【解析版】江西省赣州市2022年八年级上期中数学试卷

江西省赣州市2022学年八年级上学期期中数学试卷

一、选择题（每小题3分，共6小题，总共18分）

1．（3分）等腰三角形中，已知两边的长分别是9和4，则周长为（）

 A． 17 B． 22

 C． 17或22 D． 以上答案都不对

2．（3分）点（3，﹣2）关于x轴的对称点是（）

 A． （﹣3，﹣2） B． （3，2） C． （﹣3，2） D． （3，﹣2）

3．（3分）已知一个三角形的两边长分别是2厘米和9厘米，且第三边为奇数，则第三边长为（）

 A． 5厘米 B． 7厘米 C． 9厘米 D． 11厘米

4．（3分）如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为（）厘米．

 A． 16 B． 18 C． 26 D． 28

5．（3分）如图所示，l是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC，现给出下列结论：

①AB∥CD；②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC．其中正确的结论有（）

 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

6．（3分）如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC=4平方厘米，则S△BEF的值为（）

 A． 2平方厘米 B． 1平方厘米 C． 平方厘米 D． 平方厘米

二、填空题（每小题2分，共9小题，总共24分）

7．（2分）等腰三角形一边长为3cm，周长7cm，则腰长是．

8．（2分）如下图∠1=∠2，由AAS判定△ABD≌△ACD，则需添加的条件是．

9．（2分）已知三角形的两边长为2cm和7cm，第三边的数值为奇数，则这个三角形的周长为．

10．（3分）一个多边形的内角和是外角和的4倍，则此多边形的边数是．

11．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为直角，∠A=30°，CD⊥AB于D．若BD=1，则AB=．

12．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=12cm，BD=8cm，则点D到AB的距离为cm．

13．（3分）如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为．

14．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积是cm2．

15．（3分）如图所示，两个三角形关于某条直线对称，则α=．

三、解答题（每小题9分，共27分）

16．（9分）已知：如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，求证：AB∥CD．

17．（9分）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB的垂直平分线DE交AB于D，交BC于E，若CE=3cm，求BE的长．

18．（9分）已知：如图，已知△ABC，

（1）分别画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1

（2）写出△A1B1C1各顶点坐标；

（3）求△ABC的面积．

四、（每小题12分，共24分）

19．（12分）已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BE⊥AC．

20．（12分）如图，已知：AB⊥BC于B，EF⊥AC于G，DF⊥BC于D，BC=DF．求证：AC=EF．

五、（21小题13分，22小题14分，共27分）

21．（13分）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C，D是垂足，连接CD，与∠AOB的平分线交于点F．

（1）求证：OE是CD的垂直平分线；

（2）若∠AOB=60°，求OF：FE的值．

22．（14分）如图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE=6厘米．

（1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？

江西省赣州市2022学年八年级上学期期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共6小题，总共18分）

1．（3分）等腰三角形中，已知两边的长分别是9和4，则周长为（）

 A． 17 B． 22

 C． 17或22 D． 以上答案都不对

考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．

分析： 因为等腰三角形的两边分别为4和9，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．

解答： 解：当4为底时，其它两边都为9，9、9、4可以构成三角形，周长为22；

当4为腰时，其它两边为9和4，因为4+4=8＜9，所以不能构成三角形，故舍去．

所以答案只有22．

故选B．

点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

2．（3分）点（3，﹣2）关于x轴的对称点是（）

 A． （﹣3，﹣2） B． （3，2） C． （﹣3，2） D． （3，﹣2）

考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．

分析： 熟悉：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y）．

解答： 解：根据轴对称的性质，得点（3，﹣2）关于x轴的对称点是（3，2）．

故选B．

点评： 本题比较容易，考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．

3．（3分）已知一个三角形的两边长分别是2厘米和9厘米，且第三边为奇数，则第三边长为（）

 A． 5厘米 B． 7厘米 C． 9厘米 D． 11厘米

考点： 三角形三边关系．

分析： 先根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边点的取值范围，再选择奇数即可．

解答： 解：∵9﹣2=7，9+2=11，

∴7＜第三边＜11，

∵第三边为奇数，

∴第三边长为9cm．

故选C．

点评： 利用三角形的三边关系求出第三边的取值范围是解本题的关键．

4．（3分）如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为（）厘米．

 A． 16 B． 18 C． 26 D． 28

考点： 线段垂直平分线的性质．

分析： 利用线段垂直平分线的性质得AE=CE，再等量代换即可求得三角形的周长．

解答： 解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，

∴AE=CE，

∴AE+BE=CE+BE=10，

∴△EBC的周长=BC+BE+CE=10厘米+8厘米=18厘米，

故选B．

点评： 本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

5．（3分）如图所示，l是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC，现给出下列结论：

①AB∥CD；②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC．其中正确的结论有（）

 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 轴对称的性质．

分析： 根据轴对称图形的性质，四边形ABCD沿直线l对折能够完全重合，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CAD=∠ACB=∠BAC=∠ACD，然后根据内错角相等，两直线平行即可判定AB∥CD，根据等角对等边可得AB=BC，然后判定出四边形ABCD是菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分即可判定AO=OC；只有四边形ABCD是正方形时，AB⊥BC才成立．

解答： 解：∵l是四边形ABCD的对称轴，

∴∠CAD=∠BAC，∠ACD=∠ACB，

∵AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，

∴∠CAD=∠ACB=∠BAC=∠ACD，

∴AB∥CD，AB=BC，故①②正确；

又∵l是四边形ABCD的对称轴，

∴AB=AD，BC=CD，

∴AB=BC=CD=AD，

∴四边形ABCD是菱形，

∴AO=OC，故④正确，

∵菱形ABCD不一定是正方形，

∴AB⊥BC不成立，故③错误，

综上所述，正确的结论有①②④共3个．

故选C．

点评： 本题考查了轴对称的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，熟记对称轴两边的部分能够完全重合是解题的关键．

6．（3分）如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC=4平方厘米，则S△BEF的值为（）

 A． 2平方厘米 B． 1平方厘米 C． 平方厘米 D． 平方厘米

考点： 三角形的面积．

分析： 根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出△BEF与△ABC的面积的关系，代入数据进行计算即可得解．

解答： 解：∵点E是AD的中点，

∴S△BCE=S△ABC，

∵点F是CE的中点，

∴S△BEF=S△BCE，

∴S△BEF=×S△ABC=S△ABC，

∵S△ABC=4，

∴S△BEF=×4=1．

故选B．

点评： 本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形面积相等得到三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键，也是此类题目常用的方法，一定要熟练掌握．

二、填空题（每小题2分，共9小题，总共24分）

7．（2分）等腰三角形一边长为3cm，周长7cm，则腰长是3cm或2cm．

考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．

分析： 题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解．

解答： 解：①当3cm为腰长时，则腰长为3cm，底边=7﹣3﹣3=1cm，因为1+3＞3，所以能构成三角形；

②当3cm为底边时，则腰长=（7﹣3）÷2=2cm，因为2+2＞3，所以能构成三角形．

故答案为：3cm或2cm．

点评： 此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是利用三角形三边关系进行检验．

8．（2分）如下图∠1=∠2，由AAS判定△ABD≌△ACD，则需添加的条件是∠B=∠C．

考点： 全等三角形的判定．

专题： 开放型．

分析： 本题要判定△ABD≌△ACD，已知∠1=∠2，AD是公共边，具备了一边一角对应相等，注意“AAS”的条件：两角和其中一角的对边对应相等，只能选∠B=∠C．

解答： 解：由图可知，只能是∠B=∠C，才能组成“AAS”．

故填∠B=∠C．

点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

本题考查三角形全等的判定“AAS”的条件：两角和其中一角的对边相等．

9．（2分）已知三角形的两边长为2cm和7cm，第三边的数值为奇数，则这个三角形的周长为16．

考点： 三角形三边关系．

分析： 首先设三角形的第三边长为xcm，再根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边可得7﹣2＜x＜7+2，然后根据第三边的数值为奇数，确定第三边长的值，再求出周长即可．

解答： 解：设三角形的第三边长为xcm，由题意得：

7﹣2＜x＜7+2，

解得：5＜x＜9，

∵第三边的数值为奇数，

∴x=7，

∴这个三角形的周长为：2+7+7=16（cm），

故答案为：16．

点评： 此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三边关系定理，确定出第三边长．

10．（3分）一个多边形的内角和是外角和的4倍，则此多边形的边数是10．

考点： 多边形内角与外角．

分析： 任何多边形的外角和是360度，内角和是外角和的4倍，则内角和是4×360度．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．

解答： 解：设边数为n，则

（n﹣2）•180°=4×360°，

解得：n=10．

则多边形的边数是10．

点评： 已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．

11．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为直角，∠A=30°，CD⊥AB于D．若BD=1，则AB=4．

考点： 含30度角的直角三角形．

专题： 计算题．

分析： 先根据∠ACB为直角，∠A=30°，求出∠B的度数，再根据CD⊥AB于D，求出∠DCB=30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可直接求出答案．

解答： 解：∵∠ACB为直角，∠A=30°，

∴∠B=90°﹣∠A=60°，

∵CD⊥AB于D，∴∠DCB=90°﹣∠B=30°

∴AB=2BC，BC=2BD，

∴AB=4BD=4．

故答案为：4．

点评： 此题主要考查学生对含30度角的直角三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题的突破点是利用∠ACB为直角和CD⊥AB于D，求出∠DCB=90°﹣∠B=30°，以后的问题即可迎刃而解了．

12．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=12cm，BD=8cm，则点D到AB的距离为4cm．

考点： 角平分线的性质．

分析： 先过点D作DE⊥AB于点E，根据BC=12cm，BD=8cm求出DC的长，由∠C=90°可知，DC⊥AC，再根据AD平分∠BAC可得出DE=DC，故可得出结论．

解答： 解：先过点D作DE⊥AB于点E，

∵BC=12cm，BD=8cm，

∴DC=12﹣8=4cm，

∵∠C=90°，

∴DC⊥AC，

∵AD平分∠BAC，

∴DE=DC=4cm．

故答案为：4．

点评： 本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．

13．（3分）如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为15．

考点： 轴对称的性质．

分析： P点关于OA的对称是点P1，P点关于OB的对称点P2，故有PM=P1M，PN=P2N．

解答： 解：∵P点关于OA的对称是点P1，P点关于OB的对称点P2，

∴PM=P1M，PN=P2N．

∴△PMN的周长为PM+PN+MN=MN+P1M+P2N=P1P2=15．

故答案为：15

点评： 本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．

14．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积是6cm2．

考点： 轴对称的性质；等腰三角形的性质．

分析： 由图，根据等腰三角形是轴对称图形知，△CEF和△BEF的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形面积的一半．

解答： 解：∵△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，

∴△ABC是轴对称图形，且直线AD是对称轴，

∴△CEF和△BEF的面积相等，

∴S阴影=S△ABD，

∵AB=AC，AD是BC边上的高，

∴BD=CD，

∴S△ABD=S△ACD=S△ABC，

∵S△ABC=12cm2，

∴S阴影=12÷2=6cm2．

故答案为：6．

点评： 本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现并利用△CEF和△BEF的面积相等是正确解答本题的关键．

15．（3分）如图所示，两个三角形关于某条直线对称，则α=30°．

考点： 轴对称的性质．

分析： 利用轴对称图形的性质得出对应角相等，进而得出答案．

解答： 解：∵两个三角形关于某条直线对称，

∴α=180°﹣115°﹣35°=30°．

故答案为：30°．

点评： 此题主要考查了轴对称图形的性质，得出对应角相等是解题关键．

三、解答题（每小题9分，共27分）

16．（9分）已知：如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，求证：AB∥CD．

考点： 全等三角形的判定与性质．

专题： 证明题．

分析： 根据SSS推出△ABD≌△CDB，根据全等三角形的性质得出∠ABD=∠CDB，根据平行线的判定得出即可．

解答： 证明：在△ABD和△DCB中，

，

∴△ABD≌△CDB（SSS），

∴∠ABD=∠CDB，

∴AB∥CD．

点评： 本题考查了平行线的判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出∠ABD=∠CDB，注意：内错角相等，两直线平行．

17．（9分）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB的垂直平分线DE交AB于D，交BC于E，若CE=3cm，求BE的长．

考点： 线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．

分析： 根据直角三角形两锐角互余求出∠B=30°，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，根据等边对等角可得∠BAE=∠B=30°，然后求出∠CAE=∠BAE，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CE，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．

解答： 解：∵∠C=90°，∠BAC=60°，

∴∠B=90°﹣60°=30°，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE=BE，

∴∠BAE=∠B=30°，

∴∠CAE=∠BAE，

∴DE=CE=3cm，

又∵∠B=30°，

∴BE=2DE=2×3=6cm．

点评： 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．

18．（9分）已知：如图，已知△ABC，

（1）分别画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1

（2）写出△A1B1C1各顶点坐标；

（3）求△ABC的面积．

考点： 作图-轴对称变换．

分析： （1）分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，然后顺次连接；

（2）根据图示以及直角坐标系的特点写出个顶点的坐标；

（3）用△ABC所在的矩形的面积减去周围小三角形的面积即可求解．

解答： 解：（1）所作图形如图所示；

（2）A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣4），C1（﹣4，﹣1）；

（3）S△ABC=3×4﹣×2×3﹣×4×1﹣×2×2=12﹣3﹣2﹣2=5．

点评： 本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构各点关于y轴对称的对应点的位置，然后顺次连接．

四、（每小题12分，共24分）

19．（12分）已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BE⊥AC．

考点： 全等三角形的判定与性质．

专题： 证明题．

分析： 由题中条件可得Rt△BDF≌Rt△ADC，得出对应角相等，再通过角之间的转化，进而可得出结论．

解答： 证明：∵BF=AC，FD=CD，AD⊥BC，

∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）

∴∠C=∠BFD，

∵∠DBF+∠BFD=90°，

∴∠C+∠DBF=90°，

∵∠C+∠DBF+∠BEC=180°

∴∠BEC=90°，即BE⊥AC．

点评： 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，能够熟练运用其性质求解一些简单的计算、证明问题．

20．（12分）如图，已知：AB⊥BC于B，EF⊥AC于G，DF⊥BC于D，BC=DF．求证：AC=EF．

考点： 全等三角形的判定与性质．

专题： 证明题．

分析： 通过全等三角形的判定定理AAS证得△ABC≌△EDF，则其对应边相等，即AC=EF．

解答： 证明：如图，∵AB⊥BC于B，EF⊥AC于G，

∴∠B=∠CGE=90°，

∴∠A=∠1（同角的余角相等）．

又∵DF⊥BC于D，

∴∠B=∠EDF=90°，

∴在△ABC与△EDF中，，

∴△ABC≌△EDF（AAS），

∴AC=EF．

点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

五、（21小题13分，22小题14分，共27分）

21．（13分）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C，D是垂足，连接CD，与∠AOB的平分线交于点F．

（1）求证：OE是CD的垂直平分线；

（2）若∠AOB=60°，求OF：FE的值．

考点： 线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；解直角三角形．

专题： 综合题．

分析： （1）根据垂直平分线的性质定理证明．

（2）通过解特殊角三角函数计算．

解答： 解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C，D是垂足，

∴DE=CE．

在Rt△EDO与Rt△ECO中，

DE=CE，OE为公共边，∠DOE=∠COF，

∴OD=OC．

∵OF为角平分线，

∴OE是CD的垂直平分线．

（2）设OD=a，∠AOB=60°，

∴∠DOE=30°，∠ODF=60°，DF=OD=．

OF=．

∵∠ODE=90°，∠ODF=60°，

∴∠EDF=30°．

在Rt△DEF中，

tan30°===，EF=．

∴OF：FE=：=3：1．

点评： 考查了特殊角的三角函数值和角平分线的性质．

22．（14分）如图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE=6厘米．

（1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？

考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

专题： 动点型．

分析： 正方形的四边相等，四个角都是直角．（1）①速度相等，运动的时间相等，所以距离相等，根据全等三角形的判定定理可证明．②因为运动时间一样，运动速度不相等，所以BP≠CQ，只有BP=CP时才相等，根据此可求解．

（2）知道速度，知道距离，这实际上是个追及问题，可根据追及问题的等量关系求解．

解答： 解：（1）①∵t=1秒，

∴BP=CQ=4×1=4厘米，（1分）

∵正方形ABCD中，边长为10厘米

∴PC=BE=6厘米，（1分）

又∵正方形ABCD，

∴∠B=∠C，（1分）

∴△BPE≌△CQP（1分）

②∵VP≠VQ，∴BP≠CQ，

又∵△BPE≌△CQP，∠B=∠C，则BP=PC，

而BP=4t，CP=10﹣4t，

∴4t=10﹣4t（2分）

∴点P，点Q运动的时间秒，（1分）

∴厘米/秒．（1分）

（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，

由题意，得4.8x﹣4x=30，（1分）

解得秒．（1分）

∴点P共运动了厘米（1分）

∴点P、点Q在A点相遇，

∴经过秒点P与点Q第一次在A点相遇．（1分）

点评： 本题考查正方形的性质，四个边相等，四个角都是直角以及全等三角形的判定和性质．