2021-2022学年江西省吉安市永丰县部分学校八年级（下）期中数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年江西省吉安市永丰县部分学校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18分）

1. 以下图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

3. 在平面直角坐标系中，点在第三象限内，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在平面内将绕着直角顶点逆时针旋转得到，若，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图所示的是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿方向平移得到若，，，则图中阴影部分面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若不等式组的解集为，则满足的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

7. 如图，数轴上所表示的关于的不等式的解集为______．
    
8. 如图，在中，，的垂直平分线交于点若，则的度数是______．

9. 函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是______．

10. 不等式组的最小整数解是______．
11. 小明去某超市为班级购买一些笔记本和钢笔．已知笔记本的价格为元本，钢笔的价格为元支．小明班级计划用不超过元的费用购买两种物品，若笔记本的本数和钢笔的支数之和为，则最多能购买钢笔______支．
12. 如图，是等边内一点，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，若是等腰三角形，则的度数为______．

三、解答题（本大题共11小题，共84分）

13. 在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，平移线段，使点的对应点的坐标为，求点的对应点的坐标．
14. 解不等式组：并将解集在数轴上表示出来．
     
15. 如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．
    
    在图中，作关于点对称的；
    在图中，作绕点顺时针旋转后得到的．
16. 如图，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．
    求点的坐标．
    利用函数图象直接写出当时，的取值范围．

17. 如图，，点在边上，点，在边上，连接，若，求的度数．

18. 如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，．
    求证：≌．
    求的度数．

19. 阅读下面解题过程，再解答后面的问题．
    求不等式的解集．
    解：根据“同号两数相乘，积为正”可得或，
    解不等式组得，解不等式组得，
    所以原不等式解集为或．
    请你仿照上述方法，求不等式的解集．
20. 如图，在中，，均为的角平分线且相交于点．
    填空：______
    求证：

21. 甲、乙两家采摘园的草莓品质相同，销售价格都是每千克元，两家均推出了“周末”优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需要购买门票，采摘的草莓超过千克后，超过部分五折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为千克，在甲采摘园所需总费用为元，在乙采摘园所需总费用为元．
    求、关于的函数解析式；
    如果你是游客你会如何选择采摘园？
22. 已知是等边三角形，是直角三角形，，，将和按图所示的方式放置，顶点与点重合，边在边上，点恰好落在的斜边上．
    求证：．
    将沿边向右平移，在平移过程中，边，所在的直线与边所在的直线交于点，．
    如图，当在边上时，猜想与的数量关系：______．
    如图，当在边的延长线上时，中的结论是否还成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
     

23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，以为腰在第二象限作等腰直角，．
    求点的坐标．
    是轴上的一个动点，是否存在这样的点，使得的值最大？如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出点的坐标．
    若以，，为顶点的三角形和全等点不与点重合，请直接写出点的坐标．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
以点为圆心，为半径画弧，交于点，
，
，
，
，
，
．
故选：．
由等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，由作图得出，得出，证出，得出即可．
本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证出是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
，
的值可以是，
故选：．
根据题意可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，，
，
将绕着直角顶点逆时针旋转得到，
，
，
故选：．
由勾股定理可求，由旋转的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：沿方向平移得到，
，≌，
，，
即，

故选：．
先根据平移的性质得到，≌，则，，所以，然后根据梯形的面积公式计算即可．
本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行或共线且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：由，得：，
又且不等式组的解集为，
，
解得，
故选：．
求出第一个不等式的解集，根据口诀：同小取小并结合不等式组的解集可得关于的不等式，解之即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈判断解集为：．

数轴的某一段上面，实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，向右，向左．
本题考查在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示的方法：向右画；向左画，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
的垂直平分线交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形外角的性质得到，根据三角形的内角和定理列方程即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质证得是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图象可得：当时，，
所以关于的不等式的解集是，
故答案为：．
观察函数图象得到即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的最小整数解为：，
故答案为：．
按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，然后再确定其范围内的最小整数，即可解答．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设购买钢笔支，则购买笔记本本，
根据题意可得：，
解得，
最多能购买钢笔支，
故答案为：．
设购买钢笔支，则购买笔记本本，可得：，即可解得，故最多能购买钢笔支．
本题考查不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：绕点按顺时针方向旋转得到，
，且，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
旋转得到，
，
，
当时，，
，
；
当时，，
；
当时，，
；
故答案为：或或．
先证是等边三角形，得，再证，分三种情况分别求出的度数即可．
本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，学会分类讨论思想解决问题是解题的关键．
 

13.【答案】解：平移后得到点的坐标为，
向右平移个单位，
的对应点坐标为，
即． 

【解析】根据点的坐标及对应点的坐标可得线段向右平移个单位，然后可得点的坐标．
此题主要考查了坐标与图形的变化--平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
 

14.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

15.【答案】解：如图所示，即为所求．

如图所示，即为所求． 

【解析】结合网格分别作出点、、关于点的对称点，再首尾顺次连接即可；
分别作出点、绕点顺时针旋转后得到的对应点，再首尾顺次连接即可．
本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此作出变换后的对应点．
 

16.【答案】解：联立一次函数与正比例函数，
解得，
，
根据图象可知，当时，的取值范围是． 

【解析】先联立一次函数与正比例函数的解析式，解二元一次方程组，即可求出交点坐标；
根据图象即可进行判断．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数求交点坐标的方法是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分别求出，，再根据角的和差关系即可求出的度数．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是求出，的度数．
 

18.【答案】证明：绕点按逆时针方向旋转，
，，，
在与中，
，
≌；
解：，，
．
，，
，
． 

【解析】利用“”可证≌．
由等腰三角形的性质可求，，即可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
 

19.【答案】解：根据“异号两数相乘，积为负”可得或，
不等式组无解；
解不等式组，得：，
原不等式的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：，
；
，均为的角平分线，
，，
，
，
故答案为：；
证明：在上截取，如图，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
．
先根据三角形内角和定理得到，再利用角平分线的定义得到，，则，然后根据三角形内角和得到的度数；
在上截取，如图，先证明≌得到，由于，所以，则，接着证明≌得到，然后利用等线段代换得到结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了角平分线的性质．
 

21.【答案】解：由题意可得，
，
，
即关于的函数解析式是，关于的函数解析式是；
当时，得，即当采摘量等于千克时，在甲、乙两采摘园所需费用相同；
当时，得，即当采摘量超过千克时，选择乙采摘园；
当时，得，即当采摘量超过千克且少于千克时，选择甲采摘园；
由上可得，当采摘量等于千克时，在甲、乙两采摘园所需费用相同；当采摘量超过千克时，选择乙采摘园；当采摘量超过千克且少于千克时，选择甲采摘园． 

【解析】根据题意，可以写出、关于的函数解析式；
根据题意，可以列出相应的方程和不等式，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
 

22.【答案】 

【解析】证明：是等边三角形，
，．
，
．
，
，
，
．
解：，
理由如下：
是等边三角形，
，．
，
．
，
．
，
．
又，，
，
故答案为：；
成立，理由如下；
是等边三角形，
，．
，，
，
，
，
，
由知，，
，
，
．
根据等边三角形的性质，得，结合三角形外角的性质，得，则，从而证明结论；
根据中的证明方法，得到根据中的结论，知，从而证明结论；
根据等边三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理得到，根据直角三角形的性质得到，由知，，于是得到结论．
此题是几何变换综合题，综合运用了等边三角形的性质、三角形的外角性质以及等腰三角形的判定及性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：令，则，
．
．
令，则，
．
．
．
过点作，交延长线于点，如图，

则．
．
，
．
．
在和中，
，
≌．
，．
．
．
存在点，使得的值最大．理由：
延长，交轴于点，则此时的值最大．
设直线的解析式为，
，
解得：．
直线的解析式为．
令，则，
．
．
存在这样的点，使得的值最大，点的坐标为．
由题意可知，，若以、、为顶点的三角形和全等，则有以下两种情况：
当点为直角顶点时，即≌，如图，过作轴于，连接，过作轴于，

此时，，则点是的中点，
，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形，
，
，，，
≌，
，，
，
；
当点为直角顶点时，即≌，如图，
过点作轴于，过点作轴于点，

，即点是的中点，
，
，
，
；
综上所述，点的坐标为，，． 

【解析】过点作，交延长线于点，通过证明≌，求得线段，的长度即可得出结论；
延长，交轴于点，则此时的值最大，利用待定系数法求得直线的解析式，令即可求得点的横坐标．
依据以、、为顶点的三角形和全等，结合，，，分两种情况分类讨论，即可得到点的坐标．
本题属于一次函数的综合，主要考查了一次函数的图象，全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．