还剩16页未读，
继续阅读
【解析版】2022年菏泽市定陶县九年级上期中数学试卷
展开
这是一份【解析版】2022年菏泽市定陶县九年级上期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了精挑细选，火眼金睛，认真填写，试一试自己的身手，认真解答，一定要细心．，综合解答题等内容，欢迎下载使用。
2022学年山东省菏泽市定陶县九年级（上）期中数学试卷
一、精挑细选，火眼金睛（每小题3分，共24分）
1．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A． BC=2DE B． △ADE∽△ABC C． = D． S△ABC=3S△ADE
2．两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（ ）
A． 75cm，115cm B． 60cm，100cm C． 85cm，125cm D． 45cm，85cm
3．按如下方法，将△ABC的三边缩小的原来的，如图，任取一点O，连AO、BO、
CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF是位似图形 ②△ABC与△DEF是相似图形
③△ABC与△DEF的周长比为1：2 ④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B=40°，则∠ACD的度数是（ ）
A． 40° B． 50° C． 60° D． 75°
5．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（ ）
A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 等腰三角形
6．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（ ）
A． 8 B． 18 C． 16 D． 14
7．半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）
A． 1：： B． ：：1 C． 3：2：1 D． 1：2：3
8．如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E互相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积是（ ）
A． π B． 1.5π C． 2π D． 2.5π
二、认真填写，试一试自己的身手（每小题3分，共18分）
9．在相似三角形中，已知其中一个三角形三边的长是4，6，8．另一个三角形的最小边长是2，则另一个三角形的周长是 ．
10．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为 ．
11．△ABC三个顶点A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′（1，2），B′（2，），C（，﹣），则△A′B′C′与△ABC的位似比是 ．
12．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为 ．
13．一条弦把圆分为2：3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为 ．
14．如图，三角板ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6．三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，则点B转过的路径长为 （结果保留π）．
三、认真解答，一定要细心．（满分38分，要写出必要的计算推理、解答过程）
15．计算：
（1）sin45°•cos45°+tan60°•sin60•
（2）sin30°﹣cos45°+tan230°+sin260°﹣cos260°．
16．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B，且DM交AC于F，ME交BC于G，写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对．
17．用反证法证明：在△ABC中，如果M、N分别是边AB、AC上的点，那么BN、CM不能互相平分．
18．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，AB=DC，△ABC与△DCB全等吗？为什么？
四、综合解答题（本题4小题，满分40分，要写出必要的计算、推理、解答过程）
19．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．
20．已知：如图，AB是⊙O的弦，∠OAB=45°，C是优弧AB上的一点，BD∥OA，交CA延长线于点D，连接BC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AC=，∠CAB=75°，求⊙O的半径．
21．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从B出发沿BC以2cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为ts，当为何值时，△CPQ与△CBA相似？
22．如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心O，支架CD与水平面AE垂直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=76厘米，∠CED=60°．
（1）求垂直支架CD的长度；（结果保留根号）
（2）求水箱半径OD的长度．（结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.414，≈1.73）
2022学年山东省菏泽市定陶县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、精挑细选，火眼金睛（每小题3分，共24分）
1．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A． BC=2DE B． △ADE∽△ABC C． = D． S△ABC=3S△ADE
考点： 三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据三角形的中位线定理得出DE是△ABC的中位线，再由中位线的性质得出△ADE∽△ABC，进而可得出结论．
解答： 解：∵在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴BC=2DE，
故A正确；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，故B正确；
∴=，故C正确；
∵DE是△ABC的中位线，
∴AD：BC=1：2，
∴S△ABC=4S△ADE
故D错误．
故选D．
点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质及三角形的中位线定理，熟记以上知识是解答此题的关键．
2．两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（ ）
A． 75cm，115cm B． 60cm，100cm C． 85cm，125cm D． 45cm，85cm
考点： 相似三角形的性质．
分析： 根据题意两个三角形的相似比是15：23，可得周长比为15：23，计算出周长相差8份及每份的长，可得两三角形周长．
解答： 解：根据题意两个三角形的相似比是15：23，周长比就是15：23，
大小周长相差8份，所以每份的周长是40÷8=5cm，
所以两个三角形的周长分别为5×15=75cm，5×23=115cm．故选A．
点评： 本题考查对相似三角形性质的理解：
（1）相似三角形周长的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
3．按如下方法，将△ABC的三边缩小的原来的，如图，任取一点O，连AO、BO、
CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF是位似图形 ②△ABC与△DEF是相似图形
③△ABC与△DEF的周长比为1：2 ④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 位似变换．
专题： 计算题．
分析： 根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出 ②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
解答： 解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，
②△ABC与△DEF是相似图形，
∵将△ABC的三边缩小的原来的，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，
故③选项错误，
根据面积比等于相似比的平方，
∴④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
故选C．
点评： 此题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B=40°，则∠ACD的度数是（ ）
A． 40° B． 50° C． 60° D． 75°
考点： 圆周角定理．
分析： 首先连接AD，由直径所对的圆周角是直角，∠CAD=90°，又由圆周角定理，即可求得∠D的度数，继而求得答案．
解答： 解：连接AD，如图所示，
∵CD是直径，
∴∠CAD=90°，
∵∠D=∠B=40°，
∴∠ACD=90°﹣∠D=50°．
故选B．
点评： 此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
5．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（ ）
A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 等腰三角形
考点： 特殊角的三角函数值．
分析： 根据特殊角的三角函数值和三角形的内角和定理求出角的度数，再进行判断．
解答： 解：∵cosA=，tanB=，
∴∠A=45°，∠B=60°．
∴∠C=180°﹣45°﹣60°=75°．
∴△ABC为锐角三角形．
故选A．
点评： 本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
6．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（ ）
A． 8 B． 18 C． 16 D． 14
考点： 切线长定理．
分析： 由PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理可得：PB=PA=8，CA=CE，DB=DE，继而可得△PCD的周长=PA+PB．
解答： 解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴PB=PA=8，CA=CE，DB=DE，
∴△PCD的周长=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=16．
故选：C．
点评： 此题考查了切线长定理．此题难度不大，注意从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
7．半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）
A． 1：： B． ：：1 C． 3：2：1 D． 1：2：3
考点： 正多边形和圆．
专题： 压轴题．
分析： 从中心向边作垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得．
解答： 解：设圆的半径是r，
则多边形的半径是r，
则内接正三角形的边长是2rsin60°=r，
内接正方形的边长是2rsin45°=r，
正六边形的边长是r，
因而半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为：：1．
故选B．
点评： 正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．
8．如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E互相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积是（ ）
A． π B． 1.5π C． 2π D． 2.5π
考点： 扇形面积的计算；多边形内角与外角．
专题： 压轴题．
分析： 圆心角之和等于五边形的内角和，由于半径相同，那么根据扇形的面积2公式计算即可．
解答： 解：图中五个扇形（阴影部分）的面积是=1.5π
故选B．
点评： 解决本题的关键是把阴影部分当成一个扇形的面积来求，圆心角为五边形的内角和．
二、认真填写，试一试自己的身手（每小题3分，共18分）
9．在相似三角形中，已知其中一个三角形三边的长是4，6，8．另一个三角形的最小边长是2，则另一个三角形的周长是 9 ．
考点： 相似三角形的性质．
分析： 由在相似三角形中，已知其中一个三角形三边的长是4，6，8．另一个三角形的最小边长是2，即可求得其中一个三角形的周长，由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．
解答： 解：∵一个三角形三边的长是4，6，8，
∴这个三角形的周长为：4+6+8=18，
∵在相似三角形中，另一个三角形的最小边长是2，
∴它们周长的比为：4：2=2：1，
∴另一个三角形的周长是9．
故答案为：9．
点评： 此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
10．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为 13m ．
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析： 首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．
解答： 解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=1：2.4，AE=5米，AE⊥BD，
∵i==，
∴BE=12米，
∴在Rt△ABE中，AB==13（米）．
故答案为：13m．
点评： 此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．
11．△ABC三个顶点A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′（1，2），B′（2，），C（，﹣），则△A′B′C′与△ABC的位似比是 1：3 ．
考点： 位似变换；坐标与图形性质．
分析： 由△ABC三个顶点A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′（1，2），B′（2，），C（，﹣），根据位似图形的性质，即可求得△A′B′C′与△ABC的位似比．
解答： 解：∵△ABC三个顶点A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′（1，2），B′（2，），C（，﹣），
∴△A′B′C′与△ABC的位似比是：1：3．
故答案为：1：3．
点评： 此题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比．
12．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为 3+ ．
考点： 解直角三角形．
专题： 几何图形问题．
分析： 过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．
解答： 解：过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BCD=∠B=45°，
∴CD=BD，
∵∠A=30°，AC=2，
∴CD=，
∴BD=CD=，
由勾股定理得：AD==3，
∴AB=AD+BD=3+．
故答案为：3+．
点评： 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
13．一条弦把圆分为2：3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为 72°或108° ．
考点： 圆心角、弧、弦的关系．
分析： 先求出这条弦所对圆心角的度数，然后分情况讨论这条弦所对圆周角的度数．
解答： 解：如图，连接OA、OB．
弦AB将⊙O分为2：3两部分，
则∠AOB=×360°=144°；
∴∠ACB=∠AOB=72°，
∠ADB=180°﹣∠ACB=108°；
故这条弦所对的圆周角的度数为72°或108°．
点评： 此题考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质；需注意的是在圆中，一条弦（非直径）所对的圆周角应该有两种情况，不要漏解．
14．如图，三角板ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6．三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，则点B转过的路径长为 2π （结果保留π）．
考点： 弧长的计算；旋转的性质．
分析： 点B转过的路径长是以点C为圆心，BC为半径，旋转角度是60度，根据弧长公式可得．
解答： 解：∵AC=A′C，且∠A=60°
∴△ACA′是等边三角形．
∴∠ACA′=60°即旋转角为60°，
∴∠BCB′=60°，
∴点B转过的路径长是：=2π．
故答案为：2π．
点评： 本题的关键是弄清所求的是那一段弧长，圆心用半径，圆心角分别是多少，然后利用弧长公式求解．
三、认真解答，一定要细心．（满分38分，要写出必要的计算推理、解答过程）
15．计算：
（1）sin45°•cos45°+tan60°•sin60•
（2）sin30°﹣cos45°+tan230°+sin260°﹣cos260°．
考点： 特殊角的三角函数值．
分析： （1）直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可；
（2）直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可．
解答： 解：（1）原式=×+×=2；
（2）原式=﹣++﹣
=1﹣．
点评： 此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
16．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B，且DM交AC于F，ME交BC于G，写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对．
考点： 相似三角形的判定．
分析： 根据三角形的外角性质求出∠AFM=∠BMG，再根据相似三角形的判定推出即可．
解答： 答：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，
证明：∵∠DME=∠A=∠B，
∴∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG，∠A=∠B，
∴△AMF∽△BGM．
点评： 本题考查了相似三角形的判定和三角形外角性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，用到的知识点是有两角相等的两个三角形相似，难度适中．
17．用反证法证明：在△ABC中，如果M、N分别是边AB、AC上的点，那么BN、CM不能互相平分．
考点： 反证法．
专题： 证明题．
分析： 首先假设BN、CM能互相平分，利用平行四边形的性质进而求出即可．
解答： 已知在△ABC中，M、N分别是边AB、AC上的点，
求证：BN、CM不能互相平分．
证明：假设BN、CM能互相平分，则四边形BCNM为平行四边形，
则BM∥CN，即：AB∥AC，这与在△ABC中，AB、AC交于A点相矛盾，
所以BN、CM能互相平分结论不成立，
故BN、CM不能互相平分，
点评： 此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的步骤是解题关键．
18．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，AB=DC，△ABC与△DCB全等吗？为什么？
考点： 圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定；圆周角定理．
专题： 探究型．
分析： 要证明△ABC与△DCB全等，已知的条件是AB=DC，那么他们所对的弧就相等，那么优弧ADC=优弧BAD，∠ABC=∠BCD，又因为∠A，∠D所对的是同一条弦，那么可得出∠A=∠D，这样就构成了ASA，可以确定其全等．
解答：解：△ABC与△DCB全等．
证明：∵圆周角∠A，∠D所对的是同一条弦，那么∠A=∠D
∵AB=CD，∴劣弧AB=劣弧CD
∴优弧ADC=优弧BAD
∴∠ABC=∠BCD
又∵AB=CD，
∴△ABC与△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA）．
点评： 本题考查了全等三角形的判定．要注意本题中圆周角定理的应用．
四、综合解答题（本题4小题，满分40分，要写出必要的计算、推理、解答过程）
19．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．
考点： 作图-位似变换．
专题： 作图题；压轴题．
分析： （1）连接CC′并延长，连接BB′并延长，两延长线交于点O；
（2）由OB=2OB′，即可得出△ABC与△A′B′C′的位似比为2：1；
（3），连接B′O并延长，使OB″=OB′，延长A′O并延长，使OA″=OA′，C′O并延长，使OC″=OC′，连接A″B″，A″C″，B″C″，则△A″B″C″为所求，从网格中即可得出△A″B″C″各顶点的坐标．
解答： 解：（1）图中点O为所求；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：1；
（3）△A″B″C″为所求；
A″（6，0）；B″（3，﹣2）； C″（4，﹣4）．
点评： 此题考查了作图﹣位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
20．已知：如图，AB是⊙O的弦，∠OAB=45°，C是优弧AB上的一点，BD∥OA，交CA延长线于点D，连接BC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AC=，∠CAB=75°，求⊙O的半径．
考点： 切线的判定与性质；解直角三角形．
专题： 计算题；证明题．
分析： （1）连接OB，如图．根据题意得，∠1=∠OAB=45°．由AO∥DB，得∠2=∠OAB=45°．则∠1+∠2=90°．即BD⊥OB于B．从而得出CD是⊙O的切线．
（2）作OE⊥AC于点E．由OE⊥AC，AC=，求得AE，由∠BAC=75°，∠OAB=45°，得出∠3．在Rt△OAE中，求得OA即可．
解答： （1）证明：连接OB，如图．
∵OA=OB，∠OAB=45°，
∴∠1=∠OAB=45°．
∵AO∥DB，
∴∠2=∠OAB=45°．
∴∠1+∠2=90°．
∴BD⊥OB于B．
∴又点B在⊙O上．
∴BD是⊙O的切线．
（2）解：作OE⊥AC于点E．
∵OE⊥AC，AC=，
∴AE==．
∵∠BAC=75°，∠OAB=45°，
∴∠3=∠BAC﹣∠OAB=30°．
∴在Rt△OAE中，
解法二：如图
延长AO与⊙O交于点F，连接FC．
∴∠ACF=90°．
在Rt△ACF中，．
∴AO==4．
点评： 本以考查了切线的判定和性质，以及解直角三角形，是基础知识要熟练掌握．
21．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从B出发沿BC以2cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为ts，当为何值时，△CPQ与△CBA相似？
考点： 相似三角形的判定．
专题： 动点型．
分析：分CP和CB是对应边，CP和CA是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
解答： 解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以，=，
即=，
解得t=4.8；
CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以，=，
即=，
解得t=．
综上所述，当t=4.8秒或秒时，△CPQ与△CBA相似．
点评： 本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于分情况讨论．
22．如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心O，支架CD与水平面AE垂直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=76厘米，∠CED=60°．
（1）求垂直支架CD的长度；（结果保留根号）
（2）求水箱半径OD的长度．（结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.414，≈1.73）
考点： 解直角三角形的应用．
专题： 几何图形问题．
分析： （1）首先弄清题意，了解每条线段的长度与线段之间的关系，在△CDE中利用三角函数sin60°=，求出CD的长．
（2）首先设出水箱半径OD的长度为x厘米，表示出CO，AO的长度，根据直角三角形的性质得到CO=AO，再代入数计算即可得到答案．
解答： 解：（1）∵DE=76厘米，∠CED=60°，
∴sin60°==，
∴CD=38cm．
（2）设水箱半径OD的长度为x厘米，则CO=（38+x）厘米，AO=（150+x）厘米，
∵∠BAC=30°，
∴CO=AO，
38+x=（150+x），
解得：x=150﹣76=150﹣131.48≈18.5cm．
点评： 此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，做题的关键是表示出线段的长后，理清线段之间的关系．
2022学年山东省菏泽市定陶县九年级（上）期中数学试卷
一、精挑细选，火眼金睛（每小题3分，共24分）
1．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A． BC=2DE B． △ADE∽△ABC C． = D． S△ABC=3S△ADE
2．两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（ ）
A． 75cm，115cm B． 60cm，100cm C． 85cm，125cm D． 45cm，85cm
3．按如下方法，将△ABC的三边缩小的原来的，如图，任取一点O，连AO、BO、
CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF是位似图形 ②△ABC与△DEF是相似图形
③△ABC与△DEF的周长比为1：2 ④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B=40°，则∠ACD的度数是（ ）
A． 40° B． 50° C． 60° D． 75°
5．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（ ）
A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 等腰三角形
6．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（ ）
A． 8 B． 18 C． 16 D． 14
7．半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）
A． 1：： B． ：：1 C． 3：2：1 D． 1：2：3
8．如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E互相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积是（ ）
A． π B． 1.5π C． 2π D． 2.5π
二、认真填写，试一试自己的身手（每小题3分，共18分）
9．在相似三角形中，已知其中一个三角形三边的长是4，6，8．另一个三角形的最小边长是2，则另一个三角形的周长是 ．
10．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为 ．
11．△ABC三个顶点A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′（1，2），B′（2，），C（，﹣），则△A′B′C′与△ABC的位似比是 ．
12．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为 ．
13．一条弦把圆分为2：3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为 ．
14．如图，三角板ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6．三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，则点B转过的路径长为 （结果保留π）．
三、认真解答，一定要细心．（满分38分，要写出必要的计算推理、解答过程）
15．计算：
（1）sin45°•cos45°+tan60°•sin60•
（2）sin30°﹣cos45°+tan230°+sin260°﹣cos260°．
16．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B，且DM交AC于F，ME交BC于G，写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对．
17．用反证法证明：在△ABC中，如果M、N分别是边AB、AC上的点，那么BN、CM不能互相平分．
18．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，AB=DC，△ABC与△DCB全等吗？为什么？
四、综合解答题（本题4小题，满分40分，要写出必要的计算、推理、解答过程）
19．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．
20．已知：如图，AB是⊙O的弦，∠OAB=45°，C是优弧AB上的一点，BD∥OA，交CA延长线于点D，连接BC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AC=，∠CAB=75°，求⊙O的半径．
21．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从B出发沿BC以2cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为ts，当为何值时，△CPQ与△CBA相似？
22．如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心O，支架CD与水平面AE垂直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=76厘米，∠CED=60°．
（1）求垂直支架CD的长度；（结果保留根号）
（2）求水箱半径OD的长度．（结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.414，≈1.73）
2022学年山东省菏泽市定陶县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、精挑细选，火眼金睛（每小题3分，共24分）
1．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A． BC=2DE B． △ADE∽△ABC C． = D． S△ABC=3S△ADE
考点： 三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据三角形的中位线定理得出DE是△ABC的中位线，再由中位线的性质得出△ADE∽△ABC，进而可得出结论．
解答： 解：∵在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴BC=2DE，
故A正确；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，故B正确；
∴=，故C正确；
∵DE是△ABC的中位线，
∴AD：BC=1：2，
∴S△ABC=4S△ADE
故D错误．
故选D．
点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质及三角形的中位线定理，熟记以上知识是解答此题的关键．
2．两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（ ）
A． 75cm，115cm B． 60cm，100cm C． 85cm，125cm D． 45cm，85cm
考点： 相似三角形的性质．
分析： 根据题意两个三角形的相似比是15：23，可得周长比为15：23，计算出周长相差8份及每份的长，可得两三角形周长．
解答： 解：根据题意两个三角形的相似比是15：23，周长比就是15：23，
大小周长相差8份，所以每份的周长是40÷8=5cm，
所以两个三角形的周长分别为5×15=75cm，5×23=115cm．故选A．
点评： 本题考查对相似三角形性质的理解：
（1）相似三角形周长的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
3．按如下方法，将△ABC的三边缩小的原来的，如图，任取一点O，连AO、BO、
CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF是位似图形 ②△ABC与△DEF是相似图形
③△ABC与△DEF的周长比为1：2 ④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 位似变换．
专题： 计算题．
分析： 根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出 ②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
解答： 解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，
②△ABC与△DEF是相似图形，
∵将△ABC的三边缩小的原来的，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，
故③选项错误，
根据面积比等于相似比的平方，
∴④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
故选C．
点评： 此题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B=40°，则∠ACD的度数是（ ）
A． 40° B． 50° C． 60° D． 75°
考点： 圆周角定理．
分析： 首先连接AD，由直径所对的圆周角是直角，∠CAD=90°，又由圆周角定理，即可求得∠D的度数，继而求得答案．
解答： 解：连接AD，如图所示，
∵CD是直径，
∴∠CAD=90°，
∵∠D=∠B=40°，
∴∠ACD=90°﹣∠D=50°．
故选B．
点评： 此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
5．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（ ）
A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 等腰三角形
考点： 特殊角的三角函数值．
分析： 根据特殊角的三角函数值和三角形的内角和定理求出角的度数，再进行判断．
解答： 解：∵cosA=，tanB=，
∴∠A=45°，∠B=60°．
∴∠C=180°﹣45°﹣60°=75°．
∴△ABC为锐角三角形．
故选A．
点评： 本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
6．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（ ）
A． 8 B． 18 C． 16 D． 14
考点： 切线长定理．
分析： 由PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理可得：PB=PA=8，CA=CE，DB=DE，继而可得△PCD的周长=PA+PB．
解答： 解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴PB=PA=8，CA=CE，DB=DE，
∴△PCD的周长=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=16．
故选：C．
点评： 此题考查了切线长定理．此题难度不大，注意从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
7．半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）
A． 1：： B． ：：1 C． 3：2：1 D． 1：2：3
考点： 正多边形和圆．
专题： 压轴题．
分析： 从中心向边作垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得．
解答： 解：设圆的半径是r，
则多边形的半径是r，
则内接正三角形的边长是2rsin60°=r，
内接正方形的边长是2rsin45°=r，
正六边形的边长是r，
因而半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为：：1．
故选B．
点评： 正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．
8．如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E互相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积是（ ）
A． π B． 1.5π C． 2π D． 2.5π
考点： 扇形面积的计算；多边形内角与外角．
专题： 压轴题．
分析： 圆心角之和等于五边形的内角和，由于半径相同，那么根据扇形的面积2公式计算即可．
解答： 解：图中五个扇形（阴影部分）的面积是=1.5π
故选B．
点评： 解决本题的关键是把阴影部分当成一个扇形的面积来求，圆心角为五边形的内角和．
二、认真填写，试一试自己的身手（每小题3分，共18分）
9．在相似三角形中，已知其中一个三角形三边的长是4，6，8．另一个三角形的最小边长是2，则另一个三角形的周长是 9 ．
考点： 相似三角形的性质．
分析： 由在相似三角形中，已知其中一个三角形三边的长是4，6，8．另一个三角形的最小边长是2，即可求得其中一个三角形的周长，由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．
解答： 解：∵一个三角形三边的长是4，6，8，
∴这个三角形的周长为：4+6+8=18，
∵在相似三角形中，另一个三角形的最小边长是2，
∴它们周长的比为：4：2=2：1，
∴另一个三角形的周长是9．
故答案为：9．
点评： 此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
10．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为 13m ．
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析： 首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．
解答： 解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=1：2.4，AE=5米，AE⊥BD，
∵i==，
∴BE=12米，
∴在Rt△ABE中，AB==13（米）．
故答案为：13m．
点评： 此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．
11．△ABC三个顶点A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′（1，2），B′（2，），C（，﹣），则△A′B′C′与△ABC的位似比是 1：3 ．
考点： 位似变换；坐标与图形性质．
分析： 由△ABC三个顶点A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′（1，2），B′（2，），C（，﹣），根据位似图形的性质，即可求得△A′B′C′与△ABC的位似比．
解答： 解：∵△ABC三个顶点A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′（1，2），B′（2，），C（，﹣），
∴△A′B′C′与△ABC的位似比是：1：3．
故答案为：1：3．
点评： 此题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比．
12．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为 3+ ．
考点： 解直角三角形．
专题： 几何图形问题．
分析： 过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．
解答： 解：过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BCD=∠B=45°，
∴CD=BD，
∵∠A=30°，AC=2，
∴CD=，
∴BD=CD=，
由勾股定理得：AD==3，
∴AB=AD+BD=3+．
故答案为：3+．
点评： 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
13．一条弦把圆分为2：3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为 72°或108° ．
考点： 圆心角、弧、弦的关系．
分析： 先求出这条弦所对圆心角的度数，然后分情况讨论这条弦所对圆周角的度数．
解答： 解：如图，连接OA、OB．
弦AB将⊙O分为2：3两部分，
则∠AOB=×360°=144°；
∴∠ACB=∠AOB=72°，
∠ADB=180°﹣∠ACB=108°；
故这条弦所对的圆周角的度数为72°或108°．
点评： 此题考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质；需注意的是在圆中，一条弦（非直径）所对的圆周角应该有两种情况，不要漏解．
14．如图，三角板ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6．三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，则点B转过的路径长为 2π （结果保留π）．
考点： 弧长的计算；旋转的性质．
分析： 点B转过的路径长是以点C为圆心，BC为半径，旋转角度是60度，根据弧长公式可得．
解答： 解：∵AC=A′C，且∠A=60°
∴△ACA′是等边三角形．
∴∠ACA′=60°即旋转角为60°，
∴∠BCB′=60°，
∴点B转过的路径长是：=2π．
故答案为：2π．
点评： 本题的关键是弄清所求的是那一段弧长，圆心用半径，圆心角分别是多少，然后利用弧长公式求解．
三、认真解答，一定要细心．（满分38分，要写出必要的计算推理、解答过程）
15．计算：
（1）sin45°•cos45°+tan60°•sin60•
（2）sin30°﹣cos45°+tan230°+sin260°﹣cos260°．
考点： 特殊角的三角函数值．
分析： （1）直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可；
（2）直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可．
解答： 解：（1）原式=×+×=2；
（2）原式=﹣++﹣
=1﹣．
点评： 此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
16．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B，且DM交AC于F，ME交BC于G，写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对．
考点： 相似三角形的判定．
分析： 根据三角形的外角性质求出∠AFM=∠BMG，再根据相似三角形的判定推出即可．
解答： 答：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，
证明：∵∠DME=∠A=∠B，
∴∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG，∠A=∠B，
∴△AMF∽△BGM．
点评： 本题考查了相似三角形的判定和三角形外角性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，用到的知识点是有两角相等的两个三角形相似，难度适中．
17．用反证法证明：在△ABC中，如果M、N分别是边AB、AC上的点，那么BN、CM不能互相平分．
考点： 反证法．
专题： 证明题．
分析： 首先假设BN、CM能互相平分，利用平行四边形的性质进而求出即可．
解答： 已知在△ABC中，M、N分别是边AB、AC上的点，
求证：BN、CM不能互相平分．
证明：假设BN、CM能互相平分，则四边形BCNM为平行四边形，
则BM∥CN，即：AB∥AC，这与在△ABC中，AB、AC交于A点相矛盾，
所以BN、CM能互相平分结论不成立，
故BN、CM不能互相平分，
点评： 此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的步骤是解题关键．
18．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，AB=DC，△ABC与△DCB全等吗？为什么？
考点： 圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定；圆周角定理．
专题： 探究型．
分析： 要证明△ABC与△DCB全等，已知的条件是AB=DC，那么他们所对的弧就相等，那么优弧ADC=优弧BAD，∠ABC=∠BCD，又因为∠A，∠D所对的是同一条弦，那么可得出∠A=∠D，这样就构成了ASA，可以确定其全等．
解答：解：△ABC与△DCB全等．
证明：∵圆周角∠A，∠D所对的是同一条弦，那么∠A=∠D
∵AB=CD，∴劣弧AB=劣弧CD
∴优弧ADC=优弧BAD
∴∠ABC=∠BCD
又∵AB=CD，
∴△ABC与△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA）．
点评： 本题考查了全等三角形的判定．要注意本题中圆周角定理的应用．
四、综合解答题（本题4小题，满分40分，要写出必要的计算、推理、解答过程）
19．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．
考点： 作图-位似变换．
专题： 作图题；压轴题．
分析： （1）连接CC′并延长，连接BB′并延长，两延长线交于点O；
（2）由OB=2OB′，即可得出△ABC与△A′B′C′的位似比为2：1；
（3），连接B′O并延长，使OB″=OB′，延长A′O并延长，使OA″=OA′，C′O并延长，使OC″=OC′，连接A″B″，A″C″，B″C″，则△A″B″C″为所求，从网格中即可得出△A″B″C″各顶点的坐标．
解答： 解：（1）图中点O为所求；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：1；
（3）△A″B″C″为所求；
A″（6，0）；B″（3，﹣2）； C″（4，﹣4）．
点评： 此题考查了作图﹣位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
20．已知：如图，AB是⊙O的弦，∠OAB=45°，C是优弧AB上的一点，BD∥OA，交CA延长线于点D，连接BC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AC=，∠CAB=75°，求⊙O的半径．
考点： 切线的判定与性质；解直角三角形．
专题： 计算题；证明题．
分析： （1）连接OB，如图．根据题意得，∠1=∠OAB=45°．由AO∥DB，得∠2=∠OAB=45°．则∠1+∠2=90°．即BD⊥OB于B．从而得出CD是⊙O的切线．
（2）作OE⊥AC于点E．由OE⊥AC，AC=，求得AE，由∠BAC=75°，∠OAB=45°，得出∠3．在Rt△OAE中，求得OA即可．
解答： （1）证明：连接OB，如图．
∵OA=OB，∠OAB=45°，
∴∠1=∠OAB=45°．
∵AO∥DB，
∴∠2=∠OAB=45°．
∴∠1+∠2=90°．
∴BD⊥OB于B．
∴又点B在⊙O上．
∴BD是⊙O的切线．
（2）解：作OE⊥AC于点E．
∵OE⊥AC，AC=，
∴AE==．
∵∠BAC=75°，∠OAB=45°，
∴∠3=∠BAC﹣∠OAB=30°．
∴在Rt△OAE中，
解法二：如图
延长AO与⊙O交于点F，连接FC．
∴∠ACF=90°．
在Rt△ACF中，．
∴AO==4．
点评： 本以考查了切线的判定和性质，以及解直角三角形，是基础知识要熟练掌握．
21．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从B出发沿BC以2cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为ts，当为何值时，△CPQ与△CBA相似？
考点： 相似三角形的判定．
专题： 动点型．
分析：分CP和CB是对应边，CP和CA是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
解答： 解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以，=，
即=，
解得t=4.8；
CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以，=，
即=，
解得t=．
综上所述，当t=4.8秒或秒时，△CPQ与△CBA相似．
点评： 本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于分情况讨论．
22．如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心O，支架CD与水平面AE垂直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=76厘米，∠CED=60°．
（1）求垂直支架CD的长度；（结果保留根号）
（2）求水箱半径OD的长度．（结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.414，≈1.73）
考点： 解直角三角形的应用．
专题： 几何图形问题．
分析： （1）首先弄清题意，了解每条线段的长度与线段之间的关系，在△CDE中利用三角函数sin60°=，求出CD的长．
（2）首先设出水箱半径OD的长度为x厘米，表示出CO，AO的长度，根据直角三角形的性质得到CO=AO，再代入数计算即可得到答案．
解答： 解：（1）∵DE=76厘米，∠CED=60°，
∴sin60°==，
∴CD=38cm．
（2）设水箱半径OD的长度为x厘米，则CO=（38+x）厘米，AO=（150+x）厘米，
∵∠BAC=30°，
∴CO=AO，
38+x=（150+x），
解得：x=150﹣76=150﹣131.48≈18.5cm．
点评： 此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，做题的关键是表示出线段的长后，理清线段之间的关系．
相关试卷
2017-2018学年山东省菏泽市定陶县八年级（上）期末数学试卷（解析版）： 这是一份2017-2018学年山东省菏泽市定陶县八年级（上）期末数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了精挑细选，火眼金睛，认真填写，试一试自己的身手，认真解答，一定要细心！等内容，欢迎下载使用。
【解析版】菏泽市定陶县2022学年七年级下期末数学试卷： 这是一份【解析版】菏泽市定陶县2022学年七年级下期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
【解析版】2022年菏泽市定陶县八年级下期末数学试卷： 这是一份【解析版】2022年菏泽市定陶县八年级下期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
