北京市人大附中北京经济技术开发区学校2021-2022学年七年级下学期期中数学试题

这是一份北京市人大附中北京经济技术开发区学校2021-2022学年七年级下学期期中数学试题，共23页。试卷主要包含了4的算术平方根是，点P，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

北京市人大附中北京经济技术开发区学校2021-2022学年七年级下学期期中数学试题
第I卷（选择题）
评卷人
得分



一、单选题
1．4的算术平方根是（　　）
A． B．±2 C．2 D．±
2．点P（﹣3，2）在平面直角坐标系中所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如图，直线a，b相交于点O，若∠1＝30°，则∠2＝（　　）
   
A．150° B．120° C．60° D．30°
4．在实数，，3.1415926，中，无理数是（　　）
A． B． C．3.1415926 D．
5．下列说法正确的是（　　）
A．同位角相等
B．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．相等的角是对顶角
D．在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c
6．如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A＝110°，则∠AEC的度数是（　　）

A．35° B．70° C．110° D．40°
7．如图，点A、B、C、D在数轴上，其中与实数最接近的点是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
8．如图，在平面直角坐标系中，设一质点M自P0(1，0)处向上运动1个单位至P1(1，1)，然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处，…，如此继续运动下去，则P2020的坐标为（　　）

A．(504，﹣505) B．(1010，﹣1011) C．(1011，﹣1010) D．(505，﹣504)
第II卷（非选择题）
评卷人
得分



二、填空题
9．27的立方根为_______，25的平方根为_______．
10．如图，点A，B，C，D，E在直线上，点P在直线外，PC⊥于点C，在线段PA，PB，PC，PD，PE中，最短的一条线段是_____，理由是___

11．平面直角坐标系内，将M(5，2)先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，则移动后的点的坐标_______．
12．命题“对顶角相等”改为“如果……那么……”的形式是：___________________________________．
13．在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是_______，到y轴的距离是_______．
14．如图，在四边形中，点在的延长线上，连接，如果添加一个条件，使，那么可添加的条件为_________（写出一个即可）．

15．已知x，y为实数，满足，则x+y=_______．
16．已知点P(2a﹣6，a+1)，若点P在x轴上，则a=_______，点P的坐标为_______．
17．已知某正数的两个不同平方根分别是m+4和2m﹣16，则m=_______．
18．如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影都分），余下部分绿化，小路的宽均为2m，则绿化的面积为____．

评卷人
得分



三、解答题
19．如图，已知点P在∠AOC的边OA上，

(1)过点P画OA的垂线交OC于点B；
(2)画点P到OB的垂线段PM；
(3)测量P点到OB边的距离：_______cm；
(4)∠AOC与∠BPM之间的数量关系为_______________，理由为__________________________．
20．计算
（1）；
（2）．
21．求出下列等式中x的值：
(1)2x2＝32；
(2)．
22．已知直线AB和CD相交于O点，CO⊥OE，OF平分∠AOE，∠COF=34°，求∠BOD的度数．

23．如图，AD//BC，的平分线交于点，交的延长线于点，．

求证：．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵AD//BC，
　　（理由：　　）．
平分，
　　　　．
．
，
，
　　　　（理由：　　）．
（理由：　　）．
24．如图，是小明所在学校的平面示意图，已知宿舍楼的位置是（3，4），艺术楼的位置是（﹣3，1）．
（1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系；
（2）分别写出教学楼、体育馆的位置；
（3）若学校行政楼的位置是（﹣1，﹣1），在图中标出行政楼的位置．

25．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2．求证：DG∥BA．

26．如图，在在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A(﹣2，﹣2)，B(3，1)，C(0，2)．

(1)在图中画出△ABC向上平移3个单位，再向右平移2个单位后的△A1B1C1．
(2)写出点A1，B1，C1的坐标．
(3)求△ABC的面积．
(4)设点P在坐标轴上，且△APC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．
27．已知：直线MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，点C是线段AB上一定点，点D是射线AN上一动点，连接CD．

(1)在图1中过点C作CE⊥CD，与射线BQ交于E点．
①依题意补全图形；
②求证：∠ADC+∠BEC＝90°；
(2)如图2所示，点F是射线BQ上一动点，连接CF，∠DCF＝α，分别作∠NDC与∠CFQ的角平分线交于点G，请用含有α的代数式来表示∠DGF，并说明理由．
28．在平面直角坐标系中，若P、Q两点的坐标分别为P(x1，y1)和Q(x2，y2)，则定义|x1﹣x2|和|y1﹣y2|中较小的一个（若它们相等，则取其中任意一个）为P、Q两点的“最佳距离”，记为d(P，Q)例如：P(﹣2，3)，Q(0，2)．
因为|x1﹣x2|＝|﹣2﹣0|＝2；|y1﹣y2|＝|3﹣2|＝1，而2＞1，所以d(P，Q)＝|3﹣2|＝1．

(1)请直接写出A(﹣1，1)，B(3，﹣4)的“最佳距离”d(A，B)＝_______；
(2)已知点C坐标（1，-3）
①点D是坐标轴上的一点，它与点C的“最佳距离”d(C，D)＝2，请求出点D的坐标？
②点P在如图2所示的正方形边上运动，在点P的运动过程中，请直接写出取值范围_____．

参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
一个正数x的平方等于a，则x叫做a的算术平方根，根据算术平方根的定义判断即可；
【详解】
解：∵
∴4的算术平方根是2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了求一个数的算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
2．B
【解析】
【详解】
解：点（-3， 2）横坐标为负，纵坐标为正，
故所在的象限是第二象限，
故选B．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
3．D
【解析】
【分析】
根据对顶角相等进行判断即可．
【详解】
解：∵∠1和∠2是对顶角，∠1=30°，
∴∠2=∠1=30°，
故选：D．
【点睛】
本题考查对顶角，属于基础题，掌握对顶角相等的性质是解题关键．
4．A
【解析】
【分析】
根据无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，结合算术平方根的性质分析，即可得到答案．
【详解】
是无理数，故选项A符合题意；
，是整数，属于有理数，故选项B不合题意；
3.1415926是有限小数，属于有理数，故选项C不合题意；
是分数，属于有理数，故选项D不合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了实数、算术平方根的知识；解题的关键是熟练掌握无理数的定义和算术平方根的性质，从而完成求解．
5．D
【解析】
【分析】
根据同位角的定义、垂线的性质、对顶角的性质、平行公理依次判断．
【详解】
解：A. 同位角不一定相等，故该项不符合题意；
B. 在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a//c，故该项不符合题意；
C. 相等的角不一定是对顶角，故该项不符合题意；
D. 在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c，故该项符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题考查了语句的判断，正确掌握同位角的定义、垂线的性质、对顶角的性质、平行公理是解题的关键．
6．A
【解析】
【分析】
根据两直线平行，同旁内角互补和两直线平行，内错角相等可得，，继而求出，再根据角平分线的定义即可求解．
【详解】
AB∥CD，
，，
∠A＝110°，
，
CE平分∠ACD，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
7．D
【解析】
【分析】
根据无理数的估算即可求解．
【详解】
解：∵1.52＝2.25，22＝4，
∴1.52＜3＜22．
∴1.5＜＜2．
∴与实数最接近的点是点D．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查无理数与数轴，解题的关键熟知无理数的估算方法．
8．C
【解析】
【分析】
根据第一象限中点的特征，探究规律，利用规律解决问题．
【详解】
解：根据题意可得，P0（1，0），P1（1，1），P2（-1，1），P3（-1，-2），P4（3，-2），P5（3，3），P6（-3，3），P7（-3，-4），P8（5，-4），P9（5，5），
观察可得，第一象限内P1（1，1），P5（3，3），P9（5，5）的横纵坐标相等，均为序数加1再除以2，
∵5÷4=1⋯1，9÷4=2⋯1，2021÷4=505⋯1，
∴P2021也在第一象限，横纵坐标均为，
∴P2021（1011，1011），
∵P2021由P2020向上运动2021个单位所得，
∴P2020（1011，-1010），
故选：C．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法．
9．3；．
【解析】
【分析】
根据立方根和平方根的定义即可．
【详解】
27的立方根为：；
25的平方根为：．
【点睛】
本题考查了立方根和平方根，需要注意的是平方根和算术平方根的区别．
10．     PC     垂线段最短
【解析】
【分析】
点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长，根据定义即可选出答案．
【详解】
根据点到直线的距离的定义得出线段PC的长是点P到直线l的距离，从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．
故答案是：PC；垂线段最短．
【点睛】
本题考查了对点到直线的距离的应用，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长．
11．(3，5)
【解析】
【分析】
根据向上平移纵坐标加，向左平移横坐标减即可求解．
【详解】
解：∵点M(5，2)向上平移3个单位，再向左平移2个单位，
∴移动后的点的横坐标是5﹣2＝3，纵坐标是2+3＝5，
∴移动后的点的坐标是 (3，5)．
故答案为：(3，5)．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化﹣平移，解题关键是掌握平移时点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
12．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【解析】
【分析】
根据命题的构成，题设是对顶角，结论是这两个角相等写出即可．
【详解】
解：“对顶角相等”改写为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【点睛】
本题考查命题与定理，根据命题的构成准确确定出题设与结论是解题的关键．
13．     3     4
【解析】
【分析】
根据平面直角坐标系内点的坐标含义即可判断．
【详解】
解：点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，到y轴的距离是其横坐标的绝对值，
，，
点)到x轴的距离为3，到y轴的距离为4．
【点睛】
此题主要考查点到坐标轴的距离，解题的关键是熟知坐标点的含义．平面直角坐标系内一个点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，到y轴的距离是其横坐标的绝对值．
14．
【解析】
【分析】
根据平行线的判定定理添加条件即可．
【详解】
解：根据内错角相等两直线平行，可添加，
故答案为：．
【点睛】
本题考查平行线的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15．


【解析】
【分析】
根据算术平方根的非负性和完全平方式的非负性列一元二次方程组求出x和y，代入求值即可．
【详解】
解：∵，，
且，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了算术平方根和完全平方式的非负性，以及构造二元一次方程组求解，解题的关键是掌握非负数之和等于0，则每个非负数等于0．
16．     -1    
【解析】
【分析】
根据x轴上的点纵坐标为0，计算出a的值，再代入求坐标即可．
【详解】
点P在x轴上，
，
解得，
点P的坐标为，
故答案为：-1，．
【点睛】
本题考查了坐标轴上的点的特点，即x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0，熟练掌握知识点是解题的关键．
17．4
【解析】
【分析】
根据正数的两个平方根互为相反数，列出方程m+3+2m﹣15=0，求出m．
【详解】
解：∵某正数的两个平方根是m+4和2m﹣16，
∴m+4+2m﹣16=0，
∴3m=12，
∴m=4．
故答案为4．
【点睛】
本题主要考查了正数的平方根．熟练掌握整数的平方根的特征是解决此类问题的关键．
18．540
【解析】
【分析】
利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有绿化面积之和就变为了（32-2）（20-2）m2，进而即可求出答案．
【详解】
利用平移可得，两条小路的总面积是：（32-2）（20-2）=540（m2）．
故答案为540．
【点睛】
此题主要考查了生活中的平移现象，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)1.5
(4)相等，等角的余角相等
【解析】
【分析】
（1）根据垂线的定义画出图形即可；
（2）根据垂线段的定义画出图形即可；
（3）利用测量法解决问题即可；
（4）根据垂直的定义及等角的余角相等即可求解．
(1)
如图，直线PB即为所求作；

(2)
如图，线段PM即为所求作；

(3)
P点到OB边的距离为PM的长度，通过测量可得PM约为1.5cm长，
故答案为：1.5；
(4)
，
，，
，
∠AOC=∠BPM，
故答案为：相等，等角的余角相等．
【点睛】
本题考查作图一基本作图，垂线，垂线段及点到直线的距离，等角的余角相等，解题
的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．0；
【解析】
【分析】
（1）利用算术平方根和立方根的定义化简．
（2）去绝对值，利用平方根的定义化简．
【详解】
（1）
（2）

【点睛】
本题考查了实数的运算，立方根和平方根的定义，正确化简是解题的关键．
21．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）两边同时除以2，再根据平方根的定义求解即可；
（2）先移项，再根据立方根的定义进行求解即可．
(1)
，
，
；
(2)
，
，
．
【点睛】
本题考查了利用平方根与立方根的意义进行解方程，掌握正数的平方根有两个，任何一个数的立方根都有一个是解题的关键．
22．22°
【解析】
【分析】
根据直角的定义可得∠COE=90°，然后求出∠EOF，再根据角平分线的定义求出∠AOF，然后根据∠AOC=∠AOF-∠COF求出∠AOC，再根据对顶角相等解答．
【详解】
∵∠COE=90°，∠COF=34°，
∴∠EOF=90°-34°=56°.
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE=∠EOF=56°.
∴∠AOC=∠AOF-∠COF=56°-34°=22°.
∵∠AOC=∠BOD(对顶角相等)，
∴∠BOD=22°.
23．；两直线平行，内错角相等；；；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【解析】
【分析】
根据平行线的性质与判定，角平分线的意义，补全证明过程即可．
【详解】

（理由：两直线平行，内错角相等），
平分，
，
．
，
，
（理由：同位角相等，两直线平行）．
（理由：两直线平行，同旁内角互补）．
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的意义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）教学楼的坐标为（1，0），体育馆的坐标为（﹣4，3）；（3）见解析．
【解析】
【分析】
（1）直接利用宿舍楼的位置是（3，4），艺术楼的位置是（﹣3，1）得出原点的位置进而得出答案；
（2）利用所建立的平面直角坐标系即可得出答案；
（3）根据点的坐标的定义可得．
【详解】
（1）如图所示：

（2）由平面直角坐标系知，教学楼的坐标为（1，0），体育馆的坐标为（﹣4，3）；
（3）行政楼的位置如图所示．
【点睛】
本题考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置，建立平面直角坐标系是解题的关键．
25．见解析.
【解析】
【分析】
根据平行线的判定推出EF∥AD，根据平行线的性质得出∠1=∠BAD，推出∠BAD=∠2，根据平行线的判定推出即可．
【详解】
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴AD∥EF（在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行）
∴∠1=∠BAD（两直线平行，同位角相等）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠2=∠BAD（等量代换）
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行）
【点睛】
本题考查平行线的性质和判定的应用，注意：平行线的性质是：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
26．(1)见解析
(2)
(3)7
(4)
【解析】
【分析】
（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据点平移的坐标变换规律写出点A1，B1，C1的坐标即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
（4）设点P坐标为(t,0)，利用三角形面积公式，然后解方程求出t得到P点坐标；设P点坐标为(0,m)，利用三角形面积公式，解方程得到P点坐标．
(1)

如图，△A1B1C1即为所求；
(2)
根据（1）的图象可得，；
(3)
△ABC的面积；
(4)
当点P在x轴上时，设点P坐标为(t,0)，
△APC与△ABC的面积相等，
，
解得或；
当点P在y轴上时，设点P坐标为(0,m)，
△APC与△ABC的面积相等，
，
解得或；
综上，点P的坐标为．
【点睛】
本题考查了平移作图，坐标与图形的性质等，熟练掌握知识点及灵活运用是解题的关键．
27．(1)见解析
(2)∠DGF=180°-α，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）①根据要求作出图形即可．②过点C作CT∥MN．利用平行线的性质和判定以及垂线的性质解决问题．
（2）∠DGF=180°-12α．利用（1）中基本结论可得∠ADC+∠BFC=∠DCF=α，∠GDN+∠GFQ=∠DGF，再利用角平分线的定义及邻补角的性质即可求解．
(1)
解：①图形如图所示．

②证明：过点C作CT∥MN．
∵CE⊥CD，
∴∠ECD=90°，
∵CT∥MN，MN∥PQ，
∴CT∥MN∥PQ，
∴∠ADC=∠DCT，∠BEC=∠ECT，
∴∠ADC+∠BEC=∠DCT+∠ECT=∠ECD=90°．
(2)
解：∠DGF=180°-α，理由如下：
如图，

由（1）的结论可知：∠ADC+∠BFC=∠DCF=α，∠GDN+∠GFQ=∠DGF，
∵DG平分∠NDC，GF平分∠CFQ，
∴∠GDN=∠CDN，∠GFQ=∠CFQ，
∴∠DGF=（∠CDN+∠CFQ）=（180°-∠ADC+180°-∠BFC）=（360°-∠DCF）=180°-α．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
28．(1)4
(2)①(﹣1，0)或(3，0)；②
【解析】
【分析】
（1）根据新概念-最佳距离的定义即可求得答案；
（2）①分两种情况，根据”最佳距离”的定义即可求得答案；②由题意可得：MN=GH=HM=2，M(﹣1，0)，N(-1，2)，G(﹣3，2)，H(-3，0)，然后分点P在MN上时，点P在GN上，点P在GH上和点P在HM上时四种情况分别根据”最佳距离”的定义求解即可得到答案．
(1)
解：∵A(﹣1，1)，B(3，﹣4)，
∴，
∵，
∴d(A，B)＝4；
(2)
解：①Ⅰ．当点D在x轴上时，设D (m，0)，
则，
∵d(C，D)＝2，
∴，
解得：m=3或-1，
∴D(﹣1，0)或(3，0)；
Ⅱ．当点D在y轴上时，设D (0，n)，
则，
故不符合题意；
综上所述，D(﹣1，0)或(3，0)．
②由题意可得：MN=GH=HM=2，M(﹣1，0)，N(-1，2)，G(﹣3，2)，H(-3，0)，
Ⅰ．当点P在MN上时，设，P(﹣1，a)，
则，
∵，
∴，
∴；
Ⅱ．当点P在GN上时，设，P(b，2)，
则，
∵，
∴，
∴；
Ⅲ．当点P在GH上时，设，P(-3，c)，
则，
∵，
∴，
∴；
Ⅳ．当点P在HM上时，设，P(d，0)，
则，
∵，
∴，
∴；
综上所述，．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形的性质、解不等式，根据新概念列出不等式并解不等式以及应用分类讨论思想是解题的关键．