2022届宁夏银川一中高三一模数学（理）试题含解析

2022届宁夏银川一中高三一模数学（理）试题

一、单选题

1．设不等式的解集为，函数的定义域为，则为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：由于不等式等价于，解得，

故集合

函数的定义域为，满足，故集合，

因此通过集合的交集的运算可知，

故选：A.

2．设复数满足，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为复数满足zi=2-i,z=-1-2i.选A

3．已知向量，，若，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据两向量垂直计算出参数的值，再根据向量的计算规则求解即可得出结果.

【详解】因为，所以，解得，

所以．

故选：C.

4．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据的图象求得，求得，再根据，求得，求得的值，即可求解.

【详解】根据函数的图象，可得，可得，

所以，

又由，可得，即，

解得，

因为，所以.

故选：A.

5．下列双曲线中，焦点在轴上，且渐近线互相垂直的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出渐近线垂直的条件后可得正确的选项．

【详解】设双曲线的方程为：，则其渐近线为，

因为渐近线互相垂直，故即，

故双曲线的方程为，

故选：A．

6．若函数f（x）满足f（1－lnx）＝，则f（2）＝（　　）

A． B．e

C． D．－1

【答案】B

【分析】根据题意，令，解可得，进而在中，令，变形计算即可得答案．

【详解】由1－lnx＝2，得，，即f（2）＝e.

故选：B

7．已知互不重合的直线，互不重合的平面，下列命题正确的是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】D

【分析】根据空间直线和平面的位置关系逐个进行判断，注意线面关系的判定方法.

【详解】对于A，如果直线在平面内，则无法得出，故不正确；

对于B，直线只和平面内的一条直线垂直，无法得出线面垂直，故不正确；

对于C，，直线有可能在平面内，无法得出，故不正确；

对于D，符合平面和平面垂直的判定定理，所以正确.

故选：D.

8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为126，则判断框内的条件可以为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】执行程序框图，列方程计算

【详解】由图可知输出，得

故时退出循环，条件为

故选：B

9．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是（   ）

①；②；③事件B与事件相互独立；④，，是两两互斥的事件.

A．②④ B．①③ C．②③ D．①④

【答案】A

【解析】根据条件概率的计算，结合题意，即可容易判断.

【详解】由题意，，是两两互斥的事件，

，，；

，由此知，②正确；

，；

而

.

由此知①③不正确；

，，是两两互斥的事件，由此知④正确；

对照四个命题知②④正确；

故选：A.

【点睛】本题考查互斥事件的判断，以及条件概率的求解，属基础题.

10．已知锐角△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积，且，则S的最大值为（       ）

A．6 B．4

C．2 D．1

【答案】C

【分析】由三角形的面积公式求得，再由余弦定理求得，根据基本不等式可求得答案.

【详解】解：由得，又△ABC是锐角三角形，所以，

由余弦定理及得，整理得，所以(负值舍去)，

所以，所以，，当时取等号，

故选：C．

11．1654年，法国贵族德•梅雷骑士偶遇数学家布莱兹•帕斯卡，在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事：某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛，约定胜者可以喝杯酒，当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢得40局时他们发现桌子上还剩最后一杯酒．此时酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费，梅雷由于接到命令需要觐见国王，没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆．请利用数学知识做出合理假设，猜测最后付酒资的最有可能是（　　）

A．肖恩 B．尤瑟纳尔 C．酒吧伙计 D．酒吧老板

【答案】B

【分析】由题设求出肖恩、尤瑟纳尔每局获胜的概率，设决出胜负的场数为X，在七局四胜制中，求出X取4，5，6，7的概率，即可判断出结果.

【详解】由题意，肖恩每局获胜的概率为，尤瑟纳尔每局获胜的概率为，

先胜四场比赛结束就是比赛采用七局四胜制，设决出胜负的场数为X，于是得：

，，

，，

显然有，即，

所以最后付酒资的最有可能是尤瑟纳尔.

故选：B

12．已知函数，下列说法中正确的个数是（       ）

①函数的图象关于点对称；

②函数有三个零点；

③是函数的极值点；

④不等式的解集是.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】①，对函数变形得到，根据奇偶性得到的对称中心，②③，在①的基础上，求导研究其单调性，确定其零点和极值点情况；④选项，利用前面研究出的奇偶性和单调性解不等式，求出解集.

【详解】，

令，则，

所以函数是奇函数，所以的图象关于原点对称，

所以的图象关于点对称，故①正确：

又因为，

所以在R上单调递减，所以在R上单调递减，

所以只有一个零点且无极值点，故②③错误；

由得，

所以，所以，所以，

所以，所以，所以，所以，故④正确：综上所述，正确的个数是2个.

故选：B

二、填空题

13．若实数x，y满足约束条件，则的最大值是 _________.

【答案】

【分析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置，由此求得的最大值.

【详解】，

画出可行域如下图所示，

由图可知，平移基准直线到点时，

取得最大值为.

故答案为：

14．已知，则______．

【答案】－1

【分析】利用三角恒等变换公式和齐次式弦化切即可计算.

【详解】

.

故答案为：－1.

15．抛物线的准线与轴相交于点P，过点P作斜率的直线交抛物线于两点，F为抛物线的焦点，若，则直线AB的斜率k＝_______.

【答案】

【分析】联立直线AB方程和抛物线方程，根据抛物线定义和焦半径公式，可解得A或B的坐标，根据过两点的斜率计算公式即可求k.

【详解】由题可知，设，，

由已知得，，即①，

的方程：，与联立得：，

则②，

由①②解得，，将代入，由k＞0知，解得，

.

故答案为：.

16．如图，在边长为4的正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将沿DE，EF，DF折成正四面体，则在此正四面体中，下列说法正确的是______．

异面直线PG与DH所成的角的余弦值为；

；

与PD所成的角为；

与EF所成角为

【答案】①②③

【分析】可证明平面,可得正确；连接,取中点,异面直线与所成的角为，由余弦定理可证明正确；取中点，连接，异面与所成的角为，由余弦定理可得不对；异面与所成角的为，由余弦定理可得不对，从而可得结果.

【详解】的边长为4，折成正四面体后，如图

，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，

，；

连接FG，取中点M，可得，

异面直线PG与DH所成的角的平角为；

，

连接MD，可得．

；

在中，

余弦定理：；对；对；

取DF中点N，连接GN，NH，可得

异面GH与PD所成的角的平面角为，

由余弦定理，GH与PD所成的角是；对；

异面PG与EF所成角的平面角为，

由余弦定理，可得PG与EF所成角不是不对．

故答案为①②③．

【点睛】本题考查两条异面直线所成角的求法以及空间想象能力，是中档题. 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.

三、解答题

17．如图，在三棱柱中，＝2，且，⊥底面ABC，E为AB中点．

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过构造中位线的方法来证得平面.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角的余弦值.

【详解】(1)连接 与交于点O，连接OE，

由分别为的中点，

所以，又平面，平面，

所以平面.

(2)由，底面，故底面，

建立如图所示空间直角坐标系：则，

所以，

设平面的一个法向量为：，

则，即，

令，则，则，

因为底面，所以为平面一个法向量，

所以，

由图可知，二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.

18．“五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手，是促进学生身心健康､解决群众急难愁盼问题的重要举措．为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业．因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所用时间进行统计，部分数据如下表：

(1)求x，y，z的值，并根据题中的列联表，判断是否有95％的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关？

(2)学校从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层抽样的方法抽取9人了解情况，甲老师再从这9人中选取3人进行访谈，求甲老师选取的3人中男生人数大于女生人数的概率．

附：．

【答案】(1)，没有95％的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关

(2)

【解析】(1)

由可得：；由可得：；

由可得：；所以列联表如下：

，

所以根据表格数据可判断，没有95％的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关．

(2)抽取的9人中，需要抽取男生：人，女生：人，

男生人数大于女生人数的情况分为：①男生2人，女生1人；②男生3人，女生0人；

所以所求概率

19．已知数列满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)对任意的正整数n，令，求数列的前2n项的和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据数列的第项和数列前项和的关系即可得出答案；

（2）将奇数项和偶数项分别求和，结合等差数列和等比数列的前项和的公式即可得出答案.

【详解】(1)解：由题可知，①，

所以，②，

①②得，所以（），

又因为，所以，符合（）式，

所以；

(2)由（1）知，，

所以

.

20．已知函数．

(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的极小值；

(2)若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用求得，然后结合的单调性求得的极小值.

（2）将不等式转化为，通过构造函数法，结合导数来求得的取值范围.

【详解】(1)因为的定义域为，

所以．

由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－2，

得，解得a＝1．

此时．

当和时，；

当时，．

所以函数f(x)在和上单调递增，在上单调递减，

所以当x＝1时，函数f(x)取得极小值．

(2)由a＝1得．

因为对于任意，当时，恒成立，

所以对于任意，当时，恒成立，

所以函数在上单调递减．

令，，

所以在[1，2]上恒成立，

则在[1，2]上恒成立．

设，

则．

当时，，所以函数F(x)在上单调递减，

所以，

所以，故实数m的取值范围为．

【点睛】求解不等式恒成立问题，可考虑采用分离常数法，分离常数后，通过构造函数法，结合导数来求得参数的取值范围.

21．已知O为坐标原点，、为椭圆C的左、右焦点，，B为椭圆C的上顶点，以B为圆心且过、的圆与直线相切．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知椭圆C上两点M、N（点与点不重合），若直线BM和BN的斜率之和为-2，过点B作MN的垂线，垂足为D，试求D点的轨迹方程.

【答案】(1)

(2)（，或且）

【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的标准方程.

（2）当直线斜率存在是，设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，根据求得直线过定点，设，由求得点的轨迹方程，并排除不符合题意的点.

【详解】(1)依题意，，，，，

由椭圆定义知：椭圆长轴长，

所以，，

所以椭圆C的标准方程为：．

(2)直线斜率存在时，设直线的方程为，，

由消去并化简得，

需满足①，

，

由得，

整理得，

，化简得，

此时，或.

所以直线的方程可化为，

所以直线过点，

若直线的方程为，此时直线与椭圆的交点为，

满足，

因为，所以，所以，

，设，则，

由上述分析可知：或.

当时，直线与交于；

当 时，直线与交于，

依题意可知，动点的轨迹方程为（，或且）.

22． 已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与，为的中点．

（1）求的轨迹的参数方程；

（2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点．

【答案】（1）,(为参数,)（2）过坐标原点

【详解】（1）由题意有，，

因此，

的轨迹的参数方程为（为参数，）．

（2）点到坐标原点的距离为，当时，，故的轨迹过坐标原点．

23．已知为正实数，.

(1)要使不等式恒成立，求实数的取值范围；

(2)求证：，并指出等号成立的条件.

【答案】(1)

(2)证明见解析，当，时等号成立

【分析】（1）先求得的最小值，然后利用零点分段法来求得的取值范围.

（2）结合二次函数的性质来证得不等式成立.

【详解】(1)，

当且仅当时等号成立.

所以恒成立，

令，

由解得，

所以的取值范围是.

(2)依题意为正实数，，所以，

所以，

当时等号成立.