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2021-2022学年浙江省嘉兴市高二（上）期末数学试卷
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这是一份2021-2022学年浙江省嘉兴市高二（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省嘉兴市高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）立德中学高一年级共有学生640人，其中男生300人，现采用分层抽样的方法调查学生的身高情况，在抽取的样本中，男生有30人，那么该样本中女生的人数为（ ）
A．30人 B．34人 C．60人 D．64人
2．（5分）若函数f（x）＝3x+sin2x，则（ ）
A．f′（x）＝3xln3+2cos2x B．f′（x）＝3x+2cos2x
C．f′（x）＝3xln3+cos2x D．f′（x）＝3xln3﹣2cos2x
3．（5分）过点（﹣1，3）且与直线x﹣2y+3＝0垂直的直线方程是（ ）
A．x﹣2y+7＝0 B．2x﹣y+5＝0 C．2x+y﹣5＝0 D．2x+y﹣1＝0
4．（5分）已知双曲线的右顶点为A，过点A作圆x2+y2＝1的两条切线AM，AN，切点分别为M，N，则△AMN的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
5．（5分）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e＝1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线．则方程表示的圆锥曲线的离心率e等于（ ）
A． B． C． D．5
6．（5分）跑步是一项常见的有氧运动，能增强人体新陈代谢和基础代谢率，是治疗和预防“三高”的有效手段．赵老师最近给自己制定了一个180千米的跑步健身计划，计划前面5天中每天跑4千米，以后每天比前一天多跑0.4千米，则他要完成该计划至少需要（ ）
A．23天 B．24天 C．25天 D．26天
7．（5分）设a，b，c（其中e≈2.71828是自然对数的底数），则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
8．（5分）1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》．他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问题，发现数列：1，1，2，3，5，8，13，⋯，该数列的特点是：前两项均为1，从第三项起，每一项等于前两项的和，人们把这个数列{Fn}称为斐波那契数列，则下列结论正确的是（ ）
A．F2+F4+F6+⋯+F2020＝F2021
B．F12+F22+F32+⋯+F20212＝F2021F2022
C．F1+F2+F3+⋯+F2021＝F2023
D．F1+F3+F5+⋯+F2021＝F2022﹣1
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
（多选）9．（5分）已知直线l：（1+a）x+y+1＝0（a∈R）与圆C：x2+y2＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l必过定点
B．l与C可能相离
C．l与C可能相切
D．当a＝1时，l被C截得的弦长为
（多选）10．（5分）为唤起学生爱护地球、保护家园的意识，加强对节能减排的宣传，进一步营造绿色和谐的校园环境，树人中学决定举办环保知识竞赛．现有甲、乙、丙、丁四个班级参加，每个班级各派10位同学参赛，每位同学需要回答10道题，每题回答正确得1分，回答错误得0分．若规定总得分达到70分且没有同学得分低于5分的班级为“优胜班级”，则根据以下甲、乙、丙、丁各班参赛同学的得分数据信息，能判断该班一定为“优胜班级”的是（ ）
A．甲班同学平均数为8，众数为8
B．乙班同学平均数为8，方差为4
C．丙班同学平均数为7，极差为3
D．丁班同学平均数为7，标准差为0
（多选）11．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则（ ）
A．函数f（x）在（a，b）内一定不存在最小值
B．函数f（x）在（a，b）内只有一个极小值点
C．函数f（x）在（a，b）内有两个极大值点
D．函数f（x）在（a，b）内可能没有零点
（多选）12．（5分）已知平面内两个定点A（﹣5，0），B（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为常数λ（λ≠0），设点M的轨迹为C．下列说法中正确的有（ ）
A．存在常数λ（λ≠0），使C上所有的点到两点（﹣6，0），（6，0）的距离之和为定值
B．存在常数λ（λ≠0），使C上所有的点到两点（﹣6，0），（6，0）的距离之差的绝对值为定值
C．存在常数λ（λ≠0），使C上所有的点到两点（0，﹣6），（0，6）的距离之和为定值
D．存在常数λ（λ≠0），使C上所有的点到两点（0，﹣6），（0，6）的距离之差的绝对值为定值
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）以点（1，1）为圆心且与直线x﹣3＝0相切的圆的方程是 ．
14．（5分）已知数列{an}的通项公式，则其前n项和Sn＝ ．
15．（5分）已知椭圆，双曲线D与椭圆C共焦点，且与椭圆C在四个象限的交点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ面积的最大值是 ．
16．（5分）已知不等式（ax﹣lnx）（ex﹣ax）≥0对任意x＞0恒成立（其中e≈2.71828是自然对数的底数），则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知数列{an}为公差不为零的等差数列，a1＝1，记Sn为其前n项和，_____．
给出下列三个条件：
条件（1）S100＝10000；
条件（2）a2，a5，a14成等比数列；
条件（3）．试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．（12分）从某城市抽取100户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50到350度之间，将数据按照[50，100），[100，150），⋯，[300，350]分成6组，画出的频率分布直方图如图所示．
（1）求直方图中的x值和月平均用电量的众数；
（2）已知该市有200万户居民，估计居民中用电量落在区间[100，250）内的总户数，并说明理由．
19．（12分）已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0，圆C2：（x﹣a）2+（y﹣2a+2）2＝25．
（Ⅰ）若圆C1与圆C2外切，求实数a的值；
（Ⅱ）若圆C1与圆C2相交于A，B两点，弦AB的长为，求实数a的值．
20．（12分）已知首项为的等比数列{an}是递减数列，其前n项和为Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，数列{bn}满足b1＝1，nbn+1﹣（n+1）bn＝n（n+1）．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Tn，证明：Tn＜2．
21．（12分）如图，已知点P是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l：x＝﹣1上的动点，抛物线C上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）记直线PA，PB，PO的斜率分别为k1，k2，k3，请问是否存在常数λ，使得？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知函数f（x）＝xln（x+2）．
（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若x1，x2为方程f（x）＝k的两个不相等的实根，证明：
（ⅰ）f（x）⩾﹣x﹣1；
（ⅱ）．
2021-2022学年浙江省嘉兴市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）立德中学高一年级共有学生640人，其中男生300人，现采用分层抽样的方法调查学生的身高情况，在抽取的样本中，男生有30人，那么该样本中女生的人数为（ ）
A．30人 B．34人 C．60人 D．64人
【解答】解：每个个体被抽到的概率等于 ，
应抽取女生的人数为（640﹣300）34 （人），
故选：B．
2．（5分）若函数f（x）＝3x+sin2x，则（ ）
A．f′（x）＝3xln3+2cos2x B．f′（x）＝3x+2cos2x
C．f′（x）＝3xln3+cos2x D．f′（x）＝3xln3﹣2cos2x
【解答】解：∵函数f（x）＝3x+sin2x，
∴f′（x）＝3xln3+2cos2x，
故选：A．
3．（5分）过点（﹣1，3）且与直线x﹣2y+3＝0垂直的直线方程是（ ）
A．x﹣2y+7＝0 B．2x﹣y+5＝0 C．2x+y﹣5＝0 D．2x+y﹣1＝0
【解答】解：设与直线x﹣2y+3＝0垂直的直线方程为2x+y+m＝0，
把点（﹣l，3）代入可得：﹣2+3+m＝0，解得m＝﹣1．
∴要求的直线方程为：2x+y﹣1＝0．
故选：D．
4．（5分）已知双曲线的右顶点为A，过点A作圆x2+y2＝1的两条切线AM，AN，切点分别为M，N，则△AMN的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
【解答】解：由双曲线的方程可得右顶点A（，0），可得|OA|，|OM|＝1，
所以|MA|1，
由圆的对称性可得N，M关于x轴对称，
设MN与x轴交于Q点，如图所示：
则S△OAM|OA|•|MQ||OM|•|MA|，
所以|MQ|，
所以|QA|，
所以S△MAQ|QA|•|MQ|，
所以S△MAN＝2S△MAQ＝2，
故选：A．
5．（5分）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e＝1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线．则方程表示的圆锥曲线的离心率e等于（ ）
A． B． C． D．5
【解答】解：将方程，两边平方整理可得1，
所以表示的曲线为椭圆，且a2＝25，b2＝9，
所以c2＝a2﹣b2＝25﹣9＝16，
即a＝5，c＝4，所以离心率e，
故选：B．
6．（5分）跑步是一项常见的有氧运动，能增强人体新陈代谢和基础代谢率，是治疗和预防“三高”的有效手段．赵老师最近给自己制定了一个180千米的跑步健身计划，计划前面5天中每天跑4千米，以后每天比前一天多跑0.4千米，则他要完成该计划至少需要（ ）
A．23天 B．24天 C．25天 D．26天
【解答】解：设需要n天完成计划，由题意易知每天跑步的里程为，前面5天中每天跑4千米，
以后每天比前一天多跑0.4千米，
第5天开始，以4为首项，0.4为公差的等差数列，
∴16+4180，
∴n2+11n﹣880≥0，
因为f（x）＝n2+11n﹣880在（0，+∞）上单调递增，
当n＝25时，252+25×11﹣880＞0，
当n＝24时，242+24×11﹣800＜0，
故满足条件的最小n＝25．
故选：C．
7．（5分）设a，b，c（其中e≈2.71828是自然对数的底数），则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【解答】解：令f（x）＝ex﹣2lnx（x＞1），
则f′（x）0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f（）＜f（），∴ab，
∵a，c，
∴a﹣c，
令p（x）＝ex﹣ex，x≥1，
则当x＞1时，p′（x）＝ex﹣e＞0，
∴函数p（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴p（）＞p（1）＝0，即0，
令q（x）lnx，0＜x≤e，则当0＜x＜e，q′（x）0，
即q（x）在（0，e]上单调递减，则q（2）＞q（e）＝0，即ln2＞0，
∴a﹣c＞0，∴a＞c，
∴c＜a＜b．
故选：D．
8．（5分）1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》．他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问题，发现数列：1，1，2，3，5，8，13，⋯，该数列的特点是：前两项均为1，从第三项起，每一项等于前两项的和，人们把这个数列{Fn}称为斐波那契数列，则下列结论正确的是（ ）
A．F2+F4+F6+⋯+F2020＝F2021
B．F12+F22+F32+⋯+F20212＝F2021F2022
C．F1+F2+F3+⋯+F2021＝F2023
D．F1+F3+F5+⋯+F2021＝F2022﹣1
【解答】解：由题意可知，F1＝F2＝1，Fn+2＝Fn+1+Fn，
∴F2023＝F2021+F2022＝F2021+F2020+F2021＝F2021+F2020+F2019+F2020＝……＝F2021+F2020+F2019+……+F4+F3+F3+F2＝F2021+F2020+F2019+……+F4+F3+F1+F2+F2＝F1+F2+F3+⋯+F2021+1，
即F1+F2+F3+⋯+F2021＝F2023﹣1，故选项C错误，
对于选项A：F2+F4+F6+……+F2020＝F2+（F2+F3）+（F4+F5）+……+（F2018+F2019）＝F1+F2+F3+……+F2019＝F2021﹣1，故选项A错误，
对于选项D：F1+F3+F5+⋯+F2021＝（F1+F2+F3+⋯+F2021）﹣（F2+F4+F6+……+F2020）＝F2023﹣1﹣（F2021﹣1）＝F2023﹣F2021＝F2022，故选项D错误，
对于选项B：，
，
，
……
，
上面各式相加得F12+F22+F32+⋯+F20212＝F2021F2022，故选项B正确，
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
（多选）9．（5分）已知直线l：（1+a）x+y+1＝0（a∈R）与圆C：x2+y2＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l必过定点
B．l与C可能相离
C．l与C可能相切
D．当a＝1时，l被C截得的弦长为
【解答】解：直线方程即ax+（x+y+1）＝0，据此可得直线恒过定点（0，﹣1），选项A正确；
由于点（0，﹣1）在圆上，故直线与圆相交或相切，不可能相离，选项B错误，C正确；
当a＝1时，直线方程为2x+y+1＝0，圆心到直线的距离，
则弦长为，选项D正确．
故选：ACD．
（多选）10．（5分）为唤起学生爱护地球、保护家园的意识，加强对节能减排的宣传，进一步营造绿色和谐的校园环境，树人中学决定举办环保知识竞赛．现有甲、乙、丙、丁四个班级参加，每个班级各派10位同学参赛，每位同学需要回答10道题，每题回答正确得1分，回答错误得0分．若规定总得分达到70分且没有同学得分低于5分的班级为“优胜班级”，则根据以下甲、乙、丙、丁各班参赛同学的得分数据信息，能判断该班一定为“优胜班级”的是（ ）
A．甲班同学平均数为8，众数为8
B．乙班同学平均数为8，方差为4
C．丙班同学平均数为7，极差为3
D．丁班同学平均数为7，标准差为0
【解答】解：对于A，当一个同学得2分，三位同学得10分，其余6位同学都得8分，
满足平均数为8，众数为8，但不能满足总得分达到70分，且没有同学得分低于5分，
故A不能保证该班一定为“优胜班级”；
对于B，10位同学和得分可能是：4，6，6，8，8，8，10，10，10，10，
此时满足平均数为8，方差为4，但不能满足总得分达到70分，且没有同学得分低于5分，
故B不能保证该班一定为“优胜班级”；
对于C，如果有同学得分低于5分，根据极差为3，
那么就会出现其他同学的得分不大于7，这样平均数就低于7分，
不符合丙班同学平均数为7，极差为3的条件，
故这种情况下不会有得分低于5分的同学，
满足总得分达到70分且没有同学得分低于5分，
故C能保证该班一定为“优胜班级”；
对于D，丁班同学平均数为7，标准差为0，可知每位同学得分均为7分，
故D能保证该班一定为“优胜班级”．
故选：CD．
（多选）11．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则（ ）
A．函数f（x）在（a，b）内一定不存在最小值
B．函数f（x）在（a，b）内只有一个极小值点
C．函数f（x）在（a，b）内有两个极大值点
D．函数f（x）在（a，b）内可能没有零点
【解答】解：由题意可知，函数的单调性是增函数→减函数→增函数→减函数，
即x＝c，x＝e时，函数取得极大值，在x＝d处取得极小值，所以B、C正确；
极大值是函数的最大值时，函数能取得最大值；所以A不正确；
函数可能没有零点，所以D正确．
故选：BCD．
（多选）12．（5分）已知平面内两个定点A（﹣5，0），B（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为常数λ（λ≠0），设点M的轨迹为C．下列说法中正确的有（ ）
A．存在常数λ（λ≠0），使C上所有的点到两点（﹣6，0），（6，0）的距离之和为定值
B．存在常数λ（λ≠0），使C上所有的点到两点（﹣6，0），（6，0）的距离之差的绝对值为定值
C．存在常数λ（λ≠0），使C上所有的点到两点（0，﹣6），（0，6）的距离之和为定值
D．存在常数λ（λ≠0），使C上所有的点到两点（0，﹣6），（0，6）的距离之差的绝对值为定值
【解答】解：设M坐标为（x，y），
则，化简可得，（y≠0），
由25+25λ＝36，解得，此时表示焦点为（﹣6，0），（6，0）的双曲线，故B正确，A错误，
由﹣25λ﹣25＝36，解得，此时表示焦点为（0，﹣6），（0，6）的椭圆，故C正确，
显然不管λ为何值，都不可能是焦点在y轴的双曲线，故D错误．
故选：BC．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）以点（1，1）为圆心且与直线x﹣3＝0相切的圆的方程是 （x﹣1）2+（y﹣1）2＝4 ．
【解答】解：根据题意，要求圆的圆心为（1，1），与直线x﹣3＝0相切，
该圆的半径r＝2，
则要求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，
故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4．
14．（5分）已知数列{an}的通项公式，则其前n项和Sn＝ 2n+1﹣n﹣2 ．
【解答】解：，
则2n是以2为首项，2为公比的等比数列，
令An＝2n，Bn＝﹣1，
则数列的和为n＝2n+1﹣n﹣2，
故答案为：2n+1﹣n﹣2．
15．（5分）已知椭圆，双曲线D与椭圆C共焦点，且与椭圆C在四个象限的交点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ面积的最大值是 4 ．
【解答】解：依题意得，双曲线的焦点是（±1，0），
设双曲线方程为 ，且 a2+b2＝1，
不妨设M（x0，y0） 在第一象限，根据对称性易得四边形MNPQ是矩形，且面积为2x02y0＝4x0y0，
联立，解得，
因为a2+b2＝1，化简得，
于是 所以四边形MNPQ面积为，
又取等号，
则四边形MNPQ面积最大值为．
故答案为：．
16．（5分）已知不等式（ax﹣lnx）（ex﹣ax）≥0对任意x＞0恒成立（其中e≈2.71828是自然对数的底数），则实数a的取值范围是 [，e] ．
【解答】解：不等式（ax﹣lnx）（ex﹣ax）≥0对任意x＞0恒成立，
则，或，
化为：a，或，
令f（x），g（x）．
f′（x），可得函数f（x）在x＝1时取得极小值即最小值，f（1）＝e；
g′（x），可得函数g（x）在x＝e时取得极大值即最大值，g（e）．
若a，则a≤e．
若，由上述可知不等式的解集为∅．
综上可得：实数a的取值范围是[，e]．
故答案为：[，e]．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知数列{an}为公差不为零的等差数列，a1＝1，记Sn为其前n项和，_____．
给出下列三个条件：
条件（1）S100＝10000；
条件（2）a2，a5，a14成等比数列；
条件（3）．试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）选择（1）：因为，
所以d＝2，an＝1+（n﹣1）d＝2n﹣1．
选择（2）：因为a2，a5，a14 成等比数列，所以 ，
即（1+4d）2＝（1+d）（1+13d），化简得d2＝2d，
因为d≠0，所以d＝2，
an＝1+（n﹣1）d＝2n﹣1．
选择（3）：因为 ，
所以1011d＝2022，所以d＝2，
an＝1+（n﹣1）d＝2n﹣1．
（2）因为
所以．
18．（12分）从某城市抽取100户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50到350度之间，将数据按照[50，100），[100，150），⋯，[300，350]分成6组，画出的频率分布直方图如图所示．
（1）求直方图中的x值和月平均用电量的众数；
（2）已知该市有200万户居民，估计居民中用电量落在区间[100，250）内的总户数，并说明理由．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得：
（0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012）×50＝1，
解得x＝0.0044．
月平均用电量的众数为175．
（2）由频率分布直方图，得；
用电量落在区间[100，250）内的频率为：
1﹣0.0024×50﹣0.0024×50﹣0.0012×50＝0.70，
∴用电量落在区间[100，250）内的户数为：
200×0.70＝140
19．（12分）已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0，圆C2：（x﹣a）2+（y﹣2a+2）2＝25．
（Ⅰ）若圆C1与圆C2外切，求实数a的值；
（Ⅱ）若圆C1与圆C2相交于A，B两点，弦AB的长为，求实数a的值．
【解答】解：（I）∵圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0，
∴圆C1：（x+1）2+（y+4）2＝25，即圆C1的圆心为（﹣1，﹣4），半径r1＝5，
∵圆C2：（x﹣a）2+（y﹣2a+2）2＝25，
∴圆C2的圆心为（a，2a﹣2），半径r2＝5，
∵圆C1与圆C2外切，
∴，解得a．
（II）设弦AB的中点为M，
由垂径定理可得，，即，
则，
∵|AC1|＝|AC2|，AM⊥C1C2，
∴，
∴，即，解得a＝﹣4或a＝2，
故实数a的值为﹣4或2．
20．（12分）已知首项为的等比数列{an}是递减数列，其前n项和为Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，数列{bn}满足b1＝1，nbn+1﹣（n+1）bn＝n（n+1）．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Tn，证明：Tn＜2．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，
因为S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，
所以S3+a3﹣（S1+a1）＝S2+a2﹣（S3+a3），即4a3＝a1，
于是，
又因为首项为的等比数列{an}单调递减，所以．
因为nbn+1﹣（n+1）bn＝n（n+1），即，
所以数列 是以1为首项1为公差的等差数列，
即，所以．
证明：（2）因为，所以①，
所以②，
两式相减得，
所以，得证．
21．（12分）如图，已知点P是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l：x＝﹣1上的动点，抛物线C上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）记直线PA，PB，PO的斜率分别为k1，k2，k3，请问是否存在常数λ，使得？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l：x＝﹣1，
则1，
∴p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（﹣1，t），
∴k1，k2，k3＝﹣t，
∴PA的中坐标为（，），
∴（）2＝4，
∵y12＝4x1，
∴y12﹣2ty1﹣8﹣t2＝0，
同理可得y22﹣2ty2﹣8﹣t2＝0，
∴y1，y2是方程y2﹣2ty﹣8﹣t2＝0的两个根，
∴y1+y2＝2t，y1y2＝﹣8﹣t2，
∴t，
∵，
∴t＝﹣tλ，即t（1+λ）＝0，
∴λ＝﹣1，
故存在常数λ＝﹣1，使得．
22．（12分）已知函数f（x）＝xln（x+2）．
（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若x1，x2为方程f（x）＝k的两个不相等的实根，证明：
（ⅰ）f（x）⩾﹣x﹣1；
（ⅱ）．
【解答】（1）解：f（x）＝xln（x+2），定义域x∈（﹣2，+∞），
，
所以f′（0）＝ln2，
故f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y＝（ln2）x．
（2）证明：（i）令 g（x）＝xln（x+2）+x+1，
则，
令，则成立，
所以h（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，
所以当x∈（﹣2，﹣1）时，g′（x）＝h（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（﹣1，+∞）时，g′（x）＝h（x）＞0，g（x）单调递增，
所以g（x）min＝g（﹣1）＝0，所以f（x）≥﹣x﹣1成立．
（ii） 不妨设x1＜x2，因为y＝k与y＝﹣x﹣1的交点为（﹣k﹣1，k），故x1≥﹣k﹣1．
令p（x）＝xln（x+2）﹣（ln2）x，则，
令，
则成立，
所以q（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，
所以当x∈（﹣2，0）时，p（x）＝q′（x）＜0，p（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，p（x）＝q′（x）＞0，p（x）单调递增，
所以p（x）min＝p（0）＝0，所以f（x）≥（ln2）x成立，
因为y＝k与y＝（ln2）x的交点为，故，
所以，得证．
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2021-2022学年浙江省嘉兴市高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）立德中学高一年级共有学生640人，其中男生300人，现采用分层抽样的方法调查学生的身高情况，在抽取的样本中，男生有30人，那么该样本中女生的人数为（ ）
A．30人 B．34人 C．60人 D．64人
2．（5分）若函数f（x）＝3x+sin2x，则（ ）
A．f′（x）＝3xln3+2cos2x B．f′（x）＝3x+2cos2x
C．f′（x）＝3xln3+cos2x D．f′（x）＝3xln3﹣2cos2x
3．（5分）过点（﹣1，3）且与直线x﹣2y+3＝0垂直的直线方程是（ ）
A．x﹣2y+7＝0 B．2x﹣y+5＝0 C．2x+y﹣5＝0 D．2x+y﹣1＝0
4．（5分）已知双曲线的右顶点为A，过点A作圆x2+y2＝1的两条切线AM，AN，切点分别为M，N，则△AMN的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
5．（5分）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e＝1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线．则方程表示的圆锥曲线的离心率e等于（ ）
A． B． C． D．5
6．（5分）跑步是一项常见的有氧运动，能增强人体新陈代谢和基础代谢率，是治疗和预防“三高”的有效手段．赵老师最近给自己制定了一个180千米的跑步健身计划，计划前面5天中每天跑4千米，以后每天比前一天多跑0.4千米，则他要完成该计划至少需要（ ）
A．23天 B．24天 C．25天 D．26天
7．（5分）设a，b，c（其中e≈2.71828是自然对数的底数），则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
8．（5分）1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》．他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问题，发现数列：1，1，2，3，5，8，13，⋯，该数列的特点是：前两项均为1，从第三项起，每一项等于前两项的和，人们把这个数列{Fn}称为斐波那契数列，则下列结论正确的是（ ）
A．F2+F4+F6+⋯+F2020＝F2021
B．F12+F22+F32+⋯+F20212＝F2021F2022
C．F1+F2+F3+⋯+F2021＝F2023
D．F1+F3+F5+⋯+F2021＝F2022﹣1
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
（多选）9．（5分）已知直线l：（1+a）x+y+1＝0（a∈R）与圆C：x2+y2＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l必过定点
B．l与C可能相离
C．l与C可能相切
D．当a＝1时，l被C截得的弦长为
（多选）10．（5分）为唤起学生爱护地球、保护家园的意识，加强对节能减排的宣传，进一步营造绿色和谐的校园环境，树人中学决定举办环保知识竞赛．现有甲、乙、丙、丁四个班级参加，每个班级各派10位同学参赛，每位同学需要回答10道题，每题回答正确得1分，回答错误得0分．若规定总得分达到70分且没有同学得分低于5分的班级为“优胜班级”，则根据以下甲、乙、丙、丁各班参赛同学的得分数据信息，能判断该班一定为“优胜班级”的是（ ）
A．甲班同学平均数为8，众数为8
B．乙班同学平均数为8，方差为4
C．丙班同学平均数为7，极差为3
D．丁班同学平均数为7，标准差为0
（多选）11．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则（ ）
A．函数f（x）在（a，b）内一定不存在最小值
B．函数f（x）在（a，b）内只有一个极小值点
C．函数f（x）在（a，b）内有两个极大值点
D．函数f（x）在（a，b）内可能没有零点
（多选）12．（5分）已知平面内两个定点A（﹣5，0），B（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为常数λ（λ≠0），设点M的轨迹为C．下列说法中正确的有（ ）
A．存在常数λ（λ≠0），使C上所有的点到两点（﹣6，0），（6，0）的距离之和为定值
B．存在常数λ（λ≠0），使C上所有的点到两点（﹣6，0），（6，0）的距离之差的绝对值为定值
C．存在常数λ（λ≠0），使C上所有的点到两点（0，﹣6），（0，6）的距离之和为定值
D．存在常数λ（λ≠0），使C上所有的点到两点（0，﹣6），（0，6）的距离之差的绝对值为定值
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）以点（1，1）为圆心且与直线x﹣3＝0相切的圆的方程是 ．
14．（5分）已知数列{an}的通项公式，则其前n项和Sn＝ ．
15．（5分）已知椭圆，双曲线D与椭圆C共焦点，且与椭圆C在四个象限的交点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ面积的最大值是 ．
16．（5分）已知不等式（ax﹣lnx）（ex﹣ax）≥0对任意x＞0恒成立（其中e≈2.71828是自然对数的底数），则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知数列{an}为公差不为零的等差数列，a1＝1，记Sn为其前n项和，_____．
给出下列三个条件：
条件（1）S100＝10000；
条件（2）a2，a5，a14成等比数列；
条件（3）．试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．（12分）从某城市抽取100户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50到350度之间，将数据按照[50，100），[100，150），⋯，[300，350]分成6组，画出的频率分布直方图如图所示．
（1）求直方图中的x值和月平均用电量的众数；
（2）已知该市有200万户居民，估计居民中用电量落在区间[100，250）内的总户数，并说明理由．
19．（12分）已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0，圆C2：（x﹣a）2+（y﹣2a+2）2＝25．
（Ⅰ）若圆C1与圆C2外切，求实数a的值；
（Ⅱ）若圆C1与圆C2相交于A，B两点，弦AB的长为，求实数a的值．
20．（12分）已知首项为的等比数列{an}是递减数列，其前n项和为Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，数列{bn}满足b1＝1，nbn+1﹣（n+1）bn＝n（n+1）．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Tn，证明：Tn＜2．
21．（12分）如图，已知点P是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l：x＝﹣1上的动点，抛物线C上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）记直线PA，PB，PO的斜率分别为k1，k2，k3，请问是否存在常数λ，使得？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知函数f（x）＝xln（x+2）．
（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若x1，x2为方程f（x）＝k的两个不相等的实根，证明：
（ⅰ）f（x）⩾﹣x﹣1；
（ⅱ）．
2021-2022学年浙江省嘉兴市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）立德中学高一年级共有学生640人，其中男生300人，现采用分层抽样的方法调查学生的身高情况，在抽取的样本中，男生有30人，那么该样本中女生的人数为（ ）
A．30人 B．34人 C．60人 D．64人
【解答】解：每个个体被抽到的概率等于 ，
应抽取女生的人数为（640﹣300）34 （人），
故选：B．
2．（5分）若函数f（x）＝3x+sin2x，则（ ）
A．f′（x）＝3xln3+2cos2x B．f′（x）＝3x+2cos2x
C．f′（x）＝3xln3+cos2x D．f′（x）＝3xln3﹣2cos2x
【解答】解：∵函数f（x）＝3x+sin2x，
∴f′（x）＝3xln3+2cos2x，
故选：A．
3．（5分）过点（﹣1，3）且与直线x﹣2y+3＝0垂直的直线方程是（ ）
A．x﹣2y+7＝0 B．2x﹣y+5＝0 C．2x+y﹣5＝0 D．2x+y﹣1＝0
【解答】解：设与直线x﹣2y+3＝0垂直的直线方程为2x+y+m＝0，
把点（﹣l，3）代入可得：﹣2+3+m＝0，解得m＝﹣1．
∴要求的直线方程为：2x+y﹣1＝0．
故选：D．
4．（5分）已知双曲线的右顶点为A，过点A作圆x2+y2＝1的两条切线AM，AN，切点分别为M，N，则△AMN的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
【解答】解：由双曲线的方程可得右顶点A（，0），可得|OA|，|OM|＝1，
所以|MA|1，
由圆的对称性可得N，M关于x轴对称，
设MN与x轴交于Q点，如图所示：
则S△OAM|OA|•|MQ||OM|•|MA|，
所以|MQ|，
所以|QA|，
所以S△MAQ|QA|•|MQ|，
所以S△MAN＝2S△MAQ＝2，
故选：A．
5．（5分）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e＝1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线．则方程表示的圆锥曲线的离心率e等于（ ）
A． B． C． D．5
【解答】解：将方程，两边平方整理可得1，
所以表示的曲线为椭圆，且a2＝25，b2＝9，
所以c2＝a2﹣b2＝25﹣9＝16，
即a＝5，c＝4，所以离心率e，
故选：B．
6．（5分）跑步是一项常见的有氧运动，能增强人体新陈代谢和基础代谢率，是治疗和预防“三高”的有效手段．赵老师最近给自己制定了一个180千米的跑步健身计划，计划前面5天中每天跑4千米，以后每天比前一天多跑0.4千米，则他要完成该计划至少需要（ ）
A．23天 B．24天 C．25天 D．26天
【解答】解：设需要n天完成计划，由题意易知每天跑步的里程为，前面5天中每天跑4千米，
以后每天比前一天多跑0.4千米，
第5天开始，以4为首项，0.4为公差的等差数列，
∴16+4180，
∴n2+11n﹣880≥0，
因为f（x）＝n2+11n﹣880在（0，+∞）上单调递增，
当n＝25时，252+25×11﹣880＞0，
当n＝24时，242+24×11﹣800＜0，
故满足条件的最小n＝25．
故选：C．
7．（5分）设a，b，c（其中e≈2.71828是自然对数的底数），则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【解答】解：令f（x）＝ex﹣2lnx（x＞1），
则f′（x）0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f（）＜f（），∴ab，
∵a，c，
∴a﹣c，
令p（x）＝ex﹣ex，x≥1，
则当x＞1时，p′（x）＝ex﹣e＞0，
∴函数p（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴p（）＞p（1）＝0，即0，
令q（x）lnx，0＜x≤e，则当0＜x＜e，q′（x）0，
即q（x）在（0，e]上单调递减，则q（2）＞q（e）＝0，即ln2＞0，
∴a﹣c＞0，∴a＞c，
∴c＜a＜b．
故选：D．
8．（5分）1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》．他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问题，发现数列：1，1，2，3，5，8，13，⋯，该数列的特点是：前两项均为1，从第三项起，每一项等于前两项的和，人们把这个数列{Fn}称为斐波那契数列，则下列结论正确的是（ ）
A．F2+F4+F6+⋯+F2020＝F2021
B．F12+F22+F32+⋯+F20212＝F2021F2022
C．F1+F2+F3+⋯+F2021＝F2023
D．F1+F3+F5+⋯+F2021＝F2022﹣1
【解答】解：由题意可知，F1＝F2＝1，Fn+2＝Fn+1+Fn，
∴F2023＝F2021+F2022＝F2021+F2020+F2021＝F2021+F2020+F2019+F2020＝……＝F2021+F2020+F2019+……+F4+F3+F3+F2＝F2021+F2020+F2019+……+F4+F3+F1+F2+F2＝F1+F2+F3+⋯+F2021+1，
即F1+F2+F3+⋯+F2021＝F2023﹣1，故选项C错误，
对于选项A：F2+F4+F6+……+F2020＝F2+（F2+F3）+（F4+F5）+……+（F2018+F2019）＝F1+F2+F3+……+F2019＝F2021﹣1，故选项A错误，
对于选项D：F1+F3+F5+⋯+F2021＝（F1+F2+F3+⋯+F2021）﹣（F2+F4+F6+……+F2020）＝F2023﹣1﹣（F2021﹣1）＝F2023﹣F2021＝F2022，故选项D错误，
对于选项B：，
，
，
……
，
上面各式相加得F12+F22+F32+⋯+F20212＝F2021F2022，故选项B正确，
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
（多选）9．（5分）已知直线l：（1+a）x+y+1＝0（a∈R）与圆C：x2+y2＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l必过定点
B．l与C可能相离
C．l与C可能相切
D．当a＝1时，l被C截得的弦长为
【解答】解：直线方程即ax+（x+y+1）＝0，据此可得直线恒过定点（0，﹣1），选项A正确；
由于点（0，﹣1）在圆上，故直线与圆相交或相切，不可能相离，选项B错误，C正确；
当a＝1时，直线方程为2x+y+1＝0，圆心到直线的距离，
则弦长为，选项D正确．
故选：ACD．
（多选）10．（5分）为唤起学生爱护地球、保护家园的意识，加强对节能减排的宣传，进一步营造绿色和谐的校园环境，树人中学决定举办环保知识竞赛．现有甲、乙、丙、丁四个班级参加，每个班级各派10位同学参赛，每位同学需要回答10道题，每题回答正确得1分，回答错误得0分．若规定总得分达到70分且没有同学得分低于5分的班级为“优胜班级”，则根据以下甲、乙、丙、丁各班参赛同学的得分数据信息，能判断该班一定为“优胜班级”的是（ ）
A．甲班同学平均数为8，众数为8
B．乙班同学平均数为8，方差为4
C．丙班同学平均数为7，极差为3
D．丁班同学平均数为7，标准差为0
【解答】解：对于A，当一个同学得2分，三位同学得10分，其余6位同学都得8分，
满足平均数为8，众数为8，但不能满足总得分达到70分，且没有同学得分低于5分，
故A不能保证该班一定为“优胜班级”；
对于B，10位同学和得分可能是：4，6，6，8，8，8，10，10，10，10，
此时满足平均数为8，方差为4，但不能满足总得分达到70分，且没有同学得分低于5分，
故B不能保证该班一定为“优胜班级”；
对于C，如果有同学得分低于5分，根据极差为3，
那么就会出现其他同学的得分不大于7，这样平均数就低于7分，
不符合丙班同学平均数为7，极差为3的条件，
故这种情况下不会有得分低于5分的同学，
满足总得分达到70分且没有同学得分低于5分，
故C能保证该班一定为“优胜班级”；
对于D，丁班同学平均数为7，标准差为0，可知每位同学得分均为7分，
故D能保证该班一定为“优胜班级”．
故选：CD．
（多选）11．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则（ ）
A．函数f（x）在（a，b）内一定不存在最小值
B．函数f（x）在（a，b）内只有一个极小值点
C．函数f（x）在（a，b）内有两个极大值点
D．函数f（x）在（a，b）内可能没有零点
【解答】解：由题意可知，函数的单调性是增函数→减函数→增函数→减函数，
即x＝c，x＝e时，函数取得极大值，在x＝d处取得极小值，所以B、C正确；
极大值是函数的最大值时，函数能取得最大值；所以A不正确；
函数可能没有零点，所以D正确．
故选：BCD．
（多选）12．（5分）已知平面内两个定点A（﹣5，0），B（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为常数λ（λ≠0），设点M的轨迹为C．下列说法中正确的有（ ）
A．存在常数λ（λ≠0），使C上所有的点到两点（﹣6，0），（6，0）的距离之和为定值
B．存在常数λ（λ≠0），使C上所有的点到两点（﹣6，0），（6，0）的距离之差的绝对值为定值
C．存在常数λ（λ≠0），使C上所有的点到两点（0，﹣6），（0，6）的距离之和为定值
D．存在常数λ（λ≠0），使C上所有的点到两点（0，﹣6），（0，6）的距离之差的绝对值为定值
【解答】解：设M坐标为（x，y），
则，化简可得，（y≠0），
由25+25λ＝36，解得，此时表示焦点为（﹣6，0），（6，0）的双曲线，故B正确，A错误，
由﹣25λ﹣25＝36，解得，此时表示焦点为（0，﹣6），（0，6）的椭圆，故C正确，
显然不管λ为何值，都不可能是焦点在y轴的双曲线，故D错误．
故选：BC．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）以点（1，1）为圆心且与直线x﹣3＝0相切的圆的方程是 （x﹣1）2+（y﹣1）2＝4 ．
【解答】解：根据题意，要求圆的圆心为（1，1），与直线x﹣3＝0相切，
该圆的半径r＝2，
则要求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，
故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4．
14．（5分）已知数列{an}的通项公式，则其前n项和Sn＝ 2n+1﹣n﹣2 ．
【解答】解：，
则2n是以2为首项，2为公比的等比数列，
令An＝2n，Bn＝﹣1，
则数列的和为n＝2n+1﹣n﹣2，
故答案为：2n+1﹣n﹣2．
15．（5分）已知椭圆，双曲线D与椭圆C共焦点，且与椭圆C在四个象限的交点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ面积的最大值是 4 ．
【解答】解：依题意得，双曲线的焦点是（±1，0），
设双曲线方程为 ，且 a2+b2＝1，
不妨设M（x0，y0） 在第一象限，根据对称性易得四边形MNPQ是矩形，且面积为2x02y0＝4x0y0，
联立，解得，
因为a2+b2＝1，化简得，
于是 所以四边形MNPQ面积为，
又取等号，
则四边形MNPQ面积最大值为．
故答案为：．
16．（5分）已知不等式（ax﹣lnx）（ex﹣ax）≥0对任意x＞0恒成立（其中e≈2.71828是自然对数的底数），则实数a的取值范围是 [，e] ．
【解答】解：不等式（ax﹣lnx）（ex﹣ax）≥0对任意x＞0恒成立，
则，或，
化为：a，或，
令f（x），g（x）．
f′（x），可得函数f（x）在x＝1时取得极小值即最小值，f（1）＝e；
g′（x），可得函数g（x）在x＝e时取得极大值即最大值，g（e）．
若a，则a≤e．
若，由上述可知不等式的解集为∅．
综上可得：实数a的取值范围是[，e]．
故答案为：[，e]．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知数列{an}为公差不为零的等差数列，a1＝1，记Sn为其前n项和，_____．
给出下列三个条件：
条件（1）S100＝10000；
条件（2）a2，a5，a14成等比数列；
条件（3）．试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）选择（1）：因为，
所以d＝2，an＝1+（n﹣1）d＝2n﹣1．
选择（2）：因为a2，a5，a14 成等比数列，所以 ，
即（1+4d）2＝（1+d）（1+13d），化简得d2＝2d，
因为d≠0，所以d＝2，
an＝1+（n﹣1）d＝2n﹣1．
选择（3）：因为 ，
所以1011d＝2022，所以d＝2，
an＝1+（n﹣1）d＝2n﹣1．
（2）因为
所以．
18．（12分）从某城市抽取100户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50到350度之间，将数据按照[50，100），[100，150），⋯，[300，350]分成6组，画出的频率分布直方图如图所示．
（1）求直方图中的x值和月平均用电量的众数；
（2）已知该市有200万户居民，估计居民中用电量落在区间[100，250）内的总户数，并说明理由．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得：
（0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012）×50＝1，
解得x＝0.0044．
月平均用电量的众数为175．
（2）由频率分布直方图，得；
用电量落在区间[100，250）内的频率为：
1﹣0.0024×50﹣0.0024×50﹣0.0012×50＝0.70，
∴用电量落在区间[100，250）内的户数为：
200×0.70＝140
19．（12分）已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0，圆C2：（x﹣a）2+（y﹣2a+2）2＝25．
（Ⅰ）若圆C1与圆C2外切，求实数a的值；
（Ⅱ）若圆C1与圆C2相交于A，B两点，弦AB的长为，求实数a的值．
【解答】解：（I）∵圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0，
∴圆C1：（x+1）2+（y+4）2＝25，即圆C1的圆心为（﹣1，﹣4），半径r1＝5，
∵圆C2：（x﹣a）2+（y﹣2a+2）2＝25，
∴圆C2的圆心为（a，2a﹣2），半径r2＝5，
∵圆C1与圆C2外切，
∴，解得a．
（II）设弦AB的中点为M，
由垂径定理可得，，即，
则，
∵|AC1|＝|AC2|，AM⊥C1C2，
∴，
∴，即，解得a＝﹣4或a＝2，
故实数a的值为﹣4或2．
20．（12分）已知首项为的等比数列{an}是递减数列，其前n项和为Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，数列{bn}满足b1＝1，nbn+1﹣（n+1）bn＝n（n+1）．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Tn，证明：Tn＜2．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，
因为S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，
所以S3+a3﹣（S1+a1）＝S2+a2﹣（S3+a3），即4a3＝a1，
于是，
又因为首项为的等比数列{an}单调递减，所以．
因为nbn+1﹣（n+1）bn＝n（n+1），即，
所以数列 是以1为首项1为公差的等差数列，
即，所以．
证明：（2）因为，所以①，
所以②，
两式相减得，
所以，得证．
21．（12分）如图，已知点P是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l：x＝﹣1上的动点，抛物线C上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）记直线PA，PB，PO的斜率分别为k1，k2，k3，请问是否存在常数λ，使得？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l：x＝﹣1，
则1，
∴p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（﹣1，t），
∴k1，k2，k3＝﹣t，
∴PA的中坐标为（，），
∴（）2＝4，
∵y12＝4x1，
∴y12﹣2ty1﹣8﹣t2＝0，
同理可得y22﹣2ty2﹣8﹣t2＝0，
∴y1，y2是方程y2﹣2ty﹣8﹣t2＝0的两个根，
∴y1+y2＝2t，y1y2＝﹣8﹣t2，
∴t，
∵，
∴t＝﹣tλ，即t（1+λ）＝0，
∴λ＝﹣1，
故存在常数λ＝﹣1，使得．
22．（12分）已知函数f（x）＝xln（x+2）．
（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若x1，x2为方程f（x）＝k的两个不相等的实根，证明：
（ⅰ）f（x）⩾﹣x﹣1；
（ⅱ）．
【解答】（1）解：f（x）＝xln（x+2），定义域x∈（﹣2，+∞），
，
所以f′（0）＝ln2，
故f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y＝（ln2）x．
（2）证明：（i）令 g（x）＝xln（x+2）+x+1，
则，
令，则成立，
所以h（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，
所以当x∈（﹣2，﹣1）时，g′（x）＝h（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（﹣1，+∞）时，g′（x）＝h（x）＞0，g（x）单调递增，
所以g（x）min＝g（﹣1）＝0，所以f（x）≥﹣x﹣1成立．
（ii） 不妨设x1＜x2，因为y＝k与y＝﹣x﹣1的交点为（﹣k﹣1，k），故x1≥﹣k﹣1．
令p（x）＝xln（x+2）﹣（ln2）x，则，
令，
则成立，
所以q（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，
所以当x∈（﹣2，0）时，p（x）＝q′（x）＜0，p（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，p（x）＝q′（x）＞0，p（x）单调递增，
所以p（x）min＝p（0）＝0，所以f（x）≥（ln2）x成立，
因为y＝k与y＝（ln2）x的交点为，故，
所以，得证．
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