【解析版】江西省南昌市2022年八年级下期中数学试卷

江西省南昌市2022学年八年级下学期期中数学试卷

一、选择题：每小题3分，共24分．

1．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是（）

 A． x≤﹣2 B． x≤2 C． x≥2 D． x≥﹣2

2．（3分）下列二次根式中，与之积为无理数的是（）

 A．  B．  C．  D． 

3．（3分）如图，是由三个正方形组成的图形，则∠1+∠2+∠3等于（）

 A． 60° B． 90° C． 120° D． 180°

4．（3分）以下列长度为三角形边长，不能构成直角三角形的是（）

 A． 15，112，113 B． 4，5，6 C． 1，， D． 45，，

5．（3分）如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于（）

 A． 195cm B． 200cm C． 205cm D． 210cm

6．（3分）平行四边形的两条对角线长分别是2m，2n（m＜n），则该平行四边形的边长x的取值范围是（）

 A． m＜x＜n B． 2m＜x＜2n

 C． n﹣m＜x＜n+m D． 2n﹣2m＜x＜2n+2m

7．（3分）下列命题是假命题的是（）

 A． 四个角相等的四边形是矩形

 B． 对角线相等的平行四边形是矩形

 C． 对角线垂直的四边形是菱形

 D． 对角线垂直的平行四边形是菱形

8．（3分）将6个边长是1的正方形无缝隙铺成一个矩形，则这个矩形的对角线长等于（）

 A．  B．  C． 、 D． 、、5

二、填空题：每空2分，共16分．

9．（2分）相邻两边长分别是2+与2﹣的平行四边形的周长是．

10．（2分）已知一个直角三角形的两边的长分别是4和5，则第三边长为．

11．（2分）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是尺．

12．（2分）按下列数据的规律填写：3，4，5，12，13，84，85，3612，，…．

13．（4分）若菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是，面积是．

14．（4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，已知：BC=1，CE=7，H是AF的中点，则AF=，CH=．

三、每小题6分，共12分．

15．（6分）在△ABC中，a、b和c分别为∠A、∠B和∠C的对边．且已知：∠A：∠B：∠C=1：2：3，求a：b：c的值．

16．（6分）如图，共顶点A的两个正方形ABCD、AEFG，连接DG、BE，且BE交DG于M点，交AG于N点．求证：

（1）DG=BE；

（2）DG⊥BE．

四、每小题6分，共12分．

17．（6分）写出3组不同的，每组中都含60的勾股数．

（1）60，，；

（2）60，，；

（3）60，，．

18．（6分）如图，由5个边长为1的正方形组成一个“十”字形，一共有12个顶点，要求：从这12点中取出4个点，直接在图中连出不同大小的正方形，并写出相应的正方形的边长．

（1）图1边长是；

（2）图2边长是．

五、每小题8分，共24分．

19．（8分）如图，四边形ABCD的对角线ACBD相交于点O，已知：OA=1，OB=2，OC=3，OD=4，CD=5．试求：

（1）四边形ABCD的周长；

（2）四边形ABCD的面积．

20．（8分）如图，纸片矩形ABCD中，已知：AB=10，AD=8．将AB沿AE折叠，使点B落在边CD的F处，试求：

（1）EF的长；

（2）点F到AE的距离．

21．（8分）如图1，有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D分别在l1、l2、l3、l4上，过点D作DE⊥l1于点E．已知相邻两条平行线之间的距离为2．

（1）求AE及正方形ABCD的边长；

（2）如图2，延长AD交l4于点G，求CG的长度．

六、共12分．

22．（12分）（1）如图1，平行四边形ABCD中，AM⊥BC于M，DN⊥BC于N．求证：BM=CN．

（2）如图2，平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2．

（3）如图，PT是△PQR的中线，已知：PQ=7，QR=6，RP=5．求：PT的长度．

江西省南昌市2022学年八年级下学期期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：每小题3分，共24分．

1．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是（）

 A． x≤﹣2 B． x≤2 C． x≥2 D． x≥﹣2

考点： 二次根式有意义的条件．

分析： 根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，列不等式，即可求出x的取值范围．

解答： 解：由题意得：2+x≥0，

解得：x≥﹣2，

故选D．

点评： 本题考查了二次根式有意义的条件，难度不大，解答本题的关键是掌握二次根式的被开方数为非负数．

2．（3分）下列二次根式中，与之积为无理数的是（）

 A．  B．  C．  D． 

考点： 二次根式的乘除法．

分析： 根据二次根式的乘法进行计算逐一判断即可．

解答： 解：A、，不是无理数，错误；

B、，是无理数，正确；

C、，不是无理数，错误；

D、，不是无理数，错误；

故选B．

点评： 此题考查二次根式的乘法，关键是根据法则进行计算，再利用无理数的定义判断．

3．（3分）如图，是由三个正方形组成的图形，则∠1+∠2+∠3等于（）

 A． 60° B． 90° C． 120° D． 180°

考点： 三角形内角和定理；正方形的性质．

分析： 根据三角形内角和为180°，得到∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，又∠4=∠5=∠6=90°，根据平角为180°，即可解答．

解答： 解：如图，

∵图中是三个正方形，

∴∠4=∠5=∠6=90°，

∵△ABC的内角和为180°，

∴∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，

∵∠1+∠4+∠BAC=180°，∠2+∠6+∠ABC=180°，∠3+∠5+∠ACB=180°，

∴∠1+∠4+∠BAC+∠2+∠6+∠ABC+∠3+∠5+∠ACB=540°，

∴∠1+∠2+∠3=360°﹣（∠4+∠5+∠6+∠BAC+∠ABC+∠ACB）=540°﹣90°﹣90°﹣90°﹣180°=90°，

故选：B．

点评： 本题考查了三角形内角和定理，解决本题的关键是运用三角形内角和为180°，正方形的内角为90°以及平角为180°，即可解答．

4．（3分）以下列长度为三角形边长，不能构成直角三角形的是（）

 A． 15，112，113 B． 4，5，6 C． 1，， D． 45，，

考点： 勾股定理的逆定理．

分析： 根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．

解答： 解：A、因为152+1122=1132，能构成直角三角形，此选项错误；

B、因为42+52≠62，不能构成直角三角形，此选项正确；

C、因为12+（）2=（）2，故能构成直角三角形，此选项错误．

D、因为452+（）2=（）2，能构成直角三角形，此选项错误．

故选：B．

点评： 本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．

5．（3分）如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于（）

 A． 195cm B． 200cm C． 205cm D． 210cm

考点： 勾股定理的应用．

分析： 作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边AB的长．

解答： 解：如图，由题意得：AC=15×5=75cm，

BC=30×6=180cm，

故AB===195cm．

故选A．

点评： 本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．

6．（3分）平行四边形的两条对角线长分别是2m，2n（m＜n），则该平行四边形的边长x的取值范围是（）

 A． m＜x＜n B． 2m＜x＜2n

 C． n﹣m＜x＜n+m D． 2n﹣2m＜x＜2n+2m

考点： 平行四边形的性质；三角形三边关系．

分析： 首先根据题意画出图形，然后由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可求得OA与OB的长，再利用三角形的三边关系，即可求得答案．

解答： 解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=AC=×2n=n，OB=BD=×2m=m，

∴n﹣m＜AB＜n+m．

即该平行四边形的边长x的取值范围是：n﹣m＜x＜n+m．

故选C．

点评： 此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系．注意平行四边形的对角线互相平分．

8．（3分）将6个边长是1的正方形无缝隙铺成一个矩形，则这个矩形的对角线长等于（）

 A．  B．  C． 、 D． 、、5

考点： 图形的剪拼．

分析： 如图1或图2所示，分类讨论，利用勾股定理可得结论．

解答： 解：当如图1所示时，AB=2，BC=3，

∴AC==；

当如图2所示时，AB=1，BC=6，

∴AC==；

故选C．

点评： 本题主要考查图形的拼接，数形结合，分类讨论是解答此题的关键．

二、填空题：每空2分，共16分．

9．（2分）相邻两边长分别是2+与2﹣的平行四边形的周长是8．

考点： 二次根式的应用．

分析： 根据平行四边形的周长等于相邻两边的和的2倍进行计算即可．

解答： 解：平行四边形的周长为：

（2++2﹣）×2=8．

故答案为：8．

点评： 本题考查的是平行四边形的周长的计算和二次根式的加减，掌握平行四边形的周长公式和二次根式的加减运算法则是解题的关键．

10．（2分）已知一个直角三角形的两边的长分别是4和5，则第三边长为3或．

考点： 勾股定理．

专题： 分类讨论．

分析： 根据勾股定理解答，要分类讨论：当一直角边、斜边为4和5时；当两直角边长为4和5时．

解答： 解：当一直角边、斜边为4和5时，第三边==3；

当两直角边长为4和5时，第三边=；

故答案为：3或．

点评： 本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的计算同时要注意分类讨论．

11．（2分）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是25尺．

考点： 平面展开-最短路径问题；勾股定理的应用．

专题： 压轴题；转化思想．

分析： 这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．

解答： 解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，

另一条直角边长5×3=15（尺），

因此葛藤长为=25（尺）．

故答案为：25．

点评： 本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．

12．（2分）按下列数据的规律填写：3，4，5，12，13，84，85，3612，3613，…．

考点： 勾股数．

专题： 规律型．

分析： 根据勾股数排列的规律可以看出：第二组勾股数为：5、12、13，第三组为：13、84、85，后两个数相差1，所以第四组为：85、3612、3613．

解答： 解：第一组勾股数为：3、4、5，

第二组勾股数为：5、12、13，

第三组勾股数为：13、84、85，

由第二组与第三组可以看出后两个数相差1，

所以第四组为：85、3612、3613．

故答案为：3613．

点评： 此题考查了勾股数，勾股数是满足a2+b2=c2的三个正整数，解题的关键是：根据数据的排列寻找规律．

13．（4分）若菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是20，面积是24．

考点： 菱形的性质．

分析： 首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线长分别是6和8，可求得OA=4，OB=3，再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形的周长与面积．

解答： 解：如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，

∴OA=AC=4，OB=BD=3，AC⊥BD，

∴AB==5，

∴此菱形的周长是：5×4=20，面积是：×6×8=24．

故答案为：20，24．

点评： 此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的面积等于对角线积的一半．

14．（4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，已知：BC=1，CE=7，H是AF的中点，则AF=10，CH=5．

考点： 直角三角形斜边上的中线；勾股定理；正方形的性质．

分析： 根据正方形的性质求出AB=BC=1，CE=EF=7，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=8，FM=6，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF，根据勾股定理求出AF即可．

解答： 解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=7，

∴AB=BC=1，CE=EF=7，∠E=90°，

延长AD交EF于M，连接AC、CF，

则AM=BC+CE=1+7=8，FM=EF﹣AB=7﹣1=6，∠AMF=90°，

∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，

∴∠ACD=∠GCF=45°，

∴∠ACF=90°，

∵H为AF的中点，

∴CH=AF，

在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF===10，

∴CH=5，

故答案为：10，5．

点评： 本题考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并求出AF的长和得出CH=AF，有一定的难度．

三、每小题6分，共12分．

15．（6分）在△ABC中，a、b和c分别为∠A、∠B和∠C的对边．且已知：∠A：∠B：∠C=1：2：3，求a：b：c的值．

考点： 含30度角的直角三角形；勾股定理．

分析： 先由∠A：∠B：∠C=1：2：3及三角形内角和定理求出∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出c=2a，然后根据勾股定理求出b=a，进而得到a：b：c的值．

解答： 解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，

∴c=2a，b==a，

∴a：b：c=a：a：2a=1：：2．

点评： 本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了三角形内角和定理及勾股定理．

16．（6分）如图，共顶点A的两个正方形ABCD、AEFG，连接DG、BE，且BE交DG于M点，交AG于N点．求证：

（1）DG=BE；

（2）DG⊥BE．

考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质．

专题： 证明题．

分析： （1）通过全等三角形（△DAG≌△BAE）的对应边相等证得结论；

（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等得到∠DGA=∠AEB，所以在△AEN和△MNG中，利用三角形内角和定理推知∠GMN=90°即可．

解答： 证明：（1）∵∠DAB=∠GAE=90°，

∴∠DAB+∠GAB=∠GAE+∠GAB，即：∠DAG=∠BAE，

在△DAG与△BAE中，

，

∴△DAG≌△BAE（SAS），

∴DG=BE；

（2）由（1）知，△DAG≌△BAE，则∠DGA=∠AEB，即MGN=∠AEN，

∵∠ANE=∠GNB，

∴∠NAE=∠GMN=90°，

∴DG⊥BE．

点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

四、每小题6分，共12分．

17．（6分）写出3组不同的，每组中都含60的勾股数．

（1）60，80，100；

（2）60，45，75；

（3）60，36，48．

考点： 勾股数．

分析： 可以根据3，4，5这一组勾股数，同时扩大相同的整数倍，即可得到一组新的勾股数，即可得到答案．

解答： 解：将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大20倍即可得：60，80，100；

将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大15倍即可得：45，60，75；

将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大12倍即可得：36，48，60；

故答案为：（1）80，100；（2）45，75；（3）36，48．（答案不唯一）．

点评： 此题考查了勾股数，此题属开放型题目，答案不唯一，只要写出的每组数据符合勾股定理且都为正整数即可．

18．（6分）如图，由5个边长为1的正方形组成一个“十”字形，一共有12个顶点，要求：从这12点中取出4个点，直接在图中连出不同大小的正方形，并写出相应的正方形的边长．

（1）图1边长是；

（2）图2边长是．

考点： 勾股定理．

分析： 画出图形，根据勾股定理解答．

解答： 解：（1）边长是=；

（2）边长是=；

另：（3）边长是1．

故答案为，．

点评： 本题考查了勾股定理，找到图形中的直角三角形是解题的关键．

五、每小题8分，共24分．

19．（8分）如图，四边形ABCD的对角线ACBD相交于点O，已知：OA=1，OB=2，OC=3，OD=4，CD=5．试求：

（1）四边形ABCD的周长；

（2）四边形ABCD的面积．

考点： 勾股定理；勾股定理的逆定理．

分析： （1）根据OC=3，OD=4，CD=5，判断出△DCO为直角三角形且∠COD=90°，再根据勾股定理求出AD、AB、BC的长；

（2）根据四边形ABCD的面积为对角线长乘积的一半解答．

解答： 解：（1）∵OC=3，OD=4，CD=5，

∴△DCO为直角三角形且∠COD=90°，

在Rt△DAO中，AD==，

在Rt△BAO中，AB==，

在Rt△BCO中，BC==，

四边形ABCD的周长=+++5．

（2）四边形ABCD的面积=×（1+3）×（2+4）=12．

点评： 本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等知识，先判断出△DCO为直角三角形是解题的关键．

20．（8分）如图，纸片矩形ABCD中，已知：AB=10，AD=8．将AB沿AE折叠，使点B落在边CD的F处，试求：

（1）EF的长；

（2）点F到AE的距离．

考点： 翻折变换（折叠问题）．

分析： （1）先根据翻折变换的性质得出AB=AF，在△ADF中利用勾股定理可求出DF的长，同理，在△CEF中，设EF=BE=x，利用勾股定理求出x的值即可；

（2）连接BF交AE于M点，则BF⊥AE，根据勾股定理求出AE，再运用三角形面积不变性列方程求出FM．

解答： 解：（1）∵AB=AF=10，AD=8，

∴在直角△DAF中，FD=6，则FC=4，

设BE=EF=x，则EC=8﹣x，

在直角△ECF中，

∵EF2=EC2+FC2

∴x2=（8﹣x）2+42，

解得：x=5，

∴EF=5；           

（2）连接BF交AE于M点，则BF⊥AE，

∴在直角△EAF中，AF=10，EF=5，则AE=5，

S△AFE=•AF•EF=•AE•MF，

则10×5=5×MF

解得：MF=2，

∴点F到AE的距离为2．

点评： 该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题以及勾股定理的应用；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；解图形折叠问题一定要注意：折叠前后的图形全等．

21．（8分）如图1，有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D分别在l1、l2、l3、l4上，过点D作DE⊥l1于点E．已知相邻两条平行线之间的距离为2．

（1）求AE及正方形ABCD的边长；

（2）如图2，延长AD交l4于点G，求CG的长度．

考点： 全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；正方形的性质．

分析： （1）利用已知得出△FAB≌△EDA（AAS），即可得出AE，以及正方形的边长；

（2）如图2，过点D作DH⊥CG于点H，利用勾股定理求得DH的长度，然后由射影定理来求CG的长度．

解答： 解：（1）如图1，过B点作BF⊥l1，垂足为F，

∵∠FAB+∠EAD=90°，∠FAB+∠FBA=90°，

∴∠FBA=∠EDA，

在△FAB与△EDA中，

，

∴△FAB≌△EDA（AAS），

∴AE=BF=2，ED=4，

∴AD=2；

（2）如图2，过点D作DH⊥CG于点H，

∵CD=AD=2，DH=2，

∴CH==4，

∵CD2=CH•CG，

∴20=4CG，则CG=5．

点评： 此题主要考查了勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练应用全等三角形的判定方法是解题关键．

六、共12分．

22．（12分）（1）如图1，平行四边形ABCD中，AM⊥BC于M，DN⊥BC于N．求证：BM=CN．

（2）如图2，平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2．

（3）如图，PT是△PQR的中线，已知：PQ=7，QR=6，RP=5．求：PT的长度．

考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

分析： （1）由AAS证明△ABM≌△DCN，即可得出结论；

（2）作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，在Rt△DBN和Rt△DCN中，由勾股定理得BD2﹣CD2=BN2﹣CN2=BC2+2BC•CN，同理：AC2﹣AB2=CM2﹣BM2=BC2﹣2BC•BM，由BM=CN，AD=BC，即可得出结论；

（3）延长PT至S，使PT=TS，连接QS，RS，由PT是△PQR的中线，证明四边形PQSR为平行四边形，得出PQ=RS=7，RP=QS=5，由（2）得：PS2+RQ2=PQ2+QS2+SR2+PR2，即可求出PT．

解答： （1）证明：∵AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，

∴∠AMB=∠DNC=90°，

∵在平行四边形ABCD中，AB=DC，AB∥DC，

∴∠B=∠DCN，

∵∠BMA=∠CND=90°，

在△ABM和△DCN中，，

∴△ABM≌△DCN（AAS），

∴BM=CN；                      

（2）证明：作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，如图2所示：

在Rt△DBN和Rt△DCN中，根据勾股定理得：BD2﹣CD2=BN2﹣CN2=BC2+2BC•CN，

同理：AC2﹣AB2=CM2﹣BM2=BC2﹣2BC•BM，

∵BM=CN，AD=BC，

∴AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2；             

（3）解：延长PT至S，使得PT=TS，连接QS，RS，如图3所示：

∵PT是△PQR的中线，

∴QT=RT，

∴四边形PQSR为平行四边形，

∴PQ=RS=7，RP=QS=5，

由（2）得：PS2+RQ2=PQ2+QS2+SR2+PR2，

∴（2PT）2+62=72+52+72+52，

∴PT=2．

点评： 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等和运用勾股定理是解决问题的关键．