2021-2022学年浙江省金华市义乌市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年浙江省金华市义乌市九年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列几何体中，俯视图是矩形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 事件“任意抛掷一枚骰子，点数为的面朝上”是(    )

A. 确定事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 不可能事件

4. 下列条件中，能确定一个圆的是(    )

A. 以点为圆心 B. 以长为半径
C. 以点为圆心，长为半径 D. 经过已知点

5. 下列图形中，是相似形的是(    )

A. 所有平行四边形 B. 所有矩形 C. 所有菱形 D. 所有正方形

6. 用配方法将二次函数化为的形式为(    )

A.  B.
C.  D.

7. 图是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形若，，则的值为．(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在由边长相同的个正六边形组成的网格中，点，在格点上．再选择一个格点，使是以为腰的等腰三角形，符合点条件的格点个数是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在平行四边形中，，，以顶点为圆心，为半径作圆，则边所在直线与的位置关系是(    )

A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 以上三种都有可能

10. 已知二次函数为常数，当时，函数的最大值为，则的值为(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 已知点在半径为的内，请写一个满足条件的的值______．
12. 比较、的大小，结果为： ______．
13. 某一时刻，测得身高的同学在阳光下的影长为，同时测得教学楼在阳光下的影长为，则教学楼的高为______
14. 如图，是的直径，点是上一点，，，则阴影部分的面积为______．

15. 如图，有一块边长为的正方形厚纸板，做成如图所示的一套七巧板点为正方形纸板对角线的交点，点、分别为、的中点，，，将图所示七巧板拼成如图所示的“鱼形”，则“鱼尾”的长为______．
     
16. 图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图是其侧面结构示意图是基座的高，是主臂，是伸展臂已知基座高度为米，主臂长为米，主臂伸展角的范围是：，伸展臂伸展角的范围是：当时如图，伸展臂恰好垂直并接触地面．
    
    伸展臂长为______米；
    挖掘机能挖的最远处距点的距离为______米．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知：：，求的值．
18. 本小题分
    从长为，，，的四根木条中任取三根．
    请直接写出不同的取法有几种？分别列举出来．
    求出能组成三角形的概率．
19. 本小题分
    如图是由小正方形组成的网格，的三个顶点、、都在格点上．在给定的网格中，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，不写画法．
    
    在图中作的中线；
    在图中作的高线；
    在图中边上确定点，使得．
20. 本小题分
    如图，海面上一艘船由西向东航行，在处测得正东方向上一座灯塔的最高点的仰角为，再向东继续航行到达处，测得该灯塔的最高点的仰角为，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度结果取整数．
    参考数据：，，．
     
21. 本小题分
    如图，在中，，点在斜边上，以为圆心，为半径的圆切于点，交、分别于点、，连结．
    求证：点为的中点；
    若，，求的直径的长．

22. 本小题分
    种植户王大伯的大棚种植了许多优质草莓．因受疫情影响，多地封村村路，无法正常销售，于是就进行了网上预订送货销售活动．在销售的天中，第一天卖出，为了扩大销售，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出第天的售价为元，关于的解析式第天的售价为元，第天的售价为元已知种植销售草莓的成本是元，设第天的销售量为，利润为元利润销售收入成本．
    ______，______；
    请写出关于的函数关系式：______；
    求销售草莓第几天，当天销售利润最大？最大利润是多少元？
23. 本小题分
    如图，直线：与，轴分别相交于、两点．将绕点逆时针旋转得到，过点，，的抛物线叫做直线的关联抛物线，直线叫做的关联直线．
    
    若直线：，则抛物线表示的函数解析式为______，若抛物线：，则直线表示的函数解析式为______；
    如图，若直线：，为中点，为的中点，连结，取中点，连结，已知求直线的关联抛物线表示的函数解析式；
    若将某直线的关联抛物线向右平移个单位得到抛物线，则、、应满足的关系式为______．
24. 本小题分
    如图，在矩形中，，，点在边上，且点是边上的动点．将沿折叠得到直线与直线的交点为．
    
    如图，点与点重合时，求与的面积比；
    如图，当在点的上方，且满足三角形是等腰三角形时，求线段的长．
    在点的运动过程中，以、、为顶点的三角形能否与以、、为顶点的三角形相似？若能，求的长；若不存在，请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义即可得出答案．
本题考查了倒数，掌握乘积为的两个数互为倒数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．
根据简单几何体的三视图判断方法，判断圆柱、圆锥、三棱柱、球的俯视图，即可解答．
【解答】
解：俯视图为圆，故错误；
B.俯视图为矩形，正确；
C.俯视图为三角形，故错误；
D.俯视图为圆，故错误；
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：事件“任意抛掷一枚骰子，点数为的面朝上”是随机事件．
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

4.【答案】 

【解析】解：圆心确定，半径确定后才可以确定圆，
选项正确，
故选：．
确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．
本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．
 

5.【答案】 

【解析】解：、所有平行四边形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
B、所有矩形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
C、所有菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
D、所有正方形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似定义，故正确．
故选：．
根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
本题考查相似变换的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的是相似形．
 

6.【答案】 

【解析】解：

．
故选B．
直接利用配方法进而将原式变形即可得出答案．
本题主要考查二次函数的三种形式．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
在中，，
，
在中，．
故选：．
在中，，可得的长度，在中，，代入即可得出答案．
本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：的长等于六边形的边长最长对角线的长，
据此可以确定共有个点，位置如图，
故选：．
确定的长度后确定点的位置即可．
考查了正多边形和圆及等腰三角形的判定，解题的关键是确定的长，难度不大．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，作交的延长线于．
，
，
，
直线与相交，
故选：．
如图，作交的延长线于求出的值即可判断．
本题考查直线与圆的位置关系，平行四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为
将，代入得，
解得或，
当时，，函数最大值为，不符合题意，
当时，时，随增大而减小，时，函数取最大值，符合题意，
当，时，，
解得或，
当时，，不符合题意，
当时，时，随增大而减小，时，函数取最大值，符合题意，
或，
故选：．
由二次函数解析式可得抛物线开口向下及抛物线顶点坐标，分类讨论，时取最大值，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：，点在内，
，
长可能是答案不唯一．
故答案为：．
根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断即可．
本题考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
 

12.【答案】 

【解析】解：解法一：一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大，而，
，
故答案为：．
解法二：，，而，
，
故答案为：．
根据锐角三角函数的增减性进行判断即可．
本题考查锐角三角函数的增减性，理解“一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大”是正确判断的前提．
 

13.【答案】 

【解析】解：设此教学楼的高度是，则，
解得．
故答案为：．
设此教学楼的高度是，再根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．
本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
图中阴影部分的面积为：．
故答案为：．
直接圆周角定理得出的度数，再利用扇形面积求法得出答案．
此题主要考查了扇形面积求法，正确记忆扇形面积公式是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：等腰直角三角形中，，
，
又，
，，
，
故答案为：．
依据勾股定理即可得到的长，进而得出，，即可得到“鱼尾”的长．
本题主要考查了勾股定理以及等腰直角三角形的性质，掌握七巧板的结构特点是解决问题的关键．
 

16.【答案】  

【解析】解：过点作，垂足为，

则米，
在中，，米，
米，
米，
伸展臂长为米，
故答案为：；
当时，过点作，交的延长线于点，连接，

，
在中，米，
米，
米，
米，
在中，米，
在中，米，
挖掘机能挖的最远处距点的距离为米，
故答案为：．
过点作，垂足为，根据题意可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可解答；
当时，过点作，交的延长线于点，连接，利用平角定义可求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，最后在中，利用勾股定理求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：：：，
，
． 

【解析】根据：：，得出，再代入要求的式子进行计算，即可得出答案．
此题考查了比例的性质，熟练掌握两内项之积等于两外项之积是解题的关键．
 

18.【答案】解：
种，分别是：；
能组成三角形的情况分别是，所以能组成三角形的概率． 

【解析】利用列举法可得：从长度分别为，，，的四条线段中任取三条的可能结果即可；
根据三角形的三边关系结合种的结果，利用求概率公式计算即可．
此题考查了列举法求概率的知识．此题难度不大，注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：如图
 

【解析】作出、边上的中线，确定交点，连接并延长交于点．
构造≌，可得高线．
构造∽可得．
本题考查了三角形角平分线、中线和高的作图问题，进行合情推理，结合高、中线、角平分线知识解答是解题的关键．
 

20.【答案】解：在中，，
则，
在中，，
，
，
，
解得，
答：这座灯塔的高度约为． 

【解析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据正切的定义用表示出，根据题意列出方程，解方程得到答案．
 

21.【答案】证明：连接，
，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
点为的中点．
解：设，
，，，
，
，
∽，
，
，
，
，
的直径的长为． 

【解析】连接，可证明，推导出，由圆周角定理得，即点为的中点；
设，先由勾股定理求得，再证明∽，根据相似三角形的对应边成比例列方程，解方程求出的值，再求出的值即得到的直径的长．
此题重点考查圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】     

【解析】解：根据题意得：，，
，．
故答案为：，；
由题意可知，第天的销售量千克，
故答案为：．
根据题意可知，当时，


．
，对称轴为，
当时，有最大值，；
当时，
，
，
随的增大而增大，
当时，．
，
当时，，
即销售蓝莓第天时，当天的利润最大，最大利润是元．
根据第天的售价为元千克，第天的售价为元千克，把，和，分别代入函数解析式即可求得答案；
根据“为了扩大销售，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出“可得出结论；
先用含的式子表示出第天的销售量，再分段列出二次函数关系式和一次函数关系式并根据相应的函数性质求解即可．
本题考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握相关函数的性质是解题的关键．
 

23.【答案】     

【解析】解：设抛物线的函数表达式为：，
对于，令，解得，令，则，
故点、的坐标分别为、，则点，
将点、、代入抛物线表达式得：
，解得，
故抛物线的表达式为：；
对于，令，解得或，令，则，
即点、的坐标分别为、，
由点、的坐标得，直线的表达式为：；
故答案为：；；

中，令，则，
，
令，则，
，
为中点，
，
，，
，，
为中点，
，
为中点，
，
，
，
解得，
，
，
，
设，
将，，代入上式得：
，解得，
；

根据平移的性质，平移前的抛物线表达式为：，
，故，
故点、的坐标分别为、，则点，
将点的坐标代入上述抛物线的表达式得：，
整理得：．
故答案为：．
求出、点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；
分别求出，，，再由，可求的值，进而可求函数的解析式；
根据平移的性质，平移前的抛物线表达式为：，求出点、的坐标分别为、，进而求解．
本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解新定义，用待定系数法求函数的解析式，正确理解新定义是本题解题的关键．
 

24.【答案】解：如图：

，，
∽，
，
，
；
解：如图：连接，

根据折叠性质，等腰三角形三线合一性质，得：，
，
，
；
解：，，四边形是矩形，
，
根据题意，得到时，∽，
，
，
解得：，

∽，
∽，
，
，
解得：，
当在下方时，

，，四边形是矩形，
，
根据题意，得到时，∽，
，
，
解得：，
，
∽，
∽，
，
，
解得：；
综上所述，的值为或． 

【解析】根据相似三角形的判定和性质得出面积之比，进而解答即可；
根据等腰三角形的性质和折叠的性质解答即可；
根据相似三角形的判定和性质，分两种情况解答即可．
本题属于相似三角形的综合题，考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．