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2021-2022学年河南省许昌市襄城县九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年河南省许昌市襄城县九年级（上）期中数学试卷 解析版，共23页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省许昌市襄城县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝22°，则∠B的度数为（ ）
A．90° B．68° C．58° D．44°
2．（3分）如图图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）若x＝3是关于x的方程﹣3a＝0的一个根，则在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+2的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝115°，则另一个外角∠DAF的度数为（ ）
A．75° B．65° C．55° D．45°
5．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）在第四象限，且|x|﹣2＝0，y2﹣9＝0，则点P关于坐标原点对称的点P′的坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
6．（3分）若关于x的方程x2﹣cx+4＝0有两个不相等的实数根，则的值不可能是（ ）
A．4 B．5 C．﹣5 D．10
7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝114°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C的度数为（ ）
A．18° B．20° C．22° D．24°
8．（3分）将抛物线y＝x2﹣6x+5绕坐标原点旋转180°后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣6x﹣5 B．y＝﹣x2+6x+5 C．y＝x2+6x+5 D．y＝x2+6x﹣5
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，△DEC可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点D与点A是对应点，点E与点B是对应点，且CE∥AB，连接BD，则BD的长为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．5
10．（3分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3及一次函数y＝x+m，将该二次函数y＝﹣x2﹣2x+3在x轴下方的图象沿x轴进行翻折，其余部分不变，得到一个新的函数图象，当直线y＝x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A．3＜m＜5 B．﹣1＜m＜3 C．3＜m＜ D．5＜m＜
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）抛物线y＝3（x+1）2+2的对称轴是直线 ．
12．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值为 ．
13．（3分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章关于计算弧田面积所用的公式如下：弧田面积＝（弦×矢+矢×矢）．弧田（图中的阴影部分）由圆弧和其所对的弦围成．公式中的“弦”是指圆弧所对的弦长．“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦AB＝24米．半径OA＝15米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为 平方米．
14．（3分）按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测，某校统计了学生早晨到校情况，发现从7：00开始，在校门口的学生人数y随时间x（单位：分钟）的变化情况的图象是如图所示的某抛物线的一部分，则校门口排队等待体温检测的学生最多时有 人．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，O是AB的中点，将OB绕点O逆时针旋转得到OB'（点B'不与点B，C重合）．在旋转过程中，当△ABB'为直角三角形且∠BAB'＝60°时，CB'的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）已知x＝m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，求代数式2m2+2m+2022的值．
（2）一块直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，其两条边分别交的⊙O于B，C两点，连接BC、OB、OC，若弦BC＝3，求⊙O的半径．
17．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m＝0．
求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
18．（9分）我们称顶点相同的两条抛物线为同位抛物线，已知抛物线C1：y＝﹣3x2+6x﹣1．
（1）下列抛物线中，与C1是同位抛物线的是 （填序号）．
①y＝3x2﹣6x+4；②y＝﹣2x2+4x+3；③y＝2x2﹣4x+4；④y＝2x2+1
（2）若抛物线C2：y＝ax2﹣2ax﹣c与C1是同位抛物线，则a与c需满足怎样的数量关系？
19．（9分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB与CD相交于点E，连接AC、AD，AC＝AD．
（1）求证：AB⊥CD．
（2）若AB＝12，BE＝2，求CD的长．
20．（9分）为了实现乡村振兴，某村委会成立了特别工作小组帮助果农进行西瓜种植和销售，已知西瓜的成本为5元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍，经市场调研发现，销售旺季，当销售单价为5元/千克时．每天的销售量为1000千克，每增加0.1元/千克，每天的销售量就减少20千克．设每天西瓜的销售量为y（千克），销售单价为x（元/千克）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围．
（2）求销售旺季一天销售西瓜所获得的利润w的最大值．
21．（9分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α后得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E．
（1）如图1，若点D恰好落在边BC的延长线上，连接CE，求∠DEC的度数．
（2）如图2，若α＝60°，F为BD的中点，连接CD，CF，EF，请判断四边形CDEF是什么特殊的四边形，并说明理由．
22．（10分）某课外学习小组根据学习函数过程中的经验，对函数y＝﹣x2+4|x|的图象与性质进行了探究，请补充完整以下探索过程．
（1）列表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
m
0
3
n
3
0
3
4
3
0
…
直读写出m＝ ，n＝ ．
（2）根据上表中的数据．在平面直角坐标系中画出该函数的图象．
结合图象写出该函数的两条性质：
性质1： ；
性质2： ．
（3）结合（2）中所画的函数图象．直接写出不等式﹣x2+4|x|＜x的解集： ．
23．（10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，D是射线AB上的一动点，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，DE．
（1）如图1，△CDE是 三角形．
（2）如图2，猜想BC，BD，BE之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）在点D移动过程中．当∠DEB＝30°时，求BD的长．
2021-2022学年河南省许昌市襄城县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝22°，则∠B的度数为（ ）
A．90° B．68° C．58° D．44°
【分析】根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，再根据直角三角形的两锐角互余得出即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝22°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝68°，
故选：B．
2．（3分）如图图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
3．（3分）若x＝3是关于x的方程﹣3a＝0的一个根，则在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+2的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】首先确定a的值，然后确定函数的图像经过的位置即可．
【解答】解：∵x＝3是关于x的方程﹣3a＝0的一个根，
∴﹣3a＝0，
解得：a＝2，
∴一次函数y＝2x+2不经过第四象限，
故选：D．
4．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝115°，则另一个外角∠DAF的度数为（ ）
A．75° B．65° C．55° D．45°
【分析】先利用邻补角计算出∠BCD＝65°，然后根据圆内接四边形的性质得到∠DAF的度数．
【解答】解：∵∠DCE＝115°，
∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝65°，
∴∠DAF＝∠BCD＝65°．
故选：B．
5．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）在第四象限，且|x|﹣2＝0，y2﹣9＝0，则点P关于坐标原点对称的点P′的坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
【分析】直接利用第四象限内点的坐标特点得出x，y的取值范围，再利用非负数的性质得出x，y的值，结合关于原点对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵点P（x，y）在第四象限，
∴x＞0，y＜0，
∵|x|﹣2＝0，y2﹣9＝0，
∴x＝2，y＝﹣3，
∴P（2，﹣3）关于坐标原点对称的点P′的坐标是（﹣2，3）．
故选：C．
6．（3分）若关于x的方程x2﹣cx+4＝0有两个不相等的实数根，则的值不可能是（ ）
A．4 B．5 C．﹣5 D．10
【分析】根据方程有两个不相等的实数根得出Δ＞0，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣cx+4＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝c2﹣4×1×4＞0，
解得：c＞4或c＜﹣4，
∴只有数4符合，数5、﹣5、10都不符合，
故选：A．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝114°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C的度数为（ ）
A．18° B．20° C．22° D．24°
【分析】由旋转的性质可知AB＝AB'，再利用三角形外角的性质得∠B＝∠AB'B＝2∠C，由∠BAC＝114°，即可得出3∠C＝180°﹣114°＝66°，从而得出答案．
【解答】解：∵AB'＝CB'，
∴∠C＝∠CAB'，
∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，
∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，
∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，
∴3∠C＝180°﹣114°＝66°，
∴∠C＝22°，
故选：C．
8．（3分）将抛物线y＝x2﹣6x+5绕坐标原点旋转180°后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣6x﹣5 B．y＝﹣x2+6x+5 C．y＝x2+6x+5 D．y＝x2+6x﹣5
【分析】求得抛物线y＝x2﹣6x+5的顶点坐标，根据旋转的性质得到旋转180°后的抛物线的顶点坐标，进而即可求得新的抛物线的解析式．
【解答】解：∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线y＝x2﹣6x+5的顶点坐标为（3，﹣4），点（3，﹣4）关于原点的对称点为（﹣3，4），
∴抛物线抛物线y＝x2﹣6x+5的图象绕坐标原点旋转180°所得的新的抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）2+4＝﹣x2﹣6x﹣5．
故选：A．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，△DEC可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点D与点A是对应点，点E与点B是对应点，且CE∥AB，连接BD，则BD的长为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．5
【分析】延长DC交AB于F，如图，根据旋转的性质得CD＝CA，∠DCE＝∠ACB＝90°，再利用平行线的性质得到∠CFA＝∠DCE＝90°，接着利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AC＝2，CF＝，则利用勾股定理计算出BF＝1，接着计算BD的长．
【解答】解：延长DC交AB于F，如图，
∵△DEC可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，
∴CD＝CA，∠DCE＝∠ACB＝90°，
∵CE∥AB，
∴∠CFA＝∠DCE＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴AC＝BC＝2，
在Rt△ACF中，∵∠CAF＝30°，
∴CF＝AC＝，
∴BF＝＝＝1，
在Rt△BDF中，DF＝DC+CF＝2+＝3，
∴BD＝＝＝2．
故选：B．
10．（3分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3及一次函数y＝x+m，将该二次函数y＝﹣x2﹣2x+3在x轴下方的图象沿x轴进行翻折，其余部分不变，得到一个新的函数图象，当直线y＝x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A．3＜m＜5 B．﹣1＜m＜3 C．3＜m＜ D．5＜m＜
【分析】如图，解方程﹣x2﹣2x+3＝0得A（﹣3，0），B（1，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y＝（x﹣1）（x+3），即y＝x2+2x﹣3（x＜﹣3或x＞1），然后求出直线y＝x+m经过点A（﹣3，0）时m的值和当直线y＝x+m与抛物线y＝﹣x2﹣2x+3（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y＝x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围．
【解答】解：如图，在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0，
得﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
将该二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方的部分图象的解析式为y＝（x﹣1）（x+3），
即y＝x2+2x﹣3（x＜﹣3或x＞1），
当直线y＝x+m经过点A（﹣3，0）时，﹣3+m＝0，解得m＝3；
当直线y＝x+m与抛物线y＝﹣x2﹣2x+3（﹣3≤x≤1）有唯一公共点时，方程﹣x2﹣2x+3＝x+m有相等的实数解，解得m＝，
所以当直线y＝x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为3＜m＜．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）抛物线y＝3（x+1）2+2的对称轴是直线 x＝﹣1 ．
【分析】根据二次函数y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为x＝h可直接得到答案．
【解答】解：∵y＝3（x+1）2+2，
∴对称轴为x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1．
12．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值为 1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和常数项的定义得出m﹣2≠0且m2﹣3m+2＝0，再求出m即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，
∴m﹣2≠0且m2﹣3m+2＝0，
解得：m＝1，
故答案为：1．
13．（3分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章关于计算弧田面积所用的公式如下：弧田面积＝（弦×矢+矢×矢）．弧田（图中的阴影部分）由圆弧和其所对的弦围成．公式中的“弦”是指圆弧所对的弦长．“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦AB＝24米．半径OA＝15米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为 90 平方米．
【分析】过圆心O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，由垂径定理得到AD＝12米，再由勾股定理得到OD＝9米，求得OA﹣OD＝6米，然后由弧田面积公式即可得出结果．
【解答】解：由题意得：OC⊥AB于D，
∴AD＝BD＝AB＝12米，
在Rt△ODA中，由勾股定理得：OD＝＝＝9（米），
∴OA﹣OD＝15﹣9＝6（米），
∴弧田面积＝（弦×矢+矢×矢）＝×（24×6+6×6）＝90（平方米），
故答案为：90．
14．（3分）按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测，某校统计了学生早晨到校情况，发现从7：00开始，在校门口的学生人数y随时间x（单位：分钟）的变化情况的图象是如图所示的某抛物线的一部分，则校门口排队等待体温检测的学生最多时有 164 人．
【分析】根据图象用待定系数法求函数解析式根据函数的性质求最值即可．
【解答】解：设y与x之间的函数解析式为y＝ax2+bx+c，
根据题意，得：，
解得：，
∴y＝﹣x2+16x+36，
∵﹣＜0，
∴y有最大值，y最大＝＝＝164，
∴校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有164人．
故答案为：164．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，O是AB的中点，将OB绕点O逆时针旋转得到OB'（点B'不与点B，C重合）．在旋转过程中，当△ABB'为直角三角形且∠BAB'＝60°时，CB'的长为 2 ．
【分析】由题意知，只能是∠AB'B＝90°，证明点C，O，B'三点共线即可得出答案．
【解答】解：由题意知，只能是∠AB'B＝90°，如图，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB＝2BC＝2，
∵O是AB的中点，
∴OA＝OB＝1，
∵∠BAB'＝60°，OA＝OB'＝OC，
∴∠BOB'＝120°，∠BOC＝60°，
∴∠COB＝180°，
∴点C，O，B'三点共线，
∴CB'＝CO+OB'＝2CO＝2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）已知x＝m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，求代数式2m2+2m+2022的值．
（2）一块直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，其两条边分别交的⊙O于B，C两点，连接BC、OB、OC，若弦BC＝3，求⊙O的半径．
【分析】（1）把x＝m入方程即可得到m2+m的形式，再整体代入m2+m＝1，即可求解；
（2）连接OB、OC，如图，先根据圆周角定理得到∠BOC＝60°，则可判断△OBC为等边三角形，从而得到OB＝3．
【解答】解：（1）∵m2+m﹣1＝0，
∴m2+m＝1，
则2m2+2m﹣2022＝2（m2+m）﹣2022＝2﹣2022＝﹣2018；
（2）连接OB、OC，如图，
∵∠A与∠BOC都对，∠A＝30°，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∵BC＝3，
∴OB＝BC＝3，
即⊙O的半径为3．
17．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m＝0．
求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【分析】表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根．
【解答】证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4m＝m2+6m+9﹣4m＝m2+2m+9＝（m+1）2+10，
∵（m+1）2≥0，
∴（m+1）2+10＞0，
则无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根．
18．（9分）我们称顶点相同的两条抛物线为同位抛物线，已知抛物线C1：y＝﹣3x2+6x﹣1．
（1）下列抛物线中，与C1是同位抛物线的是 ③ （填序号）．
①y＝3x2﹣6x+4；②y＝﹣2x2+4x+3；③y＝2x2﹣4x+4；④y＝2x2+1
（2）若抛物线C2：y＝ax2﹣2ax﹣c与C1是同位抛物线，则a与c需满足怎样的数量关系？
【分析】（1）求各函数的顶点坐标，根据顶点相同的两条抛物线为同位抛物线，做判断；
（2）先表示抛物线C2的顶点坐标，再列式计算．
【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝﹣3x2+6x﹣1＝﹣3（x﹣1）2+2，
∴顶点为（1，2），
①y＝3x2﹣6x+4＝3（x﹣1）2+1，顶点为（1，1），所以①不是；
②y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5，顶点为（1，5），所以②不是；
③y＝2x2﹣4x+4＝2（x﹣1）2+2，顶点为（1，2），所以③是；
④y＝2x2+1，顶点为（0，1），所以④不是；
故答案为③．
（2）抛物线C2：y＝ax2﹣2ax+c，
y＝a（x2﹣2x+1﹣1）+c，
y＝a（x﹣1）2﹣a+c，顶点为（1，﹣a+c），
由抛物线C2：y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）与C1是同位抛物线得：﹣a+c＝2，c﹣a＝2，
∴a与c需满足的关系式为：c﹣a＝2．
19．（9分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB与CD相交于点E，连接AC、AD，AC＝AD．
（1）求证：AB⊥CD．
（2）若AB＝12，BE＝2，求CD的长．
【分析】（1）由弦AC＝AD，得，由AB是⊙O的直径得，根据圆周角定理得∠BAC＝∠BAD，再由等腰三角形的“三线合一”性质证明AB⊥CD；
（2）连接OC，由AB是⊙O的直径，且AB＝12，得OC＝OB＝6，进而求出OE的长，在Rt△OCE中根据勾股定理求出CE的长，再由垂径定理得DE＝CE，求得CD的长．
【解答】（1）证明：如图，在⊙O中，
∵AC＝AD，
∴，
∵AB是⊙O的直径，
∴，
∴，
∴∠BAC＝∠BAD，
∴AB⊥CD．
（2）解：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，且AB＝12，
∴OC＝OB＝AB＝6，
∵BE＝2，
∴OE＝OB﹣BE＝6﹣2＝4，
∵∠OEC＝90°，
∴CE＝＝＝2，
∵AB⊥CD，
∴DE＝CE＝2，
∴CD＝2+2＝4．
20．（9分）为了实现乡村振兴，某村委会成立了特别工作小组帮助果农进行西瓜种植和销售，已知西瓜的成本为5元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍，经市场调研发现，销售旺季，当销售单价为5元/千克时．每天的销售量为1000千克，每增加0.1元/千克，每天的销售量就减少20千克．设每天西瓜的销售量为y（千克），销售单价为x（元/千克）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围．
（2）求销售旺季一天销售西瓜所获得的利润w的最大值．
【分析】（1）根据销售单价为5元/千克时．每天的销售量为1000千克，每增加0.1元/千克，每天的销售量就减少20千克列出y与x函数关系式，并根据销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍，求出自变量；
（2）根据利润等于每千克的利润×销售量列出函数关系式，并根据函数的性质求函数的最大值．
【解答】解：（1）由题意得：y＝1000﹣×20＝1000﹣200（x﹣5）＝﹣200x+2000，
∵销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍，
∴5≤x≤10，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣200x+2000（5≤x≤10）；
（2）由题意得：w＝（x﹣5）•y
＝（x﹣5）（﹣200x+2000）
＝﹣200x2+3000x﹣10000
＝﹣200（x﹣7.5）2+1250，
∵﹣200＜0，
∴当x＝7.5时，w有最大值，最大值为1250，
∴销售旺季一天销售西瓜所获得的利润w的最大值为1250元．
21．（9分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α后得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E．
（1）如图1，若点D恰好落在边BC的延长线上，连接CE，求∠DEC的度数．
（2）如图2，若α＝60°，F为BD的中点，连接CD，CF，EF，请判断四边形CDEF是什么特殊的四边形，并说明理由．
【分析】（1）由旋转得∠D＝∠A＝60°，BE＝BC，∠DBE＝∠ABC＝30°，可求出∠BCE的度数，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DEC的度数；
（2）证明△DBE≌△DBC，得△DBE和△DBC都是直角三角形，且∠DBE＝∠DBC＝30°，由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半得CD＝BD，ED＝BD，而F是BD的中点，则CF＝BD，EF＝BD，于是可得CD＝ED＝CF＝EF，所以四边形CDEF是菱形．
【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，
由旋转得∠D＝∠A＝60°，BE＝BC，∠DBE＝∠ABC＝30°，
∴∠BCE＝∠BEC＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠DEC＝∠BCE﹣∠D＝75°﹣60°＝15°．
（2）四边形CDEF是菱形，
理由如下：
如图2，∵△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α得到△DBE，
∴∠CBE＝α＝60°，∠DBE＝∠ABC＝30°，∠DEB＝∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝30°，
∴∠DBE＝∠DBC，
∵BD＝BD，BE＝BC，
∴△DBE≌△DBC（SAS），
∴∠BED＝∠BCD＝90°，
∴CD＝BD，ED＝BD，
∵F为BD的中点，
∴CF＝BD，EF＝BD，
∴CD＝ED＝CF＝EF，
∴四边形CDEF是菱形．
22．（10分）某课外学习小组根据学习函数过程中的经验，对函数y＝﹣x2+4|x|的图象与性质进行了探究，请补充完整以下探索过程．
（1）列表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
m
0
3
n
3
0
3
4
3
0
…
直读写出m＝ ﹣5 ，n＝ 4 ．
（2）根据上表中的数据．在平面直角坐标系中画出该函数的图象．
结合图象写出该函数的两条性质：
性质1： 函数图象关于y轴对称 ；
性质2： 函数最大值为y＝4 ．
（3）结合（2）中所画的函数图象．直接写出不等式﹣x2+4|x|＜x的解集： x＞3 ．
【分析】（1）将x＝﹣5和x＝﹣2分别代入解析式求解．
（2）根据函数解析式作图．
（3）求出y＝﹣x2+4|x与直线y＝x的交点横坐标，根据图象求解．|
【解答】解：（1）把x＝﹣5代入y＝﹣x2+4|x|得y＝﹣25+20＝﹣5，
∴m＝﹣5，
把x＝﹣2代入y＝﹣x2+4|x|得y＝﹣4+8＝4，
∴n＝4，
故答案为：﹣5，4．
（2）如图，
由图象可得函数图象关于y轴对称，函数最大值为y＝4．
故答案为：函数图象关于y轴对称，函数最大值为y＝4．
（3）如图，
当x≥0时，y＝﹣x2+4x，
令﹣x2+4x＝x，
解得x＝0或x＝3，
当x＜0时，y＝﹣x2﹣4x，
令﹣x2﹣4x＝x，
解得x＝0或x＝5，
结合图象可得x＞3时，﹣x2+4|x|＜x．
故答案为：x＞3．
23．（10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，D是射线AB上的一动点，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，DE．
（1）如图1，△CDE是 等腰直角 三角形．
（2）如图2，猜想BC，BD，BE之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）在点D移动过程中．当∠DEB＝30°时，求BD的长．
【分析】（1）由旋转的性质可判断；
（2）证明△ACD≌△BCE可得BE＝BC+BD；
（3）分D在B左右两种情况讨论，由（2）的结论可得BD的长为或．
【解答】解：（1）∵将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
故答案为等腰直角；
（2）BC+BD＝BE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE＝AB+BD＝BC+BD；
（3）当D在B的左边时，如图1，当∠DEB＝30°时，
∴BE＝BD，
由（2）可知△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE＝AB﹣BD＝BC﹣BD；
∴BD＝BC﹣BD，
解得BD＝；
当D在B的右边时，如图2，当∠DEB＝30°时，
∴BE＝BD，
由（2）可得：BD＝BC+BD；
解得BD＝．
故BD的长为或．
2021-2022学年河南省许昌市襄城县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝22°，则∠B的度数为（ ）
A．90° B．68° C．58° D．44°
2．（3分）如图图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）若x＝3是关于x的方程﹣3a＝0的一个根，则在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+2的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝115°，则另一个外角∠DAF的度数为（ ）
A．75° B．65° C．55° D．45°
5．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）在第四象限，且|x|﹣2＝0，y2﹣9＝0，则点P关于坐标原点对称的点P′的坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
6．（3分）若关于x的方程x2﹣cx+4＝0有两个不相等的实数根，则的值不可能是（ ）
A．4 B．5 C．﹣5 D．10
7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝114°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C的度数为（ ）
A．18° B．20° C．22° D．24°
8．（3分）将抛物线y＝x2﹣6x+5绕坐标原点旋转180°后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣6x﹣5 B．y＝﹣x2+6x+5 C．y＝x2+6x+5 D．y＝x2+6x﹣5
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，△DEC可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点D与点A是对应点，点E与点B是对应点，且CE∥AB，连接BD，则BD的长为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．5
10．（3分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3及一次函数y＝x+m，将该二次函数y＝﹣x2﹣2x+3在x轴下方的图象沿x轴进行翻折，其余部分不变，得到一个新的函数图象，当直线y＝x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A．3＜m＜5 B．﹣1＜m＜3 C．3＜m＜ D．5＜m＜
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）抛物线y＝3（x+1）2+2的对称轴是直线 ．
12．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值为 ．
13．（3分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章关于计算弧田面积所用的公式如下：弧田面积＝（弦×矢+矢×矢）．弧田（图中的阴影部分）由圆弧和其所对的弦围成．公式中的“弦”是指圆弧所对的弦长．“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦AB＝24米．半径OA＝15米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为 平方米．
14．（3分）按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测，某校统计了学生早晨到校情况，发现从7：00开始，在校门口的学生人数y随时间x（单位：分钟）的变化情况的图象是如图所示的某抛物线的一部分，则校门口排队等待体温检测的学生最多时有 人．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，O是AB的中点，将OB绕点O逆时针旋转得到OB'（点B'不与点B，C重合）．在旋转过程中，当△ABB'为直角三角形且∠BAB'＝60°时，CB'的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）已知x＝m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，求代数式2m2+2m+2022的值．
（2）一块直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，其两条边分别交的⊙O于B，C两点，连接BC、OB、OC，若弦BC＝3，求⊙O的半径．
17．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m＝0．
求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
18．（9分）我们称顶点相同的两条抛物线为同位抛物线，已知抛物线C1：y＝﹣3x2+6x﹣1．
（1）下列抛物线中，与C1是同位抛物线的是 （填序号）．
①y＝3x2﹣6x+4；②y＝﹣2x2+4x+3；③y＝2x2﹣4x+4；④y＝2x2+1
（2）若抛物线C2：y＝ax2﹣2ax﹣c与C1是同位抛物线，则a与c需满足怎样的数量关系？
19．（9分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB与CD相交于点E，连接AC、AD，AC＝AD．
（1）求证：AB⊥CD．
（2）若AB＝12，BE＝2，求CD的长．
20．（9分）为了实现乡村振兴，某村委会成立了特别工作小组帮助果农进行西瓜种植和销售，已知西瓜的成本为5元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍，经市场调研发现，销售旺季，当销售单价为5元/千克时．每天的销售量为1000千克，每增加0.1元/千克，每天的销售量就减少20千克．设每天西瓜的销售量为y（千克），销售单价为x（元/千克）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围．
（2）求销售旺季一天销售西瓜所获得的利润w的最大值．
21．（9分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α后得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E．
（1）如图1，若点D恰好落在边BC的延长线上，连接CE，求∠DEC的度数．
（2）如图2，若α＝60°，F为BD的中点，连接CD，CF，EF，请判断四边形CDEF是什么特殊的四边形，并说明理由．
22．（10分）某课外学习小组根据学习函数过程中的经验，对函数y＝﹣x2+4|x|的图象与性质进行了探究，请补充完整以下探索过程．
（1）列表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
m
0
3
n
3
0
3
4
3
0
…
直读写出m＝ ，n＝ ．
（2）根据上表中的数据．在平面直角坐标系中画出该函数的图象．
结合图象写出该函数的两条性质：
性质1： ；
性质2： ．
（3）结合（2）中所画的函数图象．直接写出不等式﹣x2+4|x|＜x的解集： ．
23．（10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，D是射线AB上的一动点，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，DE．
（1）如图1，△CDE是 三角形．
（2）如图2，猜想BC，BD，BE之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）在点D移动过程中．当∠DEB＝30°时，求BD的长．
2021-2022学年河南省许昌市襄城县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝22°，则∠B的度数为（ ）
A．90° B．68° C．58° D．44°
【分析】根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，再根据直角三角形的两锐角互余得出即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝22°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝68°，
故选：B．
2．（3分）如图图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
3．（3分）若x＝3是关于x的方程﹣3a＝0的一个根，则在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+2的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】首先确定a的值，然后确定函数的图像经过的位置即可．
【解答】解：∵x＝3是关于x的方程﹣3a＝0的一个根，
∴﹣3a＝0，
解得：a＝2，
∴一次函数y＝2x+2不经过第四象限，
故选：D．
4．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝115°，则另一个外角∠DAF的度数为（ ）
A．75° B．65° C．55° D．45°
【分析】先利用邻补角计算出∠BCD＝65°，然后根据圆内接四边形的性质得到∠DAF的度数．
【解答】解：∵∠DCE＝115°，
∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝65°，
∴∠DAF＝∠BCD＝65°．
故选：B．
5．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）在第四象限，且|x|﹣2＝0，y2﹣9＝0，则点P关于坐标原点对称的点P′的坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
【分析】直接利用第四象限内点的坐标特点得出x，y的取值范围，再利用非负数的性质得出x，y的值，结合关于原点对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵点P（x，y）在第四象限，
∴x＞0，y＜0，
∵|x|﹣2＝0，y2﹣9＝0，
∴x＝2，y＝﹣3，
∴P（2，﹣3）关于坐标原点对称的点P′的坐标是（﹣2，3）．
故选：C．
6．（3分）若关于x的方程x2﹣cx+4＝0有两个不相等的实数根，则的值不可能是（ ）
A．4 B．5 C．﹣5 D．10
【分析】根据方程有两个不相等的实数根得出Δ＞0，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣cx+4＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝c2﹣4×1×4＞0，
解得：c＞4或c＜﹣4，
∴只有数4符合，数5、﹣5、10都不符合，
故选：A．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝114°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C的度数为（ ）
A．18° B．20° C．22° D．24°
【分析】由旋转的性质可知AB＝AB'，再利用三角形外角的性质得∠B＝∠AB'B＝2∠C，由∠BAC＝114°，即可得出3∠C＝180°﹣114°＝66°，从而得出答案．
【解答】解：∵AB'＝CB'，
∴∠C＝∠CAB'，
∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，
∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，
∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，
∴3∠C＝180°﹣114°＝66°，
∴∠C＝22°，
故选：C．
8．（3分）将抛物线y＝x2﹣6x+5绕坐标原点旋转180°后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣6x﹣5 B．y＝﹣x2+6x+5 C．y＝x2+6x+5 D．y＝x2+6x﹣5
【分析】求得抛物线y＝x2﹣6x+5的顶点坐标，根据旋转的性质得到旋转180°后的抛物线的顶点坐标，进而即可求得新的抛物线的解析式．
【解答】解：∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线y＝x2﹣6x+5的顶点坐标为（3，﹣4），点（3，﹣4）关于原点的对称点为（﹣3，4），
∴抛物线抛物线y＝x2﹣6x+5的图象绕坐标原点旋转180°所得的新的抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）2+4＝﹣x2﹣6x﹣5．
故选：A．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，△DEC可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点D与点A是对应点，点E与点B是对应点，且CE∥AB，连接BD，则BD的长为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．5
【分析】延长DC交AB于F，如图，根据旋转的性质得CD＝CA，∠DCE＝∠ACB＝90°，再利用平行线的性质得到∠CFA＝∠DCE＝90°，接着利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AC＝2，CF＝，则利用勾股定理计算出BF＝1，接着计算BD的长．
【解答】解：延长DC交AB于F，如图，
∵△DEC可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，
∴CD＝CA，∠DCE＝∠ACB＝90°，
∵CE∥AB，
∴∠CFA＝∠DCE＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴AC＝BC＝2，
在Rt△ACF中，∵∠CAF＝30°，
∴CF＝AC＝，
∴BF＝＝＝1，
在Rt△BDF中，DF＝DC+CF＝2+＝3，
∴BD＝＝＝2．
故选：B．
10．（3分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3及一次函数y＝x+m，将该二次函数y＝﹣x2﹣2x+3在x轴下方的图象沿x轴进行翻折，其余部分不变，得到一个新的函数图象，当直线y＝x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A．3＜m＜5 B．﹣1＜m＜3 C．3＜m＜ D．5＜m＜
【分析】如图，解方程﹣x2﹣2x+3＝0得A（﹣3，0），B（1，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y＝（x﹣1）（x+3），即y＝x2+2x﹣3（x＜﹣3或x＞1），然后求出直线y＝x+m经过点A（﹣3，0）时m的值和当直线y＝x+m与抛物线y＝﹣x2﹣2x+3（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y＝x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围．
【解答】解：如图，在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0，
得﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
将该二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方的部分图象的解析式为y＝（x﹣1）（x+3），
即y＝x2+2x﹣3（x＜﹣3或x＞1），
当直线y＝x+m经过点A（﹣3，0）时，﹣3+m＝0，解得m＝3；
当直线y＝x+m与抛物线y＝﹣x2﹣2x+3（﹣3≤x≤1）有唯一公共点时，方程﹣x2﹣2x+3＝x+m有相等的实数解，解得m＝，
所以当直线y＝x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为3＜m＜．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）抛物线y＝3（x+1）2+2的对称轴是直线 x＝﹣1 ．
【分析】根据二次函数y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为x＝h可直接得到答案．
【解答】解：∵y＝3（x+1）2+2，
∴对称轴为x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1．
12．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值为 1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和常数项的定义得出m﹣2≠0且m2﹣3m+2＝0，再求出m即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，
∴m﹣2≠0且m2﹣3m+2＝0，
解得：m＝1，
故答案为：1．
13．（3分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章关于计算弧田面积所用的公式如下：弧田面积＝（弦×矢+矢×矢）．弧田（图中的阴影部分）由圆弧和其所对的弦围成．公式中的“弦”是指圆弧所对的弦长．“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦AB＝24米．半径OA＝15米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为 90 平方米．
【分析】过圆心O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，由垂径定理得到AD＝12米，再由勾股定理得到OD＝9米，求得OA﹣OD＝6米，然后由弧田面积公式即可得出结果．
【解答】解：由题意得：OC⊥AB于D，
∴AD＝BD＝AB＝12米，
在Rt△ODA中，由勾股定理得：OD＝＝＝9（米），
∴OA﹣OD＝15﹣9＝6（米），
∴弧田面积＝（弦×矢+矢×矢）＝×（24×6+6×6）＝90（平方米），
故答案为：90．
14．（3分）按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测，某校统计了学生早晨到校情况，发现从7：00开始，在校门口的学生人数y随时间x（单位：分钟）的变化情况的图象是如图所示的某抛物线的一部分，则校门口排队等待体温检测的学生最多时有 164 人．
【分析】根据图象用待定系数法求函数解析式根据函数的性质求最值即可．
【解答】解：设y与x之间的函数解析式为y＝ax2+bx+c，
根据题意，得：，
解得：，
∴y＝﹣x2+16x+36，
∵﹣＜0，
∴y有最大值，y最大＝＝＝164，
∴校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有164人．
故答案为：164．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，O是AB的中点，将OB绕点O逆时针旋转得到OB'（点B'不与点B，C重合）．在旋转过程中，当△ABB'为直角三角形且∠BAB'＝60°时，CB'的长为 2 ．
【分析】由题意知，只能是∠AB'B＝90°，证明点C，O，B'三点共线即可得出答案．
【解答】解：由题意知，只能是∠AB'B＝90°，如图，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB＝2BC＝2，
∵O是AB的中点，
∴OA＝OB＝1，
∵∠BAB'＝60°，OA＝OB'＝OC，
∴∠BOB'＝120°，∠BOC＝60°，
∴∠COB＝180°，
∴点C，O，B'三点共线，
∴CB'＝CO+OB'＝2CO＝2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）已知x＝m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，求代数式2m2+2m+2022的值．
（2）一块直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，其两条边分别交的⊙O于B，C两点，连接BC、OB、OC，若弦BC＝3，求⊙O的半径．
【分析】（1）把x＝m入方程即可得到m2+m的形式，再整体代入m2+m＝1，即可求解；
（2）连接OB、OC，如图，先根据圆周角定理得到∠BOC＝60°，则可判断△OBC为等边三角形，从而得到OB＝3．
【解答】解：（1）∵m2+m﹣1＝0，
∴m2+m＝1，
则2m2+2m﹣2022＝2（m2+m）﹣2022＝2﹣2022＝﹣2018；
（2）连接OB、OC，如图，
∵∠A与∠BOC都对，∠A＝30°，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∵BC＝3，
∴OB＝BC＝3，
即⊙O的半径为3．
17．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m＝0．
求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【分析】表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根．
【解答】证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4m＝m2+6m+9﹣4m＝m2+2m+9＝（m+1）2+10，
∵（m+1）2≥0，
∴（m+1）2+10＞0，
则无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根．
18．（9分）我们称顶点相同的两条抛物线为同位抛物线，已知抛物线C1：y＝﹣3x2+6x﹣1．
（1）下列抛物线中，与C1是同位抛物线的是 ③ （填序号）．
①y＝3x2﹣6x+4；②y＝﹣2x2+4x+3；③y＝2x2﹣4x+4；④y＝2x2+1
（2）若抛物线C2：y＝ax2﹣2ax﹣c与C1是同位抛物线，则a与c需满足怎样的数量关系？
【分析】（1）求各函数的顶点坐标，根据顶点相同的两条抛物线为同位抛物线，做判断；
（2）先表示抛物线C2的顶点坐标，再列式计算．
【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝﹣3x2+6x﹣1＝﹣3（x﹣1）2+2，
∴顶点为（1，2），
①y＝3x2﹣6x+4＝3（x﹣1）2+1，顶点为（1，1），所以①不是；
②y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5，顶点为（1，5），所以②不是；
③y＝2x2﹣4x+4＝2（x﹣1）2+2，顶点为（1，2），所以③是；
④y＝2x2+1，顶点为（0，1），所以④不是；
故答案为③．
（2）抛物线C2：y＝ax2﹣2ax+c，
y＝a（x2﹣2x+1﹣1）+c，
y＝a（x﹣1）2﹣a+c，顶点为（1，﹣a+c），
由抛物线C2：y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）与C1是同位抛物线得：﹣a+c＝2，c﹣a＝2，
∴a与c需满足的关系式为：c﹣a＝2．
19．（9分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB与CD相交于点E，连接AC、AD，AC＝AD．
（1）求证：AB⊥CD．
（2）若AB＝12，BE＝2，求CD的长．
【分析】（1）由弦AC＝AD，得，由AB是⊙O的直径得，根据圆周角定理得∠BAC＝∠BAD，再由等腰三角形的“三线合一”性质证明AB⊥CD；
（2）连接OC，由AB是⊙O的直径，且AB＝12，得OC＝OB＝6，进而求出OE的长，在Rt△OCE中根据勾股定理求出CE的长，再由垂径定理得DE＝CE，求得CD的长．
【解答】（1）证明：如图，在⊙O中，
∵AC＝AD，
∴，
∵AB是⊙O的直径，
∴，
∴，
∴∠BAC＝∠BAD，
∴AB⊥CD．
（2）解：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，且AB＝12，
∴OC＝OB＝AB＝6，
∵BE＝2，
∴OE＝OB﹣BE＝6﹣2＝4，
∵∠OEC＝90°，
∴CE＝＝＝2，
∵AB⊥CD，
∴DE＝CE＝2，
∴CD＝2+2＝4．
20．（9分）为了实现乡村振兴，某村委会成立了特别工作小组帮助果农进行西瓜种植和销售，已知西瓜的成本为5元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍，经市场调研发现，销售旺季，当销售单价为5元/千克时．每天的销售量为1000千克，每增加0.1元/千克，每天的销售量就减少20千克．设每天西瓜的销售量为y（千克），销售单价为x（元/千克）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围．
（2）求销售旺季一天销售西瓜所获得的利润w的最大值．
【分析】（1）根据销售单价为5元/千克时．每天的销售量为1000千克，每增加0.1元/千克，每天的销售量就减少20千克列出y与x函数关系式，并根据销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍，求出自变量；
（2）根据利润等于每千克的利润×销售量列出函数关系式，并根据函数的性质求函数的最大值．
【解答】解：（1）由题意得：y＝1000﹣×20＝1000﹣200（x﹣5）＝﹣200x+2000，
∵销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍，
∴5≤x≤10，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣200x+2000（5≤x≤10）；
（2）由题意得：w＝（x﹣5）•y
＝（x﹣5）（﹣200x+2000）
＝﹣200x2+3000x﹣10000
＝﹣200（x﹣7.5）2+1250，
∵﹣200＜0，
∴当x＝7.5时，w有最大值，最大值为1250，
∴销售旺季一天销售西瓜所获得的利润w的最大值为1250元．
21．（9分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α后得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E．
（1）如图1，若点D恰好落在边BC的延长线上，连接CE，求∠DEC的度数．
（2）如图2，若α＝60°，F为BD的中点，连接CD，CF，EF，请判断四边形CDEF是什么特殊的四边形，并说明理由．
【分析】（1）由旋转得∠D＝∠A＝60°，BE＝BC，∠DBE＝∠ABC＝30°，可求出∠BCE的度数，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DEC的度数；
（2）证明△DBE≌△DBC，得△DBE和△DBC都是直角三角形，且∠DBE＝∠DBC＝30°，由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半得CD＝BD，ED＝BD，而F是BD的中点，则CF＝BD，EF＝BD，于是可得CD＝ED＝CF＝EF，所以四边形CDEF是菱形．
【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，
由旋转得∠D＝∠A＝60°，BE＝BC，∠DBE＝∠ABC＝30°，
∴∠BCE＝∠BEC＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠DEC＝∠BCE﹣∠D＝75°﹣60°＝15°．
（2）四边形CDEF是菱形，
理由如下：
如图2，∵△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α得到△DBE，
∴∠CBE＝α＝60°，∠DBE＝∠ABC＝30°，∠DEB＝∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝30°，
∴∠DBE＝∠DBC，
∵BD＝BD，BE＝BC，
∴△DBE≌△DBC（SAS），
∴∠BED＝∠BCD＝90°，
∴CD＝BD，ED＝BD，
∵F为BD的中点，
∴CF＝BD，EF＝BD，
∴CD＝ED＝CF＝EF，
∴四边形CDEF是菱形．
22．（10分）某课外学习小组根据学习函数过程中的经验，对函数y＝﹣x2+4|x|的图象与性质进行了探究，请补充完整以下探索过程．
（1）列表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
m
0
3
n
3
0
3
4
3
0
…
直读写出m＝ ﹣5 ，n＝ 4 ．
（2）根据上表中的数据．在平面直角坐标系中画出该函数的图象．
结合图象写出该函数的两条性质：
性质1： 函数图象关于y轴对称 ；
性质2： 函数最大值为y＝4 ．
（3）结合（2）中所画的函数图象．直接写出不等式﹣x2+4|x|＜x的解集： x＞3 ．
【分析】（1）将x＝﹣5和x＝﹣2分别代入解析式求解．
（2）根据函数解析式作图．
（3）求出y＝﹣x2+4|x与直线y＝x的交点横坐标，根据图象求解．|
【解答】解：（1）把x＝﹣5代入y＝﹣x2+4|x|得y＝﹣25+20＝﹣5，
∴m＝﹣5，
把x＝﹣2代入y＝﹣x2+4|x|得y＝﹣4+8＝4，
∴n＝4，
故答案为：﹣5，4．
（2）如图，
由图象可得函数图象关于y轴对称，函数最大值为y＝4．
故答案为：函数图象关于y轴对称，函数最大值为y＝4．
（3）如图，
当x≥0时，y＝﹣x2+4x，
令﹣x2+4x＝x，
解得x＝0或x＝3，
当x＜0时，y＝﹣x2﹣4x，
令﹣x2﹣4x＝x，
解得x＝0或x＝5，
结合图象可得x＞3时，﹣x2+4|x|＜x．
故答案为：x＞3．
23．（10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，D是射线AB上的一动点，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，DE．
（1）如图1，△CDE是 等腰直角 三角形．
（2）如图2，猜想BC，BD，BE之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）在点D移动过程中．当∠DEB＝30°时，求BD的长．
【分析】（1）由旋转的性质可判断；
（2）证明△ACD≌△BCE可得BE＝BC+BD；
（3）分D在B左右两种情况讨论，由（2）的结论可得BD的长为或．
【解答】解：（1）∵将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
故答案为等腰直角；
（2）BC+BD＝BE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE＝AB+BD＝BC+BD；
（3）当D在B的左边时，如图1，当∠DEB＝30°时，
∴BE＝BD，
由（2）可知△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE＝AB﹣BD＝BC﹣BD；
∴BD＝BC﹣BD，
解得BD＝；
当D在B的右边时，如图2，当∠DEB＝30°时，
∴BE＝BD，
由（2）可得：BD＝BC+BD；
解得BD＝．
故BD的长为或．
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