宁夏银川一中2022届高三一模数学（理）试题含答案

这是一份宁夏银川一中2022届高三一模数学（理）试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共12小题）
1. 设不等式的解集为，函数的定义域为，则为
A．B．C．D．
2. 设复数满足，则
A．B．C．D．
3. 已知向量，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
4. 函数的部分图象如图所示，则的值分别是（ ）
A．B．C．D．
5. 下列双曲线中，焦点在轴上，且渐近线互相垂直的是（ ）
A．B．
C．D．
6. 若函数f（x）满足f（1－lnx）＝，则f（2）＝（ ）
A．B．e
C．D．－1
7. 已知互不重合的直线，互不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
8. 如图所示的程序框图输出的是126，则①应为（ ）
A．B．C．D．
9. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是
①；②；③事件B与事件相互独立；④，，是两两互斥的事件.
A．②④B．①③C．②③D．①④
10. 已知锐角△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积，且，则S的最大值为（ ）
A．6B．4
C．2D．1
11. 1654年，法国贵族德•梅雷骑士偶遇数学家布莱兹•帕斯卡，在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事：某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛，约定胜者可以喝杯酒，当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢得40局时他们发现桌子上还剩最后一杯酒．此时酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费，梅雷由于接到命令需要觐见国王，没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆．请利用数学知识做出合理假设，猜测最后付酒资的最有可能是（ ）
A．肖恩B．尤瑟纳尔C．酒吧伙计D．酒吧老板
12. 已知函数，下列说法中正确的个数是（ ）
①函数的图象关于点对称；
②函数有三个零点；
③是函数的极值点；
④不等式的解集是.
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共4小题）
13. 若实数x，y满足约束条件，则的最大值是 .
14. 已知，则 ．
15. 抛物线的准线与轴相交于点P，过点P作斜率的直线交抛物线于两点，F为抛物线的焦点，若，则直线AB的斜率k＝ .
16. 如图，在边长为4的正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将沿DE，EF，DF折成正四面体，则在此正四面体中，下列说法正确的是 ．
异面直线PG与DH所成的角的余弦值为；
；
与PD所成的角为；
与EF所成角为
三、解答题（本大题共7小题）
17. 如图，在三棱柱中，＝2，且，⊥底面ABC，E为AB中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值．
18. “五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手，是促进学生身心健康､解决群众急难愁盼问题的重要举措．为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业．因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所用时间进行统计，部分数据如下表：
(1)求x，y，z的值，并根据题中的列联表，判断是否有95％的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关？
(2)学校从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层抽样的方法抽取9人了解情况，甲老师再从这9人中选取3人进行访谈，求甲老师选取的3人中男生人数大于女生人数的概率．
附：．
19. 已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)对任意的正整数n，令，求数列的前2n项的和.
20. 已知函数．
(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的极小值；
(2)若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21. 已知O为坐标原点，、为椭圆C的左、右焦点，，B为椭圆C的上顶点，以B为圆心且过、的圆与直线相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知椭圆C上两点M、N（点与点不重合），若直线BM和BN的斜率之和为-2，过点B作MN的垂线，垂足为D，试求D点的轨迹方程.
22. 已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与，为的中点．
（1）求的轨迹的参数方程；
（2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点．
23. 已知为正实数，.
(1)要使不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)求证：，并指出等号成立的条件.
参考答案
1.【答案】A
【详解】
试题分析：由于不等式等价于，解得，
故集合
函数的定义域为，满足，故集合，
因此通过集合的交集的运算可知，
故选：A.
2.【答案】A
【详解】
因为复数满足zi=2-i,z=-1-2i.选A
3.【答案】C
【分析】
根据两向量垂直计算出参数的值，再根据向量的计算规则求解即可得出结果.
【详解】
因为，所以，解得，
所以．
故选：C.
4.【答案】A
【分析】
根据的图象求得，求得，再根据，求得，求得的值，即可求解.
【详解】
根据函数的图象，可得，可得，
所以，
又由，可得，即，
解得，
因为，所以.
故选：A.
5.【答案】A
【分析】
求出渐近线垂直的条件后可得正确的选项．
【详解】
设双曲线的方程为：，则其渐近线为，
因为渐近线互相垂直，故即，
故双曲线的方程为，
故选：A．
6.【答案】B
【分析】
根据题意，令，解可得，进而在中，令，变形计算即可得答案．
【详解】
由1－lnx＝2，得，，即f（2）＝e.
故选：B
7.【答案】D
【分析】
根据空间直线和平面的位置关系逐个进行判断，注意线面关系的判定方法.
【详解】
对于A，如果直线在平面内，则无法得出，故不正确；
对于B，直线只和平面内的一条直线垂直，无法得出线面垂直，故不正确；
对于C，，直线有可能在平面内，无法得出，故不正确；
对于D，符合平面和平面垂直的判定定理，所以正确.
故选：D.
8.【答案】B
【分析】
由起始条件依次执行程序，判断结论是或否，直至判断为否，退出循环.
【详解】
执行程序, 判断为是，执行循环；
判断为是，执行循环；
判断为是，执行循环；
判断为是，执行循环；
判断为是，执行循环；
判断为是，执行循环；
判断为否，退出循环，输出结果，结束.
故选：B.
9.【答案】A
【详解】
根据条件概率的计算，结合题意，即可容易判断.
【详解】
由题意，，是两两互斥的事件，
，，；
，由此知，②正确；
，；
而
.
由此知①③不正确；
，，是两两互斥的事件，由此知④正确；
对照四个命题知②④正确；
故选：A.
10.【答案】C
【分析】
由三角形的面积公式求得，再由余弦定理求得，根据基本不等式可求得答案.
【详解】
解：由得，又△ABC是锐角三角形，所以，
由余弦定理及得，整理得，所以(负值舍去)，
所以，所以，，当时取等号，
故选：C．
11.【答案】B
【分析】
由题设求出肖恩、尤瑟纳尔每局获胜的概率，设决出胜负的场数为X，在七局四胜制中，求出X取4，5，6，7的概率，即可判断出结果.
【详解】
由题意，肖恩每局获胜的概率为，尤瑟纳尔每局获胜的概率为，
先胜四场比赛结束就是比赛采用七局四胜制，设决出胜负的场数为X，于是得：
，，
，，
显然有，即，
所以最后付酒资的最有可能是尤瑟纳尔.
故选：B
12.【答案】B
【分析】
①，对函数变形得到，根据奇偶性得到的对称中心，②③，在①的基础上，求导研究其单调性，确定其零点和极值点情况；④选项，利用前面研究出的奇偶性和单调性解不等式，求出解集.
【详解】
，
令，则，
所以函数是奇函数，所以的图象关于原点对称，
所以的图象关于点对称，故①正确：
又因为，
所以在R上单调递减，所以在R上单调递减，
所以只有一个零点且无极值点，故②③错误；
由得，
所以，所以，所以，
所以，所以，所以，所以，故④正确：综上所述，正确的个数是2个.
故选：B
13.【答案】
【分析】
画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置，由此求得的最大值.
【详解】
，
画出可行域如下图所示，
由图可知，平移基准直线到点时，
取得最大值为.
故答案为：
14.【答案】－1
【分析】
利用三角恒等变换公式和齐次式弦化切即可计算.
【详解】
.
故答案为：－1.
15.【答案】
【分析】
联立直线AB方程和抛物线方程，根据抛物线定义和焦半径公式，可解得A或B的坐标，根据过两点的斜率计算公式即可求k.
【详解】
由题可知，设，，
由已知得，，即①，
的方程：，与联立得：，
则②，
由①②解得，，将代入，由k＞0知，解得，
.
故答案为：.
16.【答案】①②③
【分析】
可证明平面,可得正确；连接,取中点,异面直线与所成的角为，由余弦定理可证明正确；取中点，连接，异面与所成的角为，由余弦定理可得不对；异面与所成角的为，由余弦定理可得不对，从而可得结果.
【详解】
的边长为4，折成正四面体后，如图
，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，
，；
连接FG，取中点M，可得，
异面直线PG与DH所成的角的平角为；
，
连接MD，可得．
；
在中，
余弦定理：；对；对；
取DF中点N，连接GN，NH，可得
异面GH与PD所成的角的平面角为，
由余弦定理，GH与PD所成的角是；对；
异面PG与EF所成角的平面角为，
由余弦定理，可得PG与EF所成角不是不对．
故答案为①②③．
17.【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）通过构造中位线的方法来证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角的余弦值.
(1)
连接 与交于点O，连接OE，
由分别为的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面.
(2)
由，底面，故底面，
建立如图所示空间直角坐标系：则，
所以，
设平面的一个法向量为：，
则，即，
令，则，则，
因为底面，所以为平面一个法向量，
所以，
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
18.【答案】(1)，没有95％的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关
(2)
【详解】
(1)
由可得：；由可得：；
由可得：；所以列联表如下：
，
所以根据表格数据可判断，没有95％的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关．
(2)
抽取的9人中，需要抽取男生：人，女生：人，
男生人数大于女生人数的情况分为：①男生2人，女生1人；②男生3人，女生0人；
所以所求概率
19.【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据数列的第项和数列前项和的关系即可得出答案；
（2）将奇数项和偶数项分别求和，结合等差数列和等比数列的前项和的公式即可得出答案.
(1)
解：由题可知，①，
所以，②，
①②得，所以（*），
又因为，所以，符合（*）式，
所以；
(2)
由（1）知，，
所以
.
20.【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用求得，然后结合的单调性求得的极小值.
（2）将不等式转化为，通过构造函数法，结合导数来求得的取值范围.
(1)
因为的定义域为，
所以．
由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－2，
得，解得a＝1．
此时．
当和时，；
当时，．
所以函数f(x)在和上单调递增，在上单调递减，
所以当x＝1时，函数f(x)取得极小值．
(2)
由a＝1得．
因为对于任意，当时，恒成立，
所以对于任意，当时，恒成立，
所以函数在上单调递减．
令，，
所以在[1，2]上恒成立，
则在[1，2]上恒成立．
设，
则．
当时，，所以函数F(x)在上单调递减，
所以，
所以，故实数m的取值范围为．
21.【答案】(1)
(2)（，或且）
【分析】
（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的标准方程.
（2）当直线斜率存在是，设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，根据求得直线过定点，设，由求得点的轨迹方程，并排除不符合题意的点.
(1)
依题意，，，，，
由椭圆定义知：椭圆长轴长，
所以，，
所以椭圆C的标准方程为：．
(2)
直线斜率存在时，设直线的方程为，，
由消去并化简得，
需满足①，
，
由得，
整理得，
，化简得，
此时，或.
所以直线的方程可化为，
所以直线过点，
若直线的方程为，此时直线与椭圆的交点为，
满足，
因为，所以，所以，
，设，则，
由上述分析可知：或.
当时，直线与交于；
当 时，直线与交于，
依题意可知，动点的轨迹方程为（，或且）.
22.【答案】（1）,(为参数,)（2）过坐标原点
【详解】
（1）由题意有，，
因此，
的轨迹的参数方程为（为参数，）．
（2）点到坐标原点的距离为，当时，，故的轨迹过坐标原点．
23.【答案】(1)
(2)证明见解析，当，时等号成立
【分析】
（1）先求得的最小值，然后利用零点分段法来求得的取值范围.
（2）结合二次函数的性质来证得不等式成立.
(1)
，
当且仅当时等号成立.
所以恒成立，
令，
由解得，
所以的取值范围是.
(2)
依题意为正实数，，所以，
所以，
当时等号成立.男生
女生
总计
90分钟以上
80
x
180
90分钟以下
y
z
220
总计
160
240
400
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
男生
女生
合计
90分钟以上
80
100
180
90分钟以下
80
140
220
合计
160
240
400