2023届宁夏银川一中高三上学期第三次月考数学（理）试题含解析

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2023届宁夏银川一中高三上学期第三次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】先化简集合A，再根据补集的定义求解即可．【详解】解：由解得，，或．故选：D．2．已知复数满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，根据共轭复数定义、复数乘法运算及复数相等可构造方程组求得，根据复数模长运算可求得结果.【详解】设，则，，，解得：，，.故选：A.3．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于（    ）A．5m B．15m C．5m D．15m【答案】D【分析】在中，由正弦定理，求得，再在中，即求.【详解】在△BCD中，，由正弦定理得，解得(m），在Rt△ABC中，(m).故选：D4．已知命题，命题，则下列判断正确的是（    ）A．是真命题 B．q是真命题C．是真命题 D．是真命题【答案】C【分析】先根据基本不等式判断命题的真假，根据指数函数的单调性判断命题的真假，再根据命题的命题与逻辑连接词关系判断选项.【详解】命题：当时，，根据基本不等式可得，当且仅当即时等号成立，因为当时，故等号不成立，命题为真命题；命题：因为在定义域内为增函数，故，命题为假命题，为真命题.故选：C5．考拉兹猜想是引人注目的数学难题之一，由德国数学家洛塔尔·考拉兹在世纪年代提出，其内容是：任意给定正整数，如果是奇数，则将其乘加；如果是偶数，则将其除以，所得的数再次重复上面步骤，最终都能够得到．下边的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程．若输入的值为，则输出的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据程序框图列举出算法循环的每一步，即可得出输出结果.【详解】第一次循环，不成立，，，不成立；第二次循环，成立，，，不成立；第三次循环，成立，则，，不成立；第四次循环，成立，则，，不成立；第五次循环，成立，则，，成立.跳出循环体，输出.故选：B.6．若实数满足约束条件，则的最小值为A． B． C． D．【答案】A【分析】画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出的最大值．【详解】作出实数，满足约束条件表示的平面区域，如图所示．由可得，则表示直线在轴上的截距，纵截距越大，越小．作直线，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点时，最大，最小．由可得，此时，故选．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．7．已知角的终边经过点，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知求得角的正切值，再根据诱导公式化简求值即可，【详解】解：∵ 角的终边经过点，，．故选：B．8．已知的图像关于点（1，0）对称，且对，都有成立，当时，，则f（2023）=（    ）A．—1 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根据题中抽象函数条件判断抽象函数性质，再根据函数性质简化求出答案.【详解】，由此可知关于原点对称，是奇函数，因此，可得，故是周期为4的周期函数，故故选：A9．函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（    ）A．函数的解析式为B．函数的单调递增区间为C．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度D．函数的图象关于点对称【答案】D【分析】由题意求出的解析式可判断A；利用正弦函数的单调性和对称性可判断BD；由三角函数的平移变换可判断C.【详解】对于A选项，不妨设，则，，由，则，两式相减得，所以①，设函数的最小正周期为，因为，所以，结合①，，因为，所以，可得，因为，所以，，所以，故A正确；对于B，由，解得：，故B正确；对于C，将函数向右平移个单位得到，向上平移一个单位长度可得，故C正确；对于D，令，解得：，函数的图象关于点对称，所以D不正确；故选：D.10．数列满足，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】采用累乘法可求得；利用错位相减法可求得；分别代入和即可求得结果.【详解】由得：，；设，则，，，，即，.故选：B.11．若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得出两个切线方程，由两个切线方程可整理成关于一个变量的函数，利用导数求出函数的取值范围即可求解.【详解】设公切线与函数切于点，，切线的斜率为，则切线方程为，即设公切线与函数切于点，，切线的斜率为，则切线方程为，即所以有因为，所以，可得，，即，由可得：，所以，令，则，，设，则，所以在上为减函数，则，所以，所以实数的取值范围是，故选：B．【点睛】方法点睛：求曲线过点的切线的方程的一般步骤是：（1）设切点（2）求出在处的导数，即在点处的切线斜率；（3）构建关系解得；（4）由点斜式求得切线方程.12．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC是锐角三角形，且满足，若△ABC的面积，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据已知条件，求得的范围，结合三角形面积公式以及余弦定理表达出关于的函数关系，再求函数值域即可.【详解】因为，即，由余弦定理可得，即，又，故可得，由正弦定理可得：，则，，又均为锐角，故可得，即；由可得，又，故可得；由，可得；又，又，，解得或（舍去负值）,则，即的取值范围是.故选：A.【点睛】关键点睛：解三角形中的范围问题，处理问题的关键是能够根据已知条件，结合正余弦定理，将目标式转化为关于的函数，同时要注意的取值范围.二、填空题13．定积分__________．【答案】【分析】根据定积分的几何意义求出，再由微积分基本定理求出，进而可得出结果.【详解】因为表示圆面积的，所以；又，所以.故答案为【点睛】本题主要考查求定积分的问题，熟记定积分的几何意义，以及微积分基本定理即可，属于常考题型.14．已知向量，则在方向上的投影为___________【答案】##【分析】根据已知条件求得的模长，以及，结合题意求解即可.【详解】根据题意可得，由可得，即，故在方向上的投影为.故答案为：.15．已知函数，，且在上单调递减，则_________．【答案】【详解】对于函数，，可得函数关于对称，所以有，又在上单调递减，所以有，.16．已知函数，.若存在，使得关于x的方程有四个不相等的实数解，则n的最大值为_______.【答案】2【解析】由题意得，令，，显然为偶函数，则方程有四个实根函数，x＞0有两个零点，令，x＞0，则关于t的方程，即在内有两个不相等的实根，结合函数的图象可得，由此可求出答案．【详解】解：方程，令，，则显然为偶函数，∴方程有四个实根函数，x＞0有两个零点，令，x＞0，则关于t的方程，即在内有两个不相等的实根，结合函数，的图象，得，即，∵存在，使得，∴，结合，得，故答案为：2．【点睛】本题主要考查函数与方程，考查方程的实数解个数问题，考查转化与化归思想，属于中档题．三、解答题17．已知函数.(1)求的最小正周期和单调递减区间；(2)若，且，求的值.【答案】(1)最小正周期为，单调递减区间为(2)【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简得到，根据正弦型函数最小正周期和单调区间的求法可直接求得结果；（2）由可求得，进而得到，利用两角和差余弦公式可求得结果.【详解】（1），的最小正周期；令，解得：，的单调递减区间为.（2）由（1）得：，，，，.18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求A；(2)若的外接圆半径为，求面积的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）由正弦定理与两角和的正弦公式化简后求解，（2）由面积公式，正余弦定理，基本不等式求解，【详解】（1）因为，∴，∴，得，因为，所以，∴，又，故，（2）由正弦定理得，即，解得，又由余弦定理得：，即，又因为，所以，当且仅当时取等号，，即的面积的最大值为19．已知函数(1)若函数f（x）在处取得极值，求m；(2)在（1）的条件下，，使得不等式成立，求a的取值范围.【答案】(1)1(2)【分析】（1）首先对函数求导，利用有有极值，可求得m.（2）根据题意，可以得到，将代入不等式中，然后将分离出来，求新函数的最小值即可.【详解】（1），在处取得极值，则.，当， 所以f（x）的减区间为 ，增区间为符合题意.（2）由（1）知，函数，使得不等式成立等价于不等式在时有解即不等式在时有解...设时， 而所以恒成立即F（x）在[0，]上是增函数，则 因此a的取值范围是20．设为数列的前项和，已知 ，若数列满足， (1)求数列和的通项公式；(2)设 求数列的前项的和.【答案】(1) ，，(2)【分析】（1）求数列的通项公式时，利用化简式子，结合等差数列的定义和通项公式来求. 求数列的通项公式时，直接借助等比数列的定义和通项公式来求.（2）结合（1）的结论先求出数列的通项公式，分为奇数和偶数两个方面，借助裂项相消法和分组求和法来求出数列的前项的和.【详解】（1）由   ①，得：当时，，即，解得或（负值舍去），.当时，    ②，得：，即 所以，所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列.所以 .因为数列满足所以数列是等比数列，首项为，公比，所以.故：，.（2）因为，所以 所以， 其中为奇数时，当为偶数时，所以 当为奇数时， 因此.故： .21．已知是自然对数的底数，函数，直线为曲线的切线，.(1)求的值；(2)①判断的零点个数；②定义函数在上单调递增.求实数的取值范围.【答案】(1)1(2)①零点个数为1个；② 【分析】（1）求出的导数，设出切点，可得斜率，由切线方程可得参数方程即可求得答案；（2）①利用零点的性质判断出零点的范围，然后利用的导数判断出函数的单调性，即可判断出零点个数；②先求出的交点设为，并求出的具体范围，然后利用新定义求最小值并求得的解析，然后利用恒成立的判断分离参数后利用函数的单调性即可求得答案.【详解】（1）解：由题意得：设切线的且点位，则可得：，又可得 ： ①又因为直线为曲线的切线故可知 ②由①②解得：（2）① 由小问（1）可知： ，故必然存在零点，且又因为，当时，当时，令 故故在上是减函数综上分析，只有一个零点，且② 由的导数为当时，递增，当时，递减；对的导数在时，递增；设的交点为，由（2）中①可知当时，，由题意得：在时恒成立，即有；在上最值为故当时，，由题意得：在时恒成立，即有令，则可得函数在递增，在上递减，即可知在处取得极小值，且为最小值；综上所述：，即.22．在平面直角坐标系中，曲线：（α为参数）经过伸缩变换得到曲线，在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程；（2）设点P是曲线上的动点，求点P到直线l距离d的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）把转化为直角坐标方程，把代入到直角坐标方程中即可（2）设点P的坐标为，把直线l的极坐标方程转化为直角坐标方程，用点到直线的距离公式表示出点P到直线l距离，进一步求三角函数式的最大值.【详解】解：（1）由题意得曲线：（为参数）的普通方程为. 由伸缩变换得 代入，得. ∴的普通方程为 （2）因为，所以可化为：. ∴直线l的普通方程为.因为点P是曲线上的动点，所以设点P的坐标为，则点P到直线l的距离 当时，， 所以点P到直线l距离d的最大值为.【点睛】考查把参数方程转化为直角坐标方程以及用三角函数知识求点到直线距离的最大值，中档题.23．设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）采用零点分段法直接求解即可；（2）将问题转化为对，恒成立，然后根据或，求出的取值范围.【详解】解：（1）当时，，当时，，当时，，当时，，因为，所以或或，解得或或，的解集为.（2）若对，恒成立，有，，或，或，或.又，.故的取值范围为.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法及利用均值定理证明不等式，考查数学转化思想方法，推理论证能力，属于中档题.