数学必修 第二册第13章 立体几何初步13.2 基本图形位置关系第1课时练习

第1课时　平行直线

【概念认知】

1．空间中直线与直线的位置关系

(1)异面直线的定义和理解

①定义：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线．

②特点：异面直线既不相交又不平行，即不同在任何一个平面内．

(2)空间两条直线的位置关系

2.平行直线及基本事实4

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．

用符号表示为⇒a∥c.

3．等角定理

定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．

【自我小测】

1．如果两条平行直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有平行直线(　　)

A．12对       B．18对      C．24对      D．36对

【解析】选B.由基本事实易知共有18对．

2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于(　　)

A．30°　       B．30°或150°

C．150°　       D．以上结论都不对

【解析】选B.条件中没有给出两个角的方向是否相同，所以有可能互补．

3．已知l1，l2，l3是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　)

A．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

【解析】选B.两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，故B正确，A错误；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．

4．直线a与直线b为两条异面直线，已知直线l∥a，那么直线l与直线b的位置关系为________．

【解析】以正方体为例，如图，当直线l位于图中两位置时，直线l与b的位置关系是相交或异面．

答案：异面或相交

5．如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．

求证：四边形EFGH是平行四边形．

【证明】因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，

所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝AC，

所以EF∥HG，EF＝HG，

所以四边形EFGH是平行四边形．

【基础全面练】

一、单选题

1．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是(　　)

A．异面       B．平行

C．相交       D．以上都有可能

【解析】选D.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AD1在平面AA1D1D中，直线BB1，BC1分别在平面BB1C1C中，但AD1∥BC1，AD1与BB1异面，又直线AB在平面ABCD中，显然AD1∩AB＝A.

2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是(　　)

A.MN与CC1垂直       B．MN与AC垂直

C．MN与BD平行       D．MN与A1B1平行

【解析】选D.如图，连接C1D，在△C1DB中，

MN∥BD，故C正确；因为BB1⊥BD，BB1∥CC1，

所以CC1⊥BD，所以MN与CC1垂直，故A正确；

因为AC⊥BD，MN∥BD，所以MN与AC垂直，故B正确；

因为A1B1与BD异面，MN∥BD，

所以MN与A1B1不可能平行，故D错误．

3．三棱锥A­BCD的六条棱所在直线成异面直线的有(　　)

A.3对　    B．4对　    C．5对　    D．6对

【解析】选A.三棱锥A­BCD的六条棱所在直线中，成异面直线的有：AB和CD，AD和BC，BD和AC，所以三棱锥A­BCD的六条棱所在直线成异面直线的有3对．

4．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(　　)

A．平行　　　　　　    B．相交

C．异面        D．相交或异面

【解析】选D.画出图形，得到结论．

如图(1)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是相交关系．如图(2)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是异面关系．综上可知．

5．如图，空间四边形ABCD的对角线AC，BD相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是(　　)

A．矩形　       B．正方形

C．菱形　       D．空间四边形

【解析】选C.因为E，F，G，H分别为各边的中点，

所以EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，EF＝GH＝AC，EH＝FG＝

BD，所以四边形EFGH是平行四边形．因为AC＝BD，所以EF＝EH，

所以四边形EFGH是菱形．

二、多选题

6．在四面体A­BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是(　　)

A．M，N，P，Q四点共面      B．∠QME＝∠CBD

C．△BCD∽△MEQ         D．四边形MNPQ为梯形

【解析】选ABC.由中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD.有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A说法正确；根据等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B说法正确；由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C说法正确；由三角形的中位线定理，知MQBD，NPBD，所以MQNP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D说法不正确．

7．在四棱锥A­BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则(　　)

A.PQ＝MN

B．PQ∥MN

C．M，N，P，Q四点共面　

D．四边形MNPQ是梯形

【解析】选BCD.由题意知PQ＝DE，且DE≠MN，

所以PQ≠MN，故A不正确；又PQ∥DE，DE∥MN，

所以PQ∥MN，又PQ≠MN，所以B，C，D正确．

三、填空题

8．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，H分别为棱C1D1，C1C，DD1的中点，有以下结论：

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④∠DAH＝∠CBN.

其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上).

【解析】因为A，M，C，C1四点不共面，

所以直线AM与CC1是异面直线，故①错误；

同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误；

同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；

易得∠DAH＝∠CBN，故④正确．

答案：③④

四、解答题

9．已知E，E1分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AD，

A1D1的中点，证明：∠BEC＝∠B1E1C1.

【证明】如图，连接EE1，

因为E，E1分别为AD，A1D1的中点，所以A1E1AE.所以四边形A1E1EA为平行四边形．所以A1AE1E.

又因为A1AB1B，所以E1EB1B.因为四边形E1EBB1是平行四边形．所以E1B1∥EB.同理，E1C1∥EC.又∠BEC与∠B1E1C1的两边方向相同，所以∠BEC＝∠B1E1C1.

10．如图，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，已知BD＝6.判断MN与BD的位置关系．

【解析】MN∥BD.理由如下：连接AM，AN并延长分别与BC，CD交于点E，F，由重心的定义知E，F分别为BC，CD的中点，连接EF.

因为E，F分别为BC，CD的中点，

所以EF∥BD，且EF＝BD.

又因为点M为△ABC的重心，点N为△ACD的重心，

所以AM∶ME＝AN∶NF＝2∶1，

所以MN∥EF，且MN＝EF，故MN∥BD.

【综合突破练】

一、选择题

1．已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则(　　)

A．1＜MN＜5　　     B．2＜MN＜10

C．1≤MN≤5　　      D．2＜MN＜5

【解析】选A.取AD的中点H，连接MH，NH，则MH∥BD，且MH＝BD，NH∥AC，且NH＝AC，且M，N，H三点构成三角形，由三角形三边关系，可得MH－NH<MN<MH＋NH，即1<MN<5.

2．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)

A．必要不充分条件       B．充分不必要条件

C．充要条件        D．既不充分又不必要条件

【解析】选B.直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则由“直线a和直线b相交”可得“平面α和平面β相交”，反之不成立．所以“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．

3．(多选)在空间四面体ABCD中，如图，E，F，G，H分别是AB，BC，AD，DC的中点，则下列结论一定正确的选项为(　　)

A.EG＝FH          B．EF＝GH

C．EH与FG相交        D．EG＝HG

【解析】选ABC.由题意知，EGBD，FHBD，所以EGFH，所以四边形EGHF为平行四边形，所以EG＝FH，EF＝GH.所以EH与FG共面且相交，故A，B，C正确，但EG不一定与HG相等．

二、填空题

4．在四棱锥P­ABCD中，E，F，G，H分别是PA，PC，AB，BC的中点，若EF＝2，则GH＝________．

【解析】由题意知EFAC，GHAC，

故EFGH，故GH＝2.

答案：2

5．在空间四边形ABCD中，如图所示，＝，＝，则EH与FG的位置关系是________．

【解析】在△ABD中＝，则EH∥BD，同理可得FG∥BD.所以EH∥FG.

答案：平行

6．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中．

(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；

(2)∠A1BA与∠D1CD的大小关系是________．

【解析】 (1)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1D1BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C.

(2)由(1)及AB∥DC，根据等角定理可得

∠A1BA＝∠D1CD.

答案：(1)A1B∥D1C　(2)∠A1BA＝∠D1CD

三、解答题

7．已知正方体ABCD­A1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点. 求证：BF∥ED1.

【证明】如图，取BB1的中点G，连接GC1，GE，

因为F为CC1的中点，

所以BGC1F，

所以四边形BGC1F为平行四边形，

所以BF∥GC1，

又因为EGA1B1，A1B1C1D1 ，

所以EGC1D1，

所以四边形EGC1D1为平行四边形，

所以ED1∥GC1，所以BF∥ED1.

8．如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．

(1)求证：E，F，G，H四点共面；

(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.

【证明】(1)在△ABD中，因为E，H分别是AB，AD的中点，

所以EH∥BD.

同理FG∥BD，则EH∥FG.

故E，F，G，H四点共面．

(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.

又因为四边形EFGH是矩形，

所以EH⊥GH，故AC⊥BD.