2022-2023学年浙江省金华市金东区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省金华市金东区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    比例尺为：的地图上，，两地间的图上距离为，则两地间的实际距离是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列事件中，是必然事件的是(    )

A. 任意抛掷一枚硬币，出现正面
B. 从、、、、这张卡片中任抽一张是奇数
C. 从装有一个红球三个黄球的袋子中任取两球，至少有一个是黄球
D. 投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是

3.    将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式是(    )

A.  B.
C.  D.

4.    二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D. 或

5.    在一个不透明的口袋中装有个白球和个黄球这些球除颜色不同外其他完全相同，从袋子中随机摸出一个球，摸到白球的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如图，已知是的直径，、两点在上，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.    如图，在中，点，，分别是边，，上的点，，，且：：，那么：等于(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

8.    如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.    如图是一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面，则水深是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在正方形网格中：、的顶点都在正方形网格的格点上，∽，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 二次函数的顶点坐标为______．
12. 在，，，，中任取一个数，取到无理数的概率是______．
13. 已知扇形的面积为，半径为，则此扇形的圆心角为______．
14. 已知抛物线与轴交点的横坐标为，则______．
15. 如图，，，与相交于点，过点作交于，且，，则的长为______．

16. 在正方形中，是上的一点，与交于点，的延长线与交于点．
    若为中点，则______．
    若，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知二次函数为常数的图象经过点求函数的表达式．
18. 本小题分
    如图，、相交于点，连接、，且，，，，求的长．

19. 本小题分
    如图，四边形是的内接四边形，，，．
    求的度数．
    求的度数．
     

20. 本小题分
    对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，获得如下频数表．

求，的值．
估计这批衬衣的合格概率．
若出售件衬衣，其中次品大约有多少件？

21. 本小题分
    如图，在中，点在边上，点在边上，且，．
    求证：∽；
    若，，求的长．

22. 本小题分
    如图，在中，，为弦，为直径，于，于，与相交于．
    求证：；
    若，，求的半径．

23. 本小题分
    某游乐场的圆形喷水池中心有一喷水管，从点四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，水柱所在的抛物线第一象限部分的函数表达式为．
    求喷水管高．
    身高为的小明站在距离喷水管的地方，他会被水喷到吗？
    现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点处达到最高，则喷水管要升高多少？

24. 本小题分
    如图，在矩形中，，，分别是一元二次方程的两个根，连结，动点从出发，以个单位每秒速度，沿方向运动，同时，动点从点出发，以同样的速度沿射线运动，当点到达点时，点即停止运动，设运动时间为秒．以为斜边作，使点落在线段上．
    求线段的长度；
    求面积的最大值；
    当与相似时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：设、两地间的实际距离为，
根据题意得，
解得．
答：、两地间的实际距离为．
故选：．
设、两地间的实际距离为，根据比例线段得，然后解方程即可．
本题主要考查了比例线段：熟练掌握比例线段的意义是解决问题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、任意抛掷一枚硬币，出现正面是必然事件，故A错误；
B、从、、、、这张卡片中任抽一张是奇数是不可能事件，故B错误；
C、从装有一个红球三个黄球的袋子中任取两球，至少有一个是黄球是必然事件，故C正确；
D、投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是是随机事件，故D错误；
故选：．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

3.【答案】 

【解析】解：将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式是，即．
故选：．
根据抛物线向左平移加，向上平移加，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减．
 

4.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，经过，，
或时，，
故选：．
由抛物线开口方向及抛物线与轴交点坐标求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与不等式的关系．
 

5.【答案】 

【解析】解：一个不透明的袋子中有个白球、个黄球，
球的总数，
从袋子中随机摸出一个球，则它是白球的概率为．
故选：．
先求出球的总数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

6.【答案】 

【解析】解：与都对着，
，
而，
，
．
故选：．
首先利用圆周角与圆心角的关系求出，然后利用邻补角的性质即可求出的度数．
此题主要考查了圆周角定理，圆心角、弦、弧关系定理，同时也利用了邻补角的性质，有一定的综合性．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
：：，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
：：，
故选：．
根据平行线分线段成比例和三角形相似的相关知识以及平行四边形的性质，通过转化的思想可以解答本题．
本题考查平行线分线段成比例，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用平行线分线段成比例的性质解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据旋转的性质得，，
是等边三角形，
，
故选：．
根据旋转的性质得到，，从而是等边三角形，即可得出的长度．
本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质得到是等边三角形是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接、，
则，
，
在中，，
．
故选：．
连接、，先由垂径定理可得长，再由勾股定理得长，从而求出长．
本题考查了垂径定理的应用和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：∽，
，
，
故选：．
利用相似三角形的性质，证明，可得结论．
本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题关键是证明．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，顶点坐标为，
故答案为：．
由二次函数解析式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

12.【答案】 

【解析】解：数据，，，，中无理数为，共个，
所以任取一个数是无理数的概率为，
故答案为：．
用无理数的个数除以数据的总数即可求得概率．
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】 

【解析】解：设此扇形的圆心角为，
由题意可得，，
解得，
故答案为：．
根据题目中的数据和扇形面积计算公式，可以求得此扇形的圆心角的度数．
本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用扇形面积计算公式解答．
 

14.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴交点的横坐标为，
点在该抛物线上，
，
，
故答案为：．
根据抛物线与轴交点的横坐标为，可知点在该抛物线上，然后即可得到，从而可以得到的值．
本题考查抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，写出抛物线与轴的交点．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，，
，
∽，∽，∽．
，．
，
，
，，
，
，
故答案为：．
由于，，，故AD，即可求得相似三角形，然后可知，两式相加即可证得，进而解答．
本题考查相似三角形的性质及判定，解题关键是两式相加去掉与．
 

16.【答案】   

【解析】解：四边形是正方形，
，，
为的中点，
，
，
∽，
，
故答案为：；
，
，
四边形是正方形，
，，
，
≌，
，
，
，
设，则，
，
∽，
，
故答案为：．
证明∽，由相似比便可求得结果；
证明≌，求得，进而证得，再根据相似三角形的性质得出结果．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似和全等．
 

17.【答案】解：把点代入二次函数，
，
解得；，
二次函数的表达式为． 

【解析】把点代入二次函数，即可求出的值，即可求出函数表达式．
本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
 

18.【答案】解：，，
∽，
，
，
的长为． 

【解析】先由，，证明∽，然后列比例式求出的长．
此题考查相似三角形的判定与性质，难度不大，是很好的练习题．
 

19.【答案】解：，
，
，
；
，
． 

【解析】

【分析】
本题考查了圆周角定理，同圆或等圆中圆心角，弧，弦之间的关系．
先根据圆周角定理得到，则，然后根据三角形内角和计算的度数；
先根据圆周角定理得到，然后计算即可．  

20.【答案】解：，
；
故答案为：，；

任意抽一件衬衣是合格品的概率为；

估计次品的数量为：件． 

【解析】用合格频率乘以总件数，求出，用合格的频数除以抽取的总件数即可求出；
用最终频率的稳定值即可估计其概率即可；
用总数乘以次品对应的频率即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
 

21.【答案】解：证明：，，，
，
又，
∽；
∽，
，
即，
或舍去，
又，
． 

【解析】利用三角形外角的性质及可得出，结合即可证出∽；
利用相似三角形的性质可求出的长，再结合即可得出的长．
本题考查相似三角形的判定与性质．
 

22.【答案】证明：如图：连接，

于，于，
，
，
，
，
，
于，
，
在和中，
，
≌，
．
解：如图：

连接，设，则，
由可知，
，
于，，
，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即的半径为． 

【解析】连接，容易得到和相等，利用证明和全等即可；
连接，设，则，根据容易求出，再根据垂径定理求出的值，最后在中根据勾股定理求出的值即可．
本题结合勾股定理和全等三角形的证明考查了垂径定理的应用，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的优弧和劣弧．
 

23.【答案】解：当时，，
点的坐标为，
喷水管高高
解法一：对于，
令，则，
小明不会被水喷到；
解法二：令，
则，
解得：，，
，，
小明不会被水喷到；
设喷水管的高度要升高，
则抛物线的表达式为．
把代入得：，
解得：，
喷水管的高度要升高 

【解析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，进而可得出的值；
解法一：利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的值，由此即可得出结论；解法二：利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的值，由此即可得出结论；
设改建后抛物线的解析式为，然后根据抛物线上的点的坐标特征，利用待定系数法求解．
本题考查了二次函数的应用以及二次函数的性质，理解题意，利用数形结合思想解题是关键．
 

24.【答案】解：解方程，得，，
，，
四边是矩形，
，
，
线段的长度为．
如图，作于点，则，
，
∽，
，
，，
，
，
，
当时，，
面积的最大值是．
，
，
，
∽，
，
，
，，
∽，且，
或，
或，
当点在线段上，则，
如图，，则，
解得；
如图，，则，
解得；
当点在线段上，则，
如图，，则，
解得；
如图，，则，
解得，
综上所述，的值为或或或． 

【解析】解方程，得，，则，，即可根据勾股定理求得；
作于点，可证明∽，得，则，所以，当时，；
先由∽，得，求得，，由∽，且，得或，则或，当点在线段上，则，可列方程或；当点在线段上，则，可列方程或，解方程求出相应的值即可．
此题重点考查矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．