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专练13（30题）（反比例函数大题）2022中考数学考点必杀500题（江西专用）
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2022中考考点必杀500题
专练13（反比例函数大题）（30道）
1．（2022·江西·寻乌县教育局教学研究室一模）反比例函数（）的图像经过矩形的顶点、，的垂直平分线分别交、于点、；已知点的坐标为，矩形的周长为12．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接、，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)（）；
(2)判断四边形是菱形；见解析
【解析】
【分析】
（1）设，，将A、C两点坐标表示出来代入反比例函数；再结合矩形周长解方程求得m、n的值，进一步求k值即可解答；
（2）利用垂直平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，求得四边形的四条边相等便可证明；
(1)
解：设，，则点A（1，2+n），点C（1+m，2）；
由于、两点均在双曲线（）上，则，
解得：；
由矩形周长等于，进一步得到：，
∴，，故得到：，
∴；
(2)
解：如图连接AQ，PC，
∵直线垂直平分，
∴，，，，
∵AB∥DC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【点睛】
本题考查了反比例函数，矩形的性质，菱形的判定，等腰三角形的性质，掌握矩形顶点坐标的表示方法是解题关键．
2．（2022·江西赣州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线（）与双曲线（）交于A、B两点，已知点A(m，2)，点B(－1，－4)．
(1)求直线和双曲线的解析式；
(2)把直线y1沿x轴负方向平移2个单位后得到直线 y3 ，直线y3与双曲线y2交于D、E两点，当y2＞y3时，求x 的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)或．
【解析】
【分析】
（1）点B带入双曲线解析式解得a，然后带入A点坐标解得m，最后把A、B坐标带入直线解析式，解得k、b的值；
（2）根据平移性质解得平移后的解析式，然后联立方程解得D、E坐标，再根据函数图像性质写出x 的取值范围．
(1)
解：∵点B(－1，－4)在双曲线（）上，
∴a＝(－1)×(－4)＝4．
双曲线的解析式为（ ）
又∵点A(m，2)在双曲线上，
∴，即m＝2，
∴A(2，2)．
∵A(2，2)，B(－1，－4)在直线（）上，
∴
解得
∴直线和双曲线的解析式分别为，
故答案为 ， ．
(2)
解：∵直线y3是直线y1沿x轴负方向平移2个单位得到，
∴y3＝2(x＋2)－2＝2x＋2，
直线y3与双曲线y2交于D、E两点
联立得方程组：
解得： 或
∴点D(1,4)，E(－2，－2)．
由图像可得：当y2＞y3时，求x 的取值范围为或，
故答案为或．
【点睛】
此题考查的知识点：带入法求函数解析式的求解方法、一次函数图像和平移性质、反比例函数图像的性质、解方程组、根据函数图像性质解自变量x的取值范围；理解函数图像变化性质是解答此题的关键．
3．（2022·江西南昌·一模）如图，反比例函数y1＝（x＞0）与直线y2＝ax+b的图象相交于A，B两点，其中点B（3，3），且AB＝2BC．
(1)求反比例函数解析式．
(2)求直线AB解析式．
(3)请根据图象，直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）将B点坐标代入反比例函数解析式，求出k的值即可；
（2）过点A、D分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E．由此即易证，得出．再根据，即得出．结合B点坐标，即可求出A点纵坐标，将A点纵坐标代入反比例函数解析式，即求出A点横坐标．最后结合A、B两点坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（3）根据当时，反比例函数图象在一次函数图象下方，结合图象即可写出x的取值范围．
(1)
将B点坐标代入反比例函数解析式得：，
解得：．
故反比例函数解析式为：；
(2)
如图，过点A、D分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E．
根据作图易证，
∴．
∵，
∴，即．
∵，
∴，
将代入，即得出，
解得：，
即A(1，9)．
将A(1，9)和B(3，3)代入，得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为；
(3)
当时，即反比例函数图象在一次函数图象下方即可，
由图象可知当时反比例函数图象在一次函数图象下方，
∴当时，．
【点睛】
本题考查一次函数和反比例函数的综合，利用待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质．掌握利用待定系数法求函数解析式是解题关键．
4．（2022·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函效y＝2x﹣4的图象与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m，4），过点B作BC⊥y轴于点C．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)求△ABC的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）结合题意，根据一次函数图像的性质，计算得m的值及点B坐标，再根据反比例函数的性质，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，根据直角坐标系、坐标的性质，分别计算得，，通过计算即可得到答案．
(1)
∵一次函效y＝2x﹣4的图象与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m，4），
∴当时，；当时，，即
∴，
∴
∴
∴反比例函数的解析式为：；
(2)
∵BC⊥y轴于点C，
∴
∵
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了直角坐标系、一次函数、反比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、一次函数的性质，从而完成求解．
5．（2022·江西·二模）如图：在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为，直线：与双曲线；交于C，两点．
(1)求双曲线的函数关系式及m的值；
(2)判断点B是否在双曲线上，并说明理由；
【答案】(1)双曲线的函数关系式为，
(2)点在双曲线上，理由见解答
【解析】
【分析】
（1）因为点在双曲线上，所以代入点坐标即可求出双曲线的函数关系式，又因为点在双曲线上，代入即可求出的值；
（2）先求出点的坐标，判断即可得出结论．
(1)
解：将点代入中，得，
反比例函数的解析式为，
将点代入中，得；
(2)
解：因为四边形是菱形，，，
，，
，
由（1）知双曲线的解析式为；
，
点在双曲线上．
【点睛】
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，解题的关键是用表示出点的坐标．
6．（2022·江西·一模）如图，一次函数（）的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，以AB为边，在直线AB的左侧作菱形ABCD，边轴于点E，若点A坐标为，BE＝8，．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求点D的坐标；
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先求解的坐标为 再求解反比例函数的解析式为，再求解的坐标，再列方程组求解一次函数的解析式即可；
（2）先利用勾股定理求解的长度，再利用菱形的性质可得 从而可得答案.
(1)
解： BE＝8，，边轴，
所以反比例函数为：
解得：
所以一次函数的解析式为：
(2)
解：
四边形为菱形，
而边轴，
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解决此类题目的关键是能熟练运用待定系数法求函数解析式及已知函数解析式求出点的坐标．
7．（2022·江西宜春·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若．
（1）求点的坐标及的值；
（2）若，求一次函数的表达式．
【答案】（1）（2，0），m=-5；（2）
【解析】
【分析】
（1）在直线y＝kx＋k中令y＝0可求得A点坐标；连接CO，得=3，根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解；
（2）利用勾股定理求出OB=2，设C(b，2)，代入反比例函数，求出C点坐标，再利用待定系数法，即可求解．
【详解】
解：（1）在中，令y＝0可得，解得x＝2，
∴A点坐标为（2，0）；
连接CO，
∵CB ⊥y轴，
∴CB∥x轴，
∴=3，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴，
∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴，即：m=-5；
（2）∵点A(2，0)，
∴OA=2，
又∵AB=，
∴在中，OB=，
∵CB ⊥y轴，
∴设C(b，2)，
∴，即b=-3，即C(-3，2)，
把C(-3，2)代入，得：，解得：k=，
∴一次函数的解析式为：．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数图象的交点坐标，掌握两函数图象的交点坐标满足两函数解析式是解题的关键，注意反比例函数y＝中k的几何意义的应用．
8．（2022·江西省吉安市第五中学一模）如图，反比例函数的图像与一次函数的图像在第一象限内相交于点．
（1）求的值及一次函数的解析式；
（2）直线与反比例函数和一次函数的图像分别交于点，，求的面积．
【答案】（1）；；（2）3
【解析】
【分析】
（1）由已知先求出n，得出点A的坐标，再把A的坐标代入一次函数y＝kx−3求出k的值即可求出一次函数的解析式；
（2）分别求出点B，C的坐标，利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：（1）∵点A （4，n）在反比例函数的图象上，
∴n＝＝1，
∴A（4，1），
把A（4，1）代入一次函数y＝kx−3，得4k−3＝1，
∴k＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x−3；
（2）将x＝2分别代入和y＝x−3，
得：y1＝2，y2＝−1，
∴点B，C的坐标分别为（2，2），（2，−1），
则BC＝2−（−1）＝3，
△ABC的面积为：×3×2＝3．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．
9．（2022·江西·模拟预测）如图，在直角坐标系中，已知点B(4,0)，等边三角形OAB的顶点A在反比例函数的图象上
(1)求反比例函数的表达式．
(2)把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O′ A′ B′ 当这个函数图象经过△O′ A′ B′ 一边的中点时，求a 的值．
【答案】（1）；（2）的值为1或3；
【解析】
【详解】
（1）如图1，过点A作于点C.
是等边三角形，
，.
，
.
，.
把点（2，）的坐标代入，得.
.
（2）（Ⅰ）如图2，点D是的中点，过点D作轴于点E.
由题意得，.
在中，，，.
.
把代入．得.
.
（Ⅱ）如图3，点F是的中点，过点F作轴于点H.
由题意得，.
在中，.
把代入，得.
.
综上,的值为1或3.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数及分类讨论等知识.掌握待定系数法是解答（1）的关键，分类讨论是解（2）的关键.
10．（2019·黑龙江大庆·中考模拟）如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．
【答案】（1）y=﹣，y=﹣2x+12（2）S△CDE=140；（3）x≥10，或﹣4≤x＜0
【解析】
【分析】
（1）根据三角形相似，可求出点坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；
（2）联立解析式，可求交点坐标；
（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系．
【详解】
（1）由已知，OA=6，OB=12，OD=4
∵CD⊥x轴
∴OB∥CD
∴△ABO∽△ACD
∴
∴
∴CD=20
∴点C坐标为（﹣4，20）
∴n=xy=﹣80
∴反比例函数解析式为：y=
把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得：
解得：
∴一次函数解析式为：y=﹣2x+12
（2）当=﹣2x+12时，解得
x1=10，x2=﹣4
当x=10时，y=﹣8
∴点E坐标为（10，﹣8）
∴S△CDE=S△CDA+S△EDA=
（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数图象
∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x＜0
【点睛】
本题考查了应用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及用函数的观点通过函数图象解不等式．
11．（2021·江西上饶·二模）如图，在Rt△OAC中，点P在AC边上，点Q是OA的中点，反比例函数恰好经过P，Q两点．
(1)若点A坐标为（6，4），则k＝______，点P坐标为______．
(2)若，求反比例函数的解析式．
【答案】(1)P（6，1）；
(2)；
【解析】
【分析】
（1）根据A（6，4），O（0，0），点Q是OA的中点，可知Q（3，2），结合点Q在反比例函数的图象上，可得k=3×2=6，由P点在反比例函数的图象上，且P与点A横坐标相同，可求出点P纵坐标，进而可知P点坐标；
（2）设Ａ点坐标为（2a，2a），根据Q为OA的中点，点O坐标为（0，0），可得Q点坐标为（a，b），结合点在反比例函数的图象上，可知k=ab，由点的横坐标为2a，可得的纵坐标为，故点P为，结合三角形的面积可列等式，进而可求出，则，由此可知反比例函数的解析式．
(1)
解：∵A（6，4），O（0，0），点Q是OA的中点，
∴Q（3，2），
∵Q点在反比例函数的图象上，
∴k=3×2=6，
∵点P在反比例函数的图象上，且P与A点横坐标相同，
∴点P纵坐标为：，
故点P坐标为：（6，1）；
(2)
解：设A点坐标为（2a，2b），
∵Q为OA的中点，O点坐标为（0，0），
∴Q点坐标为（a，b）
∵点Q在反比例函数的图象上，
∴k=ab，
由题意可知AC⊥轴，点P在AC上，
∵P点的横坐标为2a，且P在反比例函数图象上，
∴P的纵坐标为，
∴P，
∵，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
【点睛】
本题考查反比例函数的解析，图象，以及k的几何意义，平面直角坐标系中得三角形面积的求法，平面直角坐标系中的两点之间的距离，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
12．（2021·江西赣州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标是（3，4），BA⊥x轴于点A，点B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，将△OAB向右平移，得到△O'A'B'，O'B'交双曲线于点C （3a，a）．
（1）求k，a的值；
（2）求出△OAB向右平移到的距离；
（3）连接OB，BC，OC，求△OBC的面积．
【答案】（1），；（2）△OAB向右平移4.5个单位长度得到；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据题意可直接进行求解k的值，然后再把点C代入进行求解即可；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，由（1）可得CD=2，进而可得点D为的中点，然后问题可求解；
（3）由（1）及题意易得，然后根据梯形的面积公式进行求解即可．
【详解】
解：（1）∵点B坐标是（3，4），BA⊥x轴于点A，点B在反比例函数y＝的图象上，
∴，
∵O'B'交双曲线于点C （3a，a），
∴，解得：，
∵x＞0，
∴；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，如图所示：
由（1）可得：点，
∴OD=6，CD=2，
由平移的性质可得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴△OAB向右平移4.5个单位长度得到；
（3）如（2）图，
∵，由反比例函数k的几何意义可得，
∴，
由（2）可得：，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查反比例函数k的几何意义及与几何的综合，熟练掌握反比例函数k的几何意义及函数的性质是解题的关键．
13．（2021·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，轴于点，点在反比例函数的图象上，将沿轴向右平移得到，交反比例函于点．
（1）求的值；
（2）求沿轴向右平移的距离，并判断的形状．
【答案】（1）；（2）个单位，是钝角三角形
【解析】
【分析】
（1）先求得反比例函数的解析式，再将点C(3a，a)代入即可求解；
（2）如图，由，求得，即可求得平移的距离，分别求得三边的长，利用勾股定理即可判断．
【详解】
解：（1）∵点B(3，4)在反比例函数(x>0)上，
∴k=3×4=12．
∴反比例函数为．
∵点C(3a，a)也在比例函数上，
∴，得（负值舍去），即．
（2）由（1）得C(6，2)，
如图，过点作轴于点，
∵，，
∴．
∴，即，得．
∴沿轴向右平移的距离为个单位．
∵点B(3，4)，轴于点，
∴在中，，，．
∵点C(6，2)，，，
∴ ，
由B(3，4)，C(6，2)，可得．
∵，，，
∴，
即是钝角三角形．
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何的综合问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
14．（2021·江西·赣州市赣县区教育教学研究室一模）如图，将一张纸板的直角顶点放在处，两直角边，分别与，轴平行()，纸板的另两个定点，恰好是直线与双曲线的交点．
（1）求和的值；
（2）将此纸板向下平移，当双曲线与纸板的斜边所在直线只有一个公共点时，求纸板向下平移的距离．
【答案】（1），；（2）1或9
【解析】
【分析】
（1）根据，分别与，轴平行，设出，的坐标，代入直线和双曲线的解析式，联立方程解出，还需要进行检验；
（2）直线平移后与双曲线只有一个公共点，联立方程，消去得到关于的一元二次方程，只有一个交点，则，解出值即可．
【详解】
解：（1）由，两直角边，分别与，轴平行，可知：
，
，
解得：或，
当时，，
此时可得：满足条件；
当时，，
此时可得：不满足条件，故舍去，
综上：，．
（2）由（1）可知，
的解析式为：，
设平移后斜边所在直线为：，则
∴，
得：，
∵平移后斜边所在直线与双曲线只有一个公共点，
∴ =，
解得：或，
∴直角三角形纸板向下平移的距离为1或9个单位．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，解题的关键是：联立方程组求解及只有一个交点时，根的判别式．
15．（2021·江西南昌·一模）如图，直线y1＝k1x+b与反比例函数的图象交于A、B两点，已知点A（m，4），B（n，2），AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝3．
（1）求m，n的值及反比例函数的解析式．
（2）结合图象，当k1x+b≤时，直接写出自变量x的取值范围．
（3）若P是x轴上的一个动点，当△ABP的周长最小时，求点P的坐标．
【答案】（1）m＝3，n＝6，．（2）0＜x≤3或x≥6．（3）点P（5，0）．
【解析】
【分析】
（1）将点A，点B坐标代入可求k＝4m＝2n，由CD＝n﹣m＝3，即可求解；
（2）根据图形即可求解；
（3）作点B关于x轴的对称点F（6，﹣2），连接AF交x轴于点P，此时PA+PB有最小值，则△ABP的周长最小，求出AF的解析式，即可求解．
【详解】
解：（1）∵点A（m，4），B（n，2）在反比例函数的图象上，
∴k2＝4m＝2n，
即n＝2m．
∵DC＝3，
∴n﹣m＝3，
∴m＝3，n＝6，
∴点A（3，4），点B（6，2），
∴k2＝3×4＝12，
∴反比例函数的解析式为．
（2）当k1x+b≤时，自变量x的取值范围是0＜x≤3或x≥6．
（3）如图，作点B关于x轴的对称点F（6，﹣2），连接AF交x轴于点P，此时△ABP的周长最小．
设直线AF的解析式为y＝kx+a，
把A（3，4），点F（6，﹣2）代入得，
解得，
∴直线AF的解析式为y＝﹣2x+10，
当y＝0时，x＝5，
∴点P的坐标为（5，0）．
【点睛】
本题主要考查一次函数与反比例函数综合，熟练掌握反比例函数基本性质是解题关键．
16．（2021·江西·赣州市赣县区教育教学研究室一模）如图，在平面直角坐标系中， A，B是双曲线上的两点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中画出一条与AB相等的线段；
（2）在图2中画出一个菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用平分线四边形的性质作CD=AB即可；
（2）利用平行四边形一组平行线与两轴的交点来作，再证明菱形即可．
【详解】
解：(1)如图1，连结AO并延长交反比例函数图像交于D,连结BO并延长交反比例函数图像交于C,连结AC、CD、BD，
∵反比例函数为中心对称图形，
∴OA=OD，OC=OB，
∴四边形ABDC为平行四边形，
∴CD=AB，
∴CD即为所求；
（2）线段AB与CD交两坐标轴与M、N、P、Q，则MNPQ为所求
如图2，∵四边形ABDC为平行四边形，
∴AB∥CD，即AN∥DQ，OA=OD，
∴∠NAO=∠QDO，∠ANO=∠DQO，
在△AON和△DOQ中，
，
∴△AON≌△DOQ（AAS），
∴ON=OQ，
在Rt△NMO和Rt△QPO中，
，
∴Rt△NMO≌Rt△QPO（ASA），
∴OM=OP，
∴四边形MNPQ为平行四边形，
∵QP⊥NQ，
∴四边形MNPQ为菱形，
方法二连结AN与DQ，延长AC交两轴与M、Q，延长BD交两轴于P、N，则MNPQ为所求
∵四边形ABDC为平行四边形，
∴AC∥BD，即AQ∥DN，OA=OD，
∴∠DNO=∠AQO，
在△AOQ和△DON中，
，
∴△AON≌△DOQ（AAS），
∴ON=OQ，
在Rt△NPO和Rt△QMO中，
，
∴Rt△NPO≌Rt△QMO（ASA），
∴OP=OM，
∴四边形MNPQ为平行四边形，
∵QP⊥NQ，
∴四边形MNPQ为菱形，
菱形MNPQ即为所求．
【点睛】
本题考查尺规作图，以及证明平行四边形与菱形，反比例函数的性质，三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质，掌握尺规作图，以及证明平行四边形与菱形，反比例函数的性质，三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质是解题关键
17．（2021·江西南昌·二模）如图，直线BC与两坐标轴的正半轴分别交于点B、C（5，0），与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣1，m），D是反比例函数位于第二象限内的图象上一点．
（1）求m的值及直线BC的解析式．
（2）将点D绕原点O顺时针旋转90°后的对应点D′恰好落在直线BC上，求D点的坐标．
【答案】（1）m=6，；（2）或
【解析】
【分析】
（1）先求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）设点落在处，连接、，过点、分别作轴的垂线，垂足为、，易证得，得到，，设点的坐标为，则点的坐标为，，把的坐标代入的解析式，求得的值，即可求得的坐标．
【详解】
解：（1）直线与函数的图象交于点，
，
，
设直线的解析式为，
把，代人得，
解得，
直线的解析式为；
（2）如图，设点落在处，连接、，过点、分别作轴的垂线，垂足为、，
，
，
又，
，
又，，
，
，，
设点的坐标为，则点的坐标为，，
对应点恰好落在直线上，
，
解得或，
当时，；当时，，
点的坐标为或．
【点睛】
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
18．（2021·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，交双曲线于点，且，矩形的面积是，且轴．
（1）求的值；
（2）若与轴正半轴的夹角为，将矩形向下平移，当点落在双曲线上时，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）（，1）
【解析】
【分析】
（1）根据两角对应相等得出△OAM～△ACB，得出，结合已知条件得出，设点A的坐标为（3m，3n），根据矩形的面积是，得出，从而得出k的值
（2）根据已知得出，再根据平移后的点D落在双曲线上，即可得出答案
【详解】
解：（1）过A作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=CB，CD=AB，∠BAD=∠ABC=90°，AB//CD，AD//BC，
∵轴，
∴∠AOM=∠CAB
∵∠OMA=∠ABC=90°，
∴△OAM～△ACB，
∴
∵，
∴，
∴
设点A的坐标为（3m，3n），
∴OM=3m，AM=3n，
∴AB=2m，BC=2n，
∵矩形的面积是，
∴4mn=，
∴，
∵点A在双曲线上，
∴；
（2）∵与轴正半轴的夹角为，
∴，
∴，
∴，
∵点A的坐标为（3m，3n），AB=2m，BC=2n，
∴点D的坐标为（3m，5n），点B的坐标为（5m，3n）
∵矩形向下平移，当点落在双曲线上
∴平移后点D的坐标为（3m，3n），点B的坐标为（5m，n）
∴平移后点D的坐标为（，3n），点B的坐标为（，n）
∴
∴n=1或-1（舍去）
∴点B的坐标为（，1）
【点睛】
本题考查矩形的性质、相似三角形的性质和判定、反比例函数的性质、平移等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，具有一定的难度．
19．（2021·江西·赣州市南康区教学研究室一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，反比例函数的图象交矩形的边，于、两点，连接，．
（1）当点是的中点时，______，点的坐标为______；
（2）设点的横坐标为．
①请用含的代数式表示点的坐标；
②求证：．
【答案】（1）12，；（2）①；②见解析
【解析】
【分析】
（1）由点是的中点，点的坐标为，可求点D（3，4），点D在反比例函数的图象，可求，由BEy轴，可得B、E两点横坐标相同，当x=6时，即可；
（2）①由点的横坐标为，CDOA，点D与点B纵坐标相同，可得点，点D在反比例函数图像上，则，，由BEy轴，可得B、E两点横坐标相同，点E横坐标为6，可求，②由①知：，，可得，又∠DBE=∠CBA，可证△DBE∽△CBA，可得∠BDE=∠BCA即可．
【详解】
解：（1）∵点是的中点，点的坐标为，
∴点D（3，4），
∵点D在反比例函数的图象，
∴，解得，
∵BEy轴，
∴B、E两点横坐标相同，
∴当x=6时，，点E（6，2），
故答案为12，；
（2）①∵点的横坐标为，CDOA，点D与点B纵坐标相同，
∴点，
则，，
∵BEy轴，
∴B、E两点横坐标相同，点E横坐标为6，
∴，
∴点，
②由①知：，，
∴，，
∴，又∠DBE=∠CBA，
∴△DBE∽△CBA，
∴∠BDE=∠BCA
∴．
【点睛】
本题考查矩形性质，平行点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，求函数值，相似三角形判定与性质，掌握矩形性质，平行点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，求函数值，相似三角形判定与性质是解题关键．
20．（2021·江西·模拟预测）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数（其中mk≠0）的图象交于A（﹣4，2），B（2，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）请直接写出当一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
【答案】（1）y，y＝﹣x﹣2；（2）x＜﹣4或0＜x＜2．
【解析】
【分析】
（1）把A点坐标代入反比例函数的解析式中，求出k值，把点B坐标代入反比例函数解析式求出n，再利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据图象观察，当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数值大于反比例函数值．
【详解】
解：（1）∵A（﹣4，2）在y上，
∴m＝﹣8，
∴反比例函数的解析式是y，
∵B（2，n）在y上，
∴n＝﹣4．
∴B（2，﹣4），
一次函数y＝kx+b与反比例函数y（其中mk≠0）的图象交于A（﹣4，2），B（2，﹣4）两点，
∴，解得，
故一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）由一次函数值大于反比例函数值得一次函数图象位于反比例函数图象上方，根据两函数的图象可知：
当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数值大于反比例函数值．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题的知识点，解答本题的关键是用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式．
21．（2021·江西赣州·一模）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于点A(n，2)和点B．
（1）n＝ ，k＝ ；
（2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点C的坐标；
（3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）﹣4，﹣；（2）C(0，2)；（3）m＜﹣2或m＞2
【解析】
【分析】
（1）把A点坐标代入反比例函数解析式求得n，再把求得的A点坐标代入正比例函数解析式求得k；
（2）可设点C（0，b），只要求出b的值就行，求值一般的方法是相似和勾股定理，此题用相似，只需证明△ACD∽△CBE即可；
（3）在x轴上找到点P1，P2，使AP1⊥P1B，AP2⊥BP2，则点P在P1的左边，在P2的右边就符合要求了．
【详解】
解：（1）把A（n，2）代入反比例函数y＝﹣中，得n＝﹣4，
∴ A（﹣4，2），
把A（﹣4，2）代入正比例函数y＝kx（k≠0）中，得k＝﹣，
故答案为：﹣4；﹣；
（2）如图1，过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，
∵ A（﹣4，2），
∴ 根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（4，﹣2），
设C（0，b），则CD＝b﹣2，AD＝4，BE＝4，CE＝b+2，
∵ ∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠CBE＝90°，
∴ ∠ACO＝∠CBE，
∵ ∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴ △ACD∽△CBE，
∴ ，即，
解得，b＝2，或b＝﹣2（舍），
∴ C（0，2）；
（3）如图2，过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，在x轴上原点的两旁取两点P1，P2，使得OP1＝OP2＝OA＝OB，
∴ ，
∴ P1（﹣2，0），P2（2，0），
∵ OP1＝OP2＝OA＝OB，
∴ 四边形AP1BP2为矩形，
∴ AP1⊥P1B，AP2⊥BP2，
∵ 点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，
∴ P点必在P1的左边或P2的右边，
∴ m＜﹣2或m＞2．
【点睛】
本题是正比例函数与反比例函数的综合题，涉及用待定系数法求解析式、利用相似三角形的判定与性质求点的坐标、借助做辅助线构造矩形求满足条件的参数范围，解答关键是认真审题，分析图象，找到相关信息的关联点，进而推理、计算．
22．（2021·江西·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．
【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）（3，0）或（-5，0）
【解析】
【分析】
（1）将点A坐标代入中求得m，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B坐标，再根据A、B两点坐标可得一次函数表达式；
（2）设点P(x，0)，由题意解得PC的长，进而可得点P坐标．
【详解】
（1）将点A（1,2）坐标代入中得：m=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为，
将点B(n，-1)代入中得：
，∴n=﹣2，
∴B(-2，-1)，
将点A（1，2）、B（-2，-1）代入中得：
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）设点P（x，0），
∵直线交轴于点，
∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），
∴PC=∣x+1∣，
∵的面积是，
∴
∴解得：，
∴满足条件的点P坐标为（3，0）或（-5，0）．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，会用待定系数法求函数的解析式，会用坐标表示线段长是解答的关键．
23．（2021·江西省宜春实验中学模拟预测）如图，已知反比例函数的图象与直线相交于点，．
（1）求出直线的表达式；
（2）在轴上有一点使得的面积为18，求出点的坐标．
【答案】（1）；（2）当点在原点右侧时，，当点在原点左侧时，．
【解析】
【分析】
（1）通过点A的坐标确定反比例函数的解析式，再求得B的坐标，利用待定系数法将A，B的坐标代入，即可得到一次函数的解析式；
（2）直线与轴的交点为，过点，作轴的垂线，，垂足分别为，，得到，即，分情况讨论即可解决．
【详解】
解：（1）∵在的图象上，
∴，，
又点在的图象上，，即．
将点，的坐标代入，得，
解得．
∴直线的表达式为．
（2）设直线与轴的交点为，
当时，解得．即．
分别过点，作轴的垂线，，垂足分别为，．
．
又，即，∴．
当点在原点右侧时，，
当点在原点左侧时，．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的性质，解题的关键是掌握数形结合的思想.
24．（2021·江西九江·二模）如图：直线y=x与反比例函数y=（k＞0）的图象在第一象限内交于点A（2，m）．
（1）求m、k的值；
（2）点B在y轴负半轴上，若△AOB的面积为2，求AB所在直线的函数表达式；
（3）将△AOB沿直线AB向上平移，平移后A、O、B的对应点分别为A'、O'、B'，当点O'恰好落在反比例函数y=的图象上时，求点A'的坐标．
【答案】（1）m=2；k=4；（2）y=2x-2；（3）（4，4）
【解析】
【分析】
（1）先求点A的坐标，根据反比例函数图象上点的特征再求k值即可；（2）根据△AOB的面积为2，求得点B的坐标，再利用待定系数法求直AB线的函数表达式即可；（3）将△AOB沿直线AB向上平移，平移后A、O、B的对应点分别为A'、O'、B'，当点O'恰好落在反比例函数y=的图象上时，设点O'坐标为（a，），则点B'的坐标为（a，2a-2），由平移的性质可得OB= O'B'=2，所以-（2a-2）=2，解得a=2（舍负），即可得点O'的坐标为（2，2），已知A（2，2），根据点的坐标的平移规律可得点A'的坐标（2+2,2+2），即点A'的坐标（4,4）.
【详解】
（1）∵直线y=x经过A（2，m），
∴m=2，
∴A（2，2），
∵A在y=的图象上，
∴k=4．
（2）设B（0，n），
由题意：×（﹣n）×2=2，
∴n=﹣2，
∴B（0，﹣2），设直线AB的解析式为y=k′x+b，
则有，
∴，
∴直线AB的解析式为y=2x-2．
（3）当点O'恰好落在反比例函数y=的图象上时，点A'的坐标（4，4）．
【点睛】
本题是反比例函数与几何的综合题，第（1）（2）问比较简单，第（3）问根据平移的性质求得点O'的坐标是解决问题的关键.
25．（2021·江西吉安·一模）如图，直线y＝k1x(x≥0)与双曲线y＝(x＞0)相交于点P(2，4)．已知点A(4，0)，B(0，3)，连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A′PB′.过点A′作A′C∥y轴交双曲线于点C，连接CP.
(1)求k1与k2的值；
(2)求直线PC的解析式；
(3)直接写出线段AB扫过的面积．
【答案】（1）k1＝2，k2＝8；（2）；（3）22
【解析】
【详解】
试题分析：（1）把点P（2，4）代入直线y=k1x，把点P（2，4）代入双曲线y=，可得k1与k2的值；
（2）根据平移的性质，求得C（6，），再运用待定系数法，即可得到直线PC的表达式；
（3）延长A'C交x轴于D，过B'作B'E⊥y轴于E，根据△AOB≌△A'PB'，可得线段AB扫过的面积=平行四边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积，据此可得线段AB扫过的面积．
试题解析：（1）把点P（2，4）代入直线y=k1x，可得4=2k1，
∴k1=2，
把点P（2，4）代入双曲线y=，可得k2=2×4=8；
（2）∵A（4，0），B（0，3），
∴AO=4，BO=3，
如图，延长A'C交x轴于D，
由平移可得，A'P=AO=4，
又∵A'C∥y轴，P（2，4），
∴点C的横坐标为2+4=6，
当x=6时，y==，即C（6，），
设直线PC的解析式为y=kx+b，
把P（2，4），C（6，）代入可得
，解得，
∴直线PC的表达式为y=﹣x+；
（3）如图，延长A'C交x轴于D，
由平移可得，A'P∥AO，
又∵A'C∥y轴，P（2，4），
∴点A'的纵坐标为4，即A'D=4，
如图，过B'作B'E⊥y轴于E，
∵PB'∥y轴，P（2，4），
∴点B'的横坐标为2，即B'E=2，
又∵△AOB≌△A'PB'，
∴线段AB扫过的面积=平行四边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积=BO×B'E+AO×A'D=3×2+4×4=22．
考点：1、反比例函数与一次函数的交点问题；2、待定系数法求一次函数解析式；3、坐标与图形变化﹣平移
26．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测）如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点A、B，交x轴于点C．
（1）求m的取值范围；
（2）若点A的坐标是（2，－4），且＝，求m的值和一次函数的解析式．
【答案】（1）m＞2；（2）6，y＝x－5．
【解析】
【分析】
（1）根据反比例函数的图像位于第四象限即可得到关于m的不等式，解出即可；
（2）将A的坐标（2，－4）代入反比例解析式即可求得m的值，过AD⊥x轴，BE⊥x轴，证得△ECB∽△DCA，根据相似三角形的性质及＝，即可得到AD＝4BE，由A（2，－4），即AD＝4可得BE＝1，再根据反比例函数的解析式即可求得点B的坐标，从而可以求得结果.
【详解】
（1）∵由于反比例函数的图像位于第四象限
∴4－2m＜0，解得m＞2；
（2）将A的坐标代入反比例解析式得：－4＝，解得m＝6
作AD⊥x轴，BE⊥x轴，
∵∠ADC＝∠BEC＝90°，∠ECB＝∠DCA，
∴△ECB∽△DCA，
∵＝，
∴＝＝
∴AD＝4BE，
又∵A（2，－4），即AD＝4，
∴BE＝1．
∵y＝－，
将y＝1代入反比例解析式，－1＝－，即x＝8，
∴B（8，－1）．
将A（2，－4），B（8，－1）代入一次函数解析式，
得，解得：．
∴y＝x－5．
27．（2021·江西·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为(2，0)，tan∠AOB=．
（1）求k的值；
（2）将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE的函数表达式；
（3）若直线AE与x轴交于点M、与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论并说明理由.
【答案】解：（1）k= 6
（2）
（3）AN=ME
【解析】
【分析】
（1）在直角△AOB中利用三角函数求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值.
（2）已知E是DC的中点，则E的纵坐标已知，代入反比例函数的解析式即可求得E的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式.
（3）首先求得M、N的坐标，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，利用勾股定理求得AN和EM的长，即可证得.
【详解】
解：（1）由已知条件得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB=，∴．∴AB=3．
∴A点的坐标为（2，3）．
∴k=xy=6．
（2）∵DC由AB平移得到，点E为DC的中点，∴点E的纵坐标为．
又∵点E在双曲线上，∴点E的坐标为（4，）．
设直线AE的函数表达式为，则
，解得．
∴直线AE的函数表达式为．
（3）结论：AN=ME．理由：
在表达式中，令y=0可得x=6，令x=0可得y=．
∴点M（6，0），N（0，）．
解法一：延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，OF=3，
∴NF=ON－OF=．
∴根据勾股定理可得AN=．
∵CM=6－4=2，EC=，
∴根据勾股定理可得EM=．
∴AN=ME．
解法二：连接OE，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，
∵，
∴，
∵AN和ME边上的高相等，
∴AN=ME．
28．（2022·江西上饶·九年级期末）如图，已知矩形OABC的顶点B（-8，6）在反比例函数的图象上，点A在x轴上，点C在y轴上，点P在反比例函数的图象上，且横坐标为a（a<-8），分别过点P作PE⊥x轴于点E， PF⊥y轴于点F，交AB于点G．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若四边形PEAG为正方形，求点P的坐标；
(3)连接OP交AB于点M，BM：MA=3：2，求四边形PEAM与四边形BMOC的面积比．
【答案】(1)；
(2)P的坐标为（-12，4）；
(3)四边形PEAM与四边形BMOC的面积比=3：8
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法求得即可；
（2）设点P(a，−)，根据题意可知PE＝−，PG=-8-a．由正方形的性质得出−＝−8−a，解得即可；
（3）根据反比例函数的几何意义，易求得四边形PEAM的面积与△BMO的面积相等，由BM：MA=3：2，得出△BMO与△MAO的面积之比为3：2，设△BMO的面积为3x，则△MAO的面积为2x，即可得到，从而求得．
(1)
∵矩形的顶点B（-8，6）在反比例函数的图象上，
∴6=，解得k=-48．
∴反比例函数的解析式为．
(2)
由PE⊥x轴， PF⊥y轴，可知四边形ABCO是矩形．
∵点P的横坐标为a（a<-8）， ∴根据题意可知PE=，PG=-8-a．
∵四边形PEAG为正方形，∴=-8-a，
解得a1=-12， a2=4（舍去），
∴点P的坐标为（-12，4）．
(3)
根据反比例函数的几何意义，可知S△BAO=S△PEO=24，
∴S四边形PEAM=S△BMO．
∵BM：MA=3：2，∴S△BMO：S△MAO=3：2．
设S△BMO=3x，则S△MAO=2x，
∴S四边形PEAM=S△BMO=3x，
∴S△BAO=5x，
∴S四边形BMOC=8x，
∴四边形PEAM与四边形BMOC的面积比=3：8
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图形上点的坐标特征，矩形和正方形的性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
29．（2022·江西·永丰县恩江中学九年级阶段练习）在平面直角坐标原xOy中，已知四边形OABC是菱形，B（-8，4），若反比例函数的图象经过菱形对角线AC，OB的交点F，设直线BC的解析式为．
(1)求反比例数解析式；
(2)求直线BC的解析式；
(3)请结合图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【解析】
【分析】
（1）根据点的坐标，以及菱形的性质可求得的坐标，进而求得反比例函数的解析式；
（2）根据菱形的性质求得边长，进而求得点的坐标，根据待定系数法求解析式即可
（3）联立直线解析式与抛物线解析式求得交点坐标，进而结合函数图象求得不等式的解集即可
(1)
，四边形OABC是菱形，是对角线交点
将代入，解得
(2)
过点作轴于点，
则
将代入得，
解得
(3)
联立
解得
交点的横坐标分别为
不等式的解集即：或
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数结合，反比例函数与几何图形结合，根据图像求不等式的解集，待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键．
30．（2022·江西·九年级阶段练习）如图，直线与反比例函数的图像相交于点，与y轴相交于点，点在x轴的正半轴上，且四边形ABCD是平行四边形．
(1)求k，m的值；
(2)若点D也在反比例函数的图像上，求点C的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）先把B点的坐标代入，得，然后把点A坐标代入，得m的值，即可得的值；
（2）根据点B向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点A，可知点C也是向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点D，即可得答案．
(1)
解：把点代入，得，
∴直线的表达式为．
把点代入，得，
∴，
∴．
(2)
解：由（1）知点B向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点A，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点C向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点D．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了一次函数和反比例函数的综合、平移与图形的坐标的变化，解题的关键是掌握平移与坐标的变化的关系．
2022中考考点必杀500题
专练13（反比例函数大题）（30道）
1．（2022·江西·寻乌县教育局教学研究室一模）反比例函数（）的图像经过矩形的顶点、，的垂直平分线分别交、于点、；已知点的坐标为，矩形的周长为12．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接、，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)（）；
(2)判断四边形是菱形；见解析
【解析】
【分析】
（1）设，，将A、C两点坐标表示出来代入反比例函数；再结合矩形周长解方程求得m、n的值，进一步求k值即可解答；
（2）利用垂直平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，求得四边形的四条边相等便可证明；
(1)
解：设，，则点A（1，2+n），点C（1+m，2）；
由于、两点均在双曲线（）上，则，
解得：；
由矩形周长等于，进一步得到：，
∴，，故得到：，
∴；
(2)
解：如图连接AQ，PC，
∵直线垂直平分，
∴，，，，
∵AB∥DC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【点睛】
本题考查了反比例函数，矩形的性质，菱形的判定，等腰三角形的性质，掌握矩形顶点坐标的表示方法是解题关键．
2．（2022·江西赣州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线（）与双曲线（）交于A、B两点，已知点A(m，2)，点B(－1，－4)．
(1)求直线和双曲线的解析式；
(2)把直线y1沿x轴负方向平移2个单位后得到直线 y3 ，直线y3与双曲线y2交于D、E两点，当y2＞y3时，求x 的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)或．
【解析】
【分析】
（1）点B带入双曲线解析式解得a，然后带入A点坐标解得m，最后把A、B坐标带入直线解析式，解得k、b的值；
（2）根据平移性质解得平移后的解析式，然后联立方程解得D、E坐标，再根据函数图像性质写出x 的取值范围．
(1)
解：∵点B(－1，－4)在双曲线（）上，
∴a＝(－1)×(－4)＝4．
双曲线的解析式为（ ）
又∵点A(m，2)在双曲线上，
∴，即m＝2，
∴A(2，2)．
∵A(2，2)，B(－1，－4)在直线（）上，
∴
解得
∴直线和双曲线的解析式分别为，
故答案为 ， ．
(2)
解：∵直线y3是直线y1沿x轴负方向平移2个单位得到，
∴y3＝2(x＋2)－2＝2x＋2，
直线y3与双曲线y2交于D、E两点
联立得方程组：
解得： 或
∴点D(1,4)，E(－2，－2)．
由图像可得：当y2＞y3时，求x 的取值范围为或，
故答案为或．
【点睛】
此题考查的知识点：带入法求函数解析式的求解方法、一次函数图像和平移性质、反比例函数图像的性质、解方程组、根据函数图像性质解自变量x的取值范围；理解函数图像变化性质是解答此题的关键．
3．（2022·江西南昌·一模）如图，反比例函数y1＝（x＞0）与直线y2＝ax+b的图象相交于A，B两点，其中点B（3，3），且AB＝2BC．
(1)求反比例函数解析式．
(2)求直线AB解析式．
(3)请根据图象，直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）将B点坐标代入反比例函数解析式，求出k的值即可；
（2）过点A、D分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E．由此即易证，得出．再根据，即得出．结合B点坐标，即可求出A点纵坐标，将A点纵坐标代入反比例函数解析式，即求出A点横坐标．最后结合A、B两点坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（3）根据当时，反比例函数图象在一次函数图象下方，结合图象即可写出x的取值范围．
(1)
将B点坐标代入反比例函数解析式得：，
解得：．
故反比例函数解析式为：；
(2)
如图，过点A、D分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E．
根据作图易证，
∴．
∵，
∴，即．
∵，
∴，
将代入，即得出，
解得：，
即A(1，9)．
将A(1，9)和B(3，3)代入，得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为；
(3)
当时，即反比例函数图象在一次函数图象下方即可，
由图象可知当时反比例函数图象在一次函数图象下方，
∴当时，．
【点睛】
本题考查一次函数和反比例函数的综合，利用待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质．掌握利用待定系数法求函数解析式是解题关键．
4．（2022·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函效y＝2x﹣4的图象与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m，4），过点B作BC⊥y轴于点C．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)求△ABC的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）结合题意，根据一次函数图像的性质，计算得m的值及点B坐标，再根据反比例函数的性质，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，根据直角坐标系、坐标的性质，分别计算得，，通过计算即可得到答案．
(1)
∵一次函效y＝2x﹣4的图象与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m，4），
∴当时，；当时，，即
∴，
∴
∴
∴反比例函数的解析式为：；
(2)
∵BC⊥y轴于点C，
∴
∵
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了直角坐标系、一次函数、反比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、一次函数的性质，从而完成求解．
5．（2022·江西·二模）如图：在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为，直线：与双曲线；交于C，两点．
(1)求双曲线的函数关系式及m的值；
(2)判断点B是否在双曲线上，并说明理由；
【答案】(1)双曲线的函数关系式为，
(2)点在双曲线上，理由见解答
【解析】
【分析】
（1）因为点在双曲线上，所以代入点坐标即可求出双曲线的函数关系式，又因为点在双曲线上，代入即可求出的值；
（2）先求出点的坐标，判断即可得出结论．
(1)
解：将点代入中，得，
反比例函数的解析式为，
将点代入中，得；
(2)
解：因为四边形是菱形，，，
，，
，
由（1）知双曲线的解析式为；
，
点在双曲线上．
【点睛】
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，解题的关键是用表示出点的坐标．
6．（2022·江西·一模）如图，一次函数（）的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，以AB为边，在直线AB的左侧作菱形ABCD，边轴于点E，若点A坐标为，BE＝8，．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求点D的坐标；
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先求解的坐标为 再求解反比例函数的解析式为，再求解的坐标，再列方程组求解一次函数的解析式即可；
（2）先利用勾股定理求解的长度，再利用菱形的性质可得 从而可得答案.
(1)
解： BE＝8，，边轴，
所以反比例函数为：
解得：
所以一次函数的解析式为：
(2)
解：
四边形为菱形，
而边轴，
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解决此类题目的关键是能熟练运用待定系数法求函数解析式及已知函数解析式求出点的坐标．
7．（2022·江西宜春·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若．
（1）求点的坐标及的值；
（2）若，求一次函数的表达式．
【答案】（1）（2，0），m=-5；（2）
【解析】
【分析】
（1）在直线y＝kx＋k中令y＝0可求得A点坐标；连接CO，得=3，根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解；
（2）利用勾股定理求出OB=2，设C(b，2)，代入反比例函数，求出C点坐标，再利用待定系数法，即可求解．
【详解】
解：（1）在中，令y＝0可得，解得x＝2，
∴A点坐标为（2，0）；
连接CO，
∵CB ⊥y轴，
∴CB∥x轴，
∴=3，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴，
∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴，即：m=-5；
（2）∵点A(2，0)，
∴OA=2，
又∵AB=，
∴在中，OB=，
∵CB ⊥y轴，
∴设C(b，2)，
∴，即b=-3，即C(-3，2)，
把C(-3，2)代入，得：，解得：k=，
∴一次函数的解析式为：．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数图象的交点坐标，掌握两函数图象的交点坐标满足两函数解析式是解题的关键，注意反比例函数y＝中k的几何意义的应用．
8．（2022·江西省吉安市第五中学一模）如图，反比例函数的图像与一次函数的图像在第一象限内相交于点．
（1）求的值及一次函数的解析式；
（2）直线与反比例函数和一次函数的图像分别交于点，，求的面积．
【答案】（1）；；（2）3
【解析】
【分析】
（1）由已知先求出n，得出点A的坐标，再把A的坐标代入一次函数y＝kx−3求出k的值即可求出一次函数的解析式；
（2）分别求出点B，C的坐标，利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：（1）∵点A （4，n）在反比例函数的图象上，
∴n＝＝1，
∴A（4，1），
把A（4，1）代入一次函数y＝kx−3，得4k−3＝1，
∴k＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x−3；
（2）将x＝2分别代入和y＝x−3，
得：y1＝2，y2＝−1，
∴点B，C的坐标分别为（2，2），（2，−1），
则BC＝2−（−1）＝3，
△ABC的面积为：×3×2＝3．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．
9．（2022·江西·模拟预测）如图，在直角坐标系中，已知点B(4,0)，等边三角形OAB的顶点A在反比例函数的图象上
(1)求反比例函数的表达式．
(2)把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O′ A′ B′ 当这个函数图象经过△O′ A′ B′ 一边的中点时，求a 的值．
【答案】（1）；（2）的值为1或3；
【解析】
【详解】
（1）如图1，过点A作于点C.
是等边三角形，
，.
，
.
，.
把点（2，）的坐标代入，得.
.
（2）（Ⅰ）如图2，点D是的中点，过点D作轴于点E.
由题意得，.
在中，，，.
.
把代入．得.
.
（Ⅱ）如图3，点F是的中点，过点F作轴于点H.
由题意得，.
在中，.
把代入，得.
.
综上,的值为1或3.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数及分类讨论等知识.掌握待定系数法是解答（1）的关键，分类讨论是解（2）的关键.
10．（2019·黑龙江大庆·中考模拟）如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．
【答案】（1）y=﹣，y=﹣2x+12（2）S△CDE=140；（3）x≥10，或﹣4≤x＜0
【解析】
【分析】
（1）根据三角形相似，可求出点坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；
（2）联立解析式，可求交点坐标；
（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系．
【详解】
（1）由已知，OA=6，OB=12，OD=4
∵CD⊥x轴
∴OB∥CD
∴△ABO∽△ACD
∴
∴
∴CD=20
∴点C坐标为（﹣4，20）
∴n=xy=﹣80
∴反比例函数解析式为：y=
把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得：
解得：
∴一次函数解析式为：y=﹣2x+12
（2）当=﹣2x+12时，解得
x1=10，x2=﹣4
当x=10时，y=﹣8
∴点E坐标为（10，﹣8）
∴S△CDE=S△CDA+S△EDA=
（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数图象
∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x＜0
【点睛】
本题考查了应用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及用函数的观点通过函数图象解不等式．
11．（2021·江西上饶·二模）如图，在Rt△OAC中，点P在AC边上，点Q是OA的中点，反比例函数恰好经过P，Q两点．
(1)若点A坐标为（6，4），则k＝______，点P坐标为______．
(2)若，求反比例函数的解析式．
【答案】(1)P（6，1）；
(2)；
【解析】
【分析】
（1）根据A（6，4），O（0，0），点Q是OA的中点，可知Q（3，2），结合点Q在反比例函数的图象上，可得k=3×2=6，由P点在反比例函数的图象上，且P与点A横坐标相同，可求出点P纵坐标，进而可知P点坐标；
（2）设Ａ点坐标为（2a，2a），根据Q为OA的中点，点O坐标为（0，0），可得Q点坐标为（a，b），结合点在反比例函数的图象上，可知k=ab，由点的横坐标为2a，可得的纵坐标为，故点P为，结合三角形的面积可列等式，进而可求出，则，由此可知反比例函数的解析式．
(1)
解：∵A（6，4），O（0，0），点Q是OA的中点，
∴Q（3，2），
∵Q点在反比例函数的图象上，
∴k=3×2=6，
∵点P在反比例函数的图象上，且P与A点横坐标相同，
∴点P纵坐标为：，
故点P坐标为：（6，1）；
(2)
解：设A点坐标为（2a，2b），
∵Q为OA的中点，O点坐标为（0，0），
∴Q点坐标为（a，b）
∵点Q在反比例函数的图象上，
∴k=ab，
由题意可知AC⊥轴，点P在AC上，
∵P点的横坐标为2a，且P在反比例函数图象上，
∴P的纵坐标为，
∴P，
∵，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
【点睛】
本题考查反比例函数的解析，图象，以及k的几何意义，平面直角坐标系中得三角形面积的求法，平面直角坐标系中的两点之间的距离，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
12．（2021·江西赣州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标是（3，4），BA⊥x轴于点A，点B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，将△OAB向右平移，得到△O'A'B'，O'B'交双曲线于点C （3a，a）．
（1）求k，a的值；
（2）求出△OAB向右平移到的距离；
（3）连接OB，BC，OC，求△OBC的面积．
【答案】（1），；（2）△OAB向右平移4.5个单位长度得到；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据题意可直接进行求解k的值，然后再把点C代入进行求解即可；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，由（1）可得CD=2，进而可得点D为的中点，然后问题可求解；
（3）由（1）及题意易得，然后根据梯形的面积公式进行求解即可．
【详解】
解：（1）∵点B坐标是（3，4），BA⊥x轴于点A，点B在反比例函数y＝的图象上，
∴，
∵O'B'交双曲线于点C （3a，a），
∴，解得：，
∵x＞0，
∴；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，如图所示：
由（1）可得：点，
∴OD=6，CD=2，
由平移的性质可得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴△OAB向右平移4.5个单位长度得到；
（3）如（2）图，
∵，由反比例函数k的几何意义可得，
∴，
由（2）可得：，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查反比例函数k的几何意义及与几何的综合，熟练掌握反比例函数k的几何意义及函数的性质是解题的关键．
13．（2021·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，轴于点，点在反比例函数的图象上，将沿轴向右平移得到，交反比例函于点．
（1）求的值；
（2）求沿轴向右平移的距离，并判断的形状．
【答案】（1）；（2）个单位，是钝角三角形
【解析】
【分析】
（1）先求得反比例函数的解析式，再将点C(3a，a)代入即可求解；
（2）如图，由，求得，即可求得平移的距离，分别求得三边的长，利用勾股定理即可判断．
【详解】
解：（1）∵点B(3，4)在反比例函数(x>0)上，
∴k=3×4=12．
∴反比例函数为．
∵点C(3a，a)也在比例函数上，
∴，得（负值舍去），即．
（2）由（1）得C(6，2)，
如图，过点作轴于点，
∵，，
∴．
∴，即，得．
∴沿轴向右平移的距离为个单位．
∵点B(3，4)，轴于点，
∴在中，，，．
∵点C(6，2)，，，
∴ ，
由B(3，4)，C(6，2)，可得．
∵，，，
∴，
即是钝角三角形．
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何的综合问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
14．（2021·江西·赣州市赣县区教育教学研究室一模）如图，将一张纸板的直角顶点放在处，两直角边，分别与，轴平行()，纸板的另两个定点，恰好是直线与双曲线的交点．
（1）求和的值；
（2）将此纸板向下平移，当双曲线与纸板的斜边所在直线只有一个公共点时，求纸板向下平移的距离．
【答案】（1），；（2）1或9
【解析】
【分析】
（1）根据，分别与，轴平行，设出，的坐标，代入直线和双曲线的解析式，联立方程解出，还需要进行检验；
（2）直线平移后与双曲线只有一个公共点，联立方程，消去得到关于的一元二次方程，只有一个交点，则，解出值即可．
【详解】
解：（1）由，两直角边，分别与，轴平行，可知：
，
，
解得：或，
当时，，
此时可得：满足条件；
当时，，
此时可得：不满足条件，故舍去，
综上：，．
（2）由（1）可知，
的解析式为：，
设平移后斜边所在直线为：，则
∴，
得：，
∵平移后斜边所在直线与双曲线只有一个公共点，
∴ =，
解得：或，
∴直角三角形纸板向下平移的距离为1或9个单位．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，解题的关键是：联立方程组求解及只有一个交点时，根的判别式．
15．（2021·江西南昌·一模）如图，直线y1＝k1x+b与反比例函数的图象交于A、B两点，已知点A（m，4），B（n，2），AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝3．
（1）求m，n的值及反比例函数的解析式．
（2）结合图象，当k1x+b≤时，直接写出自变量x的取值范围．
（3）若P是x轴上的一个动点，当△ABP的周长最小时，求点P的坐标．
【答案】（1）m＝3，n＝6，．（2）0＜x≤3或x≥6．（3）点P（5，0）．
【解析】
【分析】
（1）将点A，点B坐标代入可求k＝4m＝2n，由CD＝n﹣m＝3，即可求解；
（2）根据图形即可求解；
（3）作点B关于x轴的对称点F（6，﹣2），连接AF交x轴于点P，此时PA+PB有最小值，则△ABP的周长最小，求出AF的解析式，即可求解．
【详解】
解：（1）∵点A（m，4），B（n，2）在反比例函数的图象上，
∴k2＝4m＝2n，
即n＝2m．
∵DC＝3，
∴n﹣m＝3，
∴m＝3，n＝6，
∴点A（3，4），点B（6，2），
∴k2＝3×4＝12，
∴反比例函数的解析式为．
（2）当k1x+b≤时，自变量x的取值范围是0＜x≤3或x≥6．
（3）如图，作点B关于x轴的对称点F（6，﹣2），连接AF交x轴于点P，此时△ABP的周长最小．
设直线AF的解析式为y＝kx+a，
把A（3，4），点F（6，﹣2）代入得，
解得，
∴直线AF的解析式为y＝﹣2x+10，
当y＝0时，x＝5，
∴点P的坐标为（5，0）．
【点睛】
本题主要考查一次函数与反比例函数综合，熟练掌握反比例函数基本性质是解题关键．
16．（2021·江西·赣州市赣县区教育教学研究室一模）如图，在平面直角坐标系中， A，B是双曲线上的两点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中画出一条与AB相等的线段；
（2）在图2中画出一个菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用平分线四边形的性质作CD=AB即可；
（2）利用平行四边形一组平行线与两轴的交点来作，再证明菱形即可．
【详解】
解：(1)如图1，连结AO并延长交反比例函数图像交于D,连结BO并延长交反比例函数图像交于C,连结AC、CD、BD，
∵反比例函数为中心对称图形，
∴OA=OD，OC=OB，
∴四边形ABDC为平行四边形，
∴CD=AB，
∴CD即为所求；
（2）线段AB与CD交两坐标轴与M、N、P、Q，则MNPQ为所求
如图2，∵四边形ABDC为平行四边形，
∴AB∥CD，即AN∥DQ，OA=OD，
∴∠NAO=∠QDO，∠ANO=∠DQO，
在△AON和△DOQ中，
，
∴△AON≌△DOQ（AAS），
∴ON=OQ，
在Rt△NMO和Rt△QPO中，
，
∴Rt△NMO≌Rt△QPO（ASA），
∴OM=OP，
∴四边形MNPQ为平行四边形，
∵QP⊥NQ，
∴四边形MNPQ为菱形，
方法二连结AN与DQ，延长AC交两轴与M、Q，延长BD交两轴于P、N，则MNPQ为所求
∵四边形ABDC为平行四边形，
∴AC∥BD，即AQ∥DN，OA=OD，
∴∠DNO=∠AQO，
在△AOQ和△DON中，
，
∴△AON≌△DOQ（AAS），
∴ON=OQ，
在Rt△NPO和Rt△QMO中，
，
∴Rt△NPO≌Rt△QMO（ASA），
∴OP=OM，
∴四边形MNPQ为平行四边形，
∵QP⊥NQ，
∴四边形MNPQ为菱形，
菱形MNPQ即为所求．
【点睛】
本题考查尺规作图，以及证明平行四边形与菱形，反比例函数的性质，三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质，掌握尺规作图，以及证明平行四边形与菱形，反比例函数的性质，三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质是解题关键
17．（2021·江西南昌·二模）如图，直线BC与两坐标轴的正半轴分别交于点B、C（5，0），与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣1，m），D是反比例函数位于第二象限内的图象上一点．
（1）求m的值及直线BC的解析式．
（2）将点D绕原点O顺时针旋转90°后的对应点D′恰好落在直线BC上，求D点的坐标．
【答案】（1）m=6，；（2）或
【解析】
【分析】
（1）先求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）设点落在处，连接、，过点、分别作轴的垂线，垂足为、，易证得，得到，，设点的坐标为，则点的坐标为，，把的坐标代入的解析式，求得的值，即可求得的坐标．
【详解】
解：（1）直线与函数的图象交于点，
，
，
设直线的解析式为，
把，代人得，
解得，
直线的解析式为；
（2）如图，设点落在处，连接、，过点、分别作轴的垂线，垂足为、，
，
，
又，
，
又，，
，
，，
设点的坐标为，则点的坐标为，，
对应点恰好落在直线上，
，
解得或，
当时，；当时，，
点的坐标为或．
【点睛】
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
18．（2021·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，交双曲线于点，且，矩形的面积是，且轴．
（1）求的值；
（2）若与轴正半轴的夹角为，将矩形向下平移，当点落在双曲线上时，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）（，1）
【解析】
【分析】
（1）根据两角对应相等得出△OAM～△ACB，得出，结合已知条件得出，设点A的坐标为（3m，3n），根据矩形的面积是，得出，从而得出k的值
（2）根据已知得出，再根据平移后的点D落在双曲线上，即可得出答案
【详解】
解：（1）过A作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=CB，CD=AB，∠BAD=∠ABC=90°，AB//CD，AD//BC，
∵轴，
∴∠AOM=∠CAB
∵∠OMA=∠ABC=90°，
∴△OAM～△ACB，
∴
∵，
∴，
∴
设点A的坐标为（3m，3n），
∴OM=3m，AM=3n，
∴AB=2m，BC=2n，
∵矩形的面积是，
∴4mn=，
∴，
∵点A在双曲线上，
∴；
（2）∵与轴正半轴的夹角为，
∴，
∴，
∴，
∵点A的坐标为（3m，3n），AB=2m，BC=2n，
∴点D的坐标为（3m，5n），点B的坐标为（5m，3n）
∵矩形向下平移，当点落在双曲线上
∴平移后点D的坐标为（3m，3n），点B的坐标为（5m，n）
∴平移后点D的坐标为（，3n），点B的坐标为（，n）
∴
∴n=1或-1（舍去）
∴点B的坐标为（，1）
【点睛】
本题考查矩形的性质、相似三角形的性质和判定、反比例函数的性质、平移等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，具有一定的难度．
19．（2021·江西·赣州市南康区教学研究室一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，反比例函数的图象交矩形的边，于、两点，连接，．
（1）当点是的中点时，______，点的坐标为______；
（2）设点的横坐标为．
①请用含的代数式表示点的坐标；
②求证：．
【答案】（1）12，；（2）①；②见解析
【解析】
【分析】
（1）由点是的中点，点的坐标为，可求点D（3，4），点D在反比例函数的图象，可求，由BEy轴，可得B、E两点横坐标相同，当x=6时，即可；
（2）①由点的横坐标为，CDOA，点D与点B纵坐标相同，可得点，点D在反比例函数图像上，则，，由BEy轴，可得B、E两点横坐标相同，点E横坐标为6，可求，②由①知：，，可得，又∠DBE=∠CBA，可证△DBE∽△CBA，可得∠BDE=∠BCA即可．
【详解】
解：（1）∵点是的中点，点的坐标为，
∴点D（3，4），
∵点D在反比例函数的图象，
∴，解得，
∵BEy轴，
∴B、E两点横坐标相同，
∴当x=6时，，点E（6，2），
故答案为12，；
（2）①∵点的横坐标为，CDOA，点D与点B纵坐标相同，
∴点，
则，，
∵BEy轴，
∴B、E两点横坐标相同，点E横坐标为6，
∴，
∴点，
②由①知：，，
∴，，
∴，又∠DBE=∠CBA，
∴△DBE∽△CBA，
∴∠BDE=∠BCA
∴．
【点睛】
本题考查矩形性质，平行点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，求函数值，相似三角形判定与性质，掌握矩形性质，平行点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，求函数值，相似三角形判定与性质是解题关键．
20．（2021·江西·模拟预测）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数（其中mk≠0）的图象交于A（﹣4，2），B（2，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）请直接写出当一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
【答案】（1）y，y＝﹣x﹣2；（2）x＜﹣4或0＜x＜2．
【解析】
【分析】
（1）把A点坐标代入反比例函数的解析式中，求出k值，把点B坐标代入反比例函数解析式求出n，再利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据图象观察，当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数值大于反比例函数值．
【详解】
解：（1）∵A（﹣4，2）在y上，
∴m＝﹣8，
∴反比例函数的解析式是y，
∵B（2，n）在y上，
∴n＝﹣4．
∴B（2，﹣4），
一次函数y＝kx+b与反比例函数y（其中mk≠0）的图象交于A（﹣4，2），B（2，﹣4）两点，
∴，解得，
故一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）由一次函数值大于反比例函数值得一次函数图象位于反比例函数图象上方，根据两函数的图象可知：
当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数值大于反比例函数值．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题的知识点，解答本题的关键是用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式．
21．（2021·江西赣州·一模）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于点A(n，2)和点B．
（1）n＝ ，k＝ ；
（2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点C的坐标；
（3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）﹣4，﹣；（2）C(0，2)；（3）m＜﹣2或m＞2
【解析】
【分析】
（1）把A点坐标代入反比例函数解析式求得n，再把求得的A点坐标代入正比例函数解析式求得k；
（2）可设点C（0，b），只要求出b的值就行，求值一般的方法是相似和勾股定理，此题用相似，只需证明△ACD∽△CBE即可；
（3）在x轴上找到点P1，P2，使AP1⊥P1B，AP2⊥BP2，则点P在P1的左边，在P2的右边就符合要求了．
【详解】
解：（1）把A（n，2）代入反比例函数y＝﹣中，得n＝﹣4，
∴ A（﹣4，2），
把A（﹣4，2）代入正比例函数y＝kx（k≠0）中，得k＝﹣，
故答案为：﹣4；﹣；
（2）如图1，过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，
∵ A（﹣4，2），
∴ 根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（4，﹣2），
设C（0，b），则CD＝b﹣2，AD＝4，BE＝4，CE＝b+2，
∵ ∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠CBE＝90°，
∴ ∠ACO＝∠CBE，
∵ ∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴ △ACD∽△CBE，
∴ ，即，
解得，b＝2，或b＝﹣2（舍），
∴ C（0，2）；
（3）如图2，过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，在x轴上原点的两旁取两点P1，P2，使得OP1＝OP2＝OA＝OB，
∴ ，
∴ P1（﹣2，0），P2（2，0），
∵ OP1＝OP2＝OA＝OB，
∴ 四边形AP1BP2为矩形，
∴ AP1⊥P1B，AP2⊥BP2，
∵ 点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，
∴ P点必在P1的左边或P2的右边，
∴ m＜﹣2或m＞2．
【点睛】
本题是正比例函数与反比例函数的综合题，涉及用待定系数法求解析式、利用相似三角形的判定与性质求点的坐标、借助做辅助线构造矩形求满足条件的参数范围，解答关键是认真审题，分析图象，找到相关信息的关联点，进而推理、计算．
22．（2021·江西·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．
【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）（3，0）或（-5，0）
【解析】
【分析】
（1）将点A坐标代入中求得m，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B坐标，再根据A、B两点坐标可得一次函数表达式；
（2）设点P(x，0)，由题意解得PC的长，进而可得点P坐标．
【详解】
（1）将点A（1,2）坐标代入中得：m=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为，
将点B(n，-1)代入中得：
，∴n=﹣2，
∴B(-2，-1)，
将点A（1，2）、B（-2，-1）代入中得：
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）设点P（x，0），
∵直线交轴于点，
∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），
∴PC=∣x+1∣，
∵的面积是，
∴
∴解得：，
∴满足条件的点P坐标为（3，0）或（-5，0）．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，会用待定系数法求函数的解析式，会用坐标表示线段长是解答的关键．
23．（2021·江西省宜春实验中学模拟预测）如图，已知反比例函数的图象与直线相交于点，．
（1）求出直线的表达式；
（2）在轴上有一点使得的面积为18，求出点的坐标．
【答案】（1）；（2）当点在原点右侧时，，当点在原点左侧时，．
【解析】
【分析】
（1）通过点A的坐标确定反比例函数的解析式，再求得B的坐标，利用待定系数法将A，B的坐标代入，即可得到一次函数的解析式；
（2）直线与轴的交点为，过点，作轴的垂线，，垂足分别为，，得到，即，分情况讨论即可解决．
【详解】
解：（1）∵在的图象上，
∴，，
又点在的图象上，，即．
将点，的坐标代入，得，
解得．
∴直线的表达式为．
（2）设直线与轴的交点为，
当时，解得．即．
分别过点，作轴的垂线，，垂足分别为，．
．
又，即，∴．
当点在原点右侧时，，
当点在原点左侧时，．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的性质，解题的关键是掌握数形结合的思想.
24．（2021·江西九江·二模）如图：直线y=x与反比例函数y=（k＞0）的图象在第一象限内交于点A（2，m）．
（1）求m、k的值；
（2）点B在y轴负半轴上，若△AOB的面积为2，求AB所在直线的函数表达式；
（3）将△AOB沿直线AB向上平移，平移后A、O、B的对应点分别为A'、O'、B'，当点O'恰好落在反比例函数y=的图象上时，求点A'的坐标．
【答案】（1）m=2；k=4；（2）y=2x-2；（3）（4，4）
【解析】
【分析】
（1）先求点A的坐标，根据反比例函数图象上点的特征再求k值即可；（2）根据△AOB的面积为2，求得点B的坐标，再利用待定系数法求直AB线的函数表达式即可；（3）将△AOB沿直线AB向上平移，平移后A、O、B的对应点分别为A'、O'、B'，当点O'恰好落在反比例函数y=的图象上时，设点O'坐标为（a，），则点B'的坐标为（a，2a-2），由平移的性质可得OB= O'B'=2，所以-（2a-2）=2，解得a=2（舍负），即可得点O'的坐标为（2，2），已知A（2，2），根据点的坐标的平移规律可得点A'的坐标（2+2,2+2），即点A'的坐标（4,4）.
【详解】
（1）∵直线y=x经过A（2，m），
∴m=2，
∴A（2，2），
∵A在y=的图象上，
∴k=4．
（2）设B（0，n），
由题意：×（﹣n）×2=2，
∴n=﹣2，
∴B（0，﹣2），设直线AB的解析式为y=k′x+b，
则有，
∴，
∴直线AB的解析式为y=2x-2．
（3）当点O'恰好落在反比例函数y=的图象上时，点A'的坐标（4，4）．
【点睛】
本题是反比例函数与几何的综合题，第（1）（2）问比较简单，第（3）问根据平移的性质求得点O'的坐标是解决问题的关键.
25．（2021·江西吉安·一模）如图，直线y＝k1x(x≥0)与双曲线y＝(x＞0)相交于点P(2，4)．已知点A(4，0)，B(0，3)，连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A′PB′.过点A′作A′C∥y轴交双曲线于点C，连接CP.
(1)求k1与k2的值；
(2)求直线PC的解析式；
(3)直接写出线段AB扫过的面积．
【答案】（1）k1＝2，k2＝8；（2）；（3）22
【解析】
【详解】
试题分析：（1）把点P（2，4）代入直线y=k1x，把点P（2，4）代入双曲线y=，可得k1与k2的值；
（2）根据平移的性质，求得C（6，），再运用待定系数法，即可得到直线PC的表达式；
（3）延长A'C交x轴于D，过B'作B'E⊥y轴于E，根据△AOB≌△A'PB'，可得线段AB扫过的面积=平行四边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积，据此可得线段AB扫过的面积．
试题解析：（1）把点P（2，4）代入直线y=k1x，可得4=2k1，
∴k1=2，
把点P（2，4）代入双曲线y=，可得k2=2×4=8；
（2）∵A（4，0），B（0，3），
∴AO=4，BO=3，
如图，延长A'C交x轴于D，
由平移可得，A'P=AO=4，
又∵A'C∥y轴，P（2，4），
∴点C的横坐标为2+4=6，
当x=6时，y==，即C（6，），
设直线PC的解析式为y=kx+b，
把P（2，4），C（6，）代入可得
，解得，
∴直线PC的表达式为y=﹣x+；
（3）如图，延长A'C交x轴于D，
由平移可得，A'P∥AO，
又∵A'C∥y轴，P（2，4），
∴点A'的纵坐标为4，即A'D=4，
如图，过B'作B'E⊥y轴于E，
∵PB'∥y轴，P（2，4），
∴点B'的横坐标为2，即B'E=2，
又∵△AOB≌△A'PB'，
∴线段AB扫过的面积=平行四边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积=BO×B'E+AO×A'D=3×2+4×4=22．
考点：1、反比例函数与一次函数的交点问题；2、待定系数法求一次函数解析式；3、坐标与图形变化﹣平移
26．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测）如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点A、B，交x轴于点C．
（1）求m的取值范围；
（2）若点A的坐标是（2，－4），且＝，求m的值和一次函数的解析式．
【答案】（1）m＞2；（2）6，y＝x－5．
【解析】
【分析】
（1）根据反比例函数的图像位于第四象限即可得到关于m的不等式，解出即可；
（2）将A的坐标（2，－4）代入反比例解析式即可求得m的值，过AD⊥x轴，BE⊥x轴，证得△ECB∽△DCA，根据相似三角形的性质及＝，即可得到AD＝4BE，由A（2，－4），即AD＝4可得BE＝1，再根据反比例函数的解析式即可求得点B的坐标，从而可以求得结果.
【详解】
（1）∵由于反比例函数的图像位于第四象限
∴4－2m＜0，解得m＞2；
（2）将A的坐标代入反比例解析式得：－4＝，解得m＝6
作AD⊥x轴，BE⊥x轴，
∵∠ADC＝∠BEC＝90°，∠ECB＝∠DCA，
∴△ECB∽△DCA，
∵＝，
∴＝＝
∴AD＝4BE，
又∵A（2，－4），即AD＝4，
∴BE＝1．
∵y＝－，
将y＝1代入反比例解析式，－1＝－，即x＝8，
∴B（8，－1）．
将A（2，－4），B（8，－1）代入一次函数解析式，
得，解得：．
∴y＝x－5．
27．（2021·江西·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为(2，0)，tan∠AOB=．
（1）求k的值；
（2）将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE的函数表达式；
（3）若直线AE与x轴交于点M、与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论并说明理由.
【答案】解：（1）k= 6
（2）
（3）AN=ME
【解析】
【分析】
（1）在直角△AOB中利用三角函数求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值.
（2）已知E是DC的中点，则E的纵坐标已知，代入反比例函数的解析式即可求得E的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式.
（3）首先求得M、N的坐标，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，利用勾股定理求得AN和EM的长，即可证得.
【详解】
解：（1）由已知条件得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB=，∴．∴AB=3．
∴A点的坐标为（2，3）．
∴k=xy=6．
（2）∵DC由AB平移得到，点E为DC的中点，∴点E的纵坐标为．
又∵点E在双曲线上，∴点E的坐标为（4，）．
设直线AE的函数表达式为，则
，解得．
∴直线AE的函数表达式为．
（3）结论：AN=ME．理由：
在表达式中，令y=0可得x=6，令x=0可得y=．
∴点M（6，0），N（0，）．
解法一：延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，OF=3，
∴NF=ON－OF=．
∴根据勾股定理可得AN=．
∵CM=6－4=2，EC=，
∴根据勾股定理可得EM=．
∴AN=ME．
解法二：连接OE，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，
∵，
∴，
∵AN和ME边上的高相等，
∴AN=ME．
28．（2022·江西上饶·九年级期末）如图，已知矩形OABC的顶点B（-8，6）在反比例函数的图象上，点A在x轴上，点C在y轴上，点P在反比例函数的图象上，且横坐标为a（a<-8），分别过点P作PE⊥x轴于点E， PF⊥y轴于点F，交AB于点G．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若四边形PEAG为正方形，求点P的坐标；
(3)连接OP交AB于点M，BM：MA=3：2，求四边形PEAM与四边形BMOC的面积比．
【答案】(1)；
(2)P的坐标为（-12，4）；
(3)四边形PEAM与四边形BMOC的面积比=3：8
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法求得即可；
（2）设点P(a，−)，根据题意可知PE＝−，PG=-8-a．由正方形的性质得出−＝−8−a，解得即可；
（3）根据反比例函数的几何意义，易求得四边形PEAM的面积与△BMO的面积相等，由BM：MA=3：2，得出△BMO与△MAO的面积之比为3：2，设△BMO的面积为3x，则△MAO的面积为2x，即可得到，从而求得．
(1)
∵矩形的顶点B（-8，6）在反比例函数的图象上，
∴6=，解得k=-48．
∴反比例函数的解析式为．
(2)
由PE⊥x轴， PF⊥y轴，可知四边形ABCO是矩形．
∵点P的横坐标为a（a<-8）， ∴根据题意可知PE=，PG=-8-a．
∵四边形PEAG为正方形，∴=-8-a，
解得a1=-12， a2=4（舍去），
∴点P的坐标为（-12，4）．
(3)
根据反比例函数的几何意义，可知S△BAO=S△PEO=24，
∴S四边形PEAM=S△BMO．
∵BM：MA=3：2，∴S△BMO：S△MAO=3：2．
设S△BMO=3x，则S△MAO=2x，
∴S四边形PEAM=S△BMO=3x，
∴S△BAO=5x，
∴S四边形BMOC=8x，
∴四边形PEAM与四边形BMOC的面积比=3：8
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图形上点的坐标特征，矩形和正方形的性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
29．（2022·江西·永丰县恩江中学九年级阶段练习）在平面直角坐标原xOy中，已知四边形OABC是菱形，B（-8，4），若反比例函数的图象经过菱形对角线AC，OB的交点F，设直线BC的解析式为．
(1)求反比例数解析式；
(2)求直线BC的解析式；
(3)请结合图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【解析】
【分析】
（1）根据点的坐标，以及菱形的性质可求得的坐标，进而求得反比例函数的解析式；
（2）根据菱形的性质求得边长，进而求得点的坐标，根据待定系数法求解析式即可
（3）联立直线解析式与抛物线解析式求得交点坐标，进而结合函数图象求得不等式的解集即可
(1)
，四边形OABC是菱形，是对角线交点
将代入，解得
(2)
过点作轴于点，
则
将代入得，
解得
(3)
联立
解得
交点的横坐标分别为
不等式的解集即：或
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数结合，反比例函数与几何图形结合，根据图像求不等式的解集，待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键．
30．（2022·江西·九年级阶段练习）如图，直线与反比例函数的图像相交于点，与y轴相交于点，点在x轴的正半轴上，且四边形ABCD是平行四边形．
(1)求k，m的值；
(2)若点D也在反比例函数的图像上，求点C的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）先把B点的坐标代入，得，然后把点A坐标代入，得m的值，即可得的值；
（2）根据点B向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点A，可知点C也是向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点D，即可得答案．
(1)
解：把点代入，得，
∴直线的表达式为．
把点代入，得，
∴，
∴．
(2)
解：由（1）知点B向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点A，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点C向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点D．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了一次函数和反比例函数的综合、平移与图形的坐标的变化，解题的关键是掌握平移与坐标的变化的关系．
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