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热点09 解析几何-2022年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）（解析版）
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这是一份热点09 解析几何-2022年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）（解析版），共52页。试卷主要包含了解析几何中的弦长问题，解析几何中的定值，解析几何中的最值问题，解析几何中的轨迹方程问题等内容，欢迎下载使用。
热点09 解析几何
从新高考的考查情况来看，解析几何是高考必考内容，考查重点：①直线与圆的位置关系、弦长问题、切线问题、圆与圆的位置关系；②椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质，其中离心率与渐近线、通径等是考试的热点；③求曲线的轨迹方程，多在解答题第（1）问中出现；④直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系，常与向量、圆、三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现，难度中等偏上。主要考查考生数形结合思想的运用，提升数学运算、直观想象、逻辑推理、转化与化归思想等核心素养。
1、解析几何中的弦长问题：
（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；
（2）当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于两个不同的点，则弦长.
（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.
2、解析几何中的定值、定点问题：
定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.
3、解析几何中的最值（范围）问题：
1）处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
2）解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
4、解析几何中的轨迹方程问题：
1）直接法求轨迹方程的应用条件和步骤：若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．
2）定义法求轨迹方程的适用条件及关键点：求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程.
注意：利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．
3）相关点法（代入法）求轨迹方程的四步骤：
热点1. 求离心率（范围）
离心率在圆锥曲线问题中有着重要应用，它的变化会直接导致曲线类型和形状的变化，同时它又是圆锥曲线统一定义中的三要素之一．有关求解圆锥曲线离心率的试题在历年高考试卷中均有出现．
关于圆锥曲线离心率（范围）问题处理的主体思想是：建立关于一个的方程（或不等式），然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式应该是齐次式．一般建立方程有两种办法：利用圆锥曲线的定义解决；利用题中的几何关系来解决问题。
另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件(椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致)，否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围．
热点2. 求轨迹方程
应用圆锥曲线的定义或由已知条件求曲线方程或轨迹方程是本节的命题热点，题型以解答题为主，难度中等偏上，考查知识点较多，能力要求较高．
热点3. 直线与圆锥曲线的综合应用问题
直线与圆锥曲线的综合应用问题（特别是一些经典问题，如：定值与定点、最值与取值范围、探索性问题）一直是高考热点问题．常常与向量、圆等知识交汇在一起命题，多以解答题形式出现，难度较大．
A卷（建议用时90分钟）
一、单选题
1．（2021·福建·三模）如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的一种装置.由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶(旋转抛物面)的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上.现有一抛物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图建系，设出抛物线的方程，由题意得A的坐标，将A点的坐标代入求出p值，进而可得答案.
【详解】解：由题意建立如图所示的平面直角坐标系，与重合：
设抛物线的方程为，由题意可得，将A点坐标代入抛物线的方程可得：，
解得，所以抛物线的方程为：，焦点的坐标为，即，
所以焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为.故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆和双曲线在轴上具有相同的焦点，，设双曲线与椭圆的上半部分交于A，两点，线段与双曲线交于点.若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，可得，为则双曲线的实半轴），，又，，则，即可求椭圆的离心率．
【详解】解：如图，设，则，，
，，为则双曲线的实半轴），
根据双曲线定义可得，， 在△中，满足，，
则，则椭圆的离心率是．故选：C．
3．（2021·河南·南阳中学高三阶段练习）双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，已知条件为，，设，由双曲线定义表示出，用已知正切值求出，再由双曲线定义得，这样可由勾股定理求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率．
【详解】易知共线，共线，如图，设，，则，
由得，，又，所以，，
所以，所以，
由得，因为，故解得，则，
在中，，即，所以．故选：C．
4．（2021·天津市实验中学滨海学校高三期中）“直线与互相垂直”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由两直线互相垂直，知，由此能求出实数的值，再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】解：直线与互相垂直，
，解得或．因为或时，不一定成立，
因为时，或一定成立.“直线与互相垂直”是“”的必要不充分条件.故选：A
5．（2021·河北衡水中学模拟预测）设直线与圆交于，两点，若圆的圆心在线段上，且圆与圆相切，切点在圆的劣弧上，则圆的半径的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据给定条件可得圆与圆内切，再借助两圆内切圆心距等于两圆半径差的绝对值列式，然后分析计算作答.
【详解】圆的圆心为原点，半径，依题意，圆的圆心在圆内，设半径为，如图，因圆与圆内切，则，即，而点在线段AB上，
过O作于P，则，显然，当且仅当点与点P重合时取“=”，
于是得，所以圆的半径的最大值是2.故选：B
6．（2021·辽宁·模拟预测）已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件可得出、所满足的等式，求出的取值范围，结合二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】由题意可知，，整理得，
则，故，
因为，所以，所以，即．故选：C．
7．（2021·河南·郑州市高三期中）已知抛物线，过内一点作直线交抛物线于，两点，过点，的抛物线的两条切线交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据将抛物线的切线方程联立，再根据A，，三点共线，化简整理即可.
【详解】设点，，当B不为原点时，设过点的切线方程为，
联立，得，
，整理得：，
即，代入可得，即，
当B为原点时，依然成立，同理点处的切线方程为，联立解得，
设点，则，，又，，三点共线，则，
整理得，即，故选：B.
8．（2021·天津市第四十七中学高三期中）过原点的直线交双曲线于于两点，在第一象限，分别为的左､右焦点，连接交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用双曲线定义，结合三角形为直角三角形，求得，再结合勾股定理即可求得离心率.
【详解】根据题意，取中点为，连接，，作图如下：
在中，因为分别为的中点，故可得//；
在中，因为，为中点，故可得；综上可得：.
不妨设，则，，，
故在中，由勾股定理可得：，解得：.
则在中，由勾股定理可得：，整理得：，解得：.选：.
【点睛】本题考查双曲线的离心率，解决关键是充分挖掘题中包含的几何关系，以及双曲线定义的使用；本题中，利用双曲线定义以及几何关系求得的长度是突破点，再利用勾股定理，求得离心率；考查了学生的运算能力，理解能力，属于中档题.
9．（2021·湖北武汉·高三期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若，则此双曲线的渐近线为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过得到，结合题干中的斜率条件表达出点坐标，再代入双曲线方程求解与的关系，求解渐近线方程.
【详解】因为，所以，故三角形是等腰三角形，即，又因为，过点A作AB⊥x轴于点B，则，设，，由勾股定理得：，解得：，故，把A点代入双曲线方程，
得：，解得：，
显然=0，所以，所以双曲线的渐近线为 故选：D
二、多选题
10．（2021·河北邯郸·高三期末）已知A，B是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上存在一点到准线的距离为4，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则直线AB恒过定点
C．若外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆半径为 D．若，则直线AB的斜率为
【答案】ABC
【分析】根据抛物线定义可判断A；由直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理法可判断B；利用直线与圆的位置关系可判断C；由直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理法及条件可判断D.
【详解】根据抛物线定义可知，得，故A正确；
设，，因为直线AB斜率必不为0，设直线，
代入，得，∴，，
∴，即，所以直线AB恒过定点，故B正确；
外接圆圆心横坐标为，外接圆半径为，故C正确；
因为，所以AB过焦点，且，可设直线，则
代入，得，∴，，，
解得，即直线AB的斜率为，故D错误.故选：ABC．
11．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）已知曲线：，则（ ）
A．时，则的焦点是， B．当时，则的渐近线方程为
C．当表示双曲线时，则的取值范围为 D．存在，使表示圆
【答案】ABD
【分析】AB选项，代入的值，分别得出是什么类型的曲线，进而作出判断；C选项，要想使曲线表示双曲线要满足；D选项，求出曲线表示圆时m的值.
【详解】当时，曲线：，是焦点在y轴上的椭圆，且，所以交点坐标为，，A正确；当时，曲线：，是焦点在在y轴上的双曲线，则的渐近线为，B正确；当表示双曲线时，要满足：，解得：或，C错误；当，即时，，表示圆，D正确故选：ABD
12．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高三期末）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的短轴长为
C．的最小值为 D．过点的圆的切线斜率为
【答案】AD
【分析】根据椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等求得；将的最值转化为求椭圆上一点到定点,以及左焦点的最小值问题，数形结合求得，即可判断选项；再结合椭圆定义，以及圆的切线方程的求解，即可判断.
【详解】根据题意，作出如下所示的图形，
椭圆的长轴长与圆的直径长相等，，，
设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义可知，，
，
，解得或，因为，故.椭圆的焦距为2，即正确；
由，得椭圆的短轴长为，即错误；
，即错误；
设过点的圆的切线方程为，则，解得，即正确．
综上所述：正确的选项是：.故选：.
13．（2021·江苏徐州·高三期中）已知圆，点是圆上的动点，则（ ）
A．圆关于直线对称 B．直线与圆相交所得弦长为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】AC
【分析】验证圆心是否过直线判断A，求出相交弦长判断B，把变以代入圆方程，利用判别式不小于0判断C，利用原点到圆心的距离求得最小值判断D．
【详解】圆标准方程是，，半径为，
易得点在直线上，A正确；
点到直线的距离为，弦长为，B错；
由得代入圆的方程整理得，
，，所以的最大值是，C正确；
，，所以的最小值是，D错误．故选：AC．
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系是解题关键，圆的弦长一般用几何法求解，即求出圆心到直线的距离后用勾股定理计算．求分式型，平方型式子的最值，可以利用几何意义求解，如分式型可以用直线斜率，平方型利用两点间距离求解．
三、填空题
14．（2020·山东费县·高三期末）抛物线的焦点坐标是______；经过点的直线与抛物线相交于，两点，且点恰为的中点，为抛物线的焦点，则______．
【答案】； 9.
【分析】由抛物线的解析式可知，即可得出焦点坐标为；过、、作准线的垂线且分别交准线于点、、，根据抛物线的定义可知，由梯形的中位线的性质得出，进而可求出的结果.
【详解】解：由抛物线，可知，则，所以抛物线的焦点坐标为，
如图，过点作垂直于准线交准线于，过点作垂直于准线交准线于，
过点作垂直于准线交准线于，
由抛物线的定义可得，再根据为线段的中点，而四边形为梯形，
由梯形的中位线可知，
则，所以.故答案为：；9.
15．（2021·江苏徐州·高三期中）已知抛物线的焦点为为上一点，若，则的最大值为________．
【答案】
【分析】根据抛物线定义转化可得，求出最大值即可.
【详解】由题可得为准线与轴交点，
过作与准线垂直，垂足为，由抛物线定义可得,则，
则当最小时，即最大时，取得最大值，由图知当直线与抛物线相切，最大，
设直线方程为，代入抛物线得，
则由，解得，由于抛物线的对称性，取即可得，
此时，所以的最大值为.故答案为：.
16．（2021·浙江省三门中学高三期中）设椭圆的左､右焦点分别为､，是椭圆上一点，，，，则椭圆离心率的取值范围为___________.
【答案】
【分析】设，则，由椭圆定义可得即，由勾股定理可得，两式相除可得，再令由函数的性质可得的范围，进而可得椭圆离心率的取值范围.
【详解】设，，由椭圆的定义可得，
设，则，所以，即，①
因为，所以，② 两式相除可得，令可得，
所以，
因为，所以，所以当即，时取得最小值，此时最小为，
当或即，时取得最大值，此时最大为，
所以椭圆离心率的取值范围为，故答案为：.
17．（2021·湖北武汉·高三期中）已知椭圆的方程为，，为椭圆的左右焦点，P为椭圆上在第一象限的一点，I为的内心，直线PI与x轴交于点Q，椭圆的离心率为，若，则的值为___________.
【答案】
【分析】连接､，是的内心，得到为的角平分线，即到直线､的距离相等，利用三角形的面积比，得到，结合椭圆的离心率的定义，即可求解.
【详解】解：如图所示，连接､，是的内心，所以､分别是和的角平分线，由于经过点与的内切圆圆心的直线交轴于点，
则为的角平分线，则到直线､的距离相等，
所以，同理可得，，
由比例关系性质可知.
又椭圆的离心率.所以，所以，故，故答案为：4.
【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
18．（2022·全国·高三专题练习）P是双曲线右支在第一象限内一点，，分别为其左、右焦点，A为右顶点，如图圆C是的内切圆，设圆与，分别切于点D，E，当圆C的面积为时，直线的斜率为______.
【答案】
【分析】由双曲线的定义以及切线的性质可得圆心横坐标为，又根据圆的面积可求出半径，可知圆心，可求出，因为是的角平分线，借助于角相等可求直线的斜率.
【详解】由题意可知，，，
所以，
设，则，即，
设圆C的半径为，因为圆C的面积为，则，
因为，所以，于是，因为是的角平分线，
所以，
所以，即直线的斜率为.故答案为：.
四、解答题
19．（2021·四川南充·一模））已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的下顶点和上顶点分别为，，且，过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；（2）当时，求△OMN的面积；（3）求证：直线与直线的交点T恒在一条定直线上．
【答案】（1）,（2）,（3）见（3）详解.
【分析】(1)由可得，结合离心率可求基本量，进而得椭圆的方程.
(2)写出直线的方程为与椭圆方程联立，运用韦达定理及弦长公式可求出，再由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，从而可求出三角形的面积.
(3) 设，由在同一条直线上，且在同一条直线上，建立之间的等量关系可得证.
（1）因为，所以，即，，，，
所以，所以椭圆的标准方程为:
（2）直线的方程为，设，
方程联立，整理得，则，
所以 ，
原点到的距离，则的面积.
（3）设直线的方程为：，，
则，整理得，则，
，则，
设，因为在同一条直线上，则，
因为在同一条直线上，则，
所以，所以，则交点T恒在一条直线上.
【点睛】本题第三问的关键是设交点，利用三点共线建立动点纵横坐标的等量关系.
20．（2021·上海金山·一模）已知为椭圆C：内一定点，Q为直线l：上一动点，直线PQ与椭圆C交于A､B两点（点B位于P､Q两点之间），O为坐标原点.
（1）当直线PQ的倾斜角为时，求直线OQ的斜率；（2）当AOB的面积为时，求点Q的横坐标；
（3）设，，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）（2）或（3）1
【分析】（1）先得到直线PQ的方程为：，由得到Q的坐标求解； （2）设直线PQ的方程为，由，结合韦达定理求得，再由求解.
（3）设直线PQ的方程为，由，得到，，有，再根据，，得到求解.
（1）解：因为直线PQ的倾斜角为，且，所以直线PQ的方程为：，
由，得，所以直线OQ的斜率是；
（2）易知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为，
由，得，设，则，
所以，所以，
解得，即，所以直线PQ的方程为或，
由，得；由，得；
（3）易知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为，
由，得，设，则，所以，
因为，，所以，
所以，.
21．（2021·江苏连云港·高三期中）已知离心率为的椭圆与直线x+2y-4=0有且只有一个公共点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过点P（0，-2）的动直线l与椭圆C相交于A，B两点，当坐标原点O位于以AB为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由将椭圆方程化简为，进而结合判别式法求得答案；
（2）设，，直线l方程为，根据，进而结合根与系数的关系求得答案.
（1）根据题意，，而，则，，
所以椭圆方程为，，
，，
所以，，椭圆C方程为：.
（2）设直线l方程为，，，
，即，
或，且,因为O在以AB为直径的圆外，所以，则，于是，即.
综上：l斜率k的取值范围为.
22．（2021·河北石家庄·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且点在C上.
（1）求椭圆C的标准方程；（2）设，为椭圆C的左，右焦点，过右焦点的直线l交椭圆C于A，B两点，若内切圆的半径为，求直线l的方程.
【答案】（1）（2）或.
【分析】（1）根据离心率可得的关系，再将的坐标代入方程后可求，从而可得椭圆的方程.
（2）设直线的方程为，，结合内切圆的半径为可得，联立直线方程和椭圆方程，消元后结合韦达定理可得关于的方程，求出其解后可得直线方程.
（1）因为椭圆的离心率为，故可设，
故椭圆方程为，代入得，故，故椭圆方程为：.
（2）的周长为，故.
设，由题设可得直线与轴不重合，故可设直线，
则，由可得，
整理得到，此时，故，解得，
故直线的方程为：或.
23．（2021·北京市第三十五中学高三期中）已知椭圆．（1）若椭圆E的焦距为2，求实数a的值；（2）点A，B，C位于椭圆E上，且A，B关于原点对称．若椭圆E上存在等边，求a的取值范围．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据条件中的的值，求得参数a的值.（2）为等边三角形，有，对直线斜率存在情况进行讨论，不存在及为0时，直线是确定直线，易求得a的值.当斜率存在且不为0时，设其方程为，则直线方程为，然后与椭圆联立，求得的表达式，由，求得参数a的范围.
（1）由题知，，所以；
（2）若为等边三角形，应有，即．
若直线斜率不存在时，即直线方程为，且．
此时若为等边三角形，点C应在长轴顶点，且，即．
若直线斜率为0，即直线方程为，且．
此时若为等边三角形，点C应在短轴顶点，此时，不为等边三角形．
当直线斜率存在且不为0时，设其方程为，则直线方程为．
由，得．
同理．因为，所以，
解得．因为，所以，若有解，只需，即．
综上，a的取值范围是．
24．（2021·浙江·台州一中高三期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的直线交于，两点（其中点位于第一象限），设点是抛物线上的一点，且满足，连接，.（1）求抛物线的标准方程及其准线方程；（2）记，的面积分别为，，求的最小值及此时点的坐标.
【答案】（1），（2），
【分析】（1）根据抛物线焦点坐标直接可得抛物线方程；（2）设直线，联立方程组可得，再根据点坐标确定点及点到直线的距离，可求，，结合基本不等式，可得的最小值与点的坐标.
（1）由抛物线焦点，可得，
所以抛物线方程为，准线方程为，
（2）设直线，点，，
联立，得，即，
所以，且，
又，，的方程为，即点，
点到直线的距离，又，，，
所以，
，
又，所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时点为，
即的最小值为，此时点的坐标为.
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
B卷（建议用时90分钟）
一、单选题
1．（2021·浙江·台州一中高三期中）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，，联立圆与双曲线方程求出点坐标，设，将利用坐标表示计算可得表示，再将点代入双曲线方程可得关于的齐次方程，结合即可求解.
【详解】设，，由整理可得：，
即，
因为点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，所以，
，
所以点坐标为，设点，则，，
由可得 ，所以，
因为点在双曲线上，所以，
整理可得：，所以，即，
两边同时平方可得：，
所以，即，，
可得：或（舍），所以，故选：B.
2．（2021·河北邯郸·高三期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，A，B是双曲线右支上两点，且，设的内切圆圆心为，的内切圆圆心为，直线与线段交于点P，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由角平分线的性质得，结合双曲线的定义表示出各边长，可判断，即可建立关系求解.
【详解】如图所示：
由题意知为的角平分线上点，由角平分线的性质得，
因为，∴，由双曲线的定义得，因此，，
∴，，由双曲线定义得，满足，可得，
由在中，，即，∴，.故选：B．
3．（2021·福建·福州三中模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，，实轴长为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值时，该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出图形，结合双曲线的定义，，则，
所以，进而解出和的值，再由 即可得渐近线方程.
【详解】因为双曲线的实轴长为，所以，
由双曲线的定义可得：，则，
所以，当且仅当三点共线时取等号，
如图，与渐近线垂直时，取得最小值，
因为，所以，可得，所以双曲线的渐近线方程为：，
故选：D.
4．（2021·浙江·慈溪中学高三期中）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点．点满足，且．若，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】由，确定M的位置，解三角形求，，由余弦定理可得，的关系，由此可求离心率.
【详解】∵ ，∴M为线段的中点，，即垂直平分，
∴，设，则又 为直角三角形，∵，即，
∴ ，，由双曲线定义可得，，
∴ ，∴ ，∴ ，，
又，由余弦定理可得，
∴，∴ ，∴ 离心率.故选：C.
5．（2021·浙江·模拟预测）已知椭圆右顶点为，上顶点为，该椭圆上一点与的连线的斜率，的中点为，记的斜率为，且满足，若分别是轴､轴负半轴上的动点，且四边形的面积为2，则三角形面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出直线方程，与椭圆方程联立，表示出点E坐标，即可根据求出，根据四边形的面积结合基本不等式可求.
【详解】由题意知：，直线的方程为，
联立方程可得，
因为是其中一个解，则另一个解满足，即，
所以，则可得的中点，则，
因为，所以，解得，则即，
设，则由四边形的面积为2，有，
即，由基本不等式得，，
从而三角形的面积，等号当，时取到.
所以三角形面积的最大值为.故选：A.
6．（2021·浙江·模拟预测）如图，已知椭圆的长轴端点为，，短轴端点为，，焦点为，.现将左边半个椭圆沿短轴进行翻折，则在翻折过程中（不共面），以下说法不正确的是（ ）
A．存在某个位置,使 B．存在某个位置,使二面角的平面角为
C．对任意位置，都有平面 D．异面直线与所成角的取值范围是
【答案】B
【分析】选项A. 设在平面的射影为，当时，可判断；选项B. 设为 的中点, 为二面角的平面角,从而可得范围，即可判断; 选项C. 由可判断; 选项D. 直线, 将左边半个椭圆沿短轴进行翻折，则在翻折过程中,异面直线与所成角,即为以为轴，为母线的圆锥的母线与所成角,从而可判断.
【详解】由 ,所以为锐角
则为锐角三角形，故过作的垂线，垂足在线段上，
设,当平面时，则，又
所以平面,且平面，所以，故A正确；
如图，设为 的中点，由 ,
则 所以为二面角的平面角.
设, 则，
所以
当时，，所以
所以，所以不存在某个位置,使二面角的平面角为，，故B错；
由，分别为的中点，则，
由平面，平面，则平面，故C正确；
直线, 将左边半个椭圆沿短轴进行翻折，则在翻折过程中
异面直线与所成角,即为以为轴，为母线的圆锥的母线与所成角.
以为轴，为母线的圆锥轴截面顶角为，故D正确.故选：B
7．（2021·浙江·高二期中）已知定点，动点Q在圆O：上，PQ的垂直平分线交直线 OQ于M点，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】当在圆内时，由几何性质可得，此时的轨迹是以为焦点的椭圆. 当在圆上时，线段的中垂线交线段于圆心.当在圆外时，,此时的轨迹是以为焦点的双曲线的一支，从而可得答案.
【详解】当在圆内时，设与圆的另一交点为，设点为弦的中点,
则, 线段的中点在线段内，则线段的中垂线交线段于点，如图1 .
连接, 则, 所以 则
此时的轨迹是以为焦点的椭圆.当在圆上时，线段的中垂线交线段于圆心.
当在圆外时，设与圆的另一交点为，设点为弦的中点,
则, 线段的中点在线段内，则线段的中垂线交线段的延长线于点，如图2 .
连接, 则, 所以 则
此时的轨迹是以为焦点的双曲线的一支.同理当在圆上运动时，还会得到
所以动点的轨迹是双曲线，则在圆外,所以 故选： D
8．（2021·辽宁·凌源市实验中学高三阶段练习）已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，，过两点分别作抛物线的切线，交于点.下列说法不正确的是（ ）
A． B．(为坐标原点)的面积为
C． D．若是抛物线上一动点，则的最小值为
【答案】C
【分析】设直线的方程、，并与抛物线方程联立利用韦达定理和得，再利用求导判断A；利用可判断B；
由可判断C；过作与，利用可判断D.
【详解】由已知的焦点为，所以直线的方程为，设，
直线方程与抛物线方程联立，整理得，所以，，
由，得，代入得，，
所以，开方可得或，可得在，因为，所以，
在，因为，所以，
所以，，故A正确；
由，
得，故B正确；
因为，
所以，故C错误；
由得，所以在抛物线内部，抛物线的准线方程为，
如图 过作与，交抛物线与点，所以，所以，
当在一条直线上时最小，此时，故D正确.故选：C.
二、多选题
9．（2021·江苏·高三期中）设m∈R，直线与直线相交于点P（x，y），线段AB是圆C：的一条动弦，Q为弦AB的中点，，下列说法正确的是（ ）
A．点P在定圆 B．点P在圆C外
C．线段PQ长的最大值为 D．的最小值为
【答案】BCD
【分析】根据直线与直线可求得两直线分别过定点和定点，且两直线垂直，从而可得交点的轨迹方程，即可判断A；
判断点的轨迹圆与圆C的位置关系即可判断B；根据Q为弦AB的中点，，可得弦AB的中点Q的轨迹为以为圆心的圆，则线段PQ长的最大值为圆心距加两圆的半径，从而可判断C；，求出线段PQ长的最小值，即可判断D.
【详解】解：直线过定点，直线过定点，
又，所以两直线垂直，所以两直线的交点的轨迹是以线段为直径的圆，，
所以交点的轨迹方程为，故A错误；
圆的圆心为，半径为，因为，
所以圆与圆C：相离，即点P在圆C外，故B正确；
因为Q为弦AB的中点，，所以，
所以弦AB的中点Q的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，则点Q的轨迹方程为，
则圆与圆相离，
所以线段PQ长的最大值为，故C正确；
，
因为线段PQ长的最小值为，所以的最小值为，
即的最小值为，故D正确.故选：BCD.
10．（2022·全国·高三专题练习）双曲线的左右焦点分别为，，倾斜角为的直线过双曲线的右焦点，与双曲线右支交于两点，且，则（ ）
A．双曲线的离心率为 B．与内切圆半径比为
C．与周长之比为 D．与面积之比为
【答案】BD
【分析】设设，则，则，，在和中由余弦定理可得，即可得离心率可判断A；将代入可得，进而可得与周长可判断C；由可得与面积之比可判断D；由三角形的面积等于乘以三角形的周长再乘半径结合周长之比可得内切圆的半径之比，可判断B，进而可得正确选项.
【详解】设，则，由双曲线的定义可得：，，
在中，由余弦定理可得：，
即，所以
在中，由余弦定理可得：，
即，所以，
可得，所以，所以离心率，故选项A不正确；
设点到直线的距离为，则，故选项D正确；
将代入可得：，
所以的周长为，
的周长为，
所以与周长之比为，故选项C不正确；
设与内切圆半径分别为，，
的面积与的面积之比为，
所以，故选项B正确；故选：BD.
11．（2021·山东省青岛第十七中学高三期中）瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ）
A．圆上的点到原点的最大距离为
B．圆上存在三个点到直线的距离为
C．若点在圆上，则的最小值是
D．若圆与圆有公共点，则
【答案】BD
【分析】求出“欧拉线”方程，利用“欧拉线”与圆相切求出，利用圆的几何性质可判断A选项的正误；计算出圆到直线的距离，可判断B选项的正误；设，利用直线与圆有公共点，求出的取值范围可判断C选项的正误；利用圆与圆的位置关系可判断D选项的正误.
【详解】由题意，为等腰三角形，的欧拉线即的垂直平分线，
、，的中点坐标为，直线的斜率为，
则的垂直平分线方程为，即．由“欧拉线”与圆相切，
所以，圆心到直线的距离为，则圆的方程为，
圆心到原点的距离为，则圆上的点到原点的最大距离为，故A错误；
圆心到直线的距离为，
圆上存在三个点到直线的距离为，故B正确；
的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率，
设，即，则直线与圆有公共点，
由，解得，的最小值是，故C错误；
的圆心坐标，半径为，圆的圆心坐标为，半径为，
要使圆与圆有公共点，则圆心距的范围为，
所以，,解得，故D正确．故选：BD．
12．（2021·江苏·高三开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）．
A．轨迹的方程为 B．在轴上存在异于，的两点，，使得
C．当，，三点不共线时，射线是的角平分线 D．在上存在点，使得
【答案】BC
【分析】根据两点间的距离公式计算化简，逐一判断选项即可.
【详解】A：在平面直角坐标系中，，，点满足，
设，则，化简得，即，所以A错误；
B：假设在轴上存在异于，的两点，，使得，
设，，则，化简得，
由轨迹的方程为，可得，，
解得，或，（舍去），所以B正确；
C：当，，三点不共线时，，可得射线是的角平分线，所以C正确；
D：若在上存在点，使得，可设，
则，化简得，
与联立，方程组无解，故不存在点，所以D错误．故选：BC．
三、填空题
13．（2021·全国·模拟预测）设为坐标原点，点，，在抛物线：上，且直线与直线关于直线对称，则直线的斜率为___________；若直线在y轴上的截距为正数，则面积的最大值为___________.
【答案】1
【分析】由点坐标得抛物线方程，易知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为，
代入抛物线方程求得点坐标，利用对称性得点坐标，计算斜率，再由斜率设的方程，代入抛物线方程后，由判别式大于0得参数范围，设，，应用韦达定理求得弦长，
再求出到直线的距离，得三角形面积，引入新函数，由导数知识求得最大值，从而得面积最大值．
【详解】由题意可知，，解得，所以抛物线C的方程为.
易知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为，
由，得，得，.
因为直线PA与直线PB关于直线对称，所以，
则，所以，.则.
可设直线AB的方程为，由，整理得，
由，得.设，，则，，
所以，原点到直线AB的距离，
所以的面积为.令，则，
易知当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
故面积的最大值为.故答案为：1；．
14．（2021·浙江省杭州第二中学高三期中）已知圆：与圆：相交于，两点，则实数的取值范围为_____；若圆上存在点，使得为等腰直角三角形，则实数的值为_______.
【答案】 或或
【分析】根据圆和圆相交于，两点得到，再解不等式组即可得到.首先两圆的方程相减，得到直线的方程，再分类讨论为直角顶点和或为直角顶点求解即可.
【详解】圆：，圆心，半径，
圆：，
圆心，半径. ，
因为圆和圆相交于，两点，所以.
两圆的方程相减，可得直线的方程为：.
因为圆上存在点，使得为等腰直角三角形，
①当为直角顶点时，则直线过圆的圆心，所以，即.
①当或为直角顶点时，则直线或直线过圆的圆心，
则，即到直线的距离为，所以，解得或.
故答案为：；或或
15．（2021·浙江省杭州第二中学高三期中）已知双曲线：的左、右焦点分别是、，直线与 双曲线的左、右支分别交于P，Q（P，Q均在x轴上方）.若直线、的斜率为，且四边形的面积为.则双曲线的离心率为________.
【答案】
【分析】连接， ，在中，利用余弦定理求出，同理求出，再由四边形的面积即可求解.
【详解】连接， ，设直线、的倾斜角为，，
则，在中，由余弦定理可得，化简整理可得，
又因为，则，，所以，同理可得，
又因为四边形的面积为，则，
代入整理可得，即，即，解得或（舍）答案：
16．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，斜率大于0的直线经过点与的右支交于，两点，若与的内切圆面积之比为9，则直线的斜率为______．
【答案】
【分析】设与的内切圆圆心分别为，， 的内切圆与三边分别切于点，，， 利用内切圆的性质得．设直线的倾斜角为，在中，，在中，，由题得得，再由二倍角公式可得答案．
【详解】设与的内切圆圆心分别为，，连接，，，
的内切圆与三边分别切于点，，，如图，
则，所以，即，
同理，所以，设直线的倾斜角为，则，
在中，，在中，，
由题得，所以，解得，所以．
故答案为：﹒
17．（2021·河南·正阳县高级中学模拟预测）已知，是双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线的右支于，两点，且，，则双曲线的离心率为___________.
【答案】2
【分析】由双曲线的定义知，，再根据得，进而根据相似关系得，，，再结合双曲线的定义得，故，进而得答案.
【详解】由双曲线的性质，可知，.因为，所以，.
又，且，所以，所以，
所以，.因为，所以.
又，所以，所以，所以.故答案为：
【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，考查学生的转化和计算能力，属于中档题型，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据直接求，2.根据条件建立关于的齐次方程求解，3.根据几何关系找到的等量关系求解.
四、解答题
18．（2021·河北衡水中学模拟预测）已知椭圆过点，焦点分别为，．短轴端点分别为，，．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，当线段的中点落在四边形内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）把代入椭圆方程结合求出，，得到椭圆方程；（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理得到两根之和，进而得到的中点坐标，利用中点在四边形内（包括边界），得到直线斜率的取值范围.
（1）由题设条件知，，，解得：，．故椭圆的方程为．
（2）易证四边形为正方形，点的坐标，
显然直线的斜率存在，设直线的方程为．
如图，设点，的坐标分别为，，线段的中点为，
由，得，①
由，解得．②
因为，是方程①的两根，所以，于是，．
因为，所以点不可能在轴的右边，
又直线，的方程分别为，，
所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为．
即，亦即．解得，此时②也成立，
故直线斜率的取值范围．
19．（2021·四川·树德中学高三期中）己知抛物线：的焦点为，为上的动点，为在动直线上的投影．当为等边三角形时，其面积为．（1）求的方程；（2）设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于，两点，直线与线段交于点．试问：是否存在，使得和△的面积相等恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】（1）根据三角形面积以及的形状，结合抛物线定义，列出方程组，即可求得结果；
（2）利用导数几何意义，写出的方程，联立椭圆方程，根据面积相等，列出等量关系，即可判断和求解.
（1）设，，
∵为等边三角形时，其面积为，∴，解得，
∵Q为P在动直线上的投影，∴；当为等边三角形时，，
由抛物线的定义知，，∴，解得，∴C的方程为；
（2）设，，，则，
∵，∴，∴切线l：，即l：，
，∴，
∴；
∵，∴，，
∵和△的面积相等，且A，M，B在同一条直线上，则点M为AB的中点，
∴，即，则．
综上，存在t，使得和三角形△面积相等恒成立，．
【点睛】本题考查抛物线方程的求解，以及抛物线中的存在性问题；本题第二问结合了导数的几何意义用来求切线的方程，属综合困难题.
20．（2021·上海浦东新·一模）已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于不同的两点、.（1）若点和到抛物线准线的距离分别为和，求；（2）若，求的值；（3）点，，对任意确定的实数，若是以为斜边的直角三角形，判断符合条件的点有几个，并说明理由.
【答案】（1）（2）（3）一个，理由见解析
【分析】（1）根据抛物线的定义求得焦点弦长；（2）直线的方程为，代入抛物线方程后应用韦达定理得，利用焦半径公式及已知，得出的关系，与韦达定理结合可求得；（3）把用坐标表示出来，代入韦达定理的结论，得出关于的方程，由一元二次方程根的分布可得的正数解的个数．
（1）根据抛物线定义，，∴.
（2）直线的方程为，由 ，，， ，
，， ，
代入（5）得：，（舎）或，∴ .
（3）∵ 是以为斜边的直角三角形，∴ ，，
, ，即，
，（或者），
∴ ，，
， ，方程仅有一个正实数解， 存在一个满足条件的点.
21．（2021·江苏海安·高三期中）已知过点P(－2，0)的直线l与抛物线Γ：相切于点T(x0，2)．（1）求p，x0；（2）设直线m：与Γ相交于点A，B，射线PA，PB与Γ的另一个交点分别为C，D，问：直线CD是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】（1），（2）直线经过定点
【分析】（1）由题意可设切线的方程为：，与抛物线方程联立化为：，可得，结合斜率计算公式、及其点在抛物线上即可得出答案；（2）设，，，，联立，化为：，，可得根与系数的关系．射线的方程为：，射线的方程为：，分别与抛物线方程联立，进而得出坐标，进而得出方程及其定点坐标．
（1）
由题意可设切线的方程为：，联立，化为：，
则，化为：，又，，解得：，，．
（2）设，，，，联立，化为：，
，解得．，，
射线的方程为：，，射线的方程为：，，
联立，化为：，
，，，可得，．同理可得，，
直线的方程为：，
化为：，，即，化为：，直线经过定点．
22．（2021·浙江省杭州第二中学高三期中）如图，已知抛物线：，斜率为1的直线与抛物线交于两个不同的点A，B，过A，B分别作抛物线的切线，交于点M.（1）求点M的横坐标；（2）已知F为抛物线的焦点，连接FA，FB，FM，记面积为，面积为，记面积为，求的最小值.
【答案】（1）点M的横坐标为2.（2）的最小值为.
【分析】(1) 设直线AB的方程为，，，，
联立方程组可求，，再求切线AM，BM的方程，联立求其交点M，由此可得M的横坐标，(2)求，，，由此可得，再利用导数求其最小值.
（1）∵ 直线AB的斜率为1，故可设直线AB的方程为，
设，，，联立直线AB与抛物线C的方程可得：
，化简可得，由已知方程由两个不同的解，
∴ 方程判别式，即 ，，
∵ ∴ ，∴ ∴ 切线AM的方程为 ，又，
∴ 切线AM的方程为，③
同理切线BM的方程为：，④
③-④可得 ∴ ，又，∴
∴， ∴ 点M的横坐标为2.
（2）∵ 直线AM的方程为，点F的坐标为，，
设点F到直线AM的距离，点B到直线AM的距离，
则， ，
又，同理，设点M到直线AB的距离，则，
又，，
∴ ，
∴
设，则，，设，则，
令可得，当时，，当时，，
∴ ，∴ 的最小值为.
【点睛】求面积的比值，可以选择相同的底边或者角来转化，参数之间的关系可以通过联立圆锥曲线方程，化简求得，通过函数或者不等式来求得最值.
23．（2021·湖南·衡阳市八中模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，其离心率为，且过点（1）求双曲线的方程（2）过的两条相互垂直的交双曲线于和，分别为的中点，连接，过坐标原点作的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值，若存在，求此定点.若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】（1）首先根据题意得到，再解方程组即可；（2）首先当直线和其中一条没有斜率时，点为，直线MN的方程为，当直线和都有斜率时，设直线的方程为：，联立方程组，利用韦达定理得到，，同理得到，，从而得到直线的方程为，恒过，根据得到点的运动轨迹是以点为圆心，以直径的圆，从而得到存在定点，使得为定值.
【详解】（1）由题可知：，双曲线的方程是.
（2）存在定点，使得为定值，理由如下：
由题意可知，若直线和其中一条没有斜率，则点为，直线MN的方程为，
当直线和都有斜率时，因为点，设直线的方程为：
设，，，联立方程组得：
所以，，故，
设直线的方程为：
设，，，同理可得，，
故所以，
所以直线的方程为，
化简得：，可知直线过定点
又因为，所以点的运动轨迹是以点为圆心，以直径的圆，
所以存在定点，使得为定值.
【点睛】（1）解答直线与双曲线题目时，常用把两个曲线方程联立，得到关于的一元二次方程，利用根系关系，结合已知条件建立有关参变量的等量关系；（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率不存在的特殊情况.
热点09 解析几何
从新高考的考查情况来看，解析几何是高考必考内容，考查重点：①直线与圆的位置关系、弦长问题、切线问题、圆与圆的位置关系；②椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质，其中离心率与渐近线、通径等是考试的热点；③求曲线的轨迹方程，多在解答题第（1）问中出现；④直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系，常与向量、圆、三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现，难度中等偏上。主要考查考生数形结合思想的运用，提升数学运算、直观想象、逻辑推理、转化与化归思想等核心素养。
1、解析几何中的弦长问题：
（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；
（2）当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于两个不同的点，则弦长.
（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.
2、解析几何中的定值、定点问题：
定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.
3、解析几何中的最值（范围）问题：
1）处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
2）解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
4、解析几何中的轨迹方程问题：
1）直接法求轨迹方程的应用条件和步骤：若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．
2）定义法求轨迹方程的适用条件及关键点：求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程.
注意：利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．
3）相关点法（代入法）求轨迹方程的四步骤：
热点1. 求离心率（范围）
离心率在圆锥曲线问题中有着重要应用，它的变化会直接导致曲线类型和形状的变化，同时它又是圆锥曲线统一定义中的三要素之一．有关求解圆锥曲线离心率的试题在历年高考试卷中均有出现．
关于圆锥曲线离心率（范围）问题处理的主体思想是：建立关于一个的方程（或不等式），然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式应该是齐次式．一般建立方程有两种办法：利用圆锥曲线的定义解决；利用题中的几何关系来解决问题。
另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件(椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致)，否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围．
热点2. 求轨迹方程
应用圆锥曲线的定义或由已知条件求曲线方程或轨迹方程是本节的命题热点，题型以解答题为主，难度中等偏上，考查知识点较多，能力要求较高．
热点3. 直线与圆锥曲线的综合应用问题
直线与圆锥曲线的综合应用问题（特别是一些经典问题，如：定值与定点、最值与取值范围、探索性问题）一直是高考热点问题．常常与向量、圆等知识交汇在一起命题，多以解答题形式出现，难度较大．
A卷（建议用时90分钟）
一、单选题
1．（2021·福建·三模）如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的一种装置.由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶(旋转抛物面)的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上.现有一抛物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图建系，设出抛物线的方程，由题意得A的坐标，将A点的坐标代入求出p值，进而可得答案.
【详解】解：由题意建立如图所示的平面直角坐标系，与重合：
设抛物线的方程为，由题意可得，将A点坐标代入抛物线的方程可得：，
解得，所以抛物线的方程为：，焦点的坐标为，即，
所以焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为.故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆和双曲线在轴上具有相同的焦点，，设双曲线与椭圆的上半部分交于A，两点，线段与双曲线交于点.若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，可得，为则双曲线的实半轴），，又，，则，即可求椭圆的离心率．
【详解】解：如图，设，则，，
，，为则双曲线的实半轴），
根据双曲线定义可得，， 在△中，满足，，
则，则椭圆的离心率是．故选：C．
3．（2021·河南·南阳中学高三阶段练习）双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，已知条件为，，设，由双曲线定义表示出，用已知正切值求出，再由双曲线定义得，这样可由勾股定理求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率．
【详解】易知共线，共线，如图，设，，则，
由得，，又，所以，，
所以，所以，
由得，因为，故解得，则，
在中，，即，所以．故选：C．
4．（2021·天津市实验中学滨海学校高三期中）“直线与互相垂直”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由两直线互相垂直，知，由此能求出实数的值，再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】解：直线与互相垂直，
，解得或．因为或时，不一定成立，
因为时，或一定成立.“直线与互相垂直”是“”的必要不充分条件.故选：A
5．（2021·河北衡水中学模拟预测）设直线与圆交于，两点，若圆的圆心在线段上，且圆与圆相切，切点在圆的劣弧上，则圆的半径的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据给定条件可得圆与圆内切，再借助两圆内切圆心距等于两圆半径差的绝对值列式，然后分析计算作答.
【详解】圆的圆心为原点，半径，依题意，圆的圆心在圆内，设半径为，如图，因圆与圆内切，则，即，而点在线段AB上，
过O作于P，则，显然，当且仅当点与点P重合时取“=”，
于是得，所以圆的半径的最大值是2.故选：B
6．（2021·辽宁·模拟预测）已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件可得出、所满足的等式，求出的取值范围，结合二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】由题意可知，，整理得，
则，故，
因为，所以，所以，即．故选：C．
7．（2021·河南·郑州市高三期中）已知抛物线，过内一点作直线交抛物线于，两点，过点，的抛物线的两条切线交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据将抛物线的切线方程联立，再根据A，，三点共线，化简整理即可.
【详解】设点，，当B不为原点时，设过点的切线方程为，
联立，得，
，整理得：，
即，代入可得，即，
当B为原点时，依然成立，同理点处的切线方程为，联立解得，
设点，则，，又，，三点共线，则，
整理得，即，故选：B.
8．（2021·天津市第四十七中学高三期中）过原点的直线交双曲线于于两点，在第一象限，分别为的左､右焦点，连接交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用双曲线定义，结合三角形为直角三角形，求得，再结合勾股定理即可求得离心率.
【详解】根据题意，取中点为，连接，，作图如下：
在中，因为分别为的中点，故可得//；
在中，因为，为中点，故可得；综上可得：.
不妨设，则，，，
故在中，由勾股定理可得：，解得：.
则在中，由勾股定理可得：，整理得：，解得：.选：.
【点睛】本题考查双曲线的离心率，解决关键是充分挖掘题中包含的几何关系，以及双曲线定义的使用；本题中，利用双曲线定义以及几何关系求得的长度是突破点，再利用勾股定理，求得离心率；考查了学生的运算能力，理解能力，属于中档题.
9．（2021·湖北武汉·高三期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若，则此双曲线的渐近线为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过得到，结合题干中的斜率条件表达出点坐标，再代入双曲线方程求解与的关系，求解渐近线方程.
【详解】因为，所以，故三角形是等腰三角形，即，又因为，过点A作AB⊥x轴于点B，则，设，，由勾股定理得：，解得：，故，把A点代入双曲线方程，
得：，解得：，
显然=0，所以，所以双曲线的渐近线为 故选：D
二、多选题
10．（2021·河北邯郸·高三期末）已知A，B是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上存在一点到准线的距离为4，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则直线AB恒过定点
C．若外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆半径为 D．若，则直线AB的斜率为
【答案】ABC
【分析】根据抛物线定义可判断A；由直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理法可判断B；利用直线与圆的位置关系可判断C；由直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理法及条件可判断D.
【详解】根据抛物线定义可知，得，故A正确；
设，，因为直线AB斜率必不为0，设直线，
代入，得，∴，，
∴，即，所以直线AB恒过定点，故B正确；
外接圆圆心横坐标为，外接圆半径为，故C正确；
因为，所以AB过焦点，且，可设直线，则
代入，得，∴，，，
解得，即直线AB的斜率为，故D错误.故选：ABC．
11．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）已知曲线：，则（ ）
A．时，则的焦点是， B．当时，则的渐近线方程为
C．当表示双曲线时，则的取值范围为 D．存在，使表示圆
【答案】ABD
【分析】AB选项，代入的值，分别得出是什么类型的曲线，进而作出判断；C选项，要想使曲线表示双曲线要满足；D选项，求出曲线表示圆时m的值.
【详解】当时，曲线：，是焦点在y轴上的椭圆，且，所以交点坐标为，，A正确；当时，曲线：，是焦点在在y轴上的双曲线，则的渐近线为，B正确；当表示双曲线时，要满足：，解得：或，C错误；当，即时，，表示圆，D正确故选：ABD
12．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高三期末）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的短轴长为
C．的最小值为 D．过点的圆的切线斜率为
【答案】AD
【分析】根据椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等求得；将的最值转化为求椭圆上一点到定点,以及左焦点的最小值问题，数形结合求得，即可判断选项；再结合椭圆定义，以及圆的切线方程的求解，即可判断.
【详解】根据题意，作出如下所示的图形，
椭圆的长轴长与圆的直径长相等，，，
设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义可知，，
，
，解得或，因为，故.椭圆的焦距为2，即正确；
由，得椭圆的短轴长为，即错误；
，即错误；
设过点的圆的切线方程为，则，解得，即正确．
综上所述：正确的选项是：.故选：.
13．（2021·江苏徐州·高三期中）已知圆，点是圆上的动点，则（ ）
A．圆关于直线对称 B．直线与圆相交所得弦长为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】AC
【分析】验证圆心是否过直线判断A，求出相交弦长判断B，把变以代入圆方程，利用判别式不小于0判断C，利用原点到圆心的距离求得最小值判断D．
【详解】圆标准方程是，，半径为，
易得点在直线上，A正确；
点到直线的距离为，弦长为，B错；
由得代入圆的方程整理得，
，，所以的最大值是，C正确；
，，所以的最小值是，D错误．故选：AC．
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系是解题关键，圆的弦长一般用几何法求解，即求出圆心到直线的距离后用勾股定理计算．求分式型，平方型式子的最值，可以利用几何意义求解，如分式型可以用直线斜率，平方型利用两点间距离求解．
三、填空题
14．（2020·山东费县·高三期末）抛物线的焦点坐标是______；经过点的直线与抛物线相交于，两点，且点恰为的中点，为抛物线的焦点，则______．
【答案】； 9.
【分析】由抛物线的解析式可知，即可得出焦点坐标为；过、、作准线的垂线且分别交准线于点、、，根据抛物线的定义可知，由梯形的中位线的性质得出，进而可求出的结果.
【详解】解：由抛物线，可知，则，所以抛物线的焦点坐标为，
如图，过点作垂直于准线交准线于，过点作垂直于准线交准线于，
过点作垂直于准线交准线于，
由抛物线的定义可得，再根据为线段的中点，而四边形为梯形，
由梯形的中位线可知，
则，所以.故答案为：；9.
15．（2021·江苏徐州·高三期中）已知抛物线的焦点为为上一点，若，则的最大值为________．
【答案】
【分析】根据抛物线定义转化可得，求出最大值即可.
【详解】由题可得为准线与轴交点，
过作与准线垂直，垂足为，由抛物线定义可得,则，
则当最小时，即最大时，取得最大值，由图知当直线与抛物线相切，最大，
设直线方程为，代入抛物线得，
则由，解得，由于抛物线的对称性，取即可得，
此时，所以的最大值为.故答案为：.
16．（2021·浙江省三门中学高三期中）设椭圆的左､右焦点分别为､，是椭圆上一点，，，，则椭圆离心率的取值范围为___________.
【答案】
【分析】设，则，由椭圆定义可得即，由勾股定理可得，两式相除可得，再令由函数的性质可得的范围，进而可得椭圆离心率的取值范围.
【详解】设，，由椭圆的定义可得，
设，则，所以，即，①
因为，所以，② 两式相除可得，令可得，
所以，
因为，所以，所以当即，时取得最小值，此时最小为，
当或即，时取得最大值，此时最大为，
所以椭圆离心率的取值范围为，故答案为：.
17．（2021·湖北武汉·高三期中）已知椭圆的方程为，，为椭圆的左右焦点，P为椭圆上在第一象限的一点，I为的内心，直线PI与x轴交于点Q，椭圆的离心率为，若，则的值为___________.
【答案】
【分析】连接､，是的内心，得到为的角平分线，即到直线､的距离相等，利用三角形的面积比，得到，结合椭圆的离心率的定义，即可求解.
【详解】解：如图所示，连接､，是的内心，所以､分别是和的角平分线，由于经过点与的内切圆圆心的直线交轴于点，
则为的角平分线，则到直线､的距离相等，
所以，同理可得，，
由比例关系性质可知.
又椭圆的离心率.所以，所以，故，故答案为：4.
【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
18．（2022·全国·高三专题练习）P是双曲线右支在第一象限内一点，，分别为其左、右焦点，A为右顶点，如图圆C是的内切圆，设圆与，分别切于点D，E，当圆C的面积为时，直线的斜率为______.
【答案】
【分析】由双曲线的定义以及切线的性质可得圆心横坐标为，又根据圆的面积可求出半径，可知圆心，可求出，因为是的角平分线，借助于角相等可求直线的斜率.
【详解】由题意可知，，，
所以，
设，则，即，
设圆C的半径为，因为圆C的面积为，则，
因为，所以，于是，因为是的角平分线，
所以，
所以，即直线的斜率为.故答案为：.
四、解答题
19．（2021·四川南充·一模））已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的下顶点和上顶点分别为，，且，过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；（2）当时，求△OMN的面积；（3）求证：直线与直线的交点T恒在一条定直线上．
【答案】（1）,（2）,（3）见（3）详解.
【分析】(1)由可得，结合离心率可求基本量，进而得椭圆的方程.
(2)写出直线的方程为与椭圆方程联立，运用韦达定理及弦长公式可求出，再由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，从而可求出三角形的面积.
(3) 设，由在同一条直线上，且在同一条直线上，建立之间的等量关系可得证.
（1）因为，所以，即，，，，
所以，所以椭圆的标准方程为:
（2）直线的方程为，设，
方程联立，整理得，则，
所以 ，
原点到的距离，则的面积.
（3）设直线的方程为：，，
则，整理得，则，
，则，
设，因为在同一条直线上，则，
因为在同一条直线上，则，
所以，所以，则交点T恒在一条直线上.
【点睛】本题第三问的关键是设交点，利用三点共线建立动点纵横坐标的等量关系.
20．（2021·上海金山·一模）已知为椭圆C：内一定点，Q为直线l：上一动点，直线PQ与椭圆C交于A､B两点（点B位于P､Q两点之间），O为坐标原点.
（1）当直线PQ的倾斜角为时，求直线OQ的斜率；（2）当AOB的面积为时，求点Q的横坐标；
（3）设，，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）（2）或（3）1
【分析】（1）先得到直线PQ的方程为：，由得到Q的坐标求解； （2）设直线PQ的方程为，由，结合韦达定理求得，再由求解.
（3）设直线PQ的方程为，由，得到，，有，再根据，，得到求解.
（1）解：因为直线PQ的倾斜角为，且，所以直线PQ的方程为：，
由，得，所以直线OQ的斜率是；
（2）易知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为，
由，得，设，则，
所以，所以，
解得，即，所以直线PQ的方程为或，
由，得；由，得；
（3）易知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为，
由，得，设，则，所以，
因为，，所以，
所以，.
21．（2021·江苏连云港·高三期中）已知离心率为的椭圆与直线x+2y-4=0有且只有一个公共点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过点P（0，-2）的动直线l与椭圆C相交于A，B两点，当坐标原点O位于以AB为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由将椭圆方程化简为，进而结合判别式法求得答案；
（2）设，，直线l方程为，根据，进而结合根与系数的关系求得答案.
（1）根据题意，，而，则，，
所以椭圆方程为，，
，，
所以，，椭圆C方程为：.
（2）设直线l方程为，，，
，即，
或，且,因为O在以AB为直径的圆外，所以，则，于是，即.
综上：l斜率k的取值范围为.
22．（2021·河北石家庄·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且点在C上.
（1）求椭圆C的标准方程；（2）设，为椭圆C的左，右焦点，过右焦点的直线l交椭圆C于A，B两点，若内切圆的半径为，求直线l的方程.
【答案】（1）（2）或.
【分析】（1）根据离心率可得的关系，再将的坐标代入方程后可求，从而可得椭圆的方程.
（2）设直线的方程为，，结合内切圆的半径为可得，联立直线方程和椭圆方程，消元后结合韦达定理可得关于的方程，求出其解后可得直线方程.
（1）因为椭圆的离心率为，故可设，
故椭圆方程为，代入得，故，故椭圆方程为：.
（2）的周长为，故.
设，由题设可得直线与轴不重合，故可设直线，
则，由可得，
整理得到，此时，故，解得，
故直线的方程为：或.
23．（2021·北京市第三十五中学高三期中）已知椭圆．（1）若椭圆E的焦距为2，求实数a的值；（2）点A，B，C位于椭圆E上，且A，B关于原点对称．若椭圆E上存在等边，求a的取值范围．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据条件中的的值，求得参数a的值.（2）为等边三角形，有，对直线斜率存在情况进行讨论，不存在及为0时，直线是确定直线，易求得a的值.当斜率存在且不为0时，设其方程为，则直线方程为，然后与椭圆联立，求得的表达式，由，求得参数a的范围.
（1）由题知，，所以；
（2）若为等边三角形，应有，即．
若直线斜率不存在时，即直线方程为，且．
此时若为等边三角形，点C应在长轴顶点，且，即．
若直线斜率为0，即直线方程为，且．
此时若为等边三角形，点C应在短轴顶点，此时，不为等边三角形．
当直线斜率存在且不为0时，设其方程为，则直线方程为．
由，得．
同理．因为，所以，
解得．因为，所以，若有解，只需，即．
综上，a的取值范围是．
24．（2021·浙江·台州一中高三期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的直线交于，两点（其中点位于第一象限），设点是抛物线上的一点，且满足，连接，.（1）求抛物线的标准方程及其准线方程；（2）记，的面积分别为，，求的最小值及此时点的坐标.
【答案】（1），（2），
【分析】（1）根据抛物线焦点坐标直接可得抛物线方程；（2）设直线，联立方程组可得，再根据点坐标确定点及点到直线的距离，可求，，结合基本不等式，可得的最小值与点的坐标.
（1）由抛物线焦点，可得，
所以抛物线方程为，准线方程为，
（2）设直线，点，，
联立，得，即，
所以，且，
又，，的方程为，即点，
点到直线的距离，又，，，
所以，
，
又，所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时点为，
即的最小值为，此时点的坐标为.
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
B卷（建议用时90分钟）
一、单选题
1．（2021·浙江·台州一中高三期中）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，，联立圆与双曲线方程求出点坐标，设，将利用坐标表示计算可得表示，再将点代入双曲线方程可得关于的齐次方程，结合即可求解.
【详解】设，，由整理可得：，
即，
因为点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，所以，
，
所以点坐标为，设点，则，，
由可得 ，所以，
因为点在双曲线上，所以，
整理可得：，所以，即，
两边同时平方可得：，
所以，即，，
可得：或（舍），所以，故选：B.
2．（2021·河北邯郸·高三期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，A，B是双曲线右支上两点，且，设的内切圆圆心为，的内切圆圆心为，直线与线段交于点P，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由角平分线的性质得，结合双曲线的定义表示出各边长，可判断，即可建立关系求解.
【详解】如图所示：
由题意知为的角平分线上点，由角平分线的性质得，
因为，∴，由双曲线的定义得，因此，，
∴，，由双曲线定义得，满足，可得，
由在中，，即，∴，.故选：B．
3．（2021·福建·福州三中模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，，实轴长为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值时，该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出图形，结合双曲线的定义，，则，
所以，进而解出和的值，再由 即可得渐近线方程.
【详解】因为双曲线的实轴长为，所以，
由双曲线的定义可得：，则，
所以，当且仅当三点共线时取等号，
如图，与渐近线垂直时，取得最小值，
因为，所以，可得，所以双曲线的渐近线方程为：，
故选：D.
4．（2021·浙江·慈溪中学高三期中）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点．点满足，且．若，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】由，确定M的位置，解三角形求，，由余弦定理可得，的关系，由此可求离心率.
【详解】∵ ，∴M为线段的中点，，即垂直平分，
∴，设，则又 为直角三角形，∵，即，
∴ ，，由双曲线定义可得，，
∴ ，∴ ，∴ ，，
又，由余弦定理可得，
∴，∴ ，∴ 离心率.故选：C.
5．（2021·浙江·模拟预测）已知椭圆右顶点为，上顶点为，该椭圆上一点与的连线的斜率，的中点为，记的斜率为，且满足，若分别是轴､轴负半轴上的动点，且四边形的面积为2，则三角形面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出直线方程，与椭圆方程联立，表示出点E坐标，即可根据求出，根据四边形的面积结合基本不等式可求.
【详解】由题意知：，直线的方程为，
联立方程可得，
因为是其中一个解，则另一个解满足，即，
所以，则可得的中点，则，
因为，所以，解得，则即，
设，则由四边形的面积为2，有，
即，由基本不等式得，，
从而三角形的面积，等号当，时取到.
所以三角形面积的最大值为.故选：A.
6．（2021·浙江·模拟预测）如图，已知椭圆的长轴端点为，，短轴端点为，，焦点为，.现将左边半个椭圆沿短轴进行翻折，则在翻折过程中（不共面），以下说法不正确的是（ ）
A．存在某个位置,使 B．存在某个位置,使二面角的平面角为
C．对任意位置，都有平面 D．异面直线与所成角的取值范围是
【答案】B
【分析】选项A. 设在平面的射影为，当时，可判断；选项B. 设为 的中点, 为二面角的平面角,从而可得范围，即可判断; 选项C. 由可判断; 选项D. 直线, 将左边半个椭圆沿短轴进行翻折，则在翻折过程中,异面直线与所成角,即为以为轴，为母线的圆锥的母线与所成角,从而可判断.
【详解】由 ,所以为锐角
则为锐角三角形，故过作的垂线，垂足在线段上，
设,当平面时，则，又
所以平面,且平面，所以，故A正确；
如图，设为 的中点，由 ,
则 所以为二面角的平面角.
设, 则，
所以
当时，，所以
所以，所以不存在某个位置,使二面角的平面角为，，故B错；
由，分别为的中点，则，
由平面，平面，则平面，故C正确；
直线, 将左边半个椭圆沿短轴进行翻折，则在翻折过程中
异面直线与所成角,即为以为轴，为母线的圆锥的母线与所成角.
以为轴，为母线的圆锥轴截面顶角为，故D正确.故选：B
7．（2021·浙江·高二期中）已知定点，动点Q在圆O：上，PQ的垂直平分线交直线 OQ于M点，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】当在圆内时，由几何性质可得，此时的轨迹是以为焦点的椭圆. 当在圆上时，线段的中垂线交线段于圆心.当在圆外时，,此时的轨迹是以为焦点的双曲线的一支，从而可得答案.
【详解】当在圆内时，设与圆的另一交点为，设点为弦的中点,
则, 线段的中点在线段内，则线段的中垂线交线段于点，如图1 .
连接, 则, 所以 则
此时的轨迹是以为焦点的椭圆.当在圆上时，线段的中垂线交线段于圆心.
当在圆外时，设与圆的另一交点为，设点为弦的中点,
则, 线段的中点在线段内，则线段的中垂线交线段的延长线于点，如图2 .
连接, 则, 所以 则
此时的轨迹是以为焦点的双曲线的一支.同理当在圆上运动时，还会得到
所以动点的轨迹是双曲线，则在圆外,所以 故选： D
8．（2021·辽宁·凌源市实验中学高三阶段练习）已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，，过两点分别作抛物线的切线，交于点.下列说法不正确的是（ ）
A． B．(为坐标原点)的面积为
C． D．若是抛物线上一动点，则的最小值为
【答案】C
【分析】设直线的方程、，并与抛物线方程联立利用韦达定理和得，再利用求导判断A；利用可判断B；
由可判断C；过作与，利用可判断D.
【详解】由已知的焦点为，所以直线的方程为，设，
直线方程与抛物线方程联立，整理得，所以，，
由，得，代入得，，
所以，开方可得或，可得在，因为，所以，
在，因为，所以，
所以，，故A正确；
由，
得，故B正确；
因为，
所以，故C错误；
由得，所以在抛物线内部，抛物线的准线方程为，
如图 过作与，交抛物线与点，所以，所以，
当在一条直线上时最小，此时，故D正确.故选：C.
二、多选题
9．（2021·江苏·高三期中）设m∈R，直线与直线相交于点P（x，y），线段AB是圆C：的一条动弦，Q为弦AB的中点，，下列说法正确的是（ ）
A．点P在定圆 B．点P在圆C外
C．线段PQ长的最大值为 D．的最小值为
【答案】BCD
【分析】根据直线与直线可求得两直线分别过定点和定点，且两直线垂直，从而可得交点的轨迹方程，即可判断A；
判断点的轨迹圆与圆C的位置关系即可判断B；根据Q为弦AB的中点，，可得弦AB的中点Q的轨迹为以为圆心的圆，则线段PQ长的最大值为圆心距加两圆的半径，从而可判断C；，求出线段PQ长的最小值，即可判断D.
【详解】解：直线过定点，直线过定点，
又，所以两直线垂直，所以两直线的交点的轨迹是以线段为直径的圆，，
所以交点的轨迹方程为，故A错误；
圆的圆心为，半径为，因为，
所以圆与圆C：相离，即点P在圆C外，故B正确；
因为Q为弦AB的中点，，所以，
所以弦AB的中点Q的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，则点Q的轨迹方程为，
则圆与圆相离，
所以线段PQ长的最大值为，故C正确；
，
因为线段PQ长的最小值为，所以的最小值为，
即的最小值为，故D正确.故选：BCD.
10．（2022·全国·高三专题练习）双曲线的左右焦点分别为，，倾斜角为的直线过双曲线的右焦点，与双曲线右支交于两点，且，则（ ）
A．双曲线的离心率为 B．与内切圆半径比为
C．与周长之比为 D．与面积之比为
【答案】BD
【分析】设设，则，则，，在和中由余弦定理可得，即可得离心率可判断A；将代入可得，进而可得与周长可判断C；由可得与面积之比可判断D；由三角形的面积等于乘以三角形的周长再乘半径结合周长之比可得内切圆的半径之比，可判断B，进而可得正确选项.
【详解】设，则，由双曲线的定义可得：，，
在中，由余弦定理可得：，
即，所以
在中，由余弦定理可得：，
即，所以，
可得，所以，所以离心率，故选项A不正确；
设点到直线的距离为，则，故选项D正确；
将代入可得：，
所以的周长为，
的周长为，
所以与周长之比为，故选项C不正确；
设与内切圆半径分别为，，
的面积与的面积之比为，
所以，故选项B正确；故选：BD.
11．（2021·山东省青岛第十七中学高三期中）瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ）
A．圆上的点到原点的最大距离为
B．圆上存在三个点到直线的距离为
C．若点在圆上，则的最小值是
D．若圆与圆有公共点，则
【答案】BD
【分析】求出“欧拉线”方程，利用“欧拉线”与圆相切求出，利用圆的几何性质可判断A选项的正误；计算出圆到直线的距离，可判断B选项的正误；设，利用直线与圆有公共点，求出的取值范围可判断C选项的正误；利用圆与圆的位置关系可判断D选项的正误.
【详解】由题意，为等腰三角形，的欧拉线即的垂直平分线，
、，的中点坐标为，直线的斜率为，
则的垂直平分线方程为，即．由“欧拉线”与圆相切，
所以，圆心到直线的距离为，则圆的方程为，
圆心到原点的距离为，则圆上的点到原点的最大距离为，故A错误；
圆心到直线的距离为，
圆上存在三个点到直线的距离为，故B正确；
的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率，
设，即，则直线与圆有公共点，
由，解得，的最小值是，故C错误；
的圆心坐标，半径为，圆的圆心坐标为，半径为，
要使圆与圆有公共点，则圆心距的范围为，
所以，,解得，故D正确．故选：BD．
12．（2021·江苏·高三开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）．
A．轨迹的方程为 B．在轴上存在异于，的两点，，使得
C．当，，三点不共线时，射线是的角平分线 D．在上存在点，使得
【答案】BC
【分析】根据两点间的距离公式计算化简，逐一判断选项即可.
【详解】A：在平面直角坐标系中，，，点满足，
设，则，化简得，即，所以A错误；
B：假设在轴上存在异于，的两点，，使得，
设，，则，化简得，
由轨迹的方程为，可得，，
解得，或，（舍去），所以B正确；
C：当，，三点不共线时，，可得射线是的角平分线，所以C正确；
D：若在上存在点，使得，可设，
则，化简得，
与联立，方程组无解，故不存在点，所以D错误．故选：BC．
三、填空题
13．（2021·全国·模拟预测）设为坐标原点，点，，在抛物线：上，且直线与直线关于直线对称，则直线的斜率为___________；若直线在y轴上的截距为正数，则面积的最大值为___________.
【答案】1
【分析】由点坐标得抛物线方程，易知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为，
代入抛物线方程求得点坐标，利用对称性得点坐标，计算斜率，再由斜率设的方程，代入抛物线方程后，由判别式大于0得参数范围，设，，应用韦达定理求得弦长，
再求出到直线的距离，得三角形面积，引入新函数，由导数知识求得最大值，从而得面积最大值．
【详解】由题意可知，，解得，所以抛物线C的方程为.
易知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为，
由，得，得，.
因为直线PA与直线PB关于直线对称，所以，
则，所以，.则.
可设直线AB的方程为，由，整理得，
由，得.设，，则，，
所以，原点到直线AB的距离，
所以的面积为.令，则，
易知当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
故面积的最大值为.故答案为：1；．
14．（2021·浙江省杭州第二中学高三期中）已知圆：与圆：相交于，两点，则实数的取值范围为_____；若圆上存在点，使得为等腰直角三角形，则实数的值为_______.
【答案】 或或
【分析】根据圆和圆相交于，两点得到，再解不等式组即可得到.首先两圆的方程相减，得到直线的方程，再分类讨论为直角顶点和或为直角顶点求解即可.
【详解】圆：，圆心，半径，
圆：，
圆心，半径. ，
因为圆和圆相交于，两点，所以.
两圆的方程相减，可得直线的方程为：.
因为圆上存在点，使得为等腰直角三角形，
①当为直角顶点时，则直线过圆的圆心，所以，即.
①当或为直角顶点时，则直线或直线过圆的圆心，
则，即到直线的距离为，所以，解得或.
故答案为：；或或
15．（2021·浙江省杭州第二中学高三期中）已知双曲线：的左、右焦点分别是、，直线与 双曲线的左、右支分别交于P，Q（P，Q均在x轴上方）.若直线、的斜率为，且四边形的面积为.则双曲线的离心率为________.
【答案】
【分析】连接， ，在中，利用余弦定理求出，同理求出，再由四边形的面积即可求解.
【详解】连接， ，设直线、的倾斜角为，，
则，在中，由余弦定理可得，化简整理可得，
又因为，则，，所以，同理可得，
又因为四边形的面积为，则，
代入整理可得，即，即，解得或（舍）答案：
16．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，斜率大于0的直线经过点与的右支交于，两点，若与的内切圆面积之比为9，则直线的斜率为______．
【答案】
【分析】设与的内切圆圆心分别为，， 的内切圆与三边分别切于点，，， 利用内切圆的性质得．设直线的倾斜角为，在中，，在中，，由题得得，再由二倍角公式可得答案．
【详解】设与的内切圆圆心分别为，，连接，，，
的内切圆与三边分别切于点，，，如图，
则，所以，即，
同理，所以，设直线的倾斜角为，则，
在中，，在中，，
由题得，所以，解得，所以．
故答案为：﹒
17．（2021·河南·正阳县高级中学模拟预测）已知，是双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线的右支于，两点，且，，则双曲线的离心率为___________.
【答案】2
【分析】由双曲线的定义知，，再根据得，进而根据相似关系得，，，再结合双曲线的定义得，故，进而得答案.
【详解】由双曲线的性质，可知，.因为，所以，.
又，且，所以，所以，
所以，.因为，所以.
又，所以，所以，所以.故答案为：
【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，考查学生的转化和计算能力，属于中档题型，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据直接求，2.根据条件建立关于的齐次方程求解，3.根据几何关系找到的等量关系求解.
四、解答题
18．（2021·河北衡水中学模拟预测）已知椭圆过点，焦点分别为，．短轴端点分别为，，．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，当线段的中点落在四边形内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）把代入椭圆方程结合求出，，得到椭圆方程；（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理得到两根之和，进而得到的中点坐标，利用中点在四边形内（包括边界），得到直线斜率的取值范围.
（1）由题设条件知，，，解得：，．故椭圆的方程为．
（2）易证四边形为正方形，点的坐标，
显然直线的斜率存在，设直线的方程为．
如图，设点，的坐标分别为，，线段的中点为，
由，得，①
由，解得．②
因为，是方程①的两根，所以，于是，．
因为，所以点不可能在轴的右边，
又直线，的方程分别为，，
所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为．
即，亦即．解得，此时②也成立，
故直线斜率的取值范围．
19．（2021·四川·树德中学高三期中）己知抛物线：的焦点为，为上的动点，为在动直线上的投影．当为等边三角形时，其面积为．（1）求的方程；（2）设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于，两点，直线与线段交于点．试问：是否存在，使得和△的面积相等恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】（1）根据三角形面积以及的形状，结合抛物线定义，列出方程组，即可求得结果；
（2）利用导数几何意义，写出的方程，联立椭圆方程，根据面积相等，列出等量关系，即可判断和求解.
（1）设，，
∵为等边三角形时，其面积为，∴，解得，
∵Q为P在动直线上的投影，∴；当为等边三角形时，，
由抛物线的定义知，，∴，解得，∴C的方程为；
（2）设，，，则，
∵，∴，∴切线l：，即l：，
，∴，
∴；
∵，∴，，
∵和△的面积相等，且A，M，B在同一条直线上，则点M为AB的中点，
∴，即，则．
综上，存在t，使得和三角形△面积相等恒成立，．
【点睛】本题考查抛物线方程的求解，以及抛物线中的存在性问题；本题第二问结合了导数的几何意义用来求切线的方程，属综合困难题.
20．（2021·上海浦东新·一模）已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于不同的两点、.（1）若点和到抛物线准线的距离分别为和，求；（2）若，求的值；（3）点，，对任意确定的实数，若是以为斜边的直角三角形，判断符合条件的点有几个，并说明理由.
【答案】（1）（2）（3）一个，理由见解析
【分析】（1）根据抛物线的定义求得焦点弦长；（2）直线的方程为，代入抛物线方程后应用韦达定理得，利用焦半径公式及已知，得出的关系，与韦达定理结合可求得；（3）把用坐标表示出来，代入韦达定理的结论，得出关于的方程，由一元二次方程根的分布可得的正数解的个数．
（1）根据抛物线定义，，∴.
（2）直线的方程为，由 ，，， ，
，， ，
代入（5）得：，（舎）或，∴ .
（3）∵ 是以为斜边的直角三角形，∴ ，，
, ，即，
，（或者），
∴ ，，
， ，方程仅有一个正实数解， 存在一个满足条件的点.
21．（2021·江苏海安·高三期中）已知过点P(－2，0)的直线l与抛物线Γ：相切于点T(x0，2)．（1）求p，x0；（2）设直线m：与Γ相交于点A，B，射线PA，PB与Γ的另一个交点分别为C，D，问：直线CD是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】（1），（2）直线经过定点
【分析】（1）由题意可设切线的方程为：，与抛物线方程联立化为：，可得，结合斜率计算公式、及其点在抛物线上即可得出答案；（2）设，，，，联立，化为：，，可得根与系数的关系．射线的方程为：，射线的方程为：，分别与抛物线方程联立，进而得出坐标，进而得出方程及其定点坐标．
（1）
由题意可设切线的方程为：，联立，化为：，
则，化为：，又，，解得：，，．
（2）设，，，，联立，化为：，
，解得．，，
射线的方程为：，，射线的方程为：，，
联立，化为：，
，，，可得，．同理可得，，
直线的方程为：，
化为：，，即，化为：，直线经过定点．
22．（2021·浙江省杭州第二中学高三期中）如图，已知抛物线：，斜率为1的直线与抛物线交于两个不同的点A，B，过A，B分别作抛物线的切线，交于点M.（1）求点M的横坐标；（2）已知F为抛物线的焦点，连接FA，FB，FM，记面积为，面积为，记面积为，求的最小值.
【答案】（1）点M的横坐标为2.（2）的最小值为.
【分析】(1) 设直线AB的方程为，，，，
联立方程组可求，，再求切线AM，BM的方程，联立求其交点M，由此可得M的横坐标，(2)求，，，由此可得，再利用导数求其最小值.
（1）∵ 直线AB的斜率为1，故可设直线AB的方程为，
设，，，联立直线AB与抛物线C的方程可得：
，化简可得，由已知方程由两个不同的解，
∴ 方程判别式，即 ，，
∵ ∴ ，∴ ∴ 切线AM的方程为 ，又，
∴ 切线AM的方程为，③
同理切线BM的方程为：，④
③-④可得 ∴ ，又，∴
∴， ∴ 点M的横坐标为2.
（2）∵ 直线AM的方程为，点F的坐标为，，
设点F到直线AM的距离，点B到直线AM的距离，
则， ，
又，同理，设点M到直线AB的距离，则，
又，，
∴ ，
∴
设，则，，设，则，
令可得，当时，，当时，，
∴ ，∴ 的最小值为.
【点睛】求面积的比值，可以选择相同的底边或者角来转化，参数之间的关系可以通过联立圆锥曲线方程，化简求得，通过函数或者不等式来求得最值.
23．（2021·湖南·衡阳市八中模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，其离心率为，且过点（1）求双曲线的方程（2）过的两条相互垂直的交双曲线于和，分别为的中点，连接，过坐标原点作的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值，若存在，求此定点.若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】（1）首先根据题意得到，再解方程组即可；（2）首先当直线和其中一条没有斜率时，点为，直线MN的方程为，当直线和都有斜率时，设直线的方程为：，联立方程组，利用韦达定理得到，，同理得到，，从而得到直线的方程为，恒过，根据得到点的运动轨迹是以点为圆心，以直径的圆，从而得到存在定点，使得为定值.
【详解】（1）由题可知：，双曲线的方程是.
（2）存在定点，使得为定值，理由如下：
由题意可知，若直线和其中一条没有斜率，则点为，直线MN的方程为，
当直线和都有斜率时，因为点，设直线的方程为：
设，，，联立方程组得：
所以，，故，
设直线的方程为：
设，，，同理可得，，
故所以，
所以直线的方程为，
化简得：，可知直线过定点
又因为，所以点的运动轨迹是以点为圆心，以直径的圆，
所以存在定点，使得为定值.
【点睛】（1）解答直线与双曲线题目时，常用把两个曲线方程联立，得到关于的一元二次方程，利用根系关系，结合已知条件建立有关参变量的等量关系；（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率不存在的特殊情况.
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