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【解析版】2022学年菏泽市郓城县九年级上期中数学试卷
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这是一份【解析版】2022学年菏泽市郓城县九年级上期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022学年山东省菏泽市郓城县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填入该小题后的括号内，每小题2分，共20分。
1．已知方程（a﹣1）+1+（1﹣a）x+a﹣2=0是关于x的一元二次方程，则a的值为（ ）
A． 1 B． ﹣1 C． 1或﹣1 D． 无法确定
2．如图，△ABC中，D在AB上，E在AC上，下列条件中，能判定DE∥BC的是（ ）
A． AD•AC=AE•AB B． AD•AE=EC•DB C． AD•AB=AE•AC D． BD•AC=AE•AB
3．正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC，BD相交于点O，则△ABO的周长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（ ）
A． 20 B． 15 C． 10 D． 5
5．如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点，AB=2，BC=4，则四边形EFGH的面积为（ ）
A． 4 B． 6 C． 3 D． 8
6．已知x1、x2是方程x2=2x+1的两个根，则的值为（ ）
A． B． 2 C． D． ﹣2
7．一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是（ ）
A． m=3，n=5 B． m=n=4 C． m+n=4 D． m+n=8
8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，且DE∥BC，若S△ADE=S四边形DBCE，则AD：DB等于（ ）
A． 1： B． 1：1 C． 1：（） D． ：1
9．小明和小亮如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）做游戏，A盘分别标注1、2、3、4、5，B盘分别标注2、3、4、5、6，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为6、7、8、9．则小明胜，那么小明取胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．下列各组三角形中，两个三角形能够相似的是（ ）
A． △ABC中，∠A=42°，∠B=118°，△A′B′C′中，∠A′=118°，∠B′=15°
B． △ABC中，AB=8，AC=4，∠A=105°，△A′B′C′中，A′B′=16，B′C′=8，∠A′=100°
C． △ABC中，AB=18，BC=20，CA=35，△A′B′C′中，A′B′=36，B′C′=40，C′A′=70
D． △ABC和△A′B′C′中，有，∠C=∠C′
二、填空题：每题3分，共30分。
11．若关于x的方程x2﹣2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值是 ．
12．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 （只填一个你认为正确的即可）．
13．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为 ．
14．如图所示，将两条等宽的纸条重叠在一起，则四边形ABCD是 形．
15．如图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，那么∠AED= 度．
16．初三的小明和初一的小颖做“石头、剪子、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小颖获胜；如果两人的手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖的获胜，则小颖获胜的概率是 ．
17．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图）．则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点是 ．
18．如图，有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm，6cm将圆盘分为三部分，飞镖可以落在任何一部分内，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是 ．
19．在△ABC中与△DEF中，已知，且△ABC的面积为18cm2，则△DEF的面积为 cm2．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，则CD= ．
三、解答题：共70分。
21．（12分）（2014秋•郓城县期中）用适当的方法解下列方程
（1）x2﹣14x=8
（2）2x2﹣9x+8=0
（3）4x（2x+1）=3（2x+1）
（4）（x+1）2﹣3（x+1）+2=0．
22．如图，▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E，F．
求证：四边形AECF是菱形．
23．如图，一次函数y=﹣2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．点P在何处时，矩形OCPD的面积为1？
24．一个盒子中装有两个红球、两个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，请你用树状图或者列表法，求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．（红色和蓝色配成了紫色）
25．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，连接OE交BC于点F，已知AB=a，BC=b，CE=c，求CF的长．
26．关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1=0的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0，求m的值．
27．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
28．（10分）（2011•聊城）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）
（1）当t=1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．
2022学年山东省菏泽市郓城县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填入该小题后的括号内，每小题2分，共20分。
1．已知方程（a﹣1）+1+（1﹣a）x+a﹣2=0是关于x的一元二次方程，则a的值为（ ）
A． 1 B． ﹣1 C． 1或﹣1 D． 无法确定
考点： 一元二次方程的定义．
分析： 根据一元二次方程的定义得出：2a2=2且a﹣1≠0，进而得出答案．
解答： 解：∵方程（a﹣1）+1+（1﹣a）x+a﹣2=0是关于x的一元二次方程，
∴2a2=2且a﹣1≠0，
解得a=﹣1．
故选：B．
点评： 本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．如图，△ABC中，D在AB上，E在AC上，下列条件中，能判定DE∥BC的是（ ）
A． AD•AC=AE•AB B． AD•AE=EC•DB C． AD•AB=AE•AC D． BD•AC=AE•AB
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 根据已知选项只要能推出再根据相似三角形的判定推出△ADE∽△ABC，推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定推出DE∥BC，即可得出选项．
解答： 解：A、∵AD•AC=AE•AB，
∴，
∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，故此选项正确；
B、∵AD•AE=EC•DB，
∴，
不能推出△ADE∽△ABC，
∴不能推出∠ADE=∠B，
∴不能推出DE∥BC，故此选项错误；
C、∵AD•AB=AE•AC，
不能推出△ADE∽△ABC，
∴不能推出∠ADE=∠B，
∴不能推出DE∥BC，故此选项错误；
D、∵BD•AC=AE•AB，
不能推出△ADE∽△ABC，
∴不能推出∠ADE=∠B，
∴不能推出DE∥BC，故此选项错误；
故选：A．
点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，解此题的关键是能推出△ADE≌△ABC，题目比较好，难度适中．
3．正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC，BD相交于点O，则△ABO的周长是（ ）
A． B． C． D．
考点： 正方形的性质．
专题： 计算题．
分析： 由正方形边长与对角线之比为1：可得AO=BO=6，又边长为12cm，故可求得△ABO的周长．
解答： 解：由题意可得AO=BO=6cm，AB=12cm
∴△ABO的周长为12+12（cm）．
故选A．
点评： 本题属基础题，关键在掌握边长与对角线的比例关系．
4．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（ ）
A． 20 B． 15 C． 10 D． 5
考点： 菱形的性质；等边三角形的判定与性质．
分析： 根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形，从而得到AC=AB．
解答： 解：∵AB=BC，∠B+∠BCD=180°，∠BCD=120°
∴∠B=60°
∴△ABC为等边三角形
∴AC=AB=5
故选D．
点评： 本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定．
5．如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点，AB=2，BC=4，则四边形EFGH的面积为（ ）
A． 4 B． 6 C． 3 D． 8
考点： 矩形的性质．
分析： 由在矩形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点可得：HF∥AB∥DC，EG∥AD∥BC，即：HF⊥EG，EG=BC=4，HF=AB=2，即四边形EFGH是菱形，菱形的面积=两条对角线的乘积的一半，代入求解即可．
解答： 解：连接EH、HF，如右图所示：
∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的四条边的中点，
∴HF∥AB∥DC，EG∥AD∥BC，
即：HF⊥EG，
EG=BC=4，HF=AB=2，
EH2=EF2=FG2=GH2=（AD）2+（AB）2，
∴四边形EHGF是菱形，
∴SEFGH=EG×HF=2×4=4．
故选A．
点评： 本题主要考查矩形的性质和菱形的性质，关键在于证明EFFH是菱形，求菱形的面积即可．
6．已知x1、x2是方程x2=2x+1的两个根，则的值为（ ）
A． B． 2 C． D． ﹣2
考点： 根与系数的关系．
专题： 计算题．
分析： 先把方程化为一般式得x2﹣2x﹣1=0，根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣2，x1•x2=﹣1，再把原式通分得，然后利用整体思想进行计算．
解答： 解：方程化为一般式得x2﹣2x﹣1=0，
根据题意得x1+x2=﹣2，x1•x2=﹣1，
∴原式===﹣2．
故选D．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．
7．一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是（ ）
A． m=3，n=5 B． m=n=4 C． m+n=4 D． m+n=8
考点： 概率公式．
专题： 计算题．
分析： 由于每个球都有被摸到的可能性，故可利用概率公式求出摸到白球的概率与摸到的球不是白球的概率，列出等式，求出m、n的关系．
解答： 解：根据概率公式，摸出白球的概率，，
摸出不是白球的概率，，
由于二者相同，故有 =，
整理得，m+n=8，
故选D．
点评： 此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，且DE∥BC，若S△ADE=S四边形DBCE，则AD：DB等于（ ）
A． 1： B． 1：1 C． 1：（） D． ：1
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 由DE∥BC可判断△ADE∽△ABC，由S△ADE=S四边形DBCE可知，S△ADE：S△ABC=1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得答．
解答： 解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
又∵S△ADE=S四边形DBCE，
∴S△ADE：S△ABC=1：2，
∴AD：AB=1：，
∴AD：DB=1：（）．
故选：C．
点评： 本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似三角形面积的平方．
9．小明和小亮如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）做游戏，A盘分别标注1、2、3、4、5，B盘分别标注2、3、4、5、6，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为6、7、8、9．则小明胜，那么小明取胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点： 列表法与树状图法．
分析： 首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与小明取胜的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答： 解：列表得：
6 7 8 9 10 11
5 6 7 8 9 10
4 5 6 7 8 9
3 4 5 6 7 8
2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5
∵共有25种等可能的结果，小明取胜的有16种情况，
∴小明取胜的概率是：．
故选B．
点评： 此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10．下列各组三角形中，两个三角形能够相似的是（ ）
A． △ABC中，∠A=42°，∠B=118°，△A′B′C′中，∠A′=118°，∠B′=15°
B． △ABC中，AB=8，AC=4，∠A=105°，△A′B′C′中，A′B′=16，B′C′=8，∠A′=100°
C． △ABC中，AB=18，BC=20，CA=35，△A′B′C′中，A′B′=36，B′C′=40，C′A′=70
D． △ABC和△A′B′C′中，有，∠C=∠C′
考点： 相似三角形的判定．
分析： 根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后的答案．
解答： 解：A不正确：∵△ABC中，∠A=42°，∠B=118°，△A′B′C′中，∠A′=118°，∠B′=15°
∴∠C=20°，∠C′=47°
∴不相似；
B不正确：∵∠A≠∠A′∴不相似；
C正确：∵△ABC中，AB=18，BC=20，CA=35，△A′B′C′中，A′B′=36，B′C′=40，C′A′=70
∴，，
∴
∴△ABC∽△A′B′C′
D不正确：
∵∠C与∠C′不是边AB与BC和边A′B′与B′C′的夹角，∴不相似
故选C．
点评： 此题考查了相似三角形的判定；
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
二、填空题：每题3分，共30分。
11．若关于x的方程x2﹣2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值是 ﹣1 ．
考点： 根的判别式．
分析： 根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．
解答： 解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m=0有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）=0，
解得m=﹣1．
点评： 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
12．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 AC⊥BD或AB=BC或BC=CD或AB=AD （只填一个你认为正确的即可）．
考点： 菱形的判定．
专题： 压轴题；开放型．
分析： 根据平行四边形的性质和菱形的性质，可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD．
解答： 解：四边形ABCD的对角线互相平分，则四边形ABCD为平行四边形，
再依据：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD（答案不唯一）
点评： 本题考查平行四边形及菱形的判定．菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
13．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为 25或36 ．
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 数字问题．
分析： 可设这个数的个位数为x，那么十位数字应该是x﹣3，由一个两位数等于它的个位数的平方，列出一元二次方程求解．
解答： 解：设这个两位数的个位数字为x，那么十位数字应该是x﹣3，
由题意得：10（x﹣3）+x=x2，
解得x1=5，x2=6．
那么这个两位数就应该是25或36．
故答案为：25或36．
点评： 本题考查了一元二次方程的应用，要注意两位数的表示方法，然后根据题意列出方程．
14．如图所示，将两条等宽的纸条重叠在一起，则四边形ABCD是 菱 形．
考点： 菱形的判定．
分析： 首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
解答： 解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE=AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．
又∵AE=AF．
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：菱．
点评： 本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．
15．如图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，那么∠AED= 15 度．
考点： 正方形的性质；等边三角形的性质．
分析： 根据题意知△ADE是等腰三角形，且∠ADE=90°+60°=150°．根据三角形内角和定理及等腰三角形性质求底角．
解答： 解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，
∴AD=CD=DE；∠ADE=90°+60°=150°．
∴∠AED=（180°﹣150°）÷2=15°．
故答案为 15．
点评： 此题考查正方形和等边三角形的性质，属基础题．
16．初三的小明和初一的小颖做“石头、剪子、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小颖获胜；如果两人的手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖的获胜，则小颖获胜的概率是 ．
考点： 列表法与树状图法．
分析： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小颖获胜的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答： 解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小颖获胜的有3种情况，
∴小颖获胜的概率是：．
故答案为：．
点评： 此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图）．则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点是 （﹣2a，﹣2b） ．
考点： 位似变换．
分析： 大鱼与小鱼是位似图形，由图形知位似比等于2：1，所以可知小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点是（﹣2a，﹣2b）．
解答： 解：∵大鱼与小鱼是位似图形，
由图形知一组对应点的坐标分别为（2，0），（﹣1，0）
∴位似比等于2：1
∴小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点是（﹣2a，﹣2b）．
点评： 本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比；在直角坐标系中，对应点的坐标也满足相似比．
18．如图，有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm，6cm将圆盘分为三部分，飞镖可以落在任何一部分内，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是 ．
考点： 几何概率．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 根据圆环面积求法得出圆环面积，再求出大圆面积，即可得出飞镖落在阴影圆环内的概率．
解答： 解：∵有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm，6cm将圆盘分为三部分，
∴阴影部分面积为：π（42﹣22）=12π，大圆的面积为：36π，
∴那么飞镖落在阴影圆环内的概率是：=，
故答案为：．
点评： 此题主要考查了几何概率，根据三圆半径依次是2cm，4cm，6cm求出圆环面积与大圆面积是解决问题的关键．
19．在△ABC中与△DEF中，已知，且△ABC的面积为18cm2，则△DEF的面积为 32 cm2．
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 根据，可知△ABC∽△DEF，并且相似比为，所以△ABC的面积：△DEF的面积=9：16，由△ABC的面积为18cm2，可求出△DEF的面积．
解答： 解：∵，
∴△ABC∽△DEF，并且相似比为，
∴△ABC的面积：△DEF的面积=9：16，
∵△ABC的面积为18cm2，
∴△DEF的面积=18×=32cm2．
故答案为：32．
点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据三边对应成比例的到两三角形相似是解决问题的关键．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，则CD= 2 ．
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 首先证△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应边成比例求出CD的长．
解答： 解：Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB；
∴∠ACD=∠B=90°﹣∠A；
又∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ACD∽△CBD；
∴CD2=AD•BD=4，即CD=2．
点评： 此题主要考查的是相似三角形的判定和性质．
三、解答题：共70分。
21．（12分）（2014秋•郓城县期中）用适当的方法解下列方程
（1）x2﹣14x=8
（2）2x2﹣9x+8=0
（3）4x（2x+1）=3（2x+1）
（4）（x+1）2﹣3（x+1）+2=0．
考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．
分析： （1）把方程左边加上一次项系数一半的平方，利用配方法解方程即可；
（2）首先找出a=2，b=﹣9，c=8，利用公式法解方程即可；
（3）提取公因式（2x+1），即可得到（2x+1）（4x﹣3）=0，再解两个一元一次方程即可；
（4）把（x+1）看一个整体，利用分解因式法解一元二次方程即可．
解答： 解：（1）∵x2﹣14x=8，
∴x2﹣14x+72=8+72，
∴（x﹣7）2=57，
∴x1=7+，x2=7﹣；
（2）∵2x2﹣9x+8=0，a=2，b=﹣9，c=8，
∴b2﹣4ac=81﹣4•2•8=17，
∴x===，
∴x1=，x2=；
（3）∵4x（2x+1）=3（2x+1）
∴（2x+1）（4x﹣3）=0，
∴2x+1=0 或4x﹣3=0，
∴x1=﹣，x2=；
（4）∵（x+1）2﹣3（x+1）+2=0，
∴（x+1﹣1）（x+1﹣2）=0，
∴x（x﹣1）=0，
∴x1=0，x2=1．
点评： 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
22．如图，▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E，F．
求证：四边形AECF是菱形．
考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
专题： 证明题．
分析： 菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．
解答： 证明：方法一：∵AE∥FC．
∴∠EAC=∠FCA．
在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴EO=FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF为菱形；
方法二：同方法一，证得△AOE≌△COF．
∴AE=CF．
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴四边形AECF是菱形；
点评： 考查了菱形的判定，本题利用了中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
23．如图，一次函数y=﹣2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．点P在何处时，矩形OCPD的面积为1？
考点： 一次函数图象上点的坐标特征．
分析： 设P（a，﹣2a+3），则利用矩形的性质列出关于a的方程，通过解方程求得a值，继而求得点P的坐标．
解答： 解：∵点P在一次函数y=﹣2x+3的图象上，
∴P（a，﹣2a+3）（a＞0），
由题意得 a•（﹣2a+3）=1，
整理得2a2﹣3a+1=0，
解得 a1=1，a2=，
∴﹣2a+3=1或﹣2a+3=2．
综上所述，当P（1，1）或（，2）时，矩形OCPD的面积为1．
点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上所有点的坐标都满足该函数关系式．
24．一个盒子中装有两个红球、两个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，请你用树状图或者列表法，求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．（红色和蓝色配成了紫色）
考点： 列表法与树状图法．
分析： 首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答： 解：列表得：
蓝 红蓝 红蓝 白蓝 白蓝 蓝蓝
白 红白 红白 白白 白白 蓝白
白 红白 红白 白白 白白 蓝白
红 红红 红红 白红 白红 蓝红
红 红红 红红 白红 白红 蓝红
红 红 白 白 蓝
∵共有25种等可能的结果，两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种情况，
∴两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率为：=．
点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，连接OE交BC于点F，已知AB=a，BC=b，CE=c，求CF的长．
考点： 平行四边形的性质；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．
分析： 首先过点O作OM∥AB，交BC于点M，易得△COM∽△CAB，△OMF∽△ECF，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
解答： 解：过点O作OM∥AB，交BC于点M，
∴△COM∽△CAB，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=AC，AB∥CD，
∴BM=CM=BC=b，OM=AB=a，
∴OM∥CE，
∴△OMF∽△ECF，
∴，
∴=，
∴=，
∴CF=×b=．
点评： 此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
26．关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1=0的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0，求m的值．
考点： 根的判别式；根与系数的关系．
分析： （1）因为方程有两个实数根，所以△≥0，据此即可求出m的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，将x1+x2=﹣3，x1x2=m﹣1代入2（x1+x2）+x1x2+10=0，解关于m的方程即可．
解答： 解：（1）∵方程有两个实数根，
∴△≥0，
∴9﹣4×1×（m﹣1）≥0，
解得m≤；
（2）∵x1+x2=﹣3，x1x2=m﹣1，
又∵2（x1+x2）+x1x2+10=0，
∴2×（﹣3）+m﹣1+10=0，
∴m=﹣3．
点评： 本题考查了根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，直接将两根之和与两根之积用m表示出来是解题的关键．
27．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
考点： 矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．
专题： 证明题；开放型．
分析： （1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，可以证明四边形ADCE为矩形．
（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．
解答： （1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
理由：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴DC=AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
点评： 本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．
28．（10分）（2011•聊城）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）
（1）当t=1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．
考点： 相似三角形的判定；一次函数的应用；三角形的面积；矩形的性质．
专题： 压轴题．
分析： （1）当t=1时，根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，可求出S和t的关系．
（2）根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S，求出S和t的关系式．
（3）两边对应成比例夹角相等的三角形是相似三角形可求出解．
解答： 解：（1）如图1，当t=1秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2，
由S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG，
=×﹣
=×（10+2）×8﹣×10×4﹣
=24（cm2）；
（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，
此时AE=2t，EB=12﹣2t，BF=4t，FC=8﹣4t，CG=2t，
S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG
=×（EB+CG）•BC﹣EB•BF﹣FC•CG
=×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t（12﹣2t）﹣×2t（8﹣4t）
=8t2﹣32t+48（0≤t≤2）．
②如图2，当点F追上点G时，4t=2t+8，解得t=4，
当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF=4t﹣8，CG=2t，
FG=CG﹣CF=2t﹣（4t﹣8）=8﹣2t，
S=FG•BC=（8﹣2t）•8=﹣8t+32．
即S=﹣8t+32（2＜t＜4）．
（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，0≤t≤2，
在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°，
1若=，即=，
解得t=．
又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△EBF∽△FCG，
2若=即=，解得t=．
又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△EBF∽△GCF．
综上所述，当t=或t=时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．
点评： 本题考查了相似三角形的判定定理，一次函数的应用和三角形的面积以及矩形的性质等知识点．
2022学年山东省菏泽市郓城县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填入该小题后的括号内，每小题2分，共20分。
1．已知方程（a﹣1）+1+（1﹣a）x+a﹣2=0是关于x的一元二次方程，则a的值为（ ）
A． 1 B． ﹣1 C． 1或﹣1 D． 无法确定
2．如图，△ABC中，D在AB上，E在AC上，下列条件中，能判定DE∥BC的是（ ）
A． AD•AC=AE•AB B． AD•AE=EC•DB C． AD•AB=AE•AC D． BD•AC=AE•AB
3．正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC，BD相交于点O，则△ABO的周长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（ ）
A． 20 B． 15 C． 10 D． 5
5．如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点，AB=2，BC=4，则四边形EFGH的面积为（ ）
A． 4 B． 6 C． 3 D． 8
6．已知x1、x2是方程x2=2x+1的两个根，则的值为（ ）
A． B． 2 C． D． ﹣2
7．一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是（ ）
A． m=3，n=5 B． m=n=4 C． m+n=4 D． m+n=8
8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，且DE∥BC，若S△ADE=S四边形DBCE，则AD：DB等于（ ）
A． 1： B． 1：1 C． 1：（） D． ：1
9．小明和小亮如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）做游戏，A盘分别标注1、2、3、4、5，B盘分别标注2、3、4、5、6，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为6、7、8、9．则小明胜，那么小明取胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．下列各组三角形中，两个三角形能够相似的是（ ）
A． △ABC中，∠A=42°，∠B=118°，△A′B′C′中，∠A′=118°，∠B′=15°
B． △ABC中，AB=8，AC=4，∠A=105°，△A′B′C′中，A′B′=16，B′C′=8，∠A′=100°
C． △ABC中，AB=18，BC=20，CA=35，△A′B′C′中，A′B′=36，B′C′=40，C′A′=70
D． △ABC和△A′B′C′中，有，∠C=∠C′
二、填空题：每题3分，共30分。
11．若关于x的方程x2﹣2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值是 ．
12．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 （只填一个你认为正确的即可）．
13．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为 ．
14．如图所示，将两条等宽的纸条重叠在一起，则四边形ABCD是 形．
15．如图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，那么∠AED= 度．
16．初三的小明和初一的小颖做“石头、剪子、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小颖获胜；如果两人的手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖的获胜，则小颖获胜的概率是 ．
17．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图）．则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点是 ．
18．如图，有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm，6cm将圆盘分为三部分，飞镖可以落在任何一部分内，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是 ．
19．在△ABC中与△DEF中，已知，且△ABC的面积为18cm2，则△DEF的面积为 cm2．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，则CD= ．
三、解答题：共70分。
21．（12分）（2014秋•郓城县期中）用适当的方法解下列方程
（1）x2﹣14x=8
（2）2x2﹣9x+8=0
（3）4x（2x+1）=3（2x+1）
（4）（x+1）2﹣3（x+1）+2=0．
22．如图，▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E，F．
求证：四边形AECF是菱形．
23．如图，一次函数y=﹣2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．点P在何处时，矩形OCPD的面积为1？
24．一个盒子中装有两个红球、两个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，请你用树状图或者列表法，求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．（红色和蓝色配成了紫色）
25．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，连接OE交BC于点F，已知AB=a，BC=b，CE=c，求CF的长．
26．关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1=0的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0，求m的值．
27．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
28．（10分）（2011•聊城）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）
（1）当t=1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．
2022学年山东省菏泽市郓城县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填入该小题后的括号内，每小题2分，共20分。
1．已知方程（a﹣1）+1+（1﹣a）x+a﹣2=0是关于x的一元二次方程，则a的值为（ ）
A． 1 B． ﹣1 C． 1或﹣1 D． 无法确定
考点： 一元二次方程的定义．
分析： 根据一元二次方程的定义得出：2a2=2且a﹣1≠0，进而得出答案．
解答： 解：∵方程（a﹣1）+1+（1﹣a）x+a﹣2=0是关于x的一元二次方程，
∴2a2=2且a﹣1≠0，
解得a=﹣1．
故选：B．
点评： 本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．如图，△ABC中，D在AB上，E在AC上，下列条件中，能判定DE∥BC的是（ ）
A． AD•AC=AE•AB B． AD•AE=EC•DB C． AD•AB=AE•AC D． BD•AC=AE•AB
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 根据已知选项只要能推出再根据相似三角形的判定推出△ADE∽△ABC，推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定推出DE∥BC，即可得出选项．
解答： 解：A、∵AD•AC=AE•AB，
∴，
∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，故此选项正确；
B、∵AD•AE=EC•DB，
∴，
不能推出△ADE∽△ABC，
∴不能推出∠ADE=∠B，
∴不能推出DE∥BC，故此选项错误；
C、∵AD•AB=AE•AC，
不能推出△ADE∽△ABC，
∴不能推出∠ADE=∠B，
∴不能推出DE∥BC，故此选项错误；
D、∵BD•AC=AE•AB，
不能推出△ADE∽△ABC，
∴不能推出∠ADE=∠B，
∴不能推出DE∥BC，故此选项错误；
故选：A．
点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，解此题的关键是能推出△ADE≌△ABC，题目比较好，难度适中．
3．正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC，BD相交于点O，则△ABO的周长是（ ）
A． B． C． D．
考点： 正方形的性质．
专题： 计算题．
分析： 由正方形边长与对角线之比为1：可得AO=BO=6，又边长为12cm，故可求得△ABO的周长．
解答： 解：由题意可得AO=BO=6cm，AB=12cm
∴△ABO的周长为12+12（cm）．
故选A．
点评： 本题属基础题，关键在掌握边长与对角线的比例关系．
4．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（ ）
A． 20 B． 15 C． 10 D． 5
考点： 菱形的性质；等边三角形的判定与性质．
分析： 根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形，从而得到AC=AB．
解答： 解：∵AB=BC，∠B+∠BCD=180°，∠BCD=120°
∴∠B=60°
∴△ABC为等边三角形
∴AC=AB=5
故选D．
点评： 本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定．
5．如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点，AB=2，BC=4，则四边形EFGH的面积为（ ）
A． 4 B． 6 C． 3 D． 8
考点： 矩形的性质．
分析： 由在矩形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点可得：HF∥AB∥DC，EG∥AD∥BC，即：HF⊥EG，EG=BC=4，HF=AB=2，即四边形EFGH是菱形，菱形的面积=两条对角线的乘积的一半，代入求解即可．
解答： 解：连接EH、HF，如右图所示：
∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的四条边的中点，
∴HF∥AB∥DC，EG∥AD∥BC，
即：HF⊥EG，
EG=BC=4，HF=AB=2，
EH2=EF2=FG2=GH2=（AD）2+（AB）2，
∴四边形EHGF是菱形，
∴SEFGH=EG×HF=2×4=4．
故选A．
点评： 本题主要考查矩形的性质和菱形的性质，关键在于证明EFFH是菱形，求菱形的面积即可．
6．已知x1、x2是方程x2=2x+1的两个根，则的值为（ ）
A． B． 2 C． D． ﹣2
考点： 根与系数的关系．
专题： 计算题．
分析： 先把方程化为一般式得x2﹣2x﹣1=0，根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣2，x1•x2=﹣1，再把原式通分得，然后利用整体思想进行计算．
解答： 解：方程化为一般式得x2﹣2x﹣1=0，
根据题意得x1+x2=﹣2，x1•x2=﹣1，
∴原式===﹣2．
故选D．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．
7．一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是（ ）
A． m=3，n=5 B． m=n=4 C． m+n=4 D． m+n=8
考点： 概率公式．
专题： 计算题．
分析： 由于每个球都有被摸到的可能性，故可利用概率公式求出摸到白球的概率与摸到的球不是白球的概率，列出等式，求出m、n的关系．
解答： 解：根据概率公式，摸出白球的概率，，
摸出不是白球的概率，，
由于二者相同，故有 =，
整理得，m+n=8，
故选D．
点评： 此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，且DE∥BC，若S△ADE=S四边形DBCE，则AD：DB等于（ ）
A． 1： B． 1：1 C． 1：（） D． ：1
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 由DE∥BC可判断△ADE∽△ABC，由S△ADE=S四边形DBCE可知，S△ADE：S△ABC=1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得答．
解答： 解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
又∵S△ADE=S四边形DBCE，
∴S△ADE：S△ABC=1：2，
∴AD：AB=1：，
∴AD：DB=1：（）．
故选：C．
点评： 本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似三角形面积的平方．
9．小明和小亮如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）做游戏，A盘分别标注1、2、3、4、5，B盘分别标注2、3、4、5、6，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为6、7、8、9．则小明胜，那么小明取胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点： 列表法与树状图法．
分析： 首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与小明取胜的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答： 解：列表得：
6 7 8 9 10 11
5 6 7 8 9 10
4 5 6 7 8 9
3 4 5 6 7 8
2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5
∵共有25种等可能的结果，小明取胜的有16种情况，
∴小明取胜的概率是：．
故选B．
点评： 此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10．下列各组三角形中，两个三角形能够相似的是（ ）
A． △ABC中，∠A=42°，∠B=118°，△A′B′C′中，∠A′=118°，∠B′=15°
B． △ABC中，AB=8，AC=4，∠A=105°，△A′B′C′中，A′B′=16，B′C′=8，∠A′=100°
C． △ABC中，AB=18，BC=20，CA=35，△A′B′C′中，A′B′=36，B′C′=40，C′A′=70
D． △ABC和△A′B′C′中，有，∠C=∠C′
考点： 相似三角形的判定．
分析： 根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后的答案．
解答： 解：A不正确：∵△ABC中，∠A=42°，∠B=118°，△A′B′C′中，∠A′=118°，∠B′=15°
∴∠C=20°，∠C′=47°
∴不相似；
B不正确：∵∠A≠∠A′∴不相似；
C正确：∵△ABC中，AB=18，BC=20，CA=35，△A′B′C′中，A′B′=36，B′C′=40，C′A′=70
∴，，
∴
∴△ABC∽△A′B′C′
D不正确：
∵∠C与∠C′不是边AB与BC和边A′B′与B′C′的夹角，∴不相似
故选C．
点评： 此题考查了相似三角形的判定；
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
二、填空题：每题3分，共30分。
11．若关于x的方程x2﹣2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值是 ﹣1 ．
考点： 根的判别式．
分析： 根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．
解答： 解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m=0有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）=0，
解得m=﹣1．
点评： 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
12．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 AC⊥BD或AB=BC或BC=CD或AB=AD （只填一个你认为正确的即可）．
考点： 菱形的判定．
专题： 压轴题；开放型．
分析： 根据平行四边形的性质和菱形的性质，可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD．
解答： 解：四边形ABCD的对角线互相平分，则四边形ABCD为平行四边形，
再依据：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD（答案不唯一）
点评： 本题考查平行四边形及菱形的判定．菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
13．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为 25或36 ．
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 数字问题．
分析： 可设这个数的个位数为x，那么十位数字应该是x﹣3，由一个两位数等于它的个位数的平方，列出一元二次方程求解．
解答： 解：设这个两位数的个位数字为x，那么十位数字应该是x﹣3，
由题意得：10（x﹣3）+x=x2，
解得x1=5，x2=6．
那么这个两位数就应该是25或36．
故答案为：25或36．
点评： 本题考查了一元二次方程的应用，要注意两位数的表示方法，然后根据题意列出方程．
14．如图所示，将两条等宽的纸条重叠在一起，则四边形ABCD是 菱 形．
考点： 菱形的判定．
分析： 首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
解答： 解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE=AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．
又∵AE=AF．
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：菱．
点评： 本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．
15．如图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，那么∠AED= 15 度．
考点： 正方形的性质；等边三角形的性质．
分析： 根据题意知△ADE是等腰三角形，且∠ADE=90°+60°=150°．根据三角形内角和定理及等腰三角形性质求底角．
解答： 解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，
∴AD=CD=DE；∠ADE=90°+60°=150°．
∴∠AED=（180°﹣150°）÷2=15°．
故答案为 15．
点评： 此题考查正方形和等边三角形的性质，属基础题．
16．初三的小明和初一的小颖做“石头、剪子、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小颖获胜；如果两人的手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖的获胜，则小颖获胜的概率是 ．
考点： 列表法与树状图法．
分析： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小颖获胜的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答： 解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小颖获胜的有3种情况，
∴小颖获胜的概率是：．
故答案为：．
点评： 此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图）．则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点是 （﹣2a，﹣2b） ．
考点： 位似变换．
分析： 大鱼与小鱼是位似图形，由图形知位似比等于2：1，所以可知小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点是（﹣2a，﹣2b）．
解答： 解：∵大鱼与小鱼是位似图形，
由图形知一组对应点的坐标分别为（2，0），（﹣1，0）
∴位似比等于2：1
∴小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点是（﹣2a，﹣2b）．
点评： 本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比；在直角坐标系中，对应点的坐标也满足相似比．
18．如图，有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm，6cm将圆盘分为三部分，飞镖可以落在任何一部分内，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是 ．
考点： 几何概率．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 根据圆环面积求法得出圆环面积，再求出大圆面积，即可得出飞镖落在阴影圆环内的概率．
解答： 解：∵有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm，6cm将圆盘分为三部分，
∴阴影部分面积为：π（42﹣22）=12π，大圆的面积为：36π，
∴那么飞镖落在阴影圆环内的概率是：=，
故答案为：．
点评： 此题主要考查了几何概率，根据三圆半径依次是2cm，4cm，6cm求出圆环面积与大圆面积是解决问题的关键．
19．在△ABC中与△DEF中，已知，且△ABC的面积为18cm2，则△DEF的面积为 32 cm2．
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 根据，可知△ABC∽△DEF，并且相似比为，所以△ABC的面积：△DEF的面积=9：16，由△ABC的面积为18cm2，可求出△DEF的面积．
解答： 解：∵，
∴△ABC∽△DEF，并且相似比为，
∴△ABC的面积：△DEF的面积=9：16，
∵△ABC的面积为18cm2，
∴△DEF的面积=18×=32cm2．
故答案为：32．
点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据三边对应成比例的到两三角形相似是解决问题的关键．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，则CD= 2 ．
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 首先证△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应边成比例求出CD的长．
解答： 解：Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB；
∴∠ACD=∠B=90°﹣∠A；
又∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ACD∽△CBD；
∴CD2=AD•BD=4，即CD=2．
点评： 此题主要考查的是相似三角形的判定和性质．
三、解答题：共70分。
21．（12分）（2014秋•郓城县期中）用适当的方法解下列方程
（1）x2﹣14x=8
（2）2x2﹣9x+8=0
（3）4x（2x+1）=3（2x+1）
（4）（x+1）2﹣3（x+1）+2=0．
考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．
分析： （1）把方程左边加上一次项系数一半的平方，利用配方法解方程即可；
（2）首先找出a=2，b=﹣9，c=8，利用公式法解方程即可；
（3）提取公因式（2x+1），即可得到（2x+1）（4x﹣3）=0，再解两个一元一次方程即可；
（4）把（x+1）看一个整体，利用分解因式法解一元二次方程即可．
解答： 解：（1）∵x2﹣14x=8，
∴x2﹣14x+72=8+72，
∴（x﹣7）2=57，
∴x1=7+，x2=7﹣；
（2）∵2x2﹣9x+8=0，a=2，b=﹣9，c=8，
∴b2﹣4ac=81﹣4•2•8=17，
∴x===，
∴x1=，x2=；
（3）∵4x（2x+1）=3（2x+1）
∴（2x+1）（4x﹣3）=0，
∴2x+1=0 或4x﹣3=0，
∴x1=﹣，x2=；
（4）∵（x+1）2﹣3（x+1）+2=0，
∴（x+1﹣1）（x+1﹣2）=0，
∴x（x﹣1）=0，
∴x1=0，x2=1．
点评： 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
22．如图，▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E，F．
求证：四边形AECF是菱形．
考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
专题： 证明题．
分析： 菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．
解答： 证明：方法一：∵AE∥FC．
∴∠EAC=∠FCA．
在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴EO=FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF为菱形；
方法二：同方法一，证得△AOE≌△COF．
∴AE=CF．
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴四边形AECF是菱形；
点评： 考查了菱形的判定，本题利用了中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
23．如图，一次函数y=﹣2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．点P在何处时，矩形OCPD的面积为1？
考点： 一次函数图象上点的坐标特征．
分析： 设P（a，﹣2a+3），则利用矩形的性质列出关于a的方程，通过解方程求得a值，继而求得点P的坐标．
解答： 解：∵点P在一次函数y=﹣2x+3的图象上，
∴P（a，﹣2a+3）（a＞0），
由题意得 a•（﹣2a+3）=1，
整理得2a2﹣3a+1=0，
解得 a1=1，a2=，
∴﹣2a+3=1或﹣2a+3=2．
综上所述，当P（1，1）或（，2）时，矩形OCPD的面积为1．
点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上所有点的坐标都满足该函数关系式．
24．一个盒子中装有两个红球、两个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，请你用树状图或者列表法，求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．（红色和蓝色配成了紫色）
考点： 列表法与树状图法．
分析： 首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答： 解：列表得：
蓝 红蓝 红蓝 白蓝 白蓝 蓝蓝
白 红白 红白 白白 白白 蓝白
白 红白 红白 白白 白白 蓝白
红 红红 红红 白红 白红 蓝红
红 红红 红红 白红 白红 蓝红
红 红 白 白 蓝
∵共有25种等可能的结果，两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种情况，
∴两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率为：=．
点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，连接OE交BC于点F，已知AB=a，BC=b，CE=c，求CF的长．
考点： 平行四边形的性质；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．
分析： 首先过点O作OM∥AB，交BC于点M，易得△COM∽△CAB，△OMF∽△ECF，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
解答： 解：过点O作OM∥AB，交BC于点M，
∴△COM∽△CAB，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=AC，AB∥CD，
∴BM=CM=BC=b，OM=AB=a，
∴OM∥CE，
∴△OMF∽△ECF，
∴，
∴=，
∴=，
∴CF=×b=．
点评： 此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
26．关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1=0的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0，求m的值．
考点： 根的判别式；根与系数的关系．
分析： （1）因为方程有两个实数根，所以△≥0，据此即可求出m的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，将x1+x2=﹣3，x1x2=m﹣1代入2（x1+x2）+x1x2+10=0，解关于m的方程即可．
解答： 解：（1）∵方程有两个实数根，
∴△≥0，
∴9﹣4×1×（m﹣1）≥0，
解得m≤；
（2）∵x1+x2=﹣3，x1x2=m﹣1，
又∵2（x1+x2）+x1x2+10=0，
∴2×（﹣3）+m﹣1+10=0，
∴m=﹣3．
点评： 本题考查了根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，直接将两根之和与两根之积用m表示出来是解题的关键．
27．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
考点： 矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．
专题： 证明题；开放型．
分析： （1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，可以证明四边形ADCE为矩形．
（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．
解答： （1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
理由：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴DC=AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
点评： 本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．
28．（10分）（2011•聊城）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）
（1）当t=1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．
考点： 相似三角形的判定；一次函数的应用；三角形的面积；矩形的性质．
专题： 压轴题．
分析： （1）当t=1时，根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，可求出S和t的关系．
（2）根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S，求出S和t的关系式．
（3）两边对应成比例夹角相等的三角形是相似三角形可求出解．
解答： 解：（1）如图1，当t=1秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2，
由S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG，
=×﹣
=×（10+2）×8﹣×10×4﹣
=24（cm2）；
（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，
此时AE=2t，EB=12﹣2t，BF=4t，FC=8﹣4t，CG=2t，
S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG
=×（EB+CG）•BC﹣EB•BF﹣FC•CG
=×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t（12﹣2t）﹣×2t（8﹣4t）
=8t2﹣32t+48（0≤t≤2）．
②如图2，当点F追上点G时，4t=2t+8，解得t=4，
当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF=4t﹣8，CG=2t，
FG=CG﹣CF=2t﹣（4t﹣8）=8﹣2t，
S=FG•BC=（8﹣2t）•8=﹣8t+32．
即S=﹣8t+32（2＜t＜4）．
（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，0≤t≤2，
在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°，
1若=，即=，
解得t=．
又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△EBF∽△FCG，
2若=即=，解得t=．
又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△EBF∽△GCF．
综上所述，当t=或t=时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．
点评： 本题考查了相似三角形的判定定理，一次函数的应用和三角形的面积以及矩形的性质等知识点．
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