2021-2022学年浙江省衢温“5 1”联盟高二（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年浙江省衢温“5 1”联盟高二（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年浙江省衢温“5+1”联盟高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.；
1．（5分）设集合A＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（　　）
A．{2} B．{2，3} C．{3，4} D．{2，3，4}
2．（5分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）若tanθ＝﹣2，则（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
4．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（　　）

A．
B．
C．
D．
5．（5分）已知圆，圆C2：x2+y2x﹣4y+7＝0，则“a＝1”是“两圆内切”的（　　）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝1，若∀n∈N*，S5≥Sn，则公差d的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）已知矩形ABCD，AB＝1，BC，沿对角线AC将△ABC折起，若平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为，则B与D之间距离为（　　）
A．1 B． C． D．
8．（5分）已知双曲线C1的一条渐近线方程为y＝kx，离心率为e1，双曲线C2的一条渐近线方程为yx，离心率为e2，且双曲线C1、C2在第一象限交于点（1，1），则（　　）
A．|k| B． C．1 D．2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列命题中正确的是（　　）
A．抛物线C：y2＝﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0）
B．抛物线C：y2＝﹣4x的准线方程为x＝﹣1
C．抛物线C：y2＝2px的图像关于x轴对称
D．抛物线C：y2＝2px的图像关于y轴对称
（多选）10．（5分）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，且两个人射击的结果互不影响，则下列结论正确的是（　　）
A．两人都中靶的概率为0.72
B．至少一人中靶的概率为0.88
C．至多一人中靶的概率为0.26
D．恰好有一人脱靶的概率为0.26
（多选）11．（5分）已知函数则下列说法正确的是（　　）
A．函数f（x）为周期函数
B．函数f（x）为偶函数
C．当a＞0时，函数有且仅有2个零点
D．若点P（x，y）是函数f（x）图像上一点，则（x）2+y2的最小值与a无关
（多选）12．（5分）如图，在四棱柱A'B'C'D'﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，∠A'AB＝∠A'AD，点P是直线A'C'上一动点，下列说法正确的是（　　）

A．若棱柱A'B'C'D'﹣ABCD是直棱柱，其外接球半径为2，则
B．若棱柱A'B'C'D'﹣ABCD是直棱柱，则直线AP与A'D的夹角大于
C．无论∠A'AB取何值，总存在点P，使得直线PC∥平面A'BD
D．若直线PA，PB，PC与平面ABCD所成角分别θ1，θ2，θ3，则tan2θ2≤tanθ1•tanθ3
三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.
13．（5分）i为虚数单位，复数　 　．
14．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+2，则函数f（x）的极大值为 　 　．
15．（5分）已知平面向量均为非零向量，且满足，记向量在向量上投影向量为，则k＝　 　.（用数字作答）
16．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an+1＝an2+an﹣1（n≥2，n∈N*），则（a12+a22+a32+⋯+a20222）﹣3•（a1•a2•a3•⋯•a2022）＝　 　．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在①（b﹣c）cosA＝acosC，②sin（B+C）1+2sin2，③acosCb﹣c，这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_____．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，且△ABC的面积为2，求b+c．
18．（12分）浙江省新高考采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，另外考生根据自己实际需要在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门科目中自选3门参加考试．下面是某校高一200名学生在一次检测中的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；
（Ⅱ）由频率分布直方图，求物理、化学、生物三科总分成绩的第60百分位数；
（Ⅲ）若小明决定从“物理、化学、生物、政治、技术”五门学科中选择三门作为自己的选考科目，求小明选中“技术”的概率．
19．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，O为线段BD中点，△OCD是边长为1正三角形，且OA⊥BC，AB＝AD．
（Ⅰ）证明：平面ABD⊥平面BCD；
（Ⅱ）若|OA|＝1，，求平面BCE与平面BCD的夹角的余弦值．

20．（12分）已知数列{an}满足，．
（Ⅰ）记bn＝an+1，证明：数列{bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{bn}前n项和为Tn，证明：．
21．（12分）已知椭圆C：，右焦点为F（，0），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设M，N是椭圆C上不同的两点，且直线MN与圆O：相切，若T为弦MN的中点，求|OT|•|MN|的取值范围．

22．（12分）已知函数，且a＞0．
（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）记函数g（x）＝f（x）+x，若函数g（x）有两个零点x1，x2．
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）证明：．

2021-2022学年浙江省衢温“5+1”联盟高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.；
1．（5分）设集合A＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（　　）
A．{2} B．{2，3} C．{3，4} D．{2，3，4}
【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，
∴A∩B＝{2，3}，
故选：B．
2．（5分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设直线x﹣y+1＝0的倾斜角为α，α∈[0，π）．
则tanα，
∴．
故选：C．
3．（5分）若tanθ＝﹣2，则（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【解答】解：因为tanθ＝﹣2，
所以1．
故选：B．
4．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（　　）

A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据原函数为减函数时，f′（x）＜0，增函数时，f′（x）＞0，从而可判断只有选项D的图象符合．
故选：D．
5．（5分）已知圆，圆C2：x2+y2x﹣4y+7＝0，则“a＝1”是“两圆内切”的（　　）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：圆C1的圆心坐标为（），半径为，
圆C2：，圆心坐标为，半径为3．
，两圆的半径差为||，
由，解得a＝1或a＝25．
∴“a＝1”是“两圆内切”的充分不必要条件．
故选：B．
6．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝1，若∀n∈N*，S5≥Sn，则公差d的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∀n∈N*，S5≥Sn，故a5≥0，a6≤0，
所以1+4d≥0，1+5d≤0，
所以d的取值范围为．
故选：A．
7．（5分）已知矩形ABCD，AB＝1，BC，沿对角线AC将△ABC折起，若平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为，则B与D之间距离为（　　）
A．1 B． C． D．
【解答】解：过B和D分别作BE⊥AC，DF⊥AC，
∵AB＝1，BC，
∴AC＝2，
∵AB•BCAC•BE，
∴BE＝DF，
则AE＝CF，即EF＝2﹣1＝1，
∵平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为，
∴cos，，
∵，
∴2＝（）2222+2•2•2•12||•||cos，2（）3，
则||，
即B与D之间距离为，

故选：C．
8．（5分）已知双曲线C1的一条渐近线方程为y＝kx，离心率为e1，双曲线C2的一条渐近线方程为yx，离心率为e2，且双曲线C1、C2在第一象限交于点（1，1），则（　　）
A．|k| B． C．1 D．2
【解答】解：设双曲线C1的方程为，
又因为其过（1，1），且可知k2≠1，不妨设k2＞1，
代入，得，所以双曲线C1的方程为，
所以，
同理可得双曲线C2的方程为，
所以可得，
所以，当0＜k2＜1时，结论依然成立．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列命题中正确的是（　　）
A．抛物线C：y2＝﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0）
B．抛物线C：y2＝﹣4x的准线方程为x＝﹣1
C．抛物线C：y2＝2px的图像关于x轴对称
D．抛物线C：y2＝2px的图像关于y轴对称
【解答】解：对于A，抛物线C：y2＝﹣4x
则p＝2，，
所以抛物线C的焦点坐标为（﹣1，0），故A正确，
对于B，抛物线C：y2＝﹣4x
则p＝2，，
所以抛物线C的准线方程为x＝1，故B错误，
抛物线C：y2＝2px的图像关于x轴对称，故C正确，D错误．
故选：AC．
（多选）10．（5分）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，且两个人射击的结果互不影响，则下列结论正确的是（　　）
A．两人都中靶的概率为0.72
B．至少一人中靶的概率为0.88
C．至多一人中靶的概率为0.26
D．恰好有一人脱靶的概率为0.26
【解答】解：设事件A为“甲中靶”，设事件B为“乙中靶”，这两个事件相互独立，
对于A，都中靶的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.8×0.9＝0.72，故A正确；
对于B，至少一人中靶，其对立事件为两人都不中靶，
故至少一人中靶的概率为1﹣P（）＝1﹣P（）P（）＝1﹣0.2×0.1＝0.98，故B错误；
对于C，至多一人中靶的对立事件为两人都中靶，
∴至多一人中靶的概率为1﹣P（AB）＝0.28，故C错误；
对于D，恰好有一人脱靶的概率为P（A）P（）+P（）P（B）＝0.8×0.1+0.2×0.9＝0.26，故D正确．
故选：AD．
（多选）11．（5分）已知函数则下列说法正确的是（　　）
A．函数f（x）为周期函数
B．函数f（x）为偶函数
C．当a＞0时，函数有且仅有2个零点
D．若点P（x，y）是函数f（x）图像上一点，则（x）2+y2的最小值与a无关
【解答】解：由得，
此时函数f（x）的图象为焦点在x轴对称轴为坐标轴的椭圆的上半部分，
f（x+T）≠f（x），
由f（x）＝cos（πx）+a，|x|＞2知，
此时函数的图象为三角函数f（x）＝cos（πx）+a在|x|＞2的部分，
可知函数f（x）不是周期函数，故A错误；
x∈R，因为（a∈R），所以f（﹣x）＝f（x），
所以函数f（x）为偶函数，故B正确；
令，解得x＝±2，
令f（x）＝cos（πx）+a＝0，解得cos（πx）＝﹣a，
因为﹣1≤cos（πx）≤1，所以当0＜a≤1，可得f（x）＝0，
所以函数至少有2个零点，故C错误；
由得，
此时函数f（x）的图象为焦点在x轴，对称轴为坐标轴的椭圆的上半部分，
椭圆的右焦点为，由椭圆性质知P（x，y）为右顶点（2，0）时到焦点的距离最小，此时最小值为，
所以的最小值为，
当|x|＞2时，f（x）＝cos（πx）+a，|x|＞2的点到的距离的平方大于，
故的最小值与a无关，故D正确；
故选：BD．

（多选）12．（5分）如图，在四棱柱A'B'C'D'﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，∠A'AB＝∠A'AD，点P是直线A'C'上一动点，下列说法正确的是（　　）

A．若棱柱A'B'C'D'﹣ABCD是直棱柱，其外接球半径为2，则
B．若棱柱A'B'C'D'﹣ABCD是直棱柱，则直线AP与A'D的夹角大于
C．无论∠A'AB取何值，总存在点P，使得直线PC∥平面A'BD
D．若直线PA，PB，PC与平面ABCD所成角分别θ1，θ2，θ3，则tan2θ2≤tanθ1•tanθ3
【解答】解：若棱柱A′B′C′D′﹣ABCD是直棱柱，因为外接梂的直径是长方体的对角线，
其外接球半径为2，所以A′A2+AB2+BC2＝42，由AB2＝BC2＝4，
则，故A正确；
若棱柱A′B′C′D′﹣ABCD是直棱柱，

则直线AP与A′C′的夹角为∠A′PA，当P点与C点重合时，∠A′PA最小，
在Rt△A′PA中，，，
所以直线AP与A′C′的夹角小于，所以B错误；

连接对角线AC，BD相交于点O，连接A′O，PC，当P为A′C′的中点时，
有PA′＝OC，PA′∥OC，所以四边形APCO为平行四边形，
所以A′O∥PC，A′O⊂平面ABD，PC⊄平面ABD，所以PC∥平面ABD，
所以无论∠A′AB取何值，总存在点P，使得直线PC∥平面A′BD，故C正确；
对于D，方法一：做PE⊥底面ABCD于E，则E在AC上，连接EA，EB，EC，

则∠PAE＝θ1，∠PBE＝θ2，∠PCE＝θ3，
所以，
设AE＝x（0≤x≤2），则，
由余弦定理得，
所以，
则tan2θ2≤tanθ1⋅tanθ3，故D正确；
方法二：tan2θ2，tanθ1，tanθ3，
因为AE•CE2，
即AE•CE≤2，
设O为AC，BD的交点，
则BE2≥BO2＝2，
所以BE2≥AE•CE，
即tan2θ2≤tanθ1•tanθ3，故D正确；
故选：ACD．


三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.
13．（5分）i为虚数单位，复数　　．
【解答】解：，
故答案为：．
14．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+2，则函数f（x）的极大值为 　2　．
【解答】解：令f′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），令3x（x﹣2）＝0，得x＝0，或x＝2，
由f′（x）＞0得，x＜0或x＞2，由f′（x）＜0得，0＜x＜2，
故x＝0时，f（x）取得极大值为f（0）＝2．
故答案为：2．
15．（5分）已知平面向量均为非零向量，且满足，记向量在向量上投影向量为，则k＝　　.（用数字作答）
【解答】解：||＝||＝||，所以||2＝2•，，60°，
||＝||两边平方得，||2＝2•，
||＝||，两边平方得••，即||•||cos，||•||cos，，
可得，，，2•||2，
设，，向量是以，为邻边的平行四边形有公共起点的对角线，如图，

∵||＝|||，||＝||，故平行四边形为菱形，∴∠ADC＝120°，
由余弦定理可得||＝||2+||2﹣2||•||cos120°，
可得||||，||||||，
向量在向量上投影向量为|||||||，
即k．
故答案为：．

16．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an+1＝an2+an﹣1（n≥2，n∈N*），则（a12+a22+a32+⋯+a20222）﹣3•（a1•a2•a3•⋯•a2022）＝　2019　．
【解答】解：由知
，
，
，
故，
所以，
．
故答案为：2019．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在①（b﹣c）cosA＝acosC，②sin（B+C）1+2sin2，③acosCb﹣c，这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_____．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，且△ABC的面积为2，求b+c．
【解答】解：（1）若选①∵，
∴sinBcosA＝sinCcosA+sinAcosC＝sin（A+C）＝sinB，
∴cos，
∵A∈（0，π），
∴A．
若选②∵sin（B+C）1+2sin2，
∴sinAcosA，
∴sin（A）＝1，
∵A∈（0，π），A∈（，），可得A，
∴A．
若选③∵，
∴，
∴，
∵A∈（0，π），
∴A．
（2）∵，
∴，
又∵a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，
∴，即．
18．（12分）浙江省新高考采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，另外考生根据自己实际需要在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门科目中自选3门参加考试．下面是某校高一200名学生在一次检测中的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；
（Ⅱ）由频率分布直方图，求物理、化学、生物三科总分成绩的第60百分位数；
（Ⅲ）若小明决定从“物理、化学、生物、政治、技术”五门学科中选择三门作为自己的选考科目，求小明选中“技术”的概率．
【解答】解：（Ⅰ）解：（0.002+0.0095+0.011+0.0125+0.0075+a+0.0025）×20＝1，
解得a＝0.005．
（Ⅱ）因为（0.002+0.0095+0.011）×20＝0.45＜0.6，所以三科总分成绩的第 60 百分位数在[220，240）内，
设第 60 百分位数为x，则0.45+0.0125×（x﹣220）＝0.6，
解得x＝232，即第60百分位数为232．
（III）将物理、化学、生物、政治、技术5门学科分别记作a，b，c，d，e，
则Ω＝{（a，b，c），（a，b，d），（a，b，e），（a，c，d），（a，c，e），（a，d，e），（b，c，d），（b，c，e），（b，d，e），（c，d，e）}，
事件A表示小明选中“技术”，则A＝{（a，b，e），（a，c，e），（a，d，e），（b，c，e），（b，d，e），（c，d，e）}，
故P（A）．
19．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，O为线段BD中点，△OCD是边长为1正三角形，且OA⊥BC，AB＝AD．
（Ⅰ）证明：平面ABD⊥平面BCD；
（Ⅱ）若|OA|＝1，，求平面BCE与平面BCD的夹角的余弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：因为 AB＝AD，O 为 BD 中点，所以 OA⊥BD，
因为 OA⊥BC，且 BD，BC⊆平面BCD，BD∩BC＝B，所以 OA⊥平面 BCD，
又因为 OA⊆平面 ABD，所以平面 ABD⊥平面 BCD；
（Ⅱ）解：作 OF⊥BD 交 BC 于点 F，如图，以O 为坐标原点，分别以OF，OD，OA 所在直线x，y，z轴建立空间直角坐标系，
因为△OCD 为边长为 1 的正三角形，且 OA＝OB＝1，DE＝2AE，
所以 A（0，0，1），B（0，﹣1，0），，
设平面 EBC 的法向量为 （x，y，z） 因为 ⊥BE，⊥BC，
所以，
令 y＝﹣1，则 x，z＝2，所以 （ ，﹣1，2），
已知平面 BCD 的法向量 （0，0，1），
所以，
所以平面 EBC 与平面 BCD 的夹角的余弦值为 ．

20．（12分）已知数列{an}满足，．
（Ⅰ）记bn＝an+1，证明：数列{bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{bn}前n项和为Tn，证明：．
【解答】解：（Ⅰ）由 an+1＝2an+1 可得 an+1+1＝2（an+1），
所以 {bn} 是以首项 a1+1＝2，公比为 2 的等比数列，
所以 bn＝an+1＝2n，
证明：（Ⅱ）易得 ，
于是 ，
所以，
因为，所以 ．
21．（12分）已知椭圆C：，右焦点为F（，0），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设M，N是椭圆C上不同的两点，且直线MN与圆O：相切，若T为弦MN的中点，求|OT|•|MN|的取值范围．

【解答】解：（I ）∵，
∴a＝2，b，
∴椭圆C的方程为；
（II） 当直线MN斜率为0时，不妨取直线MN为 ，
则，
此时，则|；
当直线MN斜率不存在，不妨取直线MN为，
则，
此时，则；
当直线MN斜率存在且不为0时，
设直线MN的方程为x＝my+t，M（x1，y1），N（x2，y2），
因为直线MN与圆x2+y2相切，
所以，即，
又因为直线MN与椭圆C交于M，N两点，
所以⇒（m2+2）y2+2mty+t2﹣4＝0，
则，所以MN中点T坐标为，
则，

，
所以，
又，当且仅当，即取等号，
综上所述，|OT|⋅|MN|的取值范围为．
22．（12分）已知函数，且a＞0．
（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）记函数g（x）＝f（x）+x，若函数g（x）有两个零点x1，x2．
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）证明：．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1 时，函数，x＞0，
因为 ，
所以函数 f （x ） 的单调递减区间为（0，+∞）；
（Ⅱ）（i）由已知可得方程 a＝﹣2xlnx有两个实数根，
记 k（x）＝﹣2xlnx，则 k'（x）＝﹣2（1+lnx）．
当 时，k'（x）＞0，函数 k （x ） 是增函数；
当时，k'（x）＜0，函数 k （x ） 是减函数，
所以 ，故 ，
所以，a的取值范围为；
（ii）证明：易知，当 x＞1 时，k（x）＜0，故 0＜x1，x2＜1．
由（Ⅰ）可知，当 0＜x＜1时，f（x）＞f（1）＝0，所以，
由，得，所以．
因为 ，
所以．
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