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    宁夏银川一中2022届高三一模数学(理)试题含答案
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    宁夏银川一中2022届高三一模数学(理)试题含答案

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    这是一份宁夏银川一中2022届高三一模数学(理)试题含答案,共17页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、单选题(本大题共12小题)
    1. 设不等式的解集为,函数的定义域为,则为
    A.B.C.D.
    2. 设复数满足,则
    A.B.C.D.
    3. 已知向量,,若,则( )
    A.B.
    C.D.
    4. 函数的部分图象如图所示,则的值分别是( )
    A.B.C.D.
    5. 下列双曲线中,焦点在轴上,且渐近线互相垂直的是( )
    A.B.
    C.D.
    6. 若函数f(x)满足f(1-lnx)=,则f(2)=( )
    A.B.e
    C.D.-1
    7. 已知互不重合的直线,互不重合的平面,下列命题正确的是( )
    A.若,则
    B.若,则
    C.若,则
    D.若,则
    8. 如图所示的程序框图输出的是126,则①应为( )
    A.B.C.D.
    9. 甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以,和表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是
    ①;②;③事件B与事件相互独立;④,,是两两互斥的事件.
    A.②④B.①③C.②③D.①④
    10. 已知锐角△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC的面积,且,则S的最大值为( )
    A.6B.4
    C.2D.1
    11. 1654年,法国贵族德•梅雷骑士偶遇数学家布莱兹•帕斯卡,在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事:某天在一酒吧中,肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛,约定胜者可以喝杯酒,当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢得40局时他们发现桌子上还剩最后一杯酒.此时酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒,如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费,梅雷由于接到命令需要觐见国王,没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆.请利用数学知识做出合理假设,猜测最后付酒资的最有可能是( )
    A.肖恩B.尤瑟纳尔C.酒吧伙计D.酒吧老板
    12. 已知函数,下列说法中正确的个数是( )
    ①函数的图象关于点对称;
    ②函数有三个零点;
    ③是函数的极值点;
    ④不等式的解集是.
    A.1个B.2个C.3个D.4个
    二、填空题(本大题共4小题)
    13. 若实数x,y满足约束条件,则的最大值是 .
    14. 已知,则 .
    15. 抛物线的准线与轴相交于点P,过点P作斜率的直线交抛物线于两点,F为抛物线的焦点,若,则直线AB的斜率k= .
    16. 如图,在边长为4的正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H分别为DE,AF的中点,将沿DE,EF,DF折成正四面体,则在此正四面体中,下列说法正确的是 .
    异面直线PG与DH所成的角的余弦值为;

    与PD所成的角为;
    与EF所成角为
    三、解答题(本大题共7小题)
    17. 如图,在三棱柱中,=2,且,⊥底面ABC,E为AB中点.
    (1)求证:平面;
    (2)求二面角的余弦值.
    18. “五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手,是促进学生身心健康、解决群众急难愁盼问题的重要举措.为了在“控量”的同时力求“增效”,提高作业质量,某学校计划设计差异化作业.因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所用时间进行统计,部分数据如下表:
    (1)求x,y,z的值,并根据题中的列联表,判断是否有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关?
    (2)学校从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层抽样的方法抽取9人了解情况,甲老师再从这9人中选取3人进行访谈,求甲老师选取的3人中男生人数大于女生人数的概率.
    附:.
    19. 已知数列满足.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)对任意的正整数n,令,求数列的前2n项的和.
    20. 已知函数.
    (1)若函数的图象在点处的切线方程为,求函数的极小值;
    (2)若,对于任意,当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
    21. 已知O为坐标原点,、为椭圆C的左、右焦点,,B为椭圆C的上顶点,以B为圆心且过、的圆与直线相切.
    (1)求椭圆C的标准方程;
    (2)已知椭圆C上两点M、N(点与点不重合),若直线BM和BN的斜率之和为-2,过点B作MN的垂线,垂足为D,试求D点的轨迹方程.
    22. 已知动点都在曲线(为参数)上,对应参数分别为与,为的中点.
    (1)求的轨迹的参数方程;
    (2)将到坐标原点的距离表示为的函数,并判断的轨迹是否过坐标原点.
    23. 已知为正实数,.
    (1)要使不等式恒成立,求实数的取值范围;
    (2)求证:,并指出等号成立的条件.
    参考答案
    1.【答案】A
    【详解】
    试题分析:由于不等式等价于,解得,
    故集合
    函数的定义域为,满足,故集合,
    因此通过集合的交集的运算可知,
    故选:A.
    2.【答案】A
    【详解】
    因为复数满足zi=2-i,z=-1-2i.选A
    3.【答案】C
    【分析】
    根据两向量垂直计算出参数的值,再根据向量的计算规则求解即可得出结果.
    【详解】
    因为,所以,解得,
    所以.
    故选:C.
    4.【答案】A
    【分析】
    根据的图象求得,求得,再根据,求得,求得的值,即可求解.
    【详解】
    根据函数的图象,可得,可得,
    所以,
    又由,可得,即,
    解得,
    因为,所以.
    故选:A.
    5.【答案】A
    【分析】
    求出渐近线垂直的条件后可得正确的选项.
    【详解】
    设双曲线的方程为:,则其渐近线为,
    因为渐近线互相垂直,故即,
    故双曲线的方程为,
    故选:A.
    6.【答案】B
    【分析】
    根据题意,令,解可得,进而在中,令,变形计算即可得答案.
    【详解】
    由1-lnx=2,得,,即f(2)=e.
    故选:B
    7.【答案】D
    【分析】
    根据空间直线和平面的位置关系逐个进行判断,注意线面关系的判定方法.
    【详解】
    对于A,如果直线在平面内,则无法得出,故不正确;
    对于B,直线只和平面内的一条直线垂直,无法得出线面垂直,故不正确;
    对于C,,直线有可能在平面内,无法得出,故不正确;
    对于D,符合平面和平面垂直的判定定理,所以正确.
    故选:D.
    8.【答案】B
    【分析】
    由起始条件依次执行程序,判断结论是或否,直至判断为否,退出循环.
    【详解】
    执行程序, 判断为是,执行循环;
    判断为是,执行循环;
    判断为是,执行循环;
    判断为是,执行循环;
    判断为是,执行循环;
    判断为是,执行循环;
    判断为否,退出循环,输出结果,结束.
    故选:B.
    9.【答案】A
    【详解】
    根据条件概率的计算,结合题意,即可容易判断.
    【详解】
    由题意,,是两两互斥的事件,
    ,,;
    ,由此知,②正确;
    ,;

    .
    由此知①③不正确;
    ,,是两两互斥的事件,由此知④正确;
    对照四个命题知②④正确;
    故选:A.
    10.【答案】C
    【分析】
    由三角形的面积公式求得,再由余弦定理求得,根据基本不等式可求得答案.
    【详解】
    解:由得,又△ABC是锐角三角形,所以,
    由余弦定理及得,整理得,所以(负值舍去),
    所以,所以,,当时取等号,
    故选:C.
    11.【答案】B
    【分析】
    由题设求出肖恩、尤瑟纳尔每局获胜的概率,设决出胜负的场数为X,在七局四胜制中,求出X取4,5,6,7的概率,即可判断出结果.
    【详解】
    由题意,肖恩每局获胜的概率为,尤瑟纳尔每局获胜的概率为,
    先胜四场比赛结束就是比赛采用七局四胜制,设决出胜负的场数为X,于是得:
    ,,
    ,,
    显然有,即,
    所以最后付酒资的最有可能是尤瑟纳尔.
    故选:B
    12.【答案】B
    【分析】
    ①,对函数变形得到,根据奇偶性得到的对称中心,②③,在①的基础上,求导研究其单调性,确定其零点和极值点情况;④选项,利用前面研究出的奇偶性和单调性解不等式,求出解集.
    【详解】

    令,则,
    所以函数是奇函数,所以的图象关于原点对称,
    所以的图象关于点对称,故①正确:
    又因为,
    所以在R上单调递减,所以在R上单调递减,
    所以只有一个零点且无极值点,故②③错误;
    由得,
    所以,所以,所以,
    所以,所以,所以,所以,故④正确:综上所述,正确的个数是2个.
    故选:B
    13.【答案】
    【分析】
    画出可行域,通过平移基准直线到可行域边界位置,由此求得的最大值.
    【详解】

    画出可行域如下图所示,
    由图可知,平移基准直线到点时,
    取得最大值为.
    故答案为:
    14.【答案】-1
    【分析】
    利用三角恒等变换公式和齐次式弦化切即可计算.
    【详解】
    .
    故答案为:-1.
    15.【答案】
    【分析】
    联立直线AB方程和抛物线方程,根据抛物线定义和焦半径公式,可解得A或B的坐标,根据过两点的斜率计算公式即可求k.
    【详解】
    由题可知,设,,
    由已知得,,即①,
    的方程:,与联立得:,
    则②,
    由①②解得,,将代入,由k>0知,解得,
    .
    故答案为:.
    16.【答案】①②③
    【分析】
    可证明平面,可得正确;连接,取中点,异面直线与所成的角为,由余弦定理可证明正确;取中点,连接,异面与所成的角为,由余弦定理可得不对;异面与所成角的为,由余弦定理可得不对,从而可得结果.
    【详解】
    的边长为4,折成正四面体后,如图
    ,E,F分别为各边的中点,G,H分别为DE,AF的中点,
    ,;
    连接FG,取中点M,可得,
    异面直线PG与DH所成的角的平角为;

    连接MD,可得.

    在中,
    余弦定理:;对;对;
    取DF中点N,连接GN,NH,可得
    异面GH与PD所成的角的平面角为,
    由余弦定理,GH与PD所成的角是;对;
    异面PG与EF所成角的平面角为,
    由余弦定理,可得PG与EF所成角不是不对.
    故答案为①②③.
    17.【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【分析】
    (1)通过构造中位线的方法来证得平面.
    (2)建立空间直角坐标系,利用向量法来求得二面角的余弦值.
    (1)
    连接 与交于点O,连接OE,
    由分别为的中点,
    所以,又平面,平面,
    所以平面.
    (2)
    由,底面,故底面,
    建立如图所示空间直角坐标系:则,
    所以,
    设平面的一个法向量为:,
    则,即,
    令,则,则,
    因为底面,所以为平面一个法向量,
    所以,
    由图可知,二面角为锐角,
    所以二面角的余弦值为.
    18.【答案】(1),没有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关
    (2)
    【详解】
    (1)
    由可得:;由可得:;
    由可得:;所以列联表如下:

    所以根据表格数据可判断,没有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关.
    (2)
    抽取的9人中,需要抽取男生:人,女生:人,
    男生人数大于女生人数的情况分为:①男生2人,女生1人;②男生3人,女生0人;
    所以所求概率
    19.【答案】(1)
    (2)
    【分析】
    (1)根据数列的第项和数列前项和的关系即可得出答案;
    (2)将奇数项和偶数项分别求和,结合等差数列和等比数列的前项和的公式即可得出答案.
    (1)
    解:由题可知,①,
    所以,②,
    ①②得,所以(*),
    又因为,所以,符合(*)式,
    所以;
    (2)
    由(1)知,,
    所以
    .
    20.【答案】(1)
    (2)
    【分析】
    (1)利用求得,然后结合的单调性求得的极小值.
    (2)将不等式转化为,通过构造函数法,结合导数来求得的取值范围.
    (1)
    因为的定义域为,
    所以.
    由函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=-2,
    得,解得a=1.
    此时.
    当和时,;
    当时,.
    所以函数f(x)在和上单调递增,在上单调递减,
    所以当x=1时,函数f(x)取得极小值.
    (2)
    由a=1得.
    因为对于任意,当时,恒成立,
    所以对于任意,当时,恒成立,
    所以函数在上单调递减.
    令,,
    所以在[1,2]上恒成立,
    则在[1,2]上恒成立.
    设,
    则.
    当时,,所以函数F(x)在上单调递减,
    所以,
    所以,故实数m的取值范围为.
    21.【答案】(1)
    (2)(,或且)
    【分析】
    (1)根据已知条件求得,由此求得椭圆的标准方程.
    (2)当直线斜率存在是,设出直线的方程并与椭圆的方程联立,化简写出根与系数关系,根据求得直线过定点,设,由求得点的轨迹方程,并排除不符合题意的点.
    (1)
    依题意,,,,,
    由椭圆定义知:椭圆长轴长,
    所以,,
    所以椭圆C的标准方程为:.
    (2)
    直线斜率存在时,设直线的方程为,,
    由消去并化简得,
    需满足①,

    由得,
    整理得,
    ,化简得,
    此时,或.
    所以直线的方程可化为,
    所以直线过点,
    若直线的方程为,此时直线与椭圆的交点为,
    满足,
    因为,所以,所以,
    ,设,则,
    由上述分析可知:或.
    当时,直线与交于;
    当 时,直线与交于,
    依题意可知,动点的轨迹方程为(,或且).
    22.【答案】(1),(为参数,)(2)过坐标原点
    【详解】
    (1)由题意有,,
    因此,
    的轨迹的参数方程为(为参数,).
    (2)点到坐标原点的距离为,当时,,故的轨迹过坐标原点.
    23.【答案】(1)
    (2)证明见解析,当,时等号成立
    【分析】
    (1)先求得的最小值,然后利用零点分段法来求得的取值范围.
    (2)结合二次函数的性质来证得不等式成立.
    (1)

    当且仅当时等号成立.
    所以恒成立,
    令,
    由解得,
    所以的取值范围是.
    (2)
    依题意为正实数,,所以,
    所以,
    当时等号成立.男生
    女生
    总计
    90分钟以上
    80
    x
    180
    90分钟以下
    y
    z
    220
    总计
    160
    240
    400
    0.050
    0.010
    0.001
    k
    3.841
    6.635
    10.828
    男生
    女生
    合计
    90分钟以上
    80
    100
    180
    90分钟以下
    80
    140
    220
    合计
    160
    240
    400
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