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2021-2022学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷 word，解析版
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这是一份2021-2022学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷 word，解析版，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，共24分，请将选择题答案写在填空题上方题号处）
1．我国在党中央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就，科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为125纳米，125纳米＝0.000000125米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的是（ ）
A．1.25×10﹣9米 B．1.25×10﹣8米
C．1.25×10﹣7米 D．1.25×10﹣6米
2．冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．（2a）3＝2a3 D．a10÷a2＝a5
4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．x+2＝x（1+）
5．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小 C．缩小 D．不变
7．如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为（ ）
A．135° B．140° C．144° D．150°
8．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，给出下列结论：
①∠ABC＝45°；②AD∥BE；③∠CAD＝∠BCE；④△CEB≌△ADC；⑤DE＝AD﹣BE；
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（共8小题，共16分）
9．使式子有意义的x取值范围是 ．
10．在平面直角坐标系中，点P（﹣7，9）关于x轴的对称点的坐标为 ．
11．因式分解：ax2﹣2ax+a＝ ．
12．计算：（3a2+2a）÷a＝ ．
13．如图，在平面直角坐标系中，△AOB≌△COD，则点D的坐标是 ．
14．如图，根据正方形ABCD的面积，写出一个正确的等式 ．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为 cm．
16．我们把满足下面条件的△ABC称为“黄金三角形”：
①△ABC是等腰三角形；②在三角形的某条边上存在不与顶点重合的点P，使得P与P所在边的对角顶点连线把△ABC分成两个不全等的等腰三角形．已知△ABC中，AB＝AC，∠A：∠C＝1：2，可证△ABC是“黄金三角形”，此时∠A的度数为 ．
三、解答题（共60分）
17．计算：．
18．计算：（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）．
19．计算：．
20．解方程：．
21．已知：如图，AB和CD相交于点O．AC∥BD，请添加一个条件 ，使得△ACO≌△BDO，然后再加以证明．
22．已知x2+2y2﹣1＝0，求代数式（x﹣y）2+y（2x+y）的值．
23．由于电动车导致的火灾事故频发，北京市集中组织开展电动车领域消防安全专项整治行动，北京市住建委9月20日发布了《关于进一步加强物业管理区域电动自行车充电管理的紧急通知》某小区为了方便居民给电动车充电，计划安装充电桩，如图，计划在小区道路l上建一个电动车充电桩O，使得道路l附近的两栋住宅楼A、B到充电桩O的距离相等．
（1）请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点O的位置；
（2）确定点O位置的依据为 ．
24．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC延长线交于点E，连接AE，如果∠B＝50°，∠BAC＝21°，求∠CAE的度数．
25．列方程解应用题：
京张高铁是一条连接北京市与河北省张家口市的城际铁路．2019年底，京张高铁正式开通，京张高铁是我国“八纵八横”高铁网的重要组成部分，也是2022年北京冬奥会重要的交通保障设施．已知该高铁全长约180千米，按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，全程用时比普通快车少用1个小时，求京张高铁列车的平均行驶速度．
26．阅读理解
教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式x2+4x﹣5的最小值，x2+4x﹣5＝（x2+4x+4）﹣9＝（x+2）2﹣9．可知当x＝﹣2时，x2+4x﹣5有最小值，最小值是﹣9．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣6m+5＝ ．
（2）当a＝ ，b＝ 时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值是 ．
27．如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP＝α（0°＜α＜60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；
（3）直接写出∠AEB的度数；
（4）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明．
28．对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：
若点P满足PA＝PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB＜180°时，称P为线段AB的“近轴点”．
（1）如图1，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），则在P1（﹣1，3），P2（0，2），P3（0，﹣1），P4（0，4）中，线段AB的“轴点”是 ；线段AB的“近轴点”是 ．
（2）如图2，点A的坐标为（3，0），点B在y轴正半轴上，∠OAB＝30°．若P为线段AB的“远轴点”，请直接写出点P的横坐标t的取值范围 ．
2021-2022学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，共24分，请将选择题答案写在填空题上方题号处）
1．我国在党中央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就，科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为125纳米，125纳米＝0.000000125米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的是（ ）
A．1.25×10﹣9米 B．1.25×10﹣8米
C．1.25×10﹣7米 D．1.25×10﹣6米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：125纳米＝0.000000125米＝1.25×10﹣7米，
故选：C．
2．冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．（2a）3＝2a3 D．a10÷a2＝a5
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
B、（a2）3＝a6，故本选项符合题意；
C、（2a）3＝8a3，故本选项不合题意；
D、a10÷a2＝a8，故本选项不合题意；
故选：B．
4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．x+2＝x（1+）
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：C．
5．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．
故选：A．
6．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小 C．缩小 D．不变
【分析】将分式中x、y都扩大2倍得到，再化简即可求解．
【解答】解：∵的x和y都扩大2倍，
∴＝，
∴分式值不变，
故选：D．
7．如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为（ ）
A．135° B．140° C．144° D．150°
【分析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．
【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，
则每个内角的度数＝1260°÷9＝140°．
故选：B．
8．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，给出下列结论：
①∠ABC＝45°；②AD∥BE；③∠CAD＝∠BCE；④△CEB≌△ADC；⑤DE＝AD﹣BE；
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】证明△ABC是等腰直角三角形，则可对①进行判断；根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，可得AD∥BE，则可对②进行判断；根据同角的余角相等可证明∠CAD＝∠BCE，则可对③进行判断；根据“AAS”证明△CEB≌△ADC，则可对④进行判断；根据全等三角形的性质以及线段的和差则可对⑤进行判断．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，所以①正确；
∵BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，
∴AD∥BE，所以②正确；
∵∠BCE+∠DCA＝90°，∠DCA+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，所以③正确；
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），所以④正确；
∴CE＝AD，BE＝CD，
∴AD﹣BE＝CE﹣CD＝DE，所以⑤正确．
故选：D．
二、填空题（共8小题，共16分）
9．使式子有意义的x取值范围是 x≠2 ．
【分析】根据分式的分母不等于零分式有意义，可得答案．
【解答】解：要使式子有意义，得
x﹣2≠0．
解得x≠2，
故答案为：x≠2．
10．在平面直角坐标系中，点P（﹣7，9）关于x轴的对称点的坐标为 （﹣7，﹣9） ．
【分析】关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点P关于x轴的对称点的坐标．
【解答】解：∵点P的坐标为（﹣7，9），
∴点P关于x轴的对称点的坐标为（﹣7，﹣9）．
故答案为：（﹣7，﹣9）．
11．因式分解：ax2﹣2ax+a＝ a（x﹣1）2 ．
【分析】直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式．
【解答】解：ax2﹣2ax+a
＝a（x2﹣2x+1）
＝a（x﹣1）2．
故答案为：a（x﹣1）2．
12．计算：（3a2+2a）÷a＝ 3a+2 ．
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（3a2+2a）÷a
＝3a2÷a+2a÷a
＝3a+2．
故答案为：3a+2．
13．如图，在平面直角坐标系中，△AOB≌△COD，则点D的坐标是 （﹣2，0） ．
【分析】根据全等三角形对应边相等可得OD＝OB，然后写出点D的坐标即可．
【解答】解：∵△AOB≌△COD，
∴OD＝OB，
∴点D的坐标是（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
14．如图，根据正方形ABCD的面积，写出一个正确的等式 （x+a）2＝x2+2xa+a2 ．
【分析】观察图形，其面积可从整体来求表示为（x+a）2，也可从各部分求和表示为x2+2xa+a2，即：（x+a）2＝x2+2xa+a2．
【解答】解：该图形面积从整体来表示为（x+a）2，从各部分求和表示为x2+xa+xa+a2＝x2+2xa+a2，
即：（x+a）2＝x2+2xa+a2．
故答案为：（x+a）2＝x2+2xa+a2．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为 6 cm．
【分析】先利用角平分线的性质得到DC＝DE，则△DEB的周长＝BC+BE，再证明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC＝AE，所以△DEB的周长＝AE+BE＝AB．
【解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
∴△DEB的周长＝DE+BE+BD＝CD+BD+BE＝BC+BE，
在Rt△ACD和Rt△AED中
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∵AC＝BC，
∴AE＝BC，
∴△DEB的周长＝AE+BE＝AB＝6cm．
故答案为6．
16．我们把满足下面条件的△ABC称为“黄金三角形”：
①△ABC是等腰三角形；②在三角形的某条边上存在不与顶点重合的点P，使得P与P所在边的对角顶点连线把△ABC分成两个不全等的等腰三角形．已知△ABC中，AB＝AC，∠A：∠C＝1：2，可证△ABC是“黄金三角形”，此时∠A的度数为 36° ．
【分析】由AB＝AC得到∠B＝∠C，再根据∠A：∠C＝1：2和三角形内角和得到∠A+2∠A+2∠A＝180°，然后可求出∠A的度数．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A：∠C＝1：2，
而∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+2∠A+2∠A＝180°，
∴∠A＝36°；．
故答案为36°．
三、解答题（共60分）
17．计算：．
【分析】按照有理数混合运算的法则进行计算即可，需注意非零有理数的零次幂等于1的法则．
【解答】解：原式＝﹣|﹣3|+（π﹣2）0+2﹣2
＝2﹣3+1+
＝．
18．计算：（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）．
【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝9x2﹣4+x2﹣2x
＝10x2﹣2x﹣4．
19．计算：．
【分析】先算括号里的减法，再算除法，然后进行计算即可．
【解答】解：
＝÷
＝•
＝．
20．解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x﹣1＝1+3（x﹣2），
去括号得：x﹣1＝1+3x﹣6，
移项合并得：﹣2x＝﹣4，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：x﹣2＝0，
∴x＝2是增根，分式方程无解．
21．已知：如图，AB和CD相交于点O．AC∥BD，请添加一个条件 OA＝OB（答案不唯一） ，使得△ACO≌△BDO，然后再加以证明．
【分析】由AC∥BD，可得∠A＝∠B，∠C＝∠D．若已知两组角对应相等，则只能找一组边对应相等，根据全等三角形的判定定理即可得出结论．
【解答】解：∵AC∥BD，
∴∠A＝∠B，∠C＝∠D．
若添加条件是：OA＝OB，
在△ACO与△BDO中，
，
∴△ACO≌△BDO（AAS）．
若添加条件是：OC＝OD，
在△ACO与△BDO中，
，
∴△ACO≌△BDO（AAS）．
若添加条件是：AC＝BD，
在△ACO与△BDO中，
，
∴△ACO≌△BDO（ASA）．
故答案为：OA＝OB（答案不唯一）．
22．已知x2+2y2﹣1＝0，求代数式（x﹣y）2+y（2x+y）的值．
【分析】原式利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则先计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值．
【解答】解：原式＝x2﹣2xy+y2+2xy+y2
＝x2+2y2，
∵x2+2y2﹣1＝0，
∴x2+2y2＝1，
∴原式的值为1．
23．由于电动车导致的火灾事故频发，北京市集中组织开展电动车领域消防安全专项整治行动，北京市住建委9月20日发布了《关于进一步加强物业管理区域电动自行车充电管理的紧急通知》某小区为了方便居民给电动车充电，计划安装充电桩，如图，计划在小区道路l上建一个电动车充电桩O，使得道路l附近的两栋住宅楼A、B到充电桩O的距离相等．
（1）请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点O的位置；
（2）确定点O位置的依据为 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等 ．
【分析】（1）连接AB，作线段AB的垂直平分线MN，MN交直线l于点O，点O即为所求．
（2）利用线段的垂直平分线的性质解决问题．
【解答】解：（1）如图，点O即为所求；
（2）确定点O的位置的理由是：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等．
故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等．
24．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC延长线交于点E，连接AE，如果∠B＝50°，∠BAC＝21°，求∠CAE的度数．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EC，得到∠EAC＝∠ECA，根据三角形的外角性质解答．
【解答】解：∵AC的垂直平分线交AC于点D，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠B＝50°，∠BAC＝21°，
∴∠ECA＝∠B+∠BAC＝71°，
∴∠CAE＝71°．
25．列方程解应用题：
京张高铁是一条连接北京市与河北省张家口市的城际铁路．2019年底，京张高铁正式开通，京张高铁是我国“八纵八横”高铁网的重要组成部分，也是2022年北京冬奥会重要的交通保障设施．已知该高铁全长约180千米，按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，全程用时比普通快车少用1个小时，求京张高铁列车的平均行驶速度．
【分析】设普通快车的平均行驶速度为x千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为3x千米/时，根据“普通快车行驶时间＝高铁列车行驶时间+1小时”列出方程并解答．
【解答】解：设普通快车的平均行驶速度为x千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为3x千米/时，
由题意，得 ．
解得 x＝120．
经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意．
∴3x＝360．
答：高铁列车的平均行驶速度为360千米/时．
26．阅读理解
教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式x2+4x﹣5的最小值，x2+4x﹣5＝（x2+4x+4）﹣9＝（x+2）2﹣9．可知当x＝﹣2时，x2+4x﹣5有最小值，最小值是﹣9．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣6m+5＝ （m﹣1）（m﹣5） ．
（2）当a＝ 2 ，b＝ ﹣3 时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值是 5 ．
【分析】（1）仿照阅读材料中的方法分解即可；
（2）多项式变形后配方，利用非负数的性质求出最小值，以及此时a与b的值即可．
【解答】解：（1）m2﹣6m+5
＝m2﹣6m+9﹣4
＝（m﹣3）2﹣22
＝（m﹣3+2）（m﹣3﹣2）
＝（m﹣1）（m﹣5）；
故答案为：（m﹣1）（m﹣5）；
（2）a2+b2﹣4a+6b+18
＝（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）+5
＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，
∵（a﹣2）2≥0，（b+3）2≥0，
∴当a﹣2＝0，b+3＝0，即a＝2，b＝﹣3时，多项式有最小值，最小值为5．
故答案为：2，﹣3，5．
27．如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP＝α（0°＜α＜60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；
（3）直接写出∠AEB的度数；
（4）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）连接CD．根据线段AC和DC关于射线CP的对称，可得AC＝DC，∠ACE＝∠DCE＝α．根据△ABC是等边三角形，即可表示∠DBC的大小；
（3）在BE上取点F，使∠FCE＝60°，连接CD，设AD与CP交于点H，根据已知条件证明△CBF≌△CAE（ASA），可得CF＝CE，得△CEF是等边三角形，进而可得∠AEB的度数；
（4）根据△CBF≌△CAE，可得BF＝AE＝DE，根据△CEF是等边三角形，进而可得线段AE，BD，CE之间的数量关系．
【解答】解：（1）依题意补全图形如下：
（2）连接CD．
∵线段AC和DC关于射线CP的对称，
∴AC＝DC，∠ACE＝∠DCE＝α．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°．
∴BC＝DC，∠BCD＝60°+2α．
∴．
（3）∠AEB＝60°．理由如下：
如图，在BE上取点F，使∠FCE＝60°，连接CD，设AD与CP交于点H，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°．
∴∠ACB﹣∠ACF＝∠FCE﹣∠ACF，
∴∠BCF＝∠ACE，
∵点A和点D关于射线CP的对称，
∴PC是AD的垂直平分线，
∴AC＝DC，AE＝DE，∠ACE＝∠DCE＝α．
∴∠CAD＝∠CDA，∠EAD＝∠EDA，
∴∠CAE＝∠CDE，
∵BC＝AC＝DC，
∴∠CBF＝∠CDE，
∴∠CBF＝∠CAE，
在△CBF和△CAE中，
，
∴△CBF≌△CAE（ASA），
∴CF＝CE，
∵∠FCE＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CEF＝60°，
∴∠AEH＝∠DEH＝∠CEF＝60°，
∴∠AEB＝180°﹣∠AEH﹣∠CEF＝180°﹣60°﹣60°＝60°；
（4）结论：BD＝2AE+CE．理由如下：
由（1）知，AE＝DE，
∵△CBF≌△CAE，
∴BF＝AE，
∴BF＝AE＝DE，
∵△CEF是等边三角形，
∴CE＝EF，
∴BD＝BF+FE+ED＝CE+2AE．
28．对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：
若点P满足PA＝PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB＜180°时，称P为线段AB的“近轴点”．
（1）如图1，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），则在P1（﹣1，3），P2（0，2），P3（0，﹣1），P4（0，4）中，线段AB的“轴点”是 P2，P4 ；线段AB的“近轴点”是 P2 ．
（2）如图2，点A的坐标为（3，0），点B在y轴正半轴上，∠OAB＝30°．若P为线段AB的“远轴点”，请直接写出点P的横坐标t的取值范围 t＜0或t＞2 ．
【分析】（1）由题意可知A、B关于y轴对称，则线段的“轴点”在y轴上；
（2）分两种情况：①当P点在线段AB上方时，②当P点在线段AB下方时，分别求△PAB为等边三角形时t的值，即可确定t的取值范围．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），B（2，0），
∴A、B关于y轴对称，
∵PA＝PB，
∴P点在y轴上，
∴线段AB的“轴点”是P2，P4，
当P2（0，2）时，AP＝OP＝2，
∴∠APO＝45°，
∴∠APB＝90°，
∴P2是线段AB的“近轴点”，
故答案为：P2，P4；P2；
（2）如图1，∵∠BAO＝30°，
∴∠ABO＝60°，
∵AP＝BP，
∵A（3，0），
∴OB＝，
当P点在y轴上时，P（0，﹣），
∴当t＜0时，P为线段AB的“远轴点”；
如图2，当AP⊥x轴时，
∵∠BAO＝30°，
∴∠PAB＝60°，
∵PA＝PB，
∴∠APB＝60°，
∴此时P点是线段AB的“远轴点”，
∵A（3，0），
∴OA＝3，
∴AB＝2，
∴AP＝2，
∴t＞2时P为线段AB的“远轴点”；
综上所述：t＜0或t＞2时P为线段AB的“远轴点”，
故答案为：t＜0或t＞2．
2021-2022学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，共24分，请将选择题答案写在填空题上方题号处）
1．我国在党中央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就，科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为125纳米，125纳米＝0.000000125米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的是（ ）
A．1.25×10﹣9米 B．1.25×10﹣8米
C．1.25×10﹣7米 D．1.25×10﹣6米
2．冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．（2a）3＝2a3 D．a10÷a2＝a5
4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．x+2＝x（1+）
5．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小 C．缩小 D．不变
7．如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为（ ）
A．135° B．140° C．144° D．150°
8．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，给出下列结论：
①∠ABC＝45°；②AD∥BE；③∠CAD＝∠BCE；④△CEB≌△ADC；⑤DE＝AD﹣BE；
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（共8小题，共16分）
9．使式子有意义的x取值范围是 ．
10．在平面直角坐标系中，点P（﹣7，9）关于x轴的对称点的坐标为 ．
11．因式分解：ax2﹣2ax+a＝ ．
12．计算：（3a2+2a）÷a＝ ．
13．如图，在平面直角坐标系中，△AOB≌△COD，则点D的坐标是 ．
14．如图，根据正方形ABCD的面积，写出一个正确的等式 ．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为 cm．
16．我们把满足下面条件的△ABC称为“黄金三角形”：
①△ABC是等腰三角形；②在三角形的某条边上存在不与顶点重合的点P，使得P与P所在边的对角顶点连线把△ABC分成两个不全等的等腰三角形．已知△ABC中，AB＝AC，∠A：∠C＝1：2，可证△ABC是“黄金三角形”，此时∠A的度数为 ．
三、解答题（共60分）
17．计算：．
18．计算：（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）．
19．计算：．
20．解方程：．
21．已知：如图，AB和CD相交于点O．AC∥BD，请添加一个条件 ，使得△ACO≌△BDO，然后再加以证明．
22．已知x2+2y2﹣1＝0，求代数式（x﹣y）2+y（2x+y）的值．
23．由于电动车导致的火灾事故频发，北京市集中组织开展电动车领域消防安全专项整治行动，北京市住建委9月20日发布了《关于进一步加强物业管理区域电动自行车充电管理的紧急通知》某小区为了方便居民给电动车充电，计划安装充电桩，如图，计划在小区道路l上建一个电动车充电桩O，使得道路l附近的两栋住宅楼A、B到充电桩O的距离相等．
（1）请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点O的位置；
（2）确定点O位置的依据为 ．
24．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC延长线交于点E，连接AE，如果∠B＝50°，∠BAC＝21°，求∠CAE的度数．
25．列方程解应用题：
京张高铁是一条连接北京市与河北省张家口市的城际铁路．2019年底，京张高铁正式开通，京张高铁是我国“八纵八横”高铁网的重要组成部分，也是2022年北京冬奥会重要的交通保障设施．已知该高铁全长约180千米，按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，全程用时比普通快车少用1个小时，求京张高铁列车的平均行驶速度．
26．阅读理解
教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式x2+4x﹣5的最小值，x2+4x﹣5＝（x2+4x+4）﹣9＝（x+2）2﹣9．可知当x＝﹣2时，x2+4x﹣5有最小值，最小值是﹣9．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣6m+5＝ ．
（2）当a＝ ，b＝ 时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值是 ．
27．如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP＝α（0°＜α＜60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；
（3）直接写出∠AEB的度数；
（4）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明．
28．对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：
若点P满足PA＝PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB＜180°时，称P为线段AB的“近轴点”．
（1）如图1，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），则在P1（﹣1，3），P2（0，2），P3（0，﹣1），P4（0，4）中，线段AB的“轴点”是 ；线段AB的“近轴点”是 ．
（2）如图2，点A的坐标为（3，0），点B在y轴正半轴上，∠OAB＝30°．若P为线段AB的“远轴点”，请直接写出点P的横坐标t的取值范围 ．
2021-2022学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，共24分，请将选择题答案写在填空题上方题号处）
1．我国在党中央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就，科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为125纳米，125纳米＝0.000000125米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的是（ ）
A．1.25×10﹣9米 B．1.25×10﹣8米
C．1.25×10﹣7米 D．1.25×10﹣6米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：125纳米＝0.000000125米＝1.25×10﹣7米，
故选：C．
2．冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．（2a）3＝2a3 D．a10÷a2＝a5
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
B、（a2）3＝a6，故本选项符合题意；
C、（2a）3＝8a3，故本选项不合题意；
D、a10÷a2＝a8，故本选项不合题意；
故选：B．
4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．x+2＝x（1+）
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：C．
5．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．
故选：A．
6．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小 C．缩小 D．不变
【分析】将分式中x、y都扩大2倍得到，再化简即可求解．
【解答】解：∵的x和y都扩大2倍，
∴＝，
∴分式值不变，
故选：D．
7．如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为（ ）
A．135° B．140° C．144° D．150°
【分析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．
【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，
则每个内角的度数＝1260°÷9＝140°．
故选：B．
8．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，给出下列结论：
①∠ABC＝45°；②AD∥BE；③∠CAD＝∠BCE；④△CEB≌△ADC；⑤DE＝AD﹣BE；
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】证明△ABC是等腰直角三角形，则可对①进行判断；根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，可得AD∥BE，则可对②进行判断；根据同角的余角相等可证明∠CAD＝∠BCE，则可对③进行判断；根据“AAS”证明△CEB≌△ADC，则可对④进行判断；根据全等三角形的性质以及线段的和差则可对⑤进行判断．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，所以①正确；
∵BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，
∴AD∥BE，所以②正确；
∵∠BCE+∠DCA＝90°，∠DCA+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，所以③正确；
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），所以④正确；
∴CE＝AD，BE＝CD，
∴AD﹣BE＝CE﹣CD＝DE，所以⑤正确．
故选：D．
二、填空题（共8小题，共16分）
9．使式子有意义的x取值范围是 x≠2 ．
【分析】根据分式的分母不等于零分式有意义，可得答案．
【解答】解：要使式子有意义，得
x﹣2≠0．
解得x≠2，
故答案为：x≠2．
10．在平面直角坐标系中，点P（﹣7，9）关于x轴的对称点的坐标为 （﹣7，﹣9） ．
【分析】关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点P关于x轴的对称点的坐标．
【解答】解：∵点P的坐标为（﹣7，9），
∴点P关于x轴的对称点的坐标为（﹣7，﹣9）．
故答案为：（﹣7，﹣9）．
11．因式分解：ax2﹣2ax+a＝ a（x﹣1）2 ．
【分析】直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式．
【解答】解：ax2﹣2ax+a
＝a（x2﹣2x+1）
＝a（x﹣1）2．
故答案为：a（x﹣1）2．
12．计算：（3a2+2a）÷a＝ 3a+2 ．
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（3a2+2a）÷a
＝3a2÷a+2a÷a
＝3a+2．
故答案为：3a+2．
13．如图，在平面直角坐标系中，△AOB≌△COD，则点D的坐标是 （﹣2，0） ．
【分析】根据全等三角形对应边相等可得OD＝OB，然后写出点D的坐标即可．
【解答】解：∵△AOB≌△COD，
∴OD＝OB，
∴点D的坐标是（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
14．如图，根据正方形ABCD的面积，写出一个正确的等式 （x+a）2＝x2+2xa+a2 ．
【分析】观察图形，其面积可从整体来求表示为（x+a）2，也可从各部分求和表示为x2+2xa+a2，即：（x+a）2＝x2+2xa+a2．
【解答】解：该图形面积从整体来表示为（x+a）2，从各部分求和表示为x2+xa+xa+a2＝x2+2xa+a2，
即：（x+a）2＝x2+2xa+a2．
故答案为：（x+a）2＝x2+2xa+a2．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为 6 cm．
【分析】先利用角平分线的性质得到DC＝DE，则△DEB的周长＝BC+BE，再证明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC＝AE，所以△DEB的周长＝AE+BE＝AB．
【解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
∴△DEB的周长＝DE+BE+BD＝CD+BD+BE＝BC+BE，
在Rt△ACD和Rt△AED中
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∵AC＝BC，
∴AE＝BC，
∴△DEB的周长＝AE+BE＝AB＝6cm．
故答案为6．
16．我们把满足下面条件的△ABC称为“黄金三角形”：
①△ABC是等腰三角形；②在三角形的某条边上存在不与顶点重合的点P，使得P与P所在边的对角顶点连线把△ABC分成两个不全等的等腰三角形．已知△ABC中，AB＝AC，∠A：∠C＝1：2，可证△ABC是“黄金三角形”，此时∠A的度数为 36° ．
【分析】由AB＝AC得到∠B＝∠C，再根据∠A：∠C＝1：2和三角形内角和得到∠A+2∠A+2∠A＝180°，然后可求出∠A的度数．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A：∠C＝1：2，
而∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+2∠A+2∠A＝180°，
∴∠A＝36°；．
故答案为36°．
三、解答题（共60分）
17．计算：．
【分析】按照有理数混合运算的法则进行计算即可，需注意非零有理数的零次幂等于1的法则．
【解答】解：原式＝﹣|﹣3|+（π﹣2）0+2﹣2
＝2﹣3+1+
＝．
18．计算：（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）．
【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝9x2﹣4+x2﹣2x
＝10x2﹣2x﹣4．
19．计算：．
【分析】先算括号里的减法，再算除法，然后进行计算即可．
【解答】解：
＝÷
＝•
＝．
20．解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x﹣1＝1+3（x﹣2），
去括号得：x﹣1＝1+3x﹣6，
移项合并得：﹣2x＝﹣4，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：x﹣2＝0，
∴x＝2是增根，分式方程无解．
21．已知：如图，AB和CD相交于点O．AC∥BD，请添加一个条件 OA＝OB（答案不唯一） ，使得△ACO≌△BDO，然后再加以证明．
【分析】由AC∥BD，可得∠A＝∠B，∠C＝∠D．若已知两组角对应相等，则只能找一组边对应相等，根据全等三角形的判定定理即可得出结论．
【解答】解：∵AC∥BD，
∴∠A＝∠B，∠C＝∠D．
若添加条件是：OA＝OB，
在△ACO与△BDO中，
，
∴△ACO≌△BDO（AAS）．
若添加条件是：OC＝OD，
在△ACO与△BDO中，
，
∴△ACO≌△BDO（AAS）．
若添加条件是：AC＝BD，
在△ACO与△BDO中，
，
∴△ACO≌△BDO（ASA）．
故答案为：OA＝OB（答案不唯一）．
22．已知x2+2y2﹣1＝0，求代数式（x﹣y）2+y（2x+y）的值．
【分析】原式利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则先计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值．
【解答】解：原式＝x2﹣2xy+y2+2xy+y2
＝x2+2y2，
∵x2+2y2﹣1＝0，
∴x2+2y2＝1，
∴原式的值为1．
23．由于电动车导致的火灾事故频发，北京市集中组织开展电动车领域消防安全专项整治行动，北京市住建委9月20日发布了《关于进一步加强物业管理区域电动自行车充电管理的紧急通知》某小区为了方便居民给电动车充电，计划安装充电桩，如图，计划在小区道路l上建一个电动车充电桩O，使得道路l附近的两栋住宅楼A、B到充电桩O的距离相等．
（1）请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点O的位置；
（2）确定点O位置的依据为 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等 ．
【分析】（1）连接AB，作线段AB的垂直平分线MN，MN交直线l于点O，点O即为所求．
（2）利用线段的垂直平分线的性质解决问题．
【解答】解：（1）如图，点O即为所求；
（2）确定点O的位置的理由是：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等．
故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等．
24．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC延长线交于点E，连接AE，如果∠B＝50°，∠BAC＝21°，求∠CAE的度数．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EC，得到∠EAC＝∠ECA，根据三角形的外角性质解答．
【解答】解：∵AC的垂直平分线交AC于点D，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠B＝50°，∠BAC＝21°，
∴∠ECA＝∠B+∠BAC＝71°，
∴∠CAE＝71°．
25．列方程解应用题：
京张高铁是一条连接北京市与河北省张家口市的城际铁路．2019年底，京张高铁正式开通，京张高铁是我国“八纵八横”高铁网的重要组成部分，也是2022年北京冬奥会重要的交通保障设施．已知该高铁全长约180千米，按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，全程用时比普通快车少用1个小时，求京张高铁列车的平均行驶速度．
【分析】设普通快车的平均行驶速度为x千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为3x千米/时，根据“普通快车行驶时间＝高铁列车行驶时间+1小时”列出方程并解答．
【解答】解：设普通快车的平均行驶速度为x千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为3x千米/时，
由题意，得 ．
解得 x＝120．
经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意．
∴3x＝360．
答：高铁列车的平均行驶速度为360千米/时．
26．阅读理解
教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式x2+4x﹣5的最小值，x2+4x﹣5＝（x2+4x+4）﹣9＝（x+2）2﹣9．可知当x＝﹣2时，x2+4x﹣5有最小值，最小值是﹣9．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣6m+5＝ （m﹣1）（m﹣5） ．
（2）当a＝ 2 ，b＝ ﹣3 时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值是 5 ．
【分析】（1）仿照阅读材料中的方法分解即可；
（2）多项式变形后配方，利用非负数的性质求出最小值，以及此时a与b的值即可．
【解答】解：（1）m2﹣6m+5
＝m2﹣6m+9﹣4
＝（m﹣3）2﹣22
＝（m﹣3+2）（m﹣3﹣2）
＝（m﹣1）（m﹣5）；
故答案为：（m﹣1）（m﹣5）；
（2）a2+b2﹣4a+6b+18
＝（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）+5
＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，
∵（a﹣2）2≥0，（b+3）2≥0，
∴当a﹣2＝0，b+3＝0，即a＝2，b＝﹣3时，多项式有最小值，最小值为5．
故答案为：2，﹣3，5．
27．如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP＝α（0°＜α＜60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；
（3）直接写出∠AEB的度数；
（4）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）连接CD．根据线段AC和DC关于射线CP的对称，可得AC＝DC，∠ACE＝∠DCE＝α．根据△ABC是等边三角形，即可表示∠DBC的大小；
（3）在BE上取点F，使∠FCE＝60°，连接CD，设AD与CP交于点H，根据已知条件证明△CBF≌△CAE（ASA），可得CF＝CE，得△CEF是等边三角形，进而可得∠AEB的度数；
（4）根据△CBF≌△CAE，可得BF＝AE＝DE，根据△CEF是等边三角形，进而可得线段AE，BD，CE之间的数量关系．
【解答】解：（1）依题意补全图形如下：
（2）连接CD．
∵线段AC和DC关于射线CP的对称，
∴AC＝DC，∠ACE＝∠DCE＝α．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°．
∴BC＝DC，∠BCD＝60°+2α．
∴．
（3）∠AEB＝60°．理由如下：
如图，在BE上取点F，使∠FCE＝60°，连接CD，设AD与CP交于点H，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°．
∴∠ACB﹣∠ACF＝∠FCE﹣∠ACF，
∴∠BCF＝∠ACE，
∵点A和点D关于射线CP的对称，
∴PC是AD的垂直平分线，
∴AC＝DC，AE＝DE，∠ACE＝∠DCE＝α．
∴∠CAD＝∠CDA，∠EAD＝∠EDA，
∴∠CAE＝∠CDE，
∵BC＝AC＝DC，
∴∠CBF＝∠CDE，
∴∠CBF＝∠CAE，
在△CBF和△CAE中，
，
∴△CBF≌△CAE（ASA），
∴CF＝CE，
∵∠FCE＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CEF＝60°，
∴∠AEH＝∠DEH＝∠CEF＝60°，
∴∠AEB＝180°﹣∠AEH﹣∠CEF＝180°﹣60°﹣60°＝60°；
（4）结论：BD＝2AE+CE．理由如下：
由（1）知，AE＝DE，
∵△CBF≌△CAE，
∴BF＝AE，
∴BF＝AE＝DE，
∵△CEF是等边三角形，
∴CE＝EF，
∴BD＝BF+FE+ED＝CE+2AE．
28．对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：
若点P满足PA＝PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB＜180°时，称P为线段AB的“近轴点”．
（1）如图1，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），则在P1（﹣1，3），P2（0，2），P3（0，﹣1），P4（0，4）中，线段AB的“轴点”是 P2，P4 ；线段AB的“近轴点”是 P2 ．
（2）如图2，点A的坐标为（3，0），点B在y轴正半轴上，∠OAB＝30°．若P为线段AB的“远轴点”，请直接写出点P的横坐标t的取值范围 t＜0或t＞2 ．
【分析】（1）由题意可知A、B关于y轴对称，则线段的“轴点”在y轴上；
（2）分两种情况：①当P点在线段AB上方时，②当P点在线段AB下方时，分别求△PAB为等边三角形时t的值，即可确定t的取值范围．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），B（2，0），
∴A、B关于y轴对称，
∵PA＝PB，
∴P点在y轴上，
∴线段AB的“轴点”是P2，P4，
当P2（0，2）时，AP＝OP＝2，
∴∠APO＝45°，
∴∠APB＝90°，
∴P2是线段AB的“近轴点”，
故答案为：P2，P4；P2；
（2）如图1，∵∠BAO＝30°，
∴∠ABO＝60°，
∵AP＝BP，
∵A（3，0），
∴OB＝，
当P点在y轴上时，P（0，﹣），
∴当t＜0时，P为线段AB的“远轴点”；
如图2，当AP⊥x轴时，
∵∠BAO＝30°，
∴∠PAB＝60°，
∵PA＝PB，
∴∠APB＝60°，
∴此时P点是线段AB的“远轴点”，
∵A（3，0），
∴OA＝3，
∴AB＝2，
∴AP＝2，
∴t＞2时P为线段AB的“远轴点”；
综上所述：t＜0或t＞2时P为线段AB的“远轴点”，
故答案为：t＜0或t＞2．
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