2021-2022学年浙江省衢州市高一（下）期末数学试卷

2021-2022学年浙江省衢州市高一（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有1项符合题目要求.

1．（5分）已知集合，2，，，3，，则　　

A．，2，3， B．， C．， D．

2．（5分）“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（5分）已知，，，则　　

A． B． C． D．

4．（5分）已知，则的值为　　

A． B． C． D．

5．（5分）已知函数的图象如图所示，则可能是　　

A． B． 

C． D．

6．（5分）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则面积为　　

A．2 B． C． D．6

7．（5分）随着社会的发展，小汽车逐渐成了人们日常的交通工具．小王在某段时间共加92号汽油两次，两次加油单价不同．现在他有两种加油方式：第一种方式是每次加油200元，第二种方式是每次加油30升．我们规定这两次加油哪种加油方式的平均单价低，哪种就更经济，则更经济的加油方式为　　

A．第一种 B．第二种 C．两种一样 D．不确定

8．（5分）已知函数，若，，，则　　

A． B．2 C．4 D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9．（5分）已知复数是虚数单位），下列说法正确的是　　

A．在复平面内所对应的点位于第四象限 

B．复数的虚部是 

C．若为的共轭复数，则 

D．

10．（5分）下列四个命题为真命题的是　　

A．已知平面向量，若，，则 

B．若，，则可作为平面向量的基底 

C．若，，则在上的投影向量为 

D．若，，，则

11．（5分）已知函数，则下列说法正确的是　　

A．（1） 

B．的值域为 

C．方程最多只有两个实数解 

D．方程有5个实数解

12．（5分）在正方体中，是的中点，是线段上的一点．下列说法正确的有　　

A．平面中一定存在直线与平面平行 

B．直线，可以与平面垂直 

C．存在一点使得，为 

D．直线与平面所成的角为，平面与平面所成的锐二面角为，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分..

13．（5分）已知数据，，，的方差为，数据，，，的方差为，则　　．

14．（5分）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是　　．

15．（5分）已知正实数，满足，则的最小值是 　　．

16．（5分）如图，在平面四边形中，，，为等腰直角三角形，且，则长的最大值为 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.

17．（10分）已知向量，．

（1）当为何值时，；

（2）若，求实数的值．

18．（12分）某县在创文明县城期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解市民的学习成果，该县从某社区随机抽取了160名市民作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分为100分，将数据收集，并整理得到频率分布直方图，如图所示：

（1）求的值；

（2）估计此样本中的160名市民成绩的平均数和第75百分位数．

19．（12分）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别为棱和的中点．

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积．

20．（12分）已知函数．

（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；

（2）把的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，已知关于的方程在上有两个不同的解，．

①求实数的取值范围；

②证明：．

21．（12分）如图1，在中，，，，且，分别为，的中点，延长交于点．现将沿翻折至△，使得，如图2所示．

（1）求证：；

（2）点为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．

22．（12分）已知函数．

（1）若（2），求的值；

（2）若，求在，上的最小值（a）；

（3）若方程有3个不相等的正实数根，，，且，证明：．

2021-2022学年浙江省衢州市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有1项符合题目要求.

1．（5分）已知集合，2，，，3，，则　　

A．，2，3， B．， C．， D．

【解答】解：集合，2，，，3，，则，．

故选：．

2．（5分）“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：当时，成立，

故“” “”为真命题

故“”是“”的充分条件；

当时，或，即不成立

故“” “”为假命题

故“”是“”的不必要条件；

综上“”是“”的充分不必要条件；

故选：．

3．（5分）已知，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，，

，

，

故选：．

4．（5分）已知，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，所以，

所以．

故选：．

5．（5分）已知函数的图象如图所示，则可能是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：由图象可知，排除；

又（1），而选项中（1），

排除，

故选：．

6．（5分）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则面积为　　

A．2 B． C． D．6

【解答】解：在中，角、、的对边分别为，，，且满足，可得，

利用正弦定理得，

由于，，

故，

又，

所以解得，

又，，

所以由余弦定理，可得，整理可得，

解得，

所以面积．

故选：．

7．（5分）随着社会的发展，小汽车逐渐成了人们日常的交通工具．小王在某段时间共加92号汽油两次，两次加油单价不同．现在他有两种加油方式：第一种方式是每次加油200元，第二种方式是每次加油30升．我们规定这两次加油哪种加油方式的平均单价低，哪种就更经济，则更经济的加油方式为　　

A．第一种 B．第二种 C．两种一样 D．不确定

【解答】解：设第一次的油价为，第二次的油价为，且，

第一种加油方式的平均油价为，

第二种加油方式的平均油价为，

因为，则，

因此，更经济的加油方式为第一种．

故选：．

8．（5分）已知函数，若，，，则　　

A． B．2 C．4 D．

【解答】解：根据题意，函数，

则，则，

又由，则，

故，

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9．（5分）已知复数是虚数单位），下列说法正确的是　　

A．在复平面内所对应的点位于第四象限 

B．复数的虚部是 

C．若为的共轭复数，则 

D．

【解答】解：复数是虚数单位），

在复平面内所对应的点为，位于第四象限，故正确；

复数的虚部为，故错误；

的共轭复复数，则，故错误；

，故正确．

故选：．

10．（5分）下列四个命题为真命题的是　　

A．已知平面向量，若，，则 

B．若，，则可作为平面向量的基底 

C．若，，则在上的投影向量为 

D．若，，，则

【解答】解：对于，若，则，不一定共线，故错误，

对于，，即，不共线，故，可作为平面向量的基底，故正确，

对于，在上的投影向量为，，故正确，

对于，由平面向量数量积可得，故正确，

故选：．

11．（5分）已知函数，则下列说法正确的是　　

A．（1） 

B．的值域为 

C．方程最多只有两个实数解 

D．方程有5个实数解

【解答】解：作出函数的图象如图，

（1），（1），故正确；

由图可知，的值域为，故正确；

当时，方程有三个实数解，故错误；

由，得或，

解得或，

由，得方程有三个根，由，得方程有两个根，

方程有5个实数解，故正确．

故选：．

12．（5分）在正方体中，是的中点，是线段上的一点．下列说法正确的有　　

A．平面中一定存在直线与平面平行 

B．直线，可以与平面垂直 

C．存在一点使得，为 

D．直线与平面所成的角为，平面与平面所成的锐二面角为，则

【解答】解：对于，平面与平面相交，

根据线面平行判定定理可知：

平面内与两平面交线平行的直线与平面平行，故正确；

对于，如图，连接，，则，

，则平面，，

同理可证，

又，平面，故错误；

对于，，，

存在点，使得，故正确；

对于，如图，连接，过，与，交点分别为，，连接，，

由题意得，则平面平面，

则可得，，

，，且，

，，故正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分..

13．（5分）已知数据，，，的方差为，数据，，，的方差为，则　9　．

【解答】解：设数据，，，的均值为，则，，，的均值为，

故且，故，

故答案为：9．

14．（5分）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是　　．

【解答】解：命题“，”的否定为：“，”．

由“，”是假命题，得“，”是真命题．

△，即．

实数的取值范围是．

故答案为：．

15．（5分）已知正实数，满足，则的最小值是 　　．

【解答】解：因为，则，

所以，

当且仅当，即时等号成立．

故答案为：．

16．（5分）如图，在平面四边形中，，，为等腰直角三角形，且，则长的最大值为 　6　．

【解答】解：设，则由余弦定理可得，

故，

，则，且，

因为为等腰直角三角形，且，故，，

在中，由余弦定理可得，

整理得

，

设，则，

故，整理得，

故△，

整理得到，即，即，

当时，，即，此时，

因为，故此时唯一存在，综上，长的最大值为6．

故答案为：6．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.

17．（10分）已知向量，．

（1）当为何值时，；

（2）若，求实数的值．

【解答】解：（1）根据题意，向量，，

若，则，解可得，

（2）根据题意，若，

则有，变形可得，即，

解可得：．

18．（12分）某县在创文明县城期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解市民的学习成果，该县从某社区随机抽取了160名市民作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分为100分，将数据收集，并整理得到频率分布直方图，如图所示：

（1）求的值；

（2）估计此样本中的160名市民成绩的平均数和第75百分位数．

【解答】解：（1）根据频率分布直方图可得：，解得：；

（2）同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，

则，

设第75百分位数为，，则有，

．

19．（12分）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别为棱和的中点．

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积．

【解答】解：（1）证明：如图，连接，

又点，分别为棱和的中点，

，，且，，

，且，

四边形为平行四边形，

，又平面，平面，

平面；

（2）．

20．（12分）已知函数．

（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；

（2）把的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，已知关于的方程在上有两个不同的解，．

①求实数的取值范围；

②证明：．

【解答】解：（1），

所以函数的最小正周期；

令，，

解得，，；

综上：的最小正周期；单调增区间为，；

（2）①，

又关于的方程在上有两个不同的解，，

则，，且，，，

所以，即，；

证明：②由题可知，且，

即，，

所以

．

21．（12分）如图1，在中，，，，且，分别为，的中点，延长交于点．现将沿翻折至△，使得，如图2所示．

（1）求证：；

（2）点为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】证明：（1）在图1中，根据题意可得为等边三角形，

为的中点，则，

即在图2中，，，，

平面，则；

解：（2）根据图1可得，

在，上取点，，使得，，连接，，，，，

，

平面，平面，

平面，

同理可得平面，

，则平面平面，

则直线与平面所成角即为直线与平面所成角，设为，

由（1）可知，

，即，

，则平面，

同理可证平面，则三棱锥的高为，

，则平面，

，

则，

，

设三棱锥的高为，

则，即，则，

直线与平面所成角的正弦值，

即直线与平面所成角的正弦值为．

22．（12分）已知函数．

（1）若（2），求的值；

（2）若，求在，上的最小值（a）；

（3）若方程有3个不相等的正实数根，，，且，证明：．

【解答】解：（1）由（2）得：

，即，

所以，

将两边平方可得：．

解：（2）当时，，

因为，在，上均为增函数，

所以函数在，上均为增函数，

任取，，且，则，

所以，

所以，

所以函数在，上为增函数，

同理可证函数在上为减函数，

所以函数的增区间为，，，，减区间为，

因为（1），（a），

（1）（a），

当时，（1）（a），则的最小值为（1）；

当时，（1）（a），则的最小值为（1）；

当时，（1）（a），则的最小值为（a）；

综上所述，（a）．

证明：（3）由可得：，

方程有3个不相等的正实数根、、，且，

当时，可得，则△，

由求根公式可得，则，，

所以；

当时，可得，则△，

由求根公式可得，

由题意可得：，，且，

解得：，

所以，

所以，

下证：，

只需证，

只需证，

即证，

只需证，

当时，不等式显然成立，

因为，

则，

所以，

因为，

所以．

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