【解析版】2022年广州市天河区八年级下期末数学试卷

2022学年广东省广州市天河区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，满分30分）

1．（3分）（2015•张家港市模拟）若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）

　 A． x≤﹣ B． x≥﹣ C． x≥ D． x≤

2．（3分）（2015春•天河区期末）某幼儿园对全体小朋友爱吃哪种粽子做调查，以决定最终买哪种口味的粽子．下面的调查数据最值得关注的是（　　）

　 A． 方差 B． 平均数 C． 中位数 D． 众数

3．（3分）（2015春•天河区期末）已知平行四边形ABCD的周长为32，AB=4，则BC的长为（　　）

　 A． 4 B． 12 C． 24 D． 28

4．（3分）（2015春•天河区期末）如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（　　）

　 A． 12 B． 13 C． 144 D． 194

5．（3分）（2014•普陀区二模）在平面直角坐标系中，将正比例函数y=kx（k＞0）的图象向上平移一个单位，那么平移后的图象不经过（　　）

　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

6．（3分）（1999•广州）函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点在（　　）

　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

7．（3分）（2015春•天河区期末）下列各命题的逆命题成立的是（　　）

　 A． 全等三角形的对应角相等

　 B． 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等

　 C． 两直线平行，同位角相等

　 D． 如果两个角都是45°，那么这两个角相等

8．（3分）（2015春•天河区期末）直角三角形的两条直角边长为3和4，则该直角三角形斜边上的高为（　　）

　 A． 5 B． 7 C． D．

9．（3分）（2015春•天河区期末）下列描述一次函数y=﹣2x+5的图象及性质错误的是（　　）

　 A． y随x的增大而减小 B． 直线经过第一、二、四象限

　 C． 当x＞0时y＜5 D． 直线与x轴交点坐标是（0，5）

10．（3分）（2015春•天河区期末）如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（　　）

　 A． 2 B． 2 C． 2 D．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

11．（3分）（2015春•天河区期末）6=　　　　　　．

12．（3分）（2015春•天河区期末）菱形的面积是16，一条对角线长为4，则另一条对角线的长为　　　　　　．

13．（3分）（2015春•天河区期末）一组数据5，﹣2，4，x，3，﹣1，若3是这组数据的众数，则这组数据的平均数是　　　　　　．

14．（3分）（2015春•天河区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOD=60°，AD=3，则BD的长为　　　　　　．

15．（3分）（2013•广州）一次函数y=（m+2）x+1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是　　　　　　．

16．（3分）（2015春•天河区期末）如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中，若点D的坐标为（1，），则点C的坐标为　　　　　　．

三、解答题（本题有9小题，共102分）

17．（14分）（2015春•天河区期末）（1）计算：（2+）2﹣2；

（2）在平面直角坐标系中画出函数y=2x﹣4的图象，并确定当x取何值时y＞0．

18．（14分）（2015春•天河区期末）（1）如图甲，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A．在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，求水管AB的长．

（2）如图乙，在△ABC中，D是BC边上的点．已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求DC的长．

19．（8分）（2015春•天河区期末）市政府决定对市直机关500户家庭的用水情况作一次调查，市政府调查小组随机抽查了其中的100户家庭一年的月平均用水量（单位：吨），并将调查结果制成了如图所示的条形统计图．

（1）请将条形统计图补充完整；

（2）求这100个样本数据的平均数，众数和中位数．

20．（8分）（2015春•天河区期末）如图，E、F分别是菱形ABCD的边AB、AC的中点，且AB=5，AC=6．

（1）求对角线BD的长；

（2）求证：四边形AEOF为菱形．

21．（8分）（2015春•天河区期末）根据表格中一次函数的自变量x与函数y的对应值，求p的值．

x ﹣2 0 1

y 3 p  0

22．（12分）（2015春•天河区期末）如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，AE⊥DE，∠DAE=30°，若DE=m+n，且m、n满足m=++2，试求BE的长．

23．（12分）（2015春•天河区期末）如图，直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、C两点，过点B（6，0），E（0，﹣6）的直线上有一点P，满足∠PCA=135°

（1）求证：四边形ACPB是平行四边形；

（2）求点P的坐标及线段PB的长度．

24．（12分）（2015春•天河区期末）已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，点M、N分别为线段BO和CO中点．求证：四边形EDNM是矩形．

25．（14分）（2015春•天河区期末）已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y=2x+10，与y轴交于点A，与x轴交于点B．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）若点P（a，b）为线段AB上的一个动点，作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，连接EF，问：

①若△PBO的面积为S，求S关于a的函数关系式；

②是否存在点P，使EF的值最小？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．

2022学年广东省广州市天河区八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，满分30分）

1．（3分）（2015•张家港市模拟）若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）

　 A． x≤﹣ B． x≥﹣ C． x≥ D． x≤

考点： 二次根式有意义的条件．

分析： 二次根式的被开方数是非负数．

解答： 解：依题意得，2x﹣1≥0，

解得x≥．

故选：C．

点评： 考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

2．（3分）（2015春•天河区期末）某幼儿园对全体小朋友爱吃哪种粽子做调查，以决定最终买哪种口味的粽子．下面的调查数据最值得关注的是（　　）

　 A． 方差 B． 平均数 C． 中位数 D． 众数

考点： 统计量的选择．

分析： 幼儿园最值得关注的应该是哪种粽子爱吃的人数最多，即众数．

解答： 解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故幼儿园最值得关注的应该是统计调查数据的众数．

故选D．

点评： 此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．

3．（3分）（2015春•天河区期末）已知平行四边形ABCD的周长为32，AB=4，则BC的长为（　　）

　 A． 4 B． 12 C． 24 D． 28

考点： 平行四边形的性质．

分析： 根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，根据2（AB+BC）=32，即可求出答案．

解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，

∵平行四边形ABCD的周长是32，

∴2（AB+BC）=32，

∴BC=12．

故选B．

点评： 本题主要考查对平行四边形的性质的理解和掌握，能利用平行四边形的性质进行计算是解此题的关键．

4．（3分）（2015春•天河区期末）如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（　　）

　 A． 12 B． 13 C． 144 D． 194

考点： 勾股定理．

分析： 结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差．

解答： 解：字母B所代表的正方形的面积=169﹣25=144．

故选C．

点评： 熟记：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．

5．（3分）（2014•普陀区二模）在平面直角坐标系中，将正比例函数y=kx（k＞0）的图象向上平移一个单位，那么平移后的图象不经过（　　）

　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

考点： 一次函数图象与几何变换．

分析： 先由“上加下减”的平移规律求出正比例函数y=kx（k＞0）的图象向上平移一个单位后的解析式，再根据一次函数图象与系数的关系即可求解．

解答： 解：将正比例函数y=kx（k＞0）的图象向上平移一个单位得到y=kx+1（k＞0），

∵k＞0，b=1＞0，

∴图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．

故选D．

点评： 本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，正确得出函数平移后的解析式是解题的关键．

6．（3分）（1999•广州）函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点在（　　）

　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

考点： 两条直线相交或平行问题．

专题： 计算题．

分析： 要想求函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点在第几象限，必须先求交点坐标，再判断．

解答： 解：根据题意得，

解得：，

∵点（﹣，）在第二象限，∴函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点在第二象限，

故选B．

点评： 本题考查了求两个一次函数的交点问题，以及各象限内的点的符号问题．

7．（3分）（2015春•天河区期末）下列各命题的逆命题成立的是（　　）

　 A． 全等三角形的对应角相等

　 B． 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等

　 C． 两直线平行，同位角相等

　 D． 如果两个角都是45°，那么这两个角相等

考点： 命题与定理．

分析： 首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．

解答： 解：A、逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，错误；

B、绝对值相等的两个数相等，错误；

C、同位角相等，两条直线平行，正确；

D、相等的两个角都是45°，错误．

故选C．

点评： 考查点：本题考查逆命题的真假性，是易错题．

易错易混点：本题要求的是逆命题的真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真．

8．（3分）（2015春•天河区期末）直角三角形的两条直角边长为3和4，则该直角三角形斜边上的高为（　　）

　 A． 5 B． 7 C． D．

考点： 勾股定理．

分析： 先根据勾股定理求出斜边长，再设这个直角三角形斜边上的高为h，根据三角的面积公式求出h的值即可．

解答： 解：∵直角三角形两直角边长为3，4，

∴斜边==5，

设这个直角三角形斜边上的高为h，则h==．

故选C．

点评： 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

9．（3分）（2015春•天河区期末）下列描述一次函数y=﹣2x+5的图象及性质错误的是（　　）

　 A． y随x的增大而减小 B． 直线经过第一、二、四象限

　 C． 当x＞0时y＜5 D． 直线与x轴交点坐标是（0，5）

考点： 一次函数的性质；一次函数的图象．

分析： 由k的系数可判断A、B；利用不等式可判断C；令y=0可求得与x轴的交点坐标，可判断D，可得出答案．

解答： 解：∵一次函数y=﹣2x+5中，k=﹣2＜0，

∴y随x的增大而减小，

故A正确；

又∵b=5，

∴与y轴的交点在x轴的上方，

∴直线经过第一、二、四象限，

故B正确；

∵当x=0时，y=5，且y随x的增大而减小，

∴当x＞0时，y＜5，

故C正确；

在y=﹣2x+5中令y=0，可得x=2.5，

∴直线与x轴的交点坐标为（2.5，0），

故D错误；

故选D．

点评： 本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性、与坐标轴的交点坐标是解题的关键，注意与不等式相结合．

10．（3分）（2015春•天河区期末）如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（　　）

　 A． 2 B． 2 C． 2 D．

考点： 正方形的性质．

分析： 连接BP，设点C到BE的距离为h，然后根据S△BCE=S△BCP+S△BEP求出h=PQ+PR，再根据正方形的性质求出h即可．

解答： 解：如图，连接BP，设点C到BE的距离为h，

则S△BCE=S△BCP+S△BEP，

即BE•h=BC•PQ+BE•PR，

∵BE=BC，

∴h=PQ+PR，

∵正方形ABCD的边长为4，

∴h=4×=2．

故答案为：2．

点评： 本题考查了正方形的性质，三角形的面积，熟记性质并作辅助线，利用三角形的面积求出PQ+PR等于点C到BE的距离是解题的关键．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

11．（3分）（2015春•天河区期末）6=　2　．

考点： 二次根式的性质与化简．

分析： 由二次根式的性质化简解答即可．

解答： 解：6=2，

故答案为：2．

点评： 此题考查了二次根式的性质与化简．关键是注意掌握二次根式的性质．

12．（3分）（2015春•天河区期末）菱形的面积是16，一条对角线长为4，则另一条对角线的长为　8　．

考点： 菱形的性质．

分析： 根据菱形的面积=对角线乘积的一半，即可得出另一条对角线的长．

解答： 解：设另一条对角线为x，

由题意得，×x×4=16，

解得：x=8．

故答案为：8．

点评： 本题考查了菱形的性质，属于基础题，注意掌握菱形的面积=对角线乘积的一半．

13．（3分）（2015春•天河区期末）一组数据5，﹣2，4，x，3，﹣1，若3是这组数据的众数，则这组数据的平均数是　2　．

考点： 众数；算术平均数．

分析： 根据众数和平均数的概念求解．

解答： 解：∵这组数据的众数为3，

∴x=3，

则平均数为：=2．

故答案为：2．

点评： 本题考查了众数和平均数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．

14．（3分）（2015春•天河区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOD=60°，AD=3，则BD的长为　6　．

考点： 矩形的性质．

分析： 由矩形的性质得出OA=OD，再证明△AOD是等边三角形，得出OD=AD=3，即可得出BD的长．

解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=AC，OD=BD，AC=BD，

∴OA=OD，

∵∠AOD=60°，

∴△AOD是等边三角形，

∴OD=AD=3，

∴BD=2OD=6；

故答案为：6．

点评： 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．

15．（3分）（2013•广州）一次函数y=（m+2）x+1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是　m＞﹣2　．

考点： 一次函数图象与系数的关系．

分析： 根据图象的增减性来确定（m+2）的取值范围，从而求解．

解答： 解：∵一次函数y=（m+2）x+1，若y随x的增大而增大，

∴m+2＞0，

解得，m＞﹣2．

故答案是：m＞﹣2．

点评： 本题考查了一次函数的图象与系数的关系．

函数值y随x的增大而减小⇔k＜0；

函数值y随x的增大而增大⇔k＞0．

16．（3分）（2015春•天河区期末）如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中，若点D的坐标为（1，），则点C的坐标为　（3，）　．

考点： 菱形的性质；坐标与图形性质．

专题： 计算题．

分析： 先利用两点间的距离公式计算出AD=2，再根据菱形的性质得到CD=AD=2，CD∥AB，然后根据平行于x轴的直线上的坐标特征写出C点坐标．

解答： 解：∵点D的坐标为（1，），

∴AD==2，

∵四边形ABCD为菱形，

∴CD=AD=2，CD∥AB，

∴C点坐标为（3，）．

故答案为（3，）．

点评： 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了坐标与图形性质．

三、解答题（本题有9小题，共102分）

17．（14分）（2015春•天河区期末）（1）计算：（2+）2﹣2；

（2）在平面直角坐标系中画出函数y=2x﹣4的图象，并确定当x取何值时y＞0．

考点： 二次根式的混合运算；一次函数的图象．

专题： 计算题．

分析： （1）先利用完全平方公式展开，然后合并即可；

（2）利用两点确定一直线画函数y=2x﹣4的图象，然后找出图象上x轴上方所对应的自变量的取值范围即可．

解答： 解：（1）原式=4+4+5﹣2

=9+2；

（2）如图，

当x＞2时，y＞0．

点评： 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了一次函数图象．

18．（14分）（2015春•天河区期末）（1）如图甲，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A．在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，求水管AB的长．

（2）如图乙，在△ABC中，D是BC边上的点．已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求DC的长．

考点： 勾股定理的应用．

分析： （1）根据题意得出：∠AOB=90°，再利用勾股定理得出AB的长；

（2）利用勾股定理的逆定理得出∠ADB=∠ADC=90°，再利用勾股定理得出答案．

解答： 解：（1）由题意可得：∠AOB=90°，

在Rt△AOB中，AB===40（m），

答：水管AB的长为40m；

（2）∵AB=13，AD=12，BD=5，

∴AB2=132=169，BD2=52=25，DA2=122=144，

∴AB2=BD2+DA2，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

在Rt△ADC中，又AC=15，

∴CD===9．

点评： 此题主要考查了勾股定理以及其逆定理，得出∠ADB=∠ADC=90°是解题关键．

19．（8分）（2015春•天河区期末）市政府决定对市直机关500户家庭的用水情况作一次调查，市政府调查小组随机抽查了其中的100户家庭一年的月平均用水量（单位：吨），并将调查结果制成了如图所示的条形统计图．

（1）请将条形统计图补充完整；

（2）求这100个样本数据的平均数，众数和中位数．

考点： 频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数；众数．

分析： （1）利用总数100减去其它组的人数即可求得月用水量是11吨的人数，即可补全直方图；

（2）利用加权平均数公式即可求得平均数，然后根据众数和中位数的定义确定众数和中位数．

解答： 解：（1）月用水量是11吨的户数是：100﹣20﹣10﹣20﹣10=40（户）；

；

（2）平均数是：（20×10+40×11+10×12+20×13+10×14）=11.6（吨）；

众数是11吨，中位数是11吨．

点评： 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

20．（8分）（2015春•天河区期末）如图，E、F分别是菱形ABCD的边AB、AC的中点，且AB=5，AC=6．

（1）求对角线BD的长；

（2）求证：四边形AEOF为菱形．

考点： 菱形的判定与性质；勾股定理．

分析： （1）利用菱形的性质结合勾股定理得出OB的长即可得出DB的长；

（2）利用三角形中位线定理进而得出四边形AEOF是平行四边形，再利用菱形的判定方法得出即可．

解答： （1）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥DB，AO=AC，BO=DB，

∵AC=6，

∴AO=3，

∵AB=5，

∴OB==4，

∴DB=8；

（2）证明：∵E，O分别是BA，BD中点，

∴OEAD，

同理可得：AFAD，

∴四边形AEOF是平行四边形，

又∵AB=AD，∴AE=AF，

∴平行四边形AEOF是菱形．

点评： 此题主要考查了勾股定理以及菱形的判定与性质，正确把握菱形的判定方法是解题关键．

21．（8分）（2015春•天河区期末）根据表格中一次函数的自变量x与函数y的对应值，求p的值．

x ﹣2 0 1

y 3 p  0

考点： 待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．

分析： 设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），再把当x=﹣2时，y=3；当x=1时，y=0代入求出k，b的值，进而可得出一次函数的解析式，再把x=0时，y=p代入求出p的值即可．

解答： 解：设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），

∵当x=﹣2时，y=3；当x=1时，y=0，

∴，解得，

∴一次函数的解析式为y=﹣x+1，

当x=0时，p=1．

点评： 本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，熟知用待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解答此题的关键．

22．（12分）（2015春•天河区期末）如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，AE⊥DE，∠DAE=30°，若DE=m+n，且m、n满足m=++2，试求BE的长．

考点： 矩形的性质；二次根式有意义的条件．

分析： 根据二次根式的意义求出m、n，得出DE，再由含30°角的直角三角形的性质得出AD，由矩形的性质得出∠ADC=90°，BC=AD=20，得出∠CDE=30°，求出CE，即可得出BE的长．

解答： 解：∵m、n满足m=++2，

∴，

∴n=8，

∴m=2，

∵DE=m+n，

∴DE=10，

∵AE⊥DE，∠DAE=30°，

∴AD=2DE=20，∠ADE=60°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC=90°，BC=AD=20，

∴∠CDE=30°，

∴CE=DE=5，

∴BE=BC﹣CE=20﹣5=15．

点评： 本题考查了二次根式有意义的条件、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握二次根式有意义的条件、矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

23．（12分）（2015春•天河区期末）如图，直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、C两点，过点B（6，0），E（0，﹣6）的直线上有一点P，满足∠PCA=135°

（1）求证：四边形ACPB是平行四边形；

（2）求点P的坐标及线段PB的长度．

考点： 一次函数综合题．

专题： 综合题．

分析： （1）根据题意确定出A与C的坐标，得到OA=OC，进而确定出三角形AOC为等腰直角三角形，得到∠CAO=45°，由已知角度数，得到一对同旁内角互补，得到AB与CP平行，同理得到AC与BP平行，利用两组对边分别平行的四边形为平行四边形即可得证；

（2）由平行四边形的对边相等得到AB=PC，PB=AC，根据OA+OB求出AB的长，确定出PC的长，确定出P的坐标；在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的长，即为PB的长．

解答： 解：（1）∵直线y=x+3与x轴的交点为A（﹣3，0），与y轴交点为C（0，3），

∴OA=OC，

∵∠AOC=90°，

∴∠CAO=45°，

∵∠PCA=135°，

∴∠CAO+∠PCA=180°，

∴AB∥CP，

同理由E（0，﹣6），B（6，0）得到∠CAO=∠ABE=45°，

∴AC∥BP，

则四边形ACPB为平行四边形；

（2）∵OC=3，OA=3，OB=6，四边形ACPB为平行四边形，

∴PC=AB=9，PB=AC，

∴P（9，3），

根据勾股定理得：AC==3，

则BP=AC=3．

点评： 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，等腰直角三角形的性质，平行线的判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．

24．（12分）（2015春•天河区期末）已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，点M、N分别为线段BO和CO中点．求证：四边形EDNM是矩形．

考点： 矩形的判定；等腰三角形的性质；三角形中位线定理．

专题： 证明题．

分析： 由题意得出ED是△ABC的中位线，得出ED∥BC，ED=BC，由题意得出MN是△OBC的中位线，得出MN∥BC，MN=BC，因此ED∥MN，ED=MN，证明四边形EDNM是平行四边形，再由SAS证明△ABD≌△ACE，得出BD=CE，证出DM=EN，即可得出四边形EDNM是矩形．

解答： 证明：∵E、D分别是AB、AC的中点，

∴AE=AB，AD=AC，ED是△ABC的中位线，

∴ED∥BC，ED=BC，

∵点M、N分别为线段BO和CO中点，

∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位线，

∴MN∥BC，MN=BC，

∴ED∥MN，ED=MN，

∴四边形EDNM是平行四边形，

∴OE=ON，OD=OM，

∵AB=AC，

∴AE=AD，

在△ABD和△ACE中，，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE，

又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，

∴DM=EN，

∴四边形EDNM是矩形．

点评： 本题考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形中位线定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．

25．（14分）（2015春•天河区期末）已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y=2x+10，与y轴交于点A，与x轴交于点B．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）若点P（a，b）为线段AB上的一个动点，作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，连接EF，问：

①若△PBO的面积为S，求S关于a的函数关系式；

②是否存在点P，使EF的值最小？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．

考点： 一次函数综合题．

专题： 综合题．

分析： （1）由直线AB解析式，令x=0与y=0分别求出y与x的值，即可确定出A与B的坐标；

（2）①把P坐标代入直线AB解析式，得到a与b的关系式，三角形POB面积等于OB为底边，P的纵坐标为高，表示出S与a的解析式即可；②存在，理由为：利用三个角为直角的四边形为矩形，得到四边形PFOE为矩形，利用矩形的对角线相等得到EF=PO，由O为定点，P为动点，得到OP垂直于AB时，OP取得最小值，利用面积法求出OP的长，即为EF的最小值．

解答： 解：（1）对于直线AB解析式y=2x+10，

令x=0，得到y=10；令y=0，得到x=﹣5，

则A（0，10），B（﹣5，0）；

（2）连接OP，如图所示，

①∵P（a，b）在线段AB上，

∴b=2a+10，

由0≤2a+10≤10，得到﹣5≤a≤0，

由（1）得：OB=5，

∴S△PBO=OB•（2a+10），

则S=（2a+10）=5a+25（﹣5≤a≤0）；

②存在，理由为：

∵∠PFO=∠FOE=∠OEP=90°，

∴四边形PFOE为矩形，

∴EF=PO，

∵O为定点，P在线段AB上运动，

∴当OP⊥AB时，OP取得最小值，

∵AB•OP=OB•OA，

∴•OP=50，

∴EF=OP=2，

综上，存在点P使得EF的值最小，最小值为2．

点评： 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，矩形的判定与性质，勾股定理，以及三角形面积求法，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．