】（1）由两点间距离：d（A，C）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|及点C是函数y＝﹣2x+4的图象上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点C的坐标；
（2）以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处，可由d（O，P）≥d（O，E）证明结论即可．
【解答】解：（1）设C（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝5，
∴|x|+|y|＝5，
∴，
解得：或，
∴点C的坐标为（3，﹣2）或（﹣，）；
故答案为：（3，﹣2）或（﹣，）．
（2）如图，将函数y＝﹣x的图象沿x轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，
设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处．
理由：设过点E的直线EF与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线PG∥EF，PG与x轴相交于点G．

∵∠EFH＝45°，
∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF，
同理d（O，P）＝OG，
∵OG≥OF，
∴d（O，P）≥d（O，E），
∴d（O，E）最短，
如图，过点PB⊥x轴于点B，当直线PB与圆相切时，d（O，P）取得最大，如图所示，

此时OP∥x轴，且OP＝，
∴P（7+，3），
∴d（O，P）＝10+；
过点P作x轴的垂线，过点E作x轴的平行线，
∴∠OEA＝45°，
∵OE＝OP＝，
∴EA＝OA＝1，EB＝PB＝2，
∴E（6，2），P（8，4），
∴d（O，E）＝8，
∴8≤d（O，P）≤10+．
故答案为：8≤d（O，P）≤10+．
三、解答题（本题共有8小题，第17～19小题每小题6分，第20～21小题每小题6分，第22～23小题每小题6分，第24小题12分，共66分．请务必写出解答过程.）
17．（6分）计算或解方程：
（1）（）﹣1++|﹣2|﹣6sin45°；
（2）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可；
（2）按照解分式方程的步骤进行计算即可．
【解答】解：（1）（）﹣1++|﹣2|﹣6sin45°
＝3+3+2﹣6×
＝3+3+2﹣3
＝5；
（2），
去分母得：x2+2x﹣x2+4＝8，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x2﹣4＝0，
∴x＝2是原方程的增根，
∴原方程无解．
18．（6分）时下娱乐综艺节目风靡全国，随机对九年级部分学生进行了一次调查，对最喜欢《我是喜剧王》（记为A）、《王牌对王牌》（记为B）、《奔跑吧，兄弟》（记为C）、《欢乐喜剧人》（记为D）的同学进行了统计（每位同学只选择一个最喜欢的节目），绘制了以下不完整的统计图，请根据图中信息解答问题：

（1）求本次调查一共选取了多少名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若九年级共有1900名学生，估计其中最喜欢《奔跑吧，兄弟》的学生大约是多少名．
【分析】（1）用B的人数除以所占的百分比得到选取学生总数；
（2）用D的人数除以总人数求出D所占的百分比，再用整体1减去其它节目所占的百分比求出C所占的百分比，求出C的人数，确定出C中男生人数；用总人数乘以A所占的百分比求出A的人数，确定出A中女生人数，从而补全条形统计图即可；
（3）用九年级的总人数乘以最喜欢《奔跑吧，兄弟》的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）根据题意得：
（12+8）÷40%＝50（名），
答：本次调查一共选取了50名学生；

（2）D占的百分比为×100%＝10%，
C占的百分比为1﹣（20%+40%+10%）＝30%，
C的人数为50×30%＝15（人），即C中男生为15﹣8＝7（人）；
A的人数为50×20%＝10（人），A中女生人数为10﹣6＝4（人），
补全条形统计图，如图所示：


（3）根据题意得：
1900×＝570（名），
答：最喜欢《奔跑吧，兄弟》的学生大约是570名．
19．（6分）如图是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点A，B均在格点上，请仅用无刻度的直尺．
（1）在图1中画出AB的中点O；（保留辅助线，辅助线用虚线）
（2）在图2中画一个Rt△ABC，使点C在格点上．（不写作法，保留作图痕迹）

【分析】（1）根据菱形的性质健康得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质健康得到结论．
【解答】解：（1）点O即为所求；

（2）点C即为所求．

20．（8分）图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图．已知活动调节点B可以上下调整高度，离地面CD的距离BC＝160cm．设花洒臂与墙面的夹角为α，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长AB＝30cm．假设水柱AE垂直AB直线喷射，小华在离墙面距离CD＝120cm处淋浴．

（1）当α＝30°时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高DE．
（2）如果小华要洗脚，需要调整水柱AE，使点E与点D重合，调整的方式有两种：
①其他条件不变，只要把活动调节点B向下移动即可，移动的距离BF与小华的身高DE有什么数量关系？直接写出你的结论；
②活动调节点B不动，只要调整α的大小，在图3中，试求α的度数．
（参考数据：≈1.73，sin8.6°≈0.15，sin36.9°≈0.60，tan36.9°≈0.75）
【分析】（1）过点A作AG⊥CB的延长线于点G，交DE的延长线于点H，利用含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．
（2）①由平行四边形的判定与性质即可知道BF＝DE；
②由勾股定理可求出BD的长度，然后根据锐角三角函数的定义可求出∠1与∠2的度数，从而可求出α的度数．
【解答】解：（1）过点A作AG⊥CB的延长线于点G，交DE的延长线于点H，
∵∠C＝∠D＝90°，
∴四边形GCDH为矩形，
∴GH＝CD＝120，DH＝CG，∠H＝90°，
在Rt△ABG中，
∠ABG＝α＝30°，AB＝30，
∴AG＝15，
∴AH＝120﹣15＝105，
∵AE⊥AB，
∴∠EAH＝30°，
又∠H＝90°，
∴EH＝AHtan30°＝35，
∴ED＝HD﹣HE＝160+15﹣35≈125.4（cm）
（2）①BF＝DE；
②如图，
在Rt△BCD中，
BD＝＝200，
∴sin∠1＝＝0.6，
∴∠1≈36.9°，
在Rt△BAD中，AB＝30．
∴sin∠2＝＝＝0.15，
∴∠2≈8.6°，
∴∠3≈90°﹣8.6°＝81.4°，
∴α＝180°﹣∠1﹣∠3≈180°﹣36.9°﹣81.4°＝61.7°．


21．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，＝，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠1＝∠BCE；
（2）求证：BE是⊙O的切线；
（3）若EC＝2，CD＝8，求cos∠DBA．

【分析】（1）过点B作BF⊥AC于点F，易证△ABF≌△DBE（AAS），所以BF＝BE，从而可证明∠1＝∠BCE；
（2）连接OB，易证∠BAC＝∠EBC，由于OA＝OB，所以∠BAC＝∠OBA，所以∠EBC＝∠OBA，从而可知∠EBC+∠CBO＝∠OBA+∠CBO＝90°，所以BE是⊙O的切线；
（3）易证：△EBC≌△FBC（AAS），所以CF＝CE＝1，由（1）可知：AF＝DE＝2+8＝10，所以AC＝CF+AF＝2+10＝12，利用锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】（1）证明：过点B作BF⊥AC于点F，
在△ABF与△DBE中，
，
∴△ABF≌△DBE（AAS），
∴BF＝BE，
∵BE⊥DC，BF⊥AC，
∴∠1＝∠BCE．
（2）证明：连接OB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，即∠1+∠BAC＝90°，
∵∠BCE+∠EBC＝90°，且∠1＝∠BCE，
∴∠BAC＝∠EBC，
∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA，
∴∠EBC＝∠OBA，
∴∠EBC+∠CBO＝∠OBA+∠CBO＝90°，
∴BE是⊙O的切线．
（3）解：由（2）可知：∠EBC＝∠CBF＝∠BAC，
在△EBC与△FBC中，
，
∴△EBC≌△FBC（AAS），
∴CF＝CE＝2，
由（1）可知：AF＝DE＝2+8＝10，
∴AC＝CF+AF＝2+10＝12，
∴cos∠DBA＝cos∠DCA＝＝．


22．（10分）快车和慢车分别从A市和B市两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，慢车到达A市后停止行驶，快车到达B市后，立即按原路原速度返回A市（调头时间忽略不计），结果与慢车同时到达A市．快、慢两车距B市的路程y1、y2（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示．
（1）A市和B市之间的路程是 　360　km；
（2）求a的值，并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义；
（3）快车与慢车迎面相遇以后，再经过多长时间两车相距20km？

【分析】（1）由图象中的数据，可以直接写出A市和B市之间的路程；
（2）根据题意，可知快车速度是慢车速度的2倍，然后设出慢车的速度，即可得到相应的方程，从而可以求得慢车和快车的速度，进而计算出a的值，然后即可得到点M的坐标，并写出图中点M的横坐标、纵坐标的表示的实际意义；
（3）根据题意可知，分两种情况进行讨论，一种是快车到达B地前相距20km，一种是快车从B地向A地行驶的过程中相距20km，然后分别进行计算即可解答本题．
【解答】解：（1）由图可知，
A市和B市之间的路程是360km，
故答案为：360；

（2）根据题意可知快车速度是慢车速度的2倍，
设慢车速度为x km/h，则快车速度为2x km/h，
2（x+2x）＝360，
解得，x＝60
2×60＝120，
则a＝120，
点M的横坐标、纵坐标的实际意义是两车出发2小时时，在距B市120 km处相遇；

（3）快车速度为120 km/h，到达B市的时间为360÷120＝3（h），
方法一：
当0≤x≤3时，y1＝﹣120x+360，
当3＜x≤6时，y1＝120x﹣360，
y2＝60x，
当0≤x≤3时，
y2﹣y1＝20，即60x﹣（﹣120x+360）＝20，
解得，x＝，﹣2＝，
当3＜x≤6时，
y2﹣y1＝20，即60x﹣（120x﹣360）＝20，
解得，x＝，﹣2＝，
所以，快车与慢车迎面相遇以后，再经过或 h两车相距20 km．
方法二：
设快车与慢车迎面相遇以后，再经过t h两车相距20 km，
当0≤t≤1时，60t+120t＝20，
解得，t＝；
当1＜t≤4时，60（t+2）﹣20＝120（t+2）﹣360，
解得，t＝．
所以，快车与慢车迎面相遇以后，再经过或 h两车相距20 km．
23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）顶点为P，且该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．我们规定：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区域”（不包含边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点．
（1）求抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）如果抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a经过（1，3）．
①求a的值；
②在①的条件下，直接写出“G区域”内整点的个数．
（3）如果抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a在“G区域”内有4个整点，直接写出a的取值范围．

【分析】（1）利用配方法将抛物线的解析式变形为顶点式，由此即可得出顶点P的坐标；
（2）将点（1，3）代入抛物线解析式中，即可求出a值，再分析当x＝0、1、2时，在“G区域”内整数点的坐标，由此即可得出结论；
（3）分a＜0及a＞0两种情况考虑，依照题意画出图形，结合图形找出关于a的不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点P的坐标为（1，﹣4a）．

（2）∵抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）经过（1，3），
∴3＝a（1+1）（1﹣3），
解得：a＝﹣．
当y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0）．
当x＝0时，y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝，
∴（0，1）、（0，2）两个整数点在“G区域”；
当x＝1时，y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝3，
∴（1，1）、（1，2）两个整数点在“G区域”；
当x＝2时，y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝，
∴（2，1）、（2，2）两个整数点在“G区域”．
综上所述：此时“G区域”有6个整数点．

（3）当x＝0时，y＝a（x+1）（x﹣3）＝﹣3a，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3a）．
当a＜0时，如图1所示，
此时有，
解得：﹣≤a＜﹣；
当a＞0时，如图2所示，
此时有，
解得：＜a≤．
综上所述，如果G区域中仅有4个整数点时，则a的取值范围为﹣≤a＜﹣或＜a≤．

24．（12分）已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．

（1）求AE和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；
（2）依题意画出图形，如答图2所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；
（3）在旋转过程中，等腰△DPQ有4种情形，如答图3所示，对于各种情形分别进行计算．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AB＝5，AD＝，
由勾股定理得：BD＝＝＝．
∵S△ABD＝BD•AE＝AB•AD，
∴AE＝＝＝4．
在Rt△ABE中，AB＝5，AE＝4，由勾股定理得：BE＝3．

（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示：
由对称点性质可知，∠1＝∠2．
由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4＝∠1，BF＝B′F′＝3．

①当点F′落在AB上时，
∵AB∥A′B′，
∴∠3＝∠4，
∴∠3＝∠2，
∴BB′＝B′F′＝3，即m＝3；
②当点F′落在AD上时，
∵AB∥A′B′，
∴∠6＝∠2，
∵∠1＝∠2，∠5＝∠1，
∴∠5＝∠6，
又易知A′B′⊥AD，
∴△B′F′D为等腰三角形，
∴B′D＝B′F′＝3，
∴BB′＝BD﹣B′D＝﹣3＝，即m＝．

（3）存在．
理由如下：假设存在，
在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：
①如答图3﹣1所示，点Q落在BD延长线上，且PD＝DQ，易知∠2＝2∠Q，

∵∠1＝∠3+∠Q，∠1＝∠2，
∴∠3＝∠Q，
∴A′Q＝A′B＝5，
∴F′Q＝F′A′+A′Q＝4+5＝9．
在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ＝＝＝．
∴DQ＝BQ﹣BD＝﹣；
②如答图3﹣2所示，点Q落在BD上，且PQ＝DQ，
∴∠2＝∠P，

∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠P，
∴BA′∥PD，
∵PD∥BC，
∴此时点A′落在BC边上．
∵∠3＝∠2，
∴∠3＝∠1，
∴BQ＝A′Q，
∴F′Q＝F′A′﹣A′Q＝4﹣BQ．
在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2＝BQ2，
即：32+（4﹣BQ）2＝BQ2，
解得：BQ＝，
∴DQ＝BD﹣BQ＝﹣＝；
③如答图3﹣3所示，点Q落在BD上，且PD＝DQ，易知∠3＝∠4．

∵∠2+∠3+∠4＝180°，∠3＝∠4，
∴∠4＝90°﹣∠2．
∵∠1＝∠2，
∴∠4＝90°﹣∠1．
∴∠A′QB＝∠4＝90°﹣∠1，
∴∠A′BQ＝180°﹣∠A′QB﹣∠1＝90°﹣∠1，
∴∠A′QB＝∠A′BQ，
∴A′Q＝A′B＝5，
∴F′Q＝A′Q﹣A′F′＝5﹣4＝1．
在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ＝＝＝，
∴DQ＝BD﹣BQ＝﹣；
④如答图3﹣4所示，点Q落在BD上，且PQ＝PD，易知∠2＝∠3．

∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠4，
∴BQ＝BA′＝5，
∴DQ＝BD﹣BQ＝﹣5＝．
综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形；
DQ的长度分别为﹣、、﹣或．