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2022-2023学年浙江省嘉兴市高二（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年浙江省嘉兴市高二（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省嘉兴市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合A={x|x2+x−6<0}，B={x|x+1>0}，则A∩B=( )
A. (−3,−1) B. (−1,2) C. (2,+∞) D. (−3,+∞)
2. 设z=2+ii(i为虚数单位)，则z−=( )
A. 1+2i B. 1−2i C. −1+2i D. −1−2i
3. 已知a,b为非零向量，且满足b⋅(a+b)=0，则a−b在b上的投影向量为( )
A. 2b B. 32b C. −32b D. −2b
4. 设函数f(x)=2|x−a|(a∈R)，则“a≤0”是“f(x)在(1,+∞)上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知α，β∈(0,π)且满足sinα+sinβ= 3(cosα+cosβ)，则( )
A. tan(α+β)= 3 B. tan(α+β)=− 3
C. cos(α+β)= 32 D. cos(α+β)=− 32
6. 设X∼N(1,σ12),Y∼N(1.5,σ22),σ1,σ2>0.这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列结论正确的是( )
A. P(X≥2)
D. P(|X−1|<σ2)
A. 336种 B. 360种 C. 408种 D. 480种
8. 在三棱锥P−ABC中，PA=PB=2,PC= 102，平面PAB⊥平面ABC，则该三棱锥体积的最大值为( )
A. 12 B. 22 C. 32 D. 1
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 某校一支田径队有男运动员12人，女运动员8人，全队中身高最高为190cm，最低为160cm，则下列说法正确的有( )
A. 该田径队队员身高数据的极差为30cm
B. 用不放回简单随机抽样的方法从田径队中抽取一个容量为10的样本，则每位运动员被抽到的概率均为12
C. 按性别用分层抽样的方法从田径队中抽取一个容量为10的样本，样本按比例分配，则男、女运动员抽取的人数分别为7人与3人
D. 若田径队中男、女运动员的平均身高分别为175cm和165cm，则该田径队的运动员总体平均身高为171cm
10. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,|φ|<π2,k∈R)的部分图象如图所示，则下列结论正确的有( )
A. A=1,k=12 B. φ=−π6
C. f(x)在区间[5π12,11π12]上单调递减 D. f(x−5π12)为偶函数
11. 一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，向左移动的概率为13，向右移动的概率为23.则下列结论正确的有( )
A. 第八次移动后位于原点0的概率为(23)4×(13)4
B. 第六次移动后位于4的概率为C65×(23)5×13
C. 第一次移动后位于−1且第五次移动后位于1的概率为C43×(23)3×(13)2
D. 已知第二次移动后位于2，则第六次移动后位于4的概率为C43×(23)3×13
12. 定义域为R的函数f(x)满足f(x−y)−f(x+y)=f(x+1)f(y+1)，f(0)≠0，则( )
A. f(1)=0 B. f(0)=f(2) C. f(3)=f(−1) D. k=123f(k)=−2
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某学生在对50位同学的身高y(单位：cm)与鞋码x(单位：欧码)的数据进行分析后发现两者呈线性相关，得到经验回归方程y =3x+a .若50位同学身高与鞋码的均值分别为y−=170,x−=40，则a = ______ ．
14. (2x+1x2)5的展开式中x2的系数为______ .(用数字作答)
15. 某校团委组织了一场“承五四精神，谱青春华章”的学生书画比赛，评出一、二、三等奖作品若干，其中二等奖和三等奖作品数量相等，高二年级作品分别占40%，40%，60%.现从获奖作品中任取一件，记事件A=“取出一等奖作品”，B=“取出获奖作品为高二年级”，若P(AB)=0.16，则P(A|B)= ______ ．
16. 若3(sin5θ+cos52θ)>5(sin3θ+cos32θ)，θ∈[0,2π)，则θ的取值范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
记Sn为数列{an}的前n项和，且a1>0，已知Sn+1an+1−Snan=12．
(1)若a1=1，求数列{an}的通项公式；
(2)若1S1+1S2+⋯+1Sn<1对任意n∈N*恒成立，求a1的取值范围．
18. (本小题12.0分)
如图，在三棱锥P−ABC中，已知PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若BC= 3AC,M是PB的中点，AM与平面PBC所成角的正弦值为23，求平面PBC与平面ABC夹角的余弦值．
19. (本小题12.0分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=π2,sinA=1−c 3b．
(1)求角A的大小；
(2)若D为线段AC上的一点，且满足AD=1，BD=2，求△BDC的面积．
20. (本小题12.0分)
某校学生每一年需要进行一次体测，体测包含肺活量、50米跑、立定跳远等多个项目，现对该校的80位男生的肺活量等级(优秀、良好、合格、不合格)进行统计，得到如下列联表：
身高
肺活量等级
合计
良好和优秀
不合格和合格
低于175公分
22
22
44
不低于175公分
30
6
36
合计
52
28
80
(1)能否有99.5%的把握认为男生的身高与肺活量的等级划分有关联？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中a+b+c+d=n．
P(K2≥k)
0.01
0.005
0.001
k
6.635
7.879
10.828
(2)某体测小组由6位男生组成，其中肺活量等级不合格的有1人，良好的有4人，优秀的有1人，肺活量等级分按如下规则计算：不合格记0分，合格记1分，良好记2分，优秀记3分.在该小组中随机选择2位同学，记肺活量等级分之和为X，求X的分布列和均值．
21. (本小题12.0分)
已知椭圆C：x24+y2=1的左右顶点分别为A，B，上顶点为D，M为椭圆C上异于四个顶点的任意一点，直线AM交BD于点P，直线DM交x轴于点Q．
(1)求△MBD面积的最大值；
(2)记直线PM，PQ的斜率分别为k1，k2，求证：k1−2k2为定值．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=alnxa−x,g(x)=ax−aex.(e=2.71828⋯为自然对数的底数)
(1)当a=1时，求函数y=f(x)的最大值；
(2)已知x1，x2∈(0,+∞)，且满足f(x1)>g(x2)，求证：x1+aex2>2a．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意可得A=(−3,2)，B=(−1,+∞)，
∴A∩B=(−1,2)．
故选：B．
先化简，再运算即可得解．
本题考查集合的基本运算，属基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为z=2+ii=−i(2+i)=1−2i，
所以复数z的共轭复数z−=1+2i．
故选：A．
根据复数的除法法则进行运算，再利用共轭复数的概念求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵b⋅(a+b)=0，
∴a⋅b+b2=0，
∴a⋅b=−b2，
∴a−b在b上的投影向量为(a−b)⋅b|b|⋅b|b|=a⋅b−b2|b|2⋅b=−2b．
故选：D．
运用平面向量数量积及投影向量公式计算即可．
本题主要考查了向量的数量积运算，考查了投影向量的定义，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为f(x)=2|x−a|在(1,+∞)上单调递增，
所以由复合函数的单调性可知，a≤1，
所以“a≤0”是“a≤1”的充分不必要条件．
故选：A．
运用复合函数单调性求得a的范围，再运用集合的包含关系即可求得结果．
本题考查复合函数单调性，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为sinα+sinβ=sin(α+β2+α−β2)+sin(α+β2−α−β2)=2sinα+β2cosα−β2，
cosα+cosβ=cos(α+β2+α−β2)+cos(α+β2−α−β2)=2cosα+β2cosα−β2，
sinα+sinβ= 3(cosα+cosβ)，
所以2sinα+β2cosα−β2= 3×2cosα+β2cosα−β2，
又因为α，β∈(0,π)，
所以−π2<α−β2<π2，0<α+β2<π，
所以cosα−β2>0，
所以sinα+β2= 3cosα+β2，
所以tanα+β2= 3，
又因为0<α+β2<π，
所以α+β2=π3，
所以α+β=2π3，
所以tan(α+β)=tan2π3=− 3，
所以cos(α+β)=cos2π3=−12．
故选：B．
运用配凑角α=α+β2+α−β2，β=α+β2−α−β2代入已知等式中可得tanα+β2，再结合角的范围可求得α+β的值，进而可求得tan(α+β)、cos(α+β)的值．
本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：对于A项，由图可知，P(X≥2)>P(Y≥2)，故A项不成立；
对于B项，由图可知，P(X≤1.5)>12，P(Y≤1.5)=12，所以P(X≤1.5)>P(Y≤1.5)，故B项不成立；
对于C项，因为P(1≤Y≤2)=1−2P(Y>2)，P(0≤X≤2)=1−2P(X>2)，P(X>2)>P(Y>2)，
所以P(0≤X≤2)
运用正态分布密度曲线的对称性求解即可．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：利用间接法：
第一个节目不排小品类，共有A51A55=600种不同的排法，
第一个节目不排小品类且2个歌唱类节目相邻，共有A22A41A44=192种不同的排法，
所以第一个节目不排小品类，2个歌唱类节目不相邻，有600−192=408种不同的排法．
故选：C．
先求第一个节目不排小品类不同的排法种数，再求第一个节目不排小品类且2个歌唱类节目相邻的排法种数，再相减即可．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：因为平面PAB⊥平面ABC，AB为两平面交线，
取AB中点O，因为PA=PB=2，所以OP⊥AB，
又OP⊂平面PAB，所以OP⊥平面ABC，所以三棱锥的体积V=13S△ABC⋅OP，
因为PC= 102,OC= PC2−OP2，所以当OP长度确定时，OC长度不变，
此时当OC⊥AB时△ABC面积达到最大，故求出当OC⊥AB时三棱锥体积的最大值即可．
当OC⊥AB时，令∠APO=θ∈(0,π2)，
则OP=2cosθ,AB=4sinθ,OC= 52−4cos2θ，
则V=13S△ABC⋅OP=13⋅2sinθ⋅ 52−4cos2θ⋅2cosθ
=23 sin22θ⋅(52−4cos2θ)
=23 (1−cos22θ)(12−2cos2θ)，
由(1−cos22θ)(12−2cos2θ)>0可得−1
从而f′(t)=6t2−t−2=(2t+1)(3t−2)，
当t∈(−1,−12)时f′(t)>0，f(t)单调递增，
当t∈(−12,14)时f′(t)<0，f(t)单调递减，
所以f(t)max=f(−12)=98，
即最大体积为Vmax=23 f(t)max=23× 98= 22．
故选：B．
利用面面垂直的性质定理得出OP⊥平面ABC，分析知当OC⊥AB时三棱锥体积最大，令∠APO=θ∈(0,π2)，则体积V=23 (1−cos22θ)(12−2cos2θ)，换元构造函数，利用导数求得其最值即可．
本题考查三棱锥的体积的最值的求解，函数思想，导数的应用，属中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由于全队中身高最高为190cm，最低为160cm，该田径队队员身高数据的极差为190−160=30cm，故A正确；
对于B，由已知田径队共有20人，用不放回简单随机抽样的方法从田径队中抽取一个容量为10的样本，则每位运动员被抽到的概率均为1020=12，故B正确；
对于C，田径队有男运动员12人，女运动员8人，男女生比例为128=32，若抽取一个容量为10的样本，男、女运动员抽取的人数分别为6人与4人，故C错误；
对于D，若田径队中男、女运动员的平均身高分别为175cm和165cm，男生占35，女生占25，则该田径队的运动员总体平均身高为x−=35×175+25×165=171cm，故D正确．
故选：ABD．
对于A，身高的最大值减最小值即可；对于B，不放回的简单随机抽样中每个个体被抽取的概率相等，等于抽取的人数与总体人数的比；对于C，利用分层抽样的方法按比例抽取即可；对于D，根据男女生的比例及平均数公式求得结果．
本题主要考查了平均数和极差的计算，考查了分层抽样的定义，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：由图可知，A+k=32−A+k=−12⇒A=1k=12，
T2=5π12−(−π12)=π2⇒T=π，
所以ω=2πT=2ππ=2，
所以f(x)=sin(2x+φ)+12，
将点(5π12,32)代入f(x)=sin(2x+φ)+12可得：2×5π12+φ=π2+2kπ，k∈Z，
又因为|φ|<π2，
所以φ=−π3，
所以f(x)=sin(2x−π3)+12，故A项正确，B项错误；
对于C项，因为T=π，所以T2=π2，
由图可知，f(x)在[5π12,5π12+π2]上单调递减，
即：f(x)在[5π12,11π12]上单调递减，故C项正确；
对于D项，因为f(x)=sin(2x−π3)+12，
所以f(x−5π12)=sin[2(x−5π12)−π3]+12=sin(2x−7π6)+12=sin(2x+5π6)+12，
当x=0时，sin(2x+5π6)=sin5π6≠±1，
所以f(x−5π12)不是偶函数，故D项错误．
故选：AC．
由图列方程组A+k=32−A+k=−12可判断A项，代入点(5π12,32)可判断B项，结合图象及其周期可判断C项，令x=0计算sin(2x+5π6)≠±1可判断D项．
本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，正弦函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A项，在8次移动中，设变量X为质点向右运动的次数，则X～B(8,23)，
若移动8次后，质点位于0的位置，则质点向右移动4次，向左移动4次，
所以第八次移动后位于原点0的概率为C84×(23)4×(13)4，故A项错误；
对于C项，记“第一次移动后位于−1”为事件A，“第五次移动后位于1”为事件B，
由题意知，质点先向左移动1次，剩余的4次中质点向右移动3次，向左移动1次，
所以第一次移动后位于−1且第五次移动后位于1的概率为P(AB)=C43×(23)3×(13)2，故C项正确；
对于B项，在6次移动中，设变量X为质点向右运动的次数，则X～B(6,23)，
若移动6次后，质点位于4的位置，则质点向右移动5次，向左移动1次，
所以第八次移动后位于原点0的概率为C65×(23)5×13，故B项正确；
对于D项，记“第二次移动后位于2”为事件M，“第六次移动后位于4”为事件N，
当第二次移动后位于2且第六次移动后位于4时，质点先向右移动2次，剩余的4次中质点向右移动3次，向左移动1次，
所以P(MN)=(23)2×C43×(23)3×13，P(M)=(23)2，
所以已知第二次移动后位于2，则第六次移动后位于1的概率为P(N|M)=P(MN)P(M)=(23)2×C43×(23)3×13(23)2=C43×(23)3×13，故D项正确．
故选：BCD．
运用二项分布可判断A项、B项，运用分步乘法计算可判断C项，运用条件概率公式计算可判断D项．
本题考查独立重复试验的概率计算，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于A，令x=y=0可得f(1)=0，A选项正确；
对于B，令x=0，则f(−y)−f(y)=f(1)⋅f(y+1)=0，即f(−y)=f(y)，
则f(x)为R上的偶函数；
令x=y=1，则f(0)−f(2)=[f(2)]2①，
令x=y=−1，则f(0)−f(−2)=[f(0)]2，
即f(0)−f(2)=[f(0)]2②；
由①②得[f(0)]2=[f(2)]2，
即f(0)=±f(2)；
若f(0)=f(2)，
则[f(0)]2=f(0)−f(2)=0，与条件f(0)≠0不符，
故f(0)=−f(2)，
此时有2f(0)=[f(0)]2，
因为f(0)≠0，
所以f(0)=2，f(2)=−2，B选项错误；
对于C，令y=1，则f(x−1)−f(x+1)=f(x+1)f(2)=−2f(x+1)，即f(x−1)=−f(x+1)，
所以f(x+2)=−f(x)，
从而f(x+4)=f(x)，
故T=4为函数f(x)的一个周期，
所以f(3)=f(−1)，C选项正确；
对于D，因为f(x+2)=−f(x)，
所以f(3)=−f(1)=0，f(4)=−f(2)=2，
此时有k=14f(k)=0，则k=123f(k)=f(1)+f(2)+f(3)=−2,D选项正确．
故选：ACD．
利用赋值法对x，y进行赋值结合函数的周期可得答案．
本题考查抽象函数及其运用，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】50
【解析】解：因为经验回归方程为y =3x+a ，y−=170,x−=40，
所以a =y−−3x−=170−3×40=50．
故答案为：50．
利用回归方程必过样本中心(x−,y−)，代入求解即可．
本题考查线性回归方程相关知识，属于中档题．
14.【答案】80
【解析】解：(2x+1x2)5的展开式的通项公式为Tr+1=C5r⋅25−r⋅x5−3r，
令5−3r=2，求得r=1，可得x2的系数为C51×24=80，
故答案为：80．
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得含x2的系数．
本题考查二项式定理，属于基础题．
15.【答案】823
【解析】解：设一、二、三等奖作品分别有x，y，y件，
所以P(AB)=0.4xx+2y=0.16，解得：x=43y，
所以P(B)=0.4x+0.4y+0.6yx+2y=0.46，
所以P(A|B)=P(AB)P(B)=0.160.46=823．
故答案为：823．
设出一、二、三等奖作品件数，由P(AB)=0.16可得x=43y，进而可求得P(B)，结合条件概率公式计算可得结果．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了条件概率公式，属于基础题．
16.【答案】(7π6,11π6)
【解析】解：原不等式等价于3sin5θ−5sin3θ>3(−cos2θ)5−5(−cos2θ)3，
令f(x)=3x5−5x3，则不等式等价于f(sinθ)>f(−cos2θ)，
因为f′(x)=15x2(x2−1)，所以当x∈(−1,1)时，f′(x)<0，
所以f(x)在[−1,1]上单调递减，
又因为sinθ，−cos2θ∈[−1,1]，
所以sinθ<−cos2θ，即2sin2θ−sinθ−1>0，
即(2sinθ+1)(sinθ−1)>0，解得sinθ<−12或sinθ>1，
又因为θ∈[0,2π)，所以θ∈(7π6,11π6)．
故答案为：(7π6,11π6)．
构造函数f(x)=3x5−5x3研究其在[−1,1]上的单调性，运用其单调性可得sinθ<−cos2θ，解不等式即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，三角函数不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵Sn+1an+1−Snan=12，a1=1，
∴数列{Snan}是首项为1，公差为12的等差数列，
则Snan=1+12(n−1)=n+12，
即2Sn=(n+1)an，2Sn−1=nan−1(n≥2)，
两式作差得2an=(n+1)an−nan−1，
即anan−1=nn−1(n≥2)，
∴anan−1×an−1an−2×an−2an−3×⋯×a2a1=nn−1×n−1n−2×⋯×21，
即ana1=n，an=n(n≥2)，
∵a1=1，∴an=n；
(2)由题意得Sn=(a1+na1)⋅n2，
∴1Sn=2a1⋅1n(n+1)=2a1⋅(1n−1n+1)，
则k=1n1sk=2a1k=1n(1k−1k+1)
=2a1(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)
=2a1(1−1n+1)，
当n→+∞时，2a1(1−1n+1)→2a1，
∵a1>0，∴k=1n1Sk<1恒成立转化为2a1≤1，解得a1≥2，
故a1的取值范围为[2,+∞)．
【解析】(1)由已知得{Snan}为公差为12的等差数列，求得2Sn=(n+1)an，利用an与Sn的关系求得anan−1=nn−1(n≥2)，再利用累乘法，即可得出答案；
(2)利用等差数列前n项和公式表示出Sn，即可得出1Sn=2a1⋅(1n−1n+1)，然后利用裂项相消法求得其前n项的和，即可得出答案．
本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】证明：(1)过点A作AD⊥PC于点D，因为平面PAC⊥平面PBC，
平面PAC⋂平面PBC=PC，AD⊂平面PAC，所以AD⊥平面PBC，
因为BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC，又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
又PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC．
(2)解：因为BC⊥平面PAC，所以BC⊥AC，则以CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立空间直角坐标系，
z轴//AP，取BC= 3,AC=1,PA=a，则A(0,1,0),B( 3,0,0),P(0,1,a)，M( 32,12,a2),CP=(0,1,a),CB=( 3,0,0),AM=( 32,−12,a2)；
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z)，由m⋅CP=m⋅CB=0可得：x=0,y+a⋅z=0,；
取y=a，z=−1，则m=(0,a,−1)，
平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1)，设AM与平面PBC所成角为α，
则sinα=|cos〈AM,m〉|=|−a2−a2 a2+1⋅ 1+a24|=23，解得a= 2，
此时m=(0, 2,−1)，则cos〈m,n〉=−11× 3=− 33，
设平面PBC与平面ABC的夹角为β，
则cosβ=|cos〈m,n〉|= 33．
【解析】(1)利用面面垂直的性质可得线面垂直；
(2)先根据线面角求出PA的长，然后利用法向量求解二面角．
本题主要考查二面角平面角的求解，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为sinA=1−c 3b
由正弦定理可得sinA=1−sinC 3sinB=1−sinC 3，
因为B=π2，所以sinC=cosA，
则 3sinA+cosA= 3，即sin(A+π6)= 32，
因为0
所以sin∠ABD=14，
cos∠DBC=sin∠ABD=14，
所以sin∠DBC= 154，
CD=BDsinπ3⋅sin∠DBC= 5⇒AC=1+ 5⇒BC=1+ 52
S△BDC=12×CD×BC×sinπ3=12× 5×1+ 52× 32= 15+5 38．
【解析】(1)由已知，利用正弦定理结合辅助角公式可得sin(A+π6)= 32，从而可得答案；
(2)利用正弦定理求得sin∠ABD=14，可得sin∠DBC= 154，从而得CD= 5，再由三角形面积公式可得答案．
本题主要考查正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)零假设H0：认为男生的身高与肺活量的等级划分无关联，
K2=80×(22×6−22×30)244×36×52×28≈9.67>7.879，
所以假设不成立，所以我们有99.5%的把握认为男生的身高与肺活量的等级划分有关联．
(2)由题意知，X的可能取值为：2、3、4、5．
P(X=2)=C11C41C62=415，P(X=3)=C11C11C62=115，P(X=4)=C42C62=615，P(X=5)=C41C11C62=415，
则X的分布列如下：
X
2
3
4
5
415
115
615
415
所以，E(X)=2×415+3×115+4×615+5×415=113．
【解析】(1)计算K2判断即可．(2)分析出X的可能取值为2，3，4，5，分别计算各自概率，写出分布列和期望即可．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)方法1：如图所示，
由题意知，A(−2,0)，B(2,0)，D(0,1)，
设M(2cosα,sinα)，lBD：x+2y−2=0，
则|BD|= 5，
点M到直线BD的距离为：d=|2cosα+2sinα−2| 5=|2 2sin(α+π4)−2| 5，
所以d=|2 2sin(α+π4)−2| 5≤|−2 2−2| 5=2 2+2 5，
所以S△MDB≤12× 5×2 2+2 5= 2+1．
故△MBD面积的最大值为： 2+1．
方法2：设与BD平行的直线l：x+2y+t=0，
联立x+2y+t=0x2+4y2=4得8y2+4ty+t2−4=0，
令Δ=16(−t2+8)=0⇒t=±2 2，
显然当t=2 2时l与椭圆的切点与直线BD的距离最大，
dmax=|2 2−(−2)| 12+22=2 2+2 5，
所以S△MDB≤12× 5×2 2+2 5= 2+1．
故△MBD面积的最大值为： 2+1．
(2)证明：如图所示，
设直线lAM：x=my−2，
联立x2+4y2=4x=my−2得(m2+4)y2−4my=0，
则点M的坐标为(2m2−8m2+4,4mm2+4)，
设点Q为(t,0)，则kQD=kMD，
所以1−t=4mm2+4−12m2−8m2+4，即t=2(m+2)m−2，
所以Q(2(m+2)m−2,0)，
联立x=my−2y=−12x+1得点P的坐标为(2(m−2)m+2,4m+2)，
所以k1=4mm2+4−4m+22m2−8m2+4−2(m−2)m+2=1m，k2=4m+2−02(m−2)m+2−2(m+2)m−2=2−m4m，
所以k1−2k2=1m−2×2−m4m=1m−2−m2m=12．
故k1−2k2为定值12．
【解析】(1)方法1：设出点M的坐标，计算点M到直线BD的距离，运用辅助角公式转化为求三角函数的最大值，进而可求得结果．
方法2：联立椭圆方程及与BD平行的直线的方程，令Δ=0，进而可求得结果．
(2)分别求出交点M、Q、P坐标，计算k1−2k2即可．
本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=lnx−x，定义域为(0,+∞)，
则f′(x)=1x−1=1−xx，
f′(x)>0⇒01，
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
∴f(x)max=f(1)=−1，
故f(x)的最大值为−1．
(2)由题意知，a>0，
由f(x1)>g(x2)可得alnx1a−x1>ax2−aex2，
∴lnx1a−x1a>lnex2−ex2．
令h(x)=lnx−x，
由(1)可知，h(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
则h(x1a)>h(ex2)，
令t1=x1a,t2=ex2，
又x1>0，x2>0，
∴t1>0，t2>1，
则h(t1)>h(t2)
①若t1≥1，则t1+t2>2，即x1a+ex2>2，∴x1+aex2>2a；
②若0
则h(t3)=h(t1)>h(t2)，
∴1
令F(x)=h(x)−h(2−x)=lnx−ln(2−x)−2x+2，x∈(0,1)，
则F′(x)=1x+12−x−2=2(x−1)2x(2−x)>0，
∴F(x)=h(x)−h(2−x)在x∈(0,1)上单调递增，
∴F(x)
∴h(t3)
又∵1
由①②可知，x1+aex2>2a得证．
【解析】(1)运用导数研究f(x)的单调性，进而求得其最大值．
(2)同构函数h(x)=lnx−x，转化为h(x1a)>h(ex2)，结合换元法t1=x1a,t2=ex2，分别讨论t1≥1与0
2022-2023学年浙江省嘉兴市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合A={x|x2+x−6<0}，B={x|x+1>0}，则A∩B=( )
A. (−3,−1) B. (−1,2) C. (2,+∞) D. (−3,+∞)
2. 设z=2+ii(i为虚数单位)，则z−=( )
A. 1+2i B. 1−2i C. −1+2i D. −1−2i
3. 已知a,b为非零向量，且满足b⋅(a+b)=0，则a−b在b上的投影向量为( )
A. 2b B. 32b C. −32b D. −2b
4. 设函数f(x)=2|x−a|(a∈R)，则“a≤0”是“f(x)在(1,+∞)上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知α，β∈(0,π)且满足sinα+sinβ= 3(cosα+cosβ)，则( )
A. tan(α+β)= 3 B. tan(α+β)=− 3
C. cos(α+β)= 32 D. cos(α+β)=− 32
6. 设X∼N(1,σ12),Y∼N(1.5,σ22),σ1,σ2>0.这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列结论正确的是( )
A. P(X≥2)
D. P(|X−1|<σ2)
A. 336种 B. 360种 C. 408种 D. 480种
8. 在三棱锥P−ABC中，PA=PB=2,PC= 102，平面PAB⊥平面ABC，则该三棱锥体积的最大值为( )
A. 12 B. 22 C. 32 D. 1
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 某校一支田径队有男运动员12人，女运动员8人，全队中身高最高为190cm，最低为160cm，则下列说法正确的有( )
A. 该田径队队员身高数据的极差为30cm
B. 用不放回简单随机抽样的方法从田径队中抽取一个容量为10的样本，则每位运动员被抽到的概率均为12
C. 按性别用分层抽样的方法从田径队中抽取一个容量为10的样本，样本按比例分配，则男、女运动员抽取的人数分别为7人与3人
D. 若田径队中男、女运动员的平均身高分别为175cm和165cm，则该田径队的运动员总体平均身高为171cm
10. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,|φ|<π2,k∈R)的部分图象如图所示，则下列结论正确的有( )
A. A=1,k=12 B. φ=−π6
C. f(x)在区间[5π12,11π12]上单调递减 D. f(x−5π12)为偶函数
11. 一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，向左移动的概率为13，向右移动的概率为23.则下列结论正确的有( )
A. 第八次移动后位于原点0的概率为(23)4×(13)4
B. 第六次移动后位于4的概率为C65×(23)5×13
C. 第一次移动后位于−1且第五次移动后位于1的概率为C43×(23)3×(13)2
D. 已知第二次移动后位于2，则第六次移动后位于4的概率为C43×(23)3×13
12. 定义域为R的函数f(x)满足f(x−y)−f(x+y)=f(x+1)f(y+1)，f(0)≠0，则( )
A. f(1)=0 B. f(0)=f(2) C. f(3)=f(−1) D. k=123f(k)=−2
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某学生在对50位同学的身高y(单位：cm)与鞋码x(单位：欧码)的数据进行分析后发现两者呈线性相关，得到经验回归方程y =3x+a .若50位同学身高与鞋码的均值分别为y−=170,x−=40，则a = ______ ．
14. (2x+1x2)5的展开式中x2的系数为______ .(用数字作答)
15. 某校团委组织了一场“承五四精神，谱青春华章”的学生书画比赛，评出一、二、三等奖作品若干，其中二等奖和三等奖作品数量相等，高二年级作品分别占40%，40%，60%.现从获奖作品中任取一件，记事件A=“取出一等奖作品”，B=“取出获奖作品为高二年级”，若P(AB)=0.16，则P(A|B)= ______ ．
16. 若3(sin5θ+cos52θ)>5(sin3θ+cos32θ)，θ∈[0,2π)，则θ的取值范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
记Sn为数列{an}的前n项和，且a1>0，已知Sn+1an+1−Snan=12．
(1)若a1=1，求数列{an}的通项公式；
(2)若1S1+1S2+⋯+1Sn<1对任意n∈N*恒成立，求a1的取值范围．
18. (本小题12.0分)
如图，在三棱锥P−ABC中，已知PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若BC= 3AC,M是PB的中点，AM与平面PBC所成角的正弦值为23，求平面PBC与平面ABC夹角的余弦值．
19. (本小题12.0分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=π2,sinA=1−c 3b．
(1)求角A的大小；
(2)若D为线段AC上的一点，且满足AD=1，BD=2，求△BDC的面积．
20. (本小题12.0分)
某校学生每一年需要进行一次体测，体测包含肺活量、50米跑、立定跳远等多个项目，现对该校的80位男生的肺活量等级(优秀、良好、合格、不合格)进行统计，得到如下列联表：
身高
肺活量等级
合计
良好和优秀
不合格和合格
低于175公分
22
22
44
不低于175公分
30
6
36
合计
52
28
80
(1)能否有99.5%的把握认为男生的身高与肺活量的等级划分有关联？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中a+b+c+d=n．
P(K2≥k)
0.01
0.005
0.001
k
6.635
7.879
10.828
(2)某体测小组由6位男生组成，其中肺活量等级不合格的有1人，良好的有4人，优秀的有1人，肺活量等级分按如下规则计算：不合格记0分，合格记1分，良好记2分，优秀记3分.在该小组中随机选择2位同学，记肺活量等级分之和为X，求X的分布列和均值．
21. (本小题12.0分)
已知椭圆C：x24+y2=1的左右顶点分别为A，B，上顶点为D，M为椭圆C上异于四个顶点的任意一点，直线AM交BD于点P，直线DM交x轴于点Q．
(1)求△MBD面积的最大值；
(2)记直线PM，PQ的斜率分别为k1，k2，求证：k1−2k2为定值．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=alnxa−x,g(x)=ax−aex.(e=2.71828⋯为自然对数的底数)
(1)当a=1时，求函数y=f(x)的最大值；
(2)已知x1，x2∈(0,+∞)，且满足f(x1)>g(x2)，求证：x1+aex2>2a．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意可得A=(−3,2)，B=(−1,+∞)，
∴A∩B=(−1,2)．
故选：B．
先化简，再运算即可得解．
本题考查集合的基本运算，属基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为z=2+ii=−i(2+i)=1−2i，
所以复数z的共轭复数z−=1+2i．
故选：A．
根据复数的除法法则进行运算，再利用共轭复数的概念求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵b⋅(a+b)=0，
∴a⋅b+b2=0，
∴a⋅b=−b2，
∴a−b在b上的投影向量为(a−b)⋅b|b|⋅b|b|=a⋅b−b2|b|2⋅b=−2b．
故选：D．
运用平面向量数量积及投影向量公式计算即可．
本题主要考查了向量的数量积运算，考查了投影向量的定义，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为f(x)=2|x−a|在(1,+∞)上单调递增，
所以由复合函数的单调性可知，a≤1，
所以“a≤0”是“a≤1”的充分不必要条件．
故选：A．
运用复合函数单调性求得a的范围，再运用集合的包含关系即可求得结果．
本题考查复合函数单调性，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为sinα+sinβ=sin(α+β2+α−β2)+sin(α+β2−α−β2)=2sinα+β2cosα−β2，
cosα+cosβ=cos(α+β2+α−β2)+cos(α+β2−α−β2)=2cosα+β2cosα−β2，
sinα+sinβ= 3(cosα+cosβ)，
所以2sinα+β2cosα−β2= 3×2cosα+β2cosα−β2，
又因为α，β∈(0,π)，
所以−π2<α−β2<π2，0<α+β2<π，
所以cosα−β2>0，
所以sinα+β2= 3cosα+β2，
所以tanα+β2= 3，
又因为0<α+β2<π，
所以α+β2=π3，
所以α+β=2π3，
所以tan(α+β)=tan2π3=− 3，
所以cos(α+β)=cos2π3=−12．
故选：B．
运用配凑角α=α+β2+α−β2，β=α+β2−α−β2代入已知等式中可得tanα+β2，再结合角的范围可求得α+β的值，进而可求得tan(α+β)、cos(α+β)的值．
本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：对于A项，由图可知，P(X≥2)>P(Y≥2)，故A项不成立；
对于B项，由图可知，P(X≤1.5)>12，P(Y≤1.5)=12，所以P(X≤1.5)>P(Y≤1.5)，故B项不成立；
对于C项，因为P(1≤Y≤2)=1−2P(Y>2)，P(0≤X≤2)=1−2P(X>2)，P(X>2)>P(Y>2)，
所以P(0≤X≤2)
运用正态分布密度曲线的对称性求解即可．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：利用间接法：
第一个节目不排小品类，共有A51A55=600种不同的排法，
第一个节目不排小品类且2个歌唱类节目相邻，共有A22A41A44=192种不同的排法，
所以第一个节目不排小品类，2个歌唱类节目不相邻，有600−192=408种不同的排法．
故选：C．
先求第一个节目不排小品类不同的排法种数，再求第一个节目不排小品类且2个歌唱类节目相邻的排法种数，再相减即可．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：因为平面PAB⊥平面ABC，AB为两平面交线，
取AB中点O，因为PA=PB=2，所以OP⊥AB，
又OP⊂平面PAB，所以OP⊥平面ABC，所以三棱锥的体积V=13S△ABC⋅OP，
因为PC= 102,OC= PC2−OP2，所以当OP长度确定时，OC长度不变，
此时当OC⊥AB时△ABC面积达到最大，故求出当OC⊥AB时三棱锥体积的最大值即可．
当OC⊥AB时，令∠APO=θ∈(0,π2)，
则OP=2cosθ,AB=4sinθ,OC= 52−4cos2θ，
则V=13S△ABC⋅OP=13⋅2sinθ⋅ 52−4cos2θ⋅2cosθ
=23 sin22θ⋅(52−4cos2θ)
=23 (1−cos22θ)(12−2cos2θ)，
由(1−cos22θ)(12−2cos2θ)>0可得−1
从而f′(t)=6t2−t−2=(2t+1)(3t−2)，
当t∈(−1,−12)时f′(t)>0，f(t)单调递增，
当t∈(−12,14)时f′(t)<0，f(t)单调递减，
所以f(t)max=f(−12)=98，
即最大体积为Vmax=23 f(t)max=23× 98= 22．
故选：B．
利用面面垂直的性质定理得出OP⊥平面ABC，分析知当OC⊥AB时三棱锥体积最大，令∠APO=θ∈(0,π2)，则体积V=23 (1−cos22θ)(12−2cos2θ)，换元构造函数，利用导数求得其最值即可．
本题考查三棱锥的体积的最值的求解，函数思想，导数的应用，属中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由于全队中身高最高为190cm，最低为160cm，该田径队队员身高数据的极差为190−160=30cm，故A正确；
对于B，由已知田径队共有20人，用不放回简单随机抽样的方法从田径队中抽取一个容量为10的样本，则每位运动员被抽到的概率均为1020=12，故B正确；
对于C，田径队有男运动员12人，女运动员8人，男女生比例为128=32，若抽取一个容量为10的样本，男、女运动员抽取的人数分别为6人与4人，故C错误；
对于D，若田径队中男、女运动员的平均身高分别为175cm和165cm，男生占35，女生占25，则该田径队的运动员总体平均身高为x−=35×175+25×165=171cm，故D正确．
故选：ABD．
对于A，身高的最大值减最小值即可；对于B，不放回的简单随机抽样中每个个体被抽取的概率相等，等于抽取的人数与总体人数的比；对于C，利用分层抽样的方法按比例抽取即可；对于D，根据男女生的比例及平均数公式求得结果．
本题主要考查了平均数和极差的计算，考查了分层抽样的定义，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：由图可知，A+k=32−A+k=−12⇒A=1k=12，
T2=5π12−(−π12)=π2⇒T=π，
所以ω=2πT=2ππ=2，
所以f(x)=sin(2x+φ)+12，
将点(5π12,32)代入f(x)=sin(2x+φ)+12可得：2×5π12+φ=π2+2kπ，k∈Z，
又因为|φ|<π2，
所以φ=−π3，
所以f(x)=sin(2x−π3)+12，故A项正确，B项错误；
对于C项，因为T=π，所以T2=π2，
由图可知，f(x)在[5π12,5π12+π2]上单调递减，
即：f(x)在[5π12,11π12]上单调递减，故C项正确；
对于D项，因为f(x)=sin(2x−π3)+12，
所以f(x−5π12)=sin[2(x−5π12)−π3]+12=sin(2x−7π6)+12=sin(2x+5π6)+12，
当x=0时，sin(2x+5π6)=sin5π6≠±1，
所以f(x−5π12)不是偶函数，故D项错误．
故选：AC．
由图列方程组A+k=32−A+k=−12可判断A项，代入点(5π12,32)可判断B项，结合图象及其周期可判断C项，令x=0计算sin(2x+5π6)≠±1可判断D项．
本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，正弦函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A项，在8次移动中，设变量X为质点向右运动的次数，则X～B(8,23)，
若移动8次后，质点位于0的位置，则质点向右移动4次，向左移动4次，
所以第八次移动后位于原点0的概率为C84×(23)4×(13)4，故A项错误；
对于C项，记“第一次移动后位于−1”为事件A，“第五次移动后位于1”为事件B，
由题意知，质点先向左移动1次，剩余的4次中质点向右移动3次，向左移动1次，
所以第一次移动后位于−1且第五次移动后位于1的概率为P(AB)=C43×(23)3×(13)2，故C项正确；
对于B项，在6次移动中，设变量X为质点向右运动的次数，则X～B(6,23)，
若移动6次后，质点位于4的位置，则质点向右移动5次，向左移动1次，
所以第八次移动后位于原点0的概率为C65×(23)5×13，故B项正确；
对于D项，记“第二次移动后位于2”为事件M，“第六次移动后位于4”为事件N，
当第二次移动后位于2且第六次移动后位于4时，质点先向右移动2次，剩余的4次中质点向右移动3次，向左移动1次，
所以P(MN)=(23)2×C43×(23)3×13，P(M)=(23)2，
所以已知第二次移动后位于2，则第六次移动后位于1的概率为P(N|M)=P(MN)P(M)=(23)2×C43×(23)3×13(23)2=C43×(23)3×13，故D项正确．
故选：BCD．
运用二项分布可判断A项、B项，运用分步乘法计算可判断C项，运用条件概率公式计算可判断D项．
本题考查独立重复试验的概率计算，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于A，令x=y=0可得f(1)=0，A选项正确；
对于B，令x=0，则f(−y)−f(y)=f(1)⋅f(y+1)=0，即f(−y)=f(y)，
则f(x)为R上的偶函数；
令x=y=1，则f(0)−f(2)=[f(2)]2①，
令x=y=−1，则f(0)−f(−2)=[f(0)]2，
即f(0)−f(2)=[f(0)]2②；
由①②得[f(0)]2=[f(2)]2，
即f(0)=±f(2)；
若f(0)=f(2)，
则[f(0)]2=f(0)−f(2)=0，与条件f(0)≠0不符，
故f(0)=−f(2)，
此时有2f(0)=[f(0)]2，
因为f(0)≠0，
所以f(0)=2，f(2)=−2，B选项错误；
对于C，令y=1，则f(x−1)−f(x+1)=f(x+1)f(2)=−2f(x+1)，即f(x−1)=−f(x+1)，
所以f(x+2)=−f(x)，
从而f(x+4)=f(x)，
故T=4为函数f(x)的一个周期，
所以f(3)=f(−1)，C选项正确；
对于D，因为f(x+2)=−f(x)，
所以f(3)=−f(1)=0，f(4)=−f(2)=2，
此时有k=14f(k)=0，则k=123f(k)=f(1)+f(2)+f(3)=−2,D选项正确．
故选：ACD．
利用赋值法对x，y进行赋值结合函数的周期可得答案．
本题考查抽象函数及其运用，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】50
【解析】解：因为经验回归方程为y =3x+a ，y−=170,x−=40，
所以a =y−−3x−=170−3×40=50．
故答案为：50．
利用回归方程必过样本中心(x−,y−)，代入求解即可．
本题考查线性回归方程相关知识，属于中档题．
14.【答案】80
【解析】解：(2x+1x2)5的展开式的通项公式为Tr+1=C5r⋅25−r⋅x5−3r，
令5−3r=2，求得r=1，可得x2的系数为C51×24=80，
故答案为：80．
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得含x2的系数．
本题考查二项式定理，属于基础题．
15.【答案】823
【解析】解：设一、二、三等奖作品分别有x，y，y件，
所以P(AB)=0.4xx+2y=0.16，解得：x=43y，
所以P(B)=0.4x+0.4y+0.6yx+2y=0.46，
所以P(A|B)=P(AB)P(B)=0.160.46=823．
故答案为：823．
设出一、二、三等奖作品件数，由P(AB)=0.16可得x=43y，进而可求得P(B)，结合条件概率公式计算可得结果．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了条件概率公式，属于基础题．
16.【答案】(7π6,11π6)
【解析】解：原不等式等价于3sin5θ−5sin3θ>3(−cos2θ)5−5(−cos2θ)3，
令f(x)=3x5−5x3，则不等式等价于f(sinθ)>f(−cos2θ)，
因为f′(x)=15x2(x2−1)，所以当x∈(−1,1)时，f′(x)<0，
所以f(x)在[−1,1]上单调递减，
又因为sinθ，−cos2θ∈[−1,1]，
所以sinθ<−cos2θ，即2sin2θ−sinθ−1>0，
即(2sinθ+1)(sinθ−1)>0，解得sinθ<−12或sinθ>1，
又因为θ∈[0,2π)，所以θ∈(7π6,11π6)．
故答案为：(7π6,11π6)．
构造函数f(x)=3x5−5x3研究其在[−1,1]上的单调性，运用其单调性可得sinθ<−cos2θ，解不等式即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，三角函数不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵Sn+1an+1−Snan=12，a1=1，
∴数列{Snan}是首项为1，公差为12的等差数列，
则Snan=1+12(n−1)=n+12，
即2Sn=(n+1)an，2Sn−1=nan−1(n≥2)，
两式作差得2an=(n+1)an−nan−1，
即anan−1=nn−1(n≥2)，
∴anan−1×an−1an−2×an−2an−3×⋯×a2a1=nn−1×n−1n−2×⋯×21，
即ana1=n，an=n(n≥2)，
∵a1=1，∴an=n；
(2)由题意得Sn=(a1+na1)⋅n2，
∴1Sn=2a1⋅1n(n+1)=2a1⋅(1n−1n+1)，
则k=1n1sk=2a1k=1n(1k−1k+1)
=2a1(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)
=2a1(1−1n+1)，
当n→+∞时，2a1(1−1n+1)→2a1，
∵a1>0，∴k=1n1Sk<1恒成立转化为2a1≤1，解得a1≥2，
故a1的取值范围为[2,+∞)．
【解析】(1)由已知得{Snan}为公差为12的等差数列，求得2Sn=(n+1)an，利用an与Sn的关系求得anan−1=nn−1(n≥2)，再利用累乘法，即可得出答案；
(2)利用等差数列前n项和公式表示出Sn，即可得出1Sn=2a1⋅(1n−1n+1)，然后利用裂项相消法求得其前n项的和，即可得出答案．
本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】证明：(1)过点A作AD⊥PC于点D，因为平面PAC⊥平面PBC，
平面PAC⋂平面PBC=PC，AD⊂平面PAC，所以AD⊥平面PBC，
因为BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC，又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
又PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC．
(2)解：因为BC⊥平面PAC，所以BC⊥AC，则以CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立空间直角坐标系，
z轴//AP，取BC= 3,AC=1,PA=a，则A(0,1,0),B( 3,0,0),P(0,1,a)，M( 32,12,a2),CP=(0,1,a),CB=( 3,0,0),AM=( 32,−12,a2)；
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z)，由m⋅CP=m⋅CB=0可得：x=0,y+a⋅z=0,；
取y=a，z=−1，则m=(0,a,−1)，
平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1)，设AM与平面PBC所成角为α，
则sinα=|cos〈AM,m〉|=|−a2−a2 a2+1⋅ 1+a24|=23，解得a= 2，
此时m=(0, 2,−1)，则cos〈m,n〉=−11× 3=− 33，
设平面PBC与平面ABC的夹角为β，
则cosβ=|cos〈m,n〉|= 33．
【解析】(1)利用面面垂直的性质可得线面垂直；
(2)先根据线面角求出PA的长，然后利用法向量求解二面角．
本题主要考查二面角平面角的求解，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为sinA=1−c 3b
由正弦定理可得sinA=1−sinC 3sinB=1−sinC 3，
因为B=π2，所以sinC=cosA，
则 3sinA+cosA= 3，即sin(A+π6)= 32，
因为0
所以sin∠ABD=14，
cos∠DBC=sin∠ABD=14，
所以sin∠DBC= 154，
CD=BDsinπ3⋅sin∠DBC= 5⇒AC=1+ 5⇒BC=1+ 52
S△BDC=12×CD×BC×sinπ3=12× 5×1+ 52× 32= 15+5 38．
【解析】(1)由已知，利用正弦定理结合辅助角公式可得sin(A+π6)= 32，从而可得答案；
(2)利用正弦定理求得sin∠ABD=14，可得sin∠DBC= 154，从而得CD= 5，再由三角形面积公式可得答案．
本题主要考查正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)零假设H0：认为男生的身高与肺活量的等级划分无关联，
K2=80×(22×6−22×30)244×36×52×28≈9.67>7.879，
所以假设不成立，所以我们有99.5%的把握认为男生的身高与肺活量的等级划分有关联．
(2)由题意知，X的可能取值为：2、3、4、5．
P(X=2)=C11C41C62=415，P(X=3)=C11C11C62=115，P(X=4)=C42C62=615，P(X=5)=C41C11C62=415，
则X的分布列如下：
X
2
3
4
5
415
115
615
415
所以，E(X)=2×415+3×115+4×615+5×415=113．
【解析】(1)计算K2判断即可．(2)分析出X的可能取值为2，3，4，5，分别计算各自概率，写出分布列和期望即可．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)方法1：如图所示，
由题意知，A(−2,0)，B(2,0)，D(0,1)，
设M(2cosα,sinα)，lBD：x+2y−2=0，
则|BD|= 5，
点M到直线BD的距离为：d=|2cosα+2sinα−2| 5=|2 2sin(α+π4)−2| 5，
所以d=|2 2sin(α+π4)−2| 5≤|−2 2−2| 5=2 2+2 5，
所以S△MDB≤12× 5×2 2+2 5= 2+1．
故△MBD面积的最大值为： 2+1．
方法2：设与BD平行的直线l：x+2y+t=0，
联立x+2y+t=0x2+4y2=4得8y2+4ty+t2−4=0，
令Δ=16(−t2+8)=0⇒t=±2 2，
显然当t=2 2时l与椭圆的切点与直线BD的距离最大，
dmax=|2 2−(−2)| 12+22=2 2+2 5，
所以S△MDB≤12× 5×2 2+2 5= 2+1．
故△MBD面积的最大值为： 2+1．
(2)证明：如图所示，
设直线lAM：x=my−2，
联立x2+4y2=4x=my−2得(m2+4)y2−4my=0，
则点M的坐标为(2m2−8m2+4,4mm2+4)，
设点Q为(t,0)，则kQD=kMD，
所以1−t=4mm2+4−12m2−8m2+4，即t=2(m+2)m−2，
所以Q(2(m+2)m−2,0)，
联立x=my−2y=−12x+1得点P的坐标为(2(m−2)m+2,4m+2)，
所以k1=4mm2+4−4m+22m2−8m2+4−2(m−2)m+2=1m，k2=4m+2−02(m−2)m+2−2(m+2)m−2=2−m4m，
所以k1−2k2=1m−2×2−m4m=1m−2−m2m=12．
故k1−2k2为定值12．
【解析】(1)方法1：设出点M的坐标，计算点M到直线BD的距离，运用辅助角公式转化为求三角函数的最大值，进而可求得结果．
方法2：联立椭圆方程及与BD平行的直线的方程，令Δ=0，进而可求得结果．
(2)分别求出交点M、Q、P坐标，计算k1−2k2即可．
本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=lnx−x，定义域为(0,+∞)，
则f′(x)=1x−1=1−xx，
f′(x)>0⇒0
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
∴f(x)max=f(1)=−1，
故f(x)的最大值为−1．
(2)由题意知，a>0，
由f(x1)>g(x2)可得alnx1a−x1>ax2−aex2，
∴lnx1a−x1a>lnex2−ex2．
令h(x)=lnx−x，
由(1)可知，h(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
则h(x1a)>h(ex2)，
令t1=x1a,t2=ex2，
又x1>0，x2>0，
∴t1>0，t2>1，
则h(t1)>h(t2)
①若t1≥1，则t1+t2>2，即x1a+ex2>2，∴x1+aex2>2a；
②若0
则h(t3)=h(t1)>h(t2)，
∴1
令F(x)=h(x)−h(2−x)=lnx−ln(2−x)−2x+2，x∈(0,1)，
则F′(x)=1x+12−x−2=2(x−1)2x(2−x)>0，
∴F(x)=h(x)−h(2−x)在x∈(0,1)上单调递增，
∴F(x)
∴h(t3)
又∵1
由①②可知，x1+aex2>2a得证．
【解析】(1)运用导数研究f(x)的单调性，进而求得其最大值．
(2)同构函数h(x)=lnx−x，转化为h(x1a)>h(ex2)，结合换元法t1=x1a,t2=ex2，分别讨论t1≥1与0
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