2022新高考数学热点·重点·难点专练 热点06 平面向量、复数

从新高考的考查情况来看，平面向量主要命题方向：向量的线性运算、向量的数量积运算，利用向量数量积解决模长、夹角问题，平行或垂直问题、平面向量基本定理及应用，有时也会与三角函数、平面解析几何进行交汇命题共线向量定理，主要以选择题和填空题的形式呈现，难度不大．考查考生的直观想象、数学运算核心素养和方程思想、数形结合思想的运用．复数及其运算也是新高考的一个必考点，内容比较简单，主要考查复数的有关概念和复数的四则运算。

1．平面向量的线性运算技巧

(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．

(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．

求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．

2、数量积和模的计算问题，求解思路：①直接利用数量积的定义；②建立坐标系，通过坐标运算求解．

在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．

3、向量与平面几何综合问题的解法

1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．

2）基底法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来求解．

4、复数一般考查共轭复数以及复平面的意义比较多，中间夹杂着复数之间的运算法则，这类题目相对比较简单，属于送分题目。牵涉到知识点也是比较少，主要注重基本运算；特别会求复数类题目可采取答案带入式运算。

热点1. 平面向量的最值（范围）问题

①代数法：即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．

②几何法(数形结合法)：即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；．

热点2. 平面向量与其它知识的交汇问题

1．向量在解析几何中的作用

(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．

(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到．

2．向量与三角的综合应用

解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题，再利用三角知识进行求解．

A卷（建议用时60分钟）

一、单选题

1．（2021·江苏镇江·高三期中）我国东汉数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·河北衡水中学模拟预测）已知向量，的夹角为，，，则（    ）

A．2 B． C． D．

3．（2021·江苏·无锡市教育科学研究院高三期中）已知向量=（1，3），向量=（3，t），=2，则等于（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·陕西蒲城·高三期中）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝DC＝2，BC＝1，P是DC的中点，则（    ）

A． B． C．3 D．9

5．（2021·山东·泰安一中模拟预测）已知是互相垂直的单位向量，若，则（    ）

A． B． C．0 D．2

6．（2021·福建龙岩·高三期中）已知向量，，，若，则（    ）

A． B． C． D．

7．（2021·重庆·模拟预测）已知单位向量的夹角为.若，则实数的值为（    ）

A．2 B． C．4 D．

8．（2021·江苏盐城·高三期中）下列向量一定与向量垂直的是（    ）

A． B． C． D．

9．（2021·四川成都·高三期中）已知向量，，则在方向上的投影是（    ）

A． B． C． D．

10．（2021·辽宁·高三期中）已知四边形ABCD的三个顶点为A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为（    ）

A．      B．     C．(3，2)      D．(1，3)

11．（2021·河南·高三期中）如图所示，矩形的对角线相交于点，点在线段上且，若（，），则（    ）

A． B． C． D．

12．（2021·河北衡水中学模拟预测）如果复数（其中为虚数单位，为实数）为纯虚数，那么（    ）

A．1 B．2 C．4 D．

13.（2021·福建省连城县第一中学高三阶段练习）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数为（    ）

A． B． C． D．

14．（2021·福建师大附中高三期中）已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

15．（2021·江苏海安·高三期中）已知是关于x的方程的一个根，则该方程的另一个根为（    ）

A．2i＋3 B．－2i－3 C．2i－3 D．－2i＋3

16．（2021·山东青岛·高三期中）若复数满足，则复数的共轭复数不可能为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

17．（2021·河北衡水中学模拟预测）已知，，则（    ）

A．若，则 B．若，则

C．的最小值为5 D．若向量与向量的夹角为钝角，则

18．（2021·全国全国·模拟预测）如图，已知点为正十边形的中心，且，则下列结论正确的有（    ）

A．   B．  C．  D．

19．（2021·重庆一中高三期中）已知点G是三角形的重心，以下结论正确的是（    ）

A．                           B．若，则三角形是等腰三角形

C．三角形的面积等于，则  D．若，则

20．（2021·重庆九龙坡·高三期中）下列说法错误的是（    ）

A．若，则或   B．若，，则

C．若， ，则    D．若，，则或

21．（2021·重庆·模拟预测）已知复数（为虚数单位）在复平面内的对应的点为，复数满足在复平面内对应的点为，则下列结论正确的有（    ）

A．复数的虚部为          B．

C．的最大值     D．的最小值为

22．（2021·江苏·南京师大苏州实验学校高三期中）已知实数a满足，（i为虚数单位），复数，则（    ）

A．z为纯虚数 B．为虚数 C． D．

23．（2021·浙江浙江·高三期末）下列命题为真命题的是（    ）

A．若互为共轭复数，则为实数  B．若i为虚数单位，n为正整数，则

C．复数的共轭复数为         D．复数为的虚部为－1

三、填空题

24．（2021·四川·成都七中高三期中）已知向量，．

（1）若当时，，则实数的值为_______________________；

（2）若存在正数，使得，则实数的取值范围是__________________．

25．（2021·上海普陀·一模）设为虚数单位，若复数，则的实部与虚部的和为___________.

26．（2021·江苏镇江·高三期中）已知非零向量不共线，若，，，且，，三点共线，则___________.

四、解答题

27．（2021·湖北·高三期中）如图，在菱形ABCD中，若，，，．

（1）若，，求，，x，y的值；（2）求的值．

28．（2021·山东德州·高三期中）已知向量与是夹角为的单位向量，且向量.

（1）求；（2）若，求实数的值.

29．（2021·全国·高三专题练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，，．（1）求角和边长；（2）设为边上一点，且为角的平分线，试求三角形的面积；（3）在（2）的条件下，点为线段的中点，若，分别求和的值．

30．（2022·上海·高三专题练习）已知关于的方程的虚数根为、.

（1）求的取值范围；（2）若，求实数的值.

B卷（建议用时90分钟）

一、单选题

1．（2021·重庆九龙坡·高三期中）已知，，，，则的取值范围（    ）

A．        B．          C．         D．

2．（2021·内蒙古·海拉尔第二中学高三期中）如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·全国·高三专题练习）已知是不共线向量，设，，，，若△的面积为3，则△的面积为（    ）

A．8 B．6 C．5 D．4

4．（2021·湖北·高三期末）已知复数和满足，，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·山东省济南市莱芜第一中学高三期中）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形，设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（    ）

A．24 B． C． D．

6．（2021·福建省福州第一中学高三期中）设、、为非零不共线向量，若，则（    ）

A．   B．   C．   D．

7．（2021·上海虹口·一模）已知，复数（其中i为虚数单位）满足，给出下列结论：①的取值范围是；②；③的取值范围是；④的最小值为2；其中正确结论的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．（2021·上海市徐汇中学高三期中）已知方程有两个虚根，若，则的值是（     ）

A．或 B． C． D．

9．（2021·黑龙江·大庆实验中学高三阶段练习）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的编号是（    ）

A．①②③ B．②④ C．①② D．①③

二、多选题

10．（2021·湖北·高三期中）下列说法正确的是（    ）

A．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是

B．若M是的外心，且，则P是的内心

C．若O为所在平面内一点，且，则，，的面积之比3：4：5

D．若O是的外心，，，的值为-8

11．（2021·福建省福州第一中学高三期中）数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：的外心，重心，垂心，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线. 若，，则下列各式正确的是（    ）

A．     B．    C．     D．

12．（2021·山东师范大学附中高三期中）在中，，，，的交点为，过的动直线分别交线段，于，两点，若，（，），则下列结论正确的是（    ）

A．   B．   C．   D．

13．（2021·广东·模拟预测）下列命题中正确的有（    ）

A．若复数满足，则； B．若复数满足，则；

C．若复数满足，则； D．若复数，则．

14．（2021·湖北·襄阳四中模拟预测）一个复数集X称为某种运算的“和谐集”是指X满足性质:①X⊆C；②∀a，b∈X对某种规定的运算a⊕b，都有a⊕b∈X.则下列数集X是相应运算的“和谐集”的是（    ）

A．，其中i是虚数单位，规定运算:a⊕b=ab，(∀a，b∈X)

B．，规定运算:

C．，规定运算:a⊕b=ab，(∀a，b∈X)

D．，规定运算:a⊕b=a+b，(∀a，b∈X)

三、填空题

15．（2021·全国·高三专题练习）著名数学家棣莫佛（De moivre，1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式，则______；若，则 ______.

16．（2021·天津二中高三期中）已知边长为的正△ABC，内切圆的圆心为O，过B点的直线l与圆相交于M，N两点，（1）若圆心O到直线l的距离为1，则__________；（2）若，则的取值范围为_____________．

17．（2021·天津实验中学高三阶段练习）在中，，，，D在边AB上（不与端点重合）.延长CD到P，使得.当D为AB中点时，PD的长度为_______；若（m为常数且），则BD的长度是____.

18．（2021·四川宜宾·模拟预测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，的坐标为，点为动点，且满足，记，若的最小值为，则的最大值为________．

19．（2021·浙江·慈溪中学高三期中）已知平面向量满足：，当与所成角最大时，则______

20．（2022·天津北辰·）如图，在平面四边形中，．若点为边上的动点，则的最小值为_________．

四、解答题

21．（2021·江苏·无锡市教育科学研究院高三期中）在△ABC中，已知，，，D为BC的中点，E为AB边上的一个动点，AD与CE交于点O.设.

（1）若，求的值；（2）求的最小值.

22．（2022·上海·高三专题练习）已知O是线段外一点，若，．（1）设点、是线段的三等分点，、及的重心依次为、、，试用向量、表示；（2）如果在线段上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．

23．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知正方形的边长为，点为正方形内一点.

（1）如图1，求的值；（2）如图2，若点、满足，，点是线段的中点，点是平面上动点，且满足，其中，求的最小值.

24．（2021·浙江浙江·高三期末）在梯形中，，P，Q分别为线段和上的动点．（1）求与的数量积；（2）若，求；

（3）若，求的最大值．

25．（2021·浙江浙江·高三期末）在复平面中原点为O，已知A对应的复数为，点B对应的复数为，，点C对应的复数为，且，且B，C均在实轴上方，（1）求的取值范围； （2）当时，P是线段上的动点，求的取值范围；（3）求的最大值．

26．（2021·山东济宁·高三期中）一般地，任何一个复数（，）都可以表示成形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与“三角形式”区分开来，（，）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”. （1）画出复数对应的向量，并把表示成三角形式；（2）已知，，，其中，.试求（结果表示代数形式）.